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高三数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. “”的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，若有三个元素，则实数的取值集合为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知实数满足，则的最小值为（ ）
A B. C. D.
5. 已知是偶函数，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
6. “”是“函数在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 将2个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知是定义在上增函数，且存在函数使得，若，分别是方程和的根，则（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ）
A. |OP|的最大值为 B. |OP|的最小值为
C. |MN|最大值为6 D. |MN|最小值为2
10. 已知定义在上的偶函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. ，
C. D. 方程有唯一实数解
11. 已知函数，为的导数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，恒成立
B. 当时，在区间单调递减
C. 当时，在区间上存在唯一极小值点
D. 当时，有2个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某实践团有个男生、个女生，从中任选人发起问卷调研，那么恰好有个女生被选中的方法有______种.
13. 已知，其中a为实数，若，则a=______.
14. 在中，，，则其内切圆半径r的最大值为______；若平面内动点P满足，则当r取得最大值时，的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 2025年7月22日是二十四节气中的第十二个节气——大暑.受今年气候等多因素的影响，全国各地高温天气持续不断.某校以“预防中暑，防止脱水”为主题举行活动.为了解男女同学对该活动的兴趣程度，对多位该校同学进行了调查，并将结果整理成如下列联表.
性别 兴趣程度 合计
感兴趣 不感兴趣
男生
女生
合计
（1）当m足够大时，估计从该校任选一名对该活动不感兴趣的学生是男生的概率；
（2）若根据小概率值的独立性检验，认为对该活动是否感兴趣与性别有关，求正整数m的最小值.
附：，其中.
0.1 0.05 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
16. 已知函数是定义在上的奇函数，且为偶函数．
（1）求的解析式，并判断的单调性；
（2）已知，，且，求的取值范围．
17. 已知.
（1）求的单调增区间和对称中心；
（2）在锐角 中，A，B，C的对边分别是..求的值域.
18. 已知椭圆方程为，且椭圆的短轴长为2，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点，点，若所在的直线与所在的直线关于轴对称，直线是否恒过定点，若是，求出该定点的坐标．
19. 已知函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求证：；
（3）求证：对任意的且，都有（其中为自然对数的底数）．
BCAAD AAB 9ABC 10BC 11BC
12 12 13 14 ①. （或） ②.
15 （1）由调查数据可知当m足够大时，以频率估计概率可知，
从该校任选一名对该活动不感兴趣的学生是男生的概率为.
【2】
由题意可得，
若根据小概率值独立性检验，认为对该活动是否感兴趣与性别有关，
则，解得
因为m为正整数，
所以m的最小值为10.
16 【1】
因为是定义在上的奇函数，为偶函数，
令，则，
故，所以，
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，
综上，，在上单调递增.
【2】
因为是定义在上的奇函数，且在上单调递增，
，且，
，即，则，
当时，，则，即，故；
当时，，则，即，则；
综上，的取值范围为.
17【1】
由
.
由解得，，
即的单调增区间为；
由解得，，故的对称中心为.
【2】
由可得，，
因是锐角三角形，故则，
故，解得，，
由，设，由正弦定理可得，,
由解得，，则,,故有.
于是，，
而在上单调递减，在上单调递增，且 ，
则的值域为.
18（1）因为椭圆C：(a>b>0)的离心率e=，
所以，即，
又椭圆的短轴长为2，所以b=1，a=2，
所以椭圆C的方程为．
（2）设直线l的方程为y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组，消去y，得
，即，
，
因为QA所在的直线与QB所在的直线关于x轴对称，
所以，
即
3
得
化简得，直线l的方程为，
所以，直线l恒过定点(，0)．
19【小问1详解】
函数的定义域为．
①当时，，所以在上单调递增，
②当时，令，解得．
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增．
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
【小问2详解】
证明：当时，，
要证明，即证，即，
设，则，令得，．
当时，，当时，，
所以为极大值点，也为最大值点．
所以，即．故；
【小问3详解】
证明：由（2）知（当且仅当时等号成立），
令，则，
所以
，
即，
所以．

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