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贵州省瓮安中学2025-2026学年高一上学期9月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B.
C. D.
2.已知直线与直线互相垂直，则实数( )
A. B. C. 或 D. 或
3.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
4.设，则“”是“直线：与直线：平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知是函数的极值点，则函数的极小值为( )
A. B. C. D.
6.集合中含有的元素个数为( )
A. B. C. D.
7.已知角，满足，，则( )
A. B. C. D.
8.在某次考试成绩中随机抽取个，成绩均在之间，将这些成绩共分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，由图中数据估计总体的众数和中位数中位数精确到个位分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类集”，其中，记为，即，以下判断不正确的是( )
A.
B.
C. 若，则整数，一定不属于同一类集
D. 若，则整数，一定属于同一类集
10.图中阴影部分用集合符号可以表示为( )
A.
B.
C.
D.
11.下列说法中正确的是( )
A. 一组数据，，，，，，，，，的第百分位数为
B. 若随机变量，且，则
C. 袋中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从袋中不放回的依次抽取个球．记事件第一次抽到的是红球，事件第二次抽到的是白球，则
D. 已知变量、线性相关，由样本数据算得线性回归方程是，且由样本数据算得，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若不等式在内恒成立，则实数的取值范围是______．
13.写出“”的一个充分非必要条件 ．
14.已知函数与同时满足条件：
；
使得成立．
则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在，，这两句话中任选一个，补充到本题中第问横线处，求解下列问题．
设全集是实数集，，，
当时，求、；
已知命题：_____，且为真命题，求实数的取值范围．
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个解答计分．
16.本小题分
已知椭圆的左焦点为，点，，过的直线交于，两点．
求的坐标；
若点在直线上，证明：是的角平分线．
17.本小题分
已知集合，集合，
对于区间，定义此区间的“长度”为，若的区间“长度”为，试求实数的值．
若，试求实数的取值范围．
18.本小题分
已知直线的方程为．
求过点与直线平行的直线的方程
求直线被圆截得的弦的长．
19.本小题分
已知：，：．
是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的范围；
是否存在实数，使是的必要条件，若存在，求出的范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查补集运算，一元二次不等式的解法，是基础题．
通过求解不等式，得到集合，然后求解补集即可．
【解答】
解：集合，
可得．
则：．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】根据直线间的位置关系列出方程，解之即可求解．
【详解】因为直线与直线互相垂直，
所以，解得或．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：因为集合，，
所以，，B错误，C正确；
，D错误．
故选：．
先求出集合，然后结合集合的包含关系及交集运算检验各选项即可判断．
本题主要考查了集合的包含关系及集合交集运算，属于基础题．
4.【答案】
5.【答案】
【解析】解：，
因为是函数的极值点，所以，即，
所以，
当或时，，当时，，
故在，上单调递减，在上单调递增，
故时，函数取得极小值．
故选：．
先对函数求导，结合导数与单调性及极值关系即可求解．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】试题分析：集合中的元素满足，是的约数，有，，，，，，所以，集合中含有的元素个数为，选B．
考点：集合的概念
7.【答案】
【解析】解：法一：由，根据两角和的余弦公式可得，
，
则，
将代入并整理，得，解得；
法二：因为，
又，
所以，
即，则．
又因为，所以，
则．
故选：．
其一，采用两角和的余弦公式对等式右边化简，再结合齐次化思想即可；其二，利用两角和的正弦公式将等式左侧式子进行展开化简即可．
本题主要考查了和差角公式的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：众数是频率分布直方图中最高的矩形的中点的坐标，即众数为，
设把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线横坐标为，
先求图中的值，由得，，
则，所以．
故选：．
根据众数和中位数的概念以及在频率分布直方图的表达方法即可计算求解．
本题考查众数和中位数的概念，属于基础题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查理解新定义的能力以及充要条件相关知识，属于中档题．
利用题中给出的定义，对四个选项逐一分析判断，即可得到答案．
【解答】
解：对于，，，故A不正确，
对于，，，故B不正确，
对于，若，则整数，可能属于同一类集，
比如，，则，即不正确，
对于，若，则被除所得余数为，
则整数，被除所得余数相同，故整数，属于同一“类”，故D正确，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：图中阴影部分用集合符号可以表示为：
或．
故选：．
利用韦恩图直接求解．
本题考查交集、并集的运算，考查韦恩图的性质的应用，是基础题．
11.【答案】
12.【答案】
【解析】不等式在内恒成立，等价于在内恒成立，
当时，在内，，，
不成立；
当时，作出函数与的图像，
由图可得，要使在内恒成立，
必须满足，
解得，
实数的取值范围是．
故答案为：．
不等式在内恒成立，等价于在内恒成立，分和两种情况，数形结合，求解即可．
本题考查函数恒成立问题，考查学生的计算能力，属于中档题．
13.【答案】且答案不唯一
【解析】【分析】
本题考查充分非必要条件．
本题解题的关键是理解充分非必要条件的意义，当且时，满足要求．
【解答】
解：”的一个充分非必要条件是且，
故答案为：且，答案不唯一．
14.【答案】
【解析】解：根据，可得；
，
根据，
可得，，
时，，
由，可得，或，
由，可得，
与矛盾；
时，，
由，可得，或，
由，可得，
解得；
时，恒成立，
即时满足题意；
当时，，
可得，使得成立，
即，使得，
因此在上有解，
可得，
解得或，
综上，可得，
即实数的取值范围是：．
故答案为：．
首先求出不等式、的解；然后分类讨论，求出时的取值范围；最后根据使得成立，推得在上有解，即，求出的取值范围，取交集即可．
本题主要考查了集合的包含关系的判断以及运用，考查了不等式的求解，考查了分类讨论的思想，属于中档题．
15.【答案】解：当时，，，
，；
若选，，
则，
又，，
，
实数的取值范围为；
若选，
则，
又，，
，
实数的取值范围为．
【解析】直接进行集合的运算即可求解；
若选，，则，从而建立不等式即可求解；
若选，则，从而建立不等式即可求解．
本题考查集合的基本运算，不等式思想，属基础题．
16.【答案】解：因为直线过焦点和点，
所以令，得，即，则，
令，得，即，
又，
所以椭圆的方程为，
联立，
解得或，
所以，，
所以
证明：由知，，
所以直线的方程为，
令，得，
所以，
，
，
因为直线的斜率为，
所以，
所以，
所以是的角平分线．
【解析】直线方程中，分别令，为，解得，，由，解得，即可得出椭圆的方程，联立直线与椭圆的方程，即可得出答案．
由知，，写出直线的方程，进而可得点坐标，推出，即可得出答案．
本题考查直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：由题意可得，，即，；
，
由，得，得，
，
，
若，即，符合题意；
若，则，得，．
综上，实数的取值范围为．
【解析】由已知列关于的等式求得值；
求函数的定义域得到，再由，分类求解得答案．
本题考查函数的定义域及其求法，考查了集合的包含关系及其应用，考查数学转化思想方法，是中档题．
18.【答案】解：解：设与直线，即平行的直线方程为，
将点代入方程得：，解得：，
设所求直线方程为
联立消得：，解得：，
直线与圆的交点为，
．

【解析】【分析】
本题考查直线方程的求法及直线被圆截得的弦长的求法，具体涉及到直线的交点坐标的求法、点到直线的距离公式的运用、圆的基本性质等基础知识，是中档题．
由平行直线斜率相等求出直线的斜率，用直线的点斜式方程求解或设直线方程为，将点代入即可求解．
利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，根据即可求解．
19.【答案】解：．
若是的充分条件，则，，等号不同时成立，解得：．
的取值范围是．
若是的必要条件，则，，等号不同时成立，解得．
的取值范围是．
【解析】若是的充分条件，则，，等号不同时成立，解得范围．
若是的必要条件，则，，等号不同时成立，解得范围．
本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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