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贵州省瓮安中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数其中，为虚数单位是纯虚数，则的模为( )
A. B. C. D.
2.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
3.在空间直角坐标系中，已知点、、，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是( )
A. B. C. D.
4.垂直于正方形所在平面，，为的中点，，，若以如图所示建立空间直角坐标系，则点坐标为( )
A. B. C. D.
5.已知，满足，则等于( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，，是上的一点，，若，则实数的值为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知函数，对，，且，都有不等式，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.东城模拟如图，在四面体中，若截面是正方形，则在下列命题中，错误的为( )
A. B. 截面
C. D. 异面直线与所成的角为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于平面向量的说法中正确的是( )
A. 已知，，若与垂直，则
B. ，，若与共线，则
C. 若点为的重心，则
D. 平面上三点的坐标分别为，，，若点与，，三点能构成平行四边形的四个顶点，则的坐标可以是
10.已知，，，为空间的四个点，则( )
A. 若构成空间的一个基底，则，，，四点共面
B. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
C. 若与共线，则存在一个向量与构成空间的一个基底
D. 若，则是，，，四点共面的充要条件
11.下列说法，正确的是( )
A. 是，共线的充要条件
B. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
C. 对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点不共面
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点在上，，则
13.若曲线有且仅有两条过点的切线，则实数的值为______．
14.对于任意实数，直线与圆的位置关系是____．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角为锐角，记角，，所对的边分别为，，，设向量，，且．
求角的大小；
若，，求的面积．
16.本小题分
如图，直三棱柱中，，，，为中点，为上的点，且．
求证：平面；
求二面角的大小．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，，、分别为、的中点．
求证：平面；
设为上一点，且，求点到平面的距离．
18.本小题分
某手机公司对一小区居民开展个月的调查活动，使用这款人数的满意度统计数据如下：
月份
不满意的人数
求不满意人数与月份之间的回归直线方程，并预测该小区月份对这款不满意人数；
工作人员从这个月内的调查表中随机抽查人，调查是否使用这款与性别的关系，得到下表：
使用 不使用
女性
男性
根据小概率值的独立性检验，能否认为是否使用这款与性别有关？
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，，，，
参考数据：，，．
19.本小题分
已知复数满足是虚数单位．
若复数是纯虚数，求实数的值；
若复数的共轭复数为，求复数的模．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：复数是纯虚数，，，
，
则．
故选：．
利用复数的运算法则、共轭复数的定义、纯虚数的定义、模的计算公式即可得出．
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，当不为零是，无解，所以，，不共面，A错误．
因为，所以，，共面B正确．
因为，当不为零是，无解，所以，，不共面，C错误．
因为，当不为零是，无解，所以，，不共面，D错误．
故选：．
对于每一个选项验证两个向量之和跟第三个向量是否具有倍数关系即可．
本题考查空间向量共面的判断，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，，，，
则，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
故，
依次分析选项：
对于，对于向量，因为，所以此向量与不共线，不能作为平面的法向量，所以A错误，
对于，对于向量，因为，所以此向量与共线，可以作为平面的法向量，所以B正确，
对于，对于向量，因为，所以此向量与不共线，不能作为平面的法向量，所以C错误，
对于，对于向量，因为，所以此向量与不共线，不能作为平面的法向量，所以D错误．
故选：．
先求出和，然后求出平面的法向量，再逐个分析各个向量是否与法向量共线即可．
本题考查平面法向量的计算，涉及平面向量的坐标计算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设，，，，，，
，．
，，．
，，
，解得．
．
故选：．
利用向量夹角公式、数量积运算性质即可得出．
本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：，满足，
可得：，解得．
故选：．
直接利用空间向量的共线的充要条件求解即可．
本题考查空间共线向量的充要条件的应用，是基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量基本定理及线性运算，考查数学运算能力，属于基础题．
根据题意得到，结合可求得值．
【解答】
解：在中，，是上的一点，，
，
又，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：依题意，函数在上为增函数，
即，解得．
故选：．
由条件推理判断函数在上为增函数，利用分段函数的单调性建立不等式组，求解即得参数范围．
本题考查分段函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】注意、、、不一定为中点，选C项．
9.【答案】
【解析】解：对于，，，
，
与垂直，
，解得，
，故A正确，
对于，，，与共线，
则，解得，故B正确，
对于，点为的重心，
，，，
，故C正确，
对于，设点的坐标为，
当四边形为平行四边形时，
，，
，解得，
点的坐标为，
当四边形为平行四边形时，
，，且，
，解得，
故点的坐标为，
当四边形为平行四边形时，
，，且，
则，解得，
故点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或或，故D错误．
故选：．
对于，结合向量垂直的性质，以及向量模公式，即可求解，
对于，结合向量共线的性质，即可求解，
对于，结合重心的定义，以及向量的线性运算法则，即可求解，
对于，结合平行四边形的性质，以及向量相等的条件，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积公式，考查转化能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于选项A，由构成空间的一个基底，可得，，，四点不共面，故A选项错误；
对于选项B，假设不是空间的一个基底，则存在，，使得，
，与是空间的一个基底矛盾，故B选项正确；
对于选项C，与共线，对于任意非零向量，都满足共面，
故不存在一个向量与构成空间的一个基底，故C选项错误；
对于选项D，由已知可得，
，
，，，至少有一个数不为，
不妨设，则，，，，四点共面，
若，，，四点共面，则存在唯一实数对，使得，
，
，又，
，，，故，故D选项正确．
故选：．
结合基底的定义依次判断各选项即可．
本题主要考查空间向量基本定理，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的焦点三角形问题，利用余弦定理解三角形，向量的数量积的概念及其运算，属于中档题．
利用双曲线的定义以及余弦定理求出，再结合向量的加法运算以及数量积运算即可求出．
【解答】
解：由题可得，，
则由余弦定理得，
即，
联立，解得，
因为，
所以，
即
．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：设切点
由上一点，得，
又，则，
则曲线在点处的切线方程为，
把点代入，可得则，即
令，则，
当时，，单调递减；
时，，单调递增；
时，，单调递减．
则时，取得极小值，时取得极大值，
又，
当时，恒成立，时，，
又由题意得方程有个根，
则与图象有个交点，则．
故答案为：．
构造新函数，利用导数求得其单调性和极值，进而求得实数的取值．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，考查数形结合思想，是中档题．
14.【答案】相切或相交
【解析】解：把圆的方程化为标准形式得：，可知圆的半径等于，求出圆心到直线的距离，
所以直线与圆相切或相交．
故答案为相切或相交
根据圆的方程得到圆的半径，求出圆心到直线的距离与半径比较大小即可得到直线与圆的位置关系．
考查学生会用圆心到直线的距离与半径比较大小的方法判断直线与圆的位置关系，以及会利用点到直线的距离的距离公式．
15.【答案】解：，，且，
．
，，
，
则；
，，，
由余弦定理，得：，
解得：舍去或，
则．
【解析】本题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则化简已知等式，求出的值，即可确定出的度数；
利用余弦定理列出关系式，把，，的值代入求出的值，再利用三角形面积公式即可求出三角形的面积．
16.【答案】解：证明：依题意，，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
，
，，
，
平面；
由知，平面的法向量为，平面的法向量为，
，
又二面角的平面角为锐角，
二面角的大小为．
【解析】建立空间直角坐标系，证明，即可得到结论；
确定平面的法向量、平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角的余弦值．
本题考查了线面垂直的证明及求二面角的余弦值，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
17.【答案】解：证明：在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点，
，，
，即，
又是直三棱柱，平面，则，
、分别为、的中点，且，，
四边形为正方形，则，
又，平面；
由知，即，
又是直三棱柱，平面，，
则点到平面的距离即为，，
由知，，且，，
设点到平面的距离为，
则，，则，
即点到平面的距离为．
【解析】根据得，并且得出四边形为正方形，进而即可求证；
先算出点到平面的距离即为，由，可求出，设点到平面的距离为，则，进而求出点到平面的距离．
本题考查了线面垂直的证明和点到平面的距离计算，属于中档题．
18.【答案】解：由表可知，，，
所以，
，
所以不满意人数与月份之间的回归直线方程为，
当时，，
故预测该小区月份对这款不满意人数为人．
零假设：使用这款与性别无关，
，
故根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断假设不成立，即认为使用这款与性别无关．
【解析】根据表中数据和参考公式计算回归系数和，即可得回归方程，再代入，计算的值即可；
提出零假设，计算的值，并与附表中的数据对比，即可作出判断．
本题考查线性回归方程的求法，独立性检验，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：由，得．
由是纯虚数，
得，则；
，，
则复数的模等于．
【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简．
利用复数代数形式的乘除运算结合复数的基本概念求解；
直接利用商的模等于模的商求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．

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