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龙台学区2025年下期第一次学月考试九年级
数学试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
班级 姓名 总分
选择题（每题4分，共40分）
1、一元二次方程的根是 （ ）
A、 B、 C、 D、
2、在，，，中最简二次根式的个数是 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3、下列计算正确的是 （ ）
A． B． C． D．
4、下列说法正确的是 （ ）
A.方程是关于的一元二次方程.
B.方程的常数项是4.
C. 若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根.
D. 当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解.
5、用配方法解方程，下列配方正确的是 （ ）
A. B. C. D.
6、式子有意义的x的取值范围是 （　 ）
A. B. C. D.
7．“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．100（1+x）2＝121 B．100（1+x%）2＝12
C．100（1+2x）＝121 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝121
8、已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
9、若2、5、m是某三角形三边的长，则 = ( )
A、2m – 10 B、10 – 2m C、10 D、4
10、已知实数m，n满足条件 , ，则的值是 （ ）
A. B. C. 或2 D.或2
二、填空题 (共6小题，每小题4分，共24分)
11、当时，二次根式的值是______．
12、若则 。
13、已知关于x的一元二次方程的一个根是0,则a的值为 .
14、 如果，那么__________.
15、若关于x的一元二次方程kx2+3x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
16、古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶（安岳县人）都曾利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式。如果一个三角形的三边长分别是a ,b ,c , 记 ,那么三角形的面积为S = ,若
S =
三、解答题 （共8个大题，满分86分）
17.计算：(每小题4分，共8分)

18.解方程：（每小题4分，共16分）
(1). （直接开平方法） ( 2). (配方法)
(3). (4). (求根公式法)
19、先化简再求值：（满分8分）
，其中
20、(本小题满分9分）
已知关于x的方程有实数根.
（1）求m的取值范围.（4分）
（2）设方程的两根分别是，且满足，求m的值.（5分）
21、（11分）已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程 的两个实数根．
（1）求证：无论m为何值时，这个方程总有实数根。（3分）
（2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（4分）
（3）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？（4分）
22、（12分）某水果店经销一种水果，原价为每千克50元，连续两次降价后为每千克32元，已知每次降价的百分率相同。
求每次降价的百分率（4分）
若该水果店售卖的水果每千克盈利10元，每天可售出500千克，在进价不变的情况下，水果店决定采取适当的涨价措施，经市场调查发现，每千克涨价1元，日销售将减少20千克。现该水果店要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？（4分）
（3）在（2）题中“现该水果店要保证每天盈利6000元”，这6000元是商家获得的最大利润吗？请判断并说明理由。（4分）
23、(10分)阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．
∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=（m+n)2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=　　　　　　，b=　　　　　　；（4分）
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　　　+　　　=（　　　+　　　）2；（2分）
（3）若a+4=(m+n)2，且a、m、n均为正整数，求a的值？（4分）
24、（12分）如图，在直角梯形ABCD中,AD∥BC, ∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21,动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒一个单位长的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止运动.设运动的时间为t(秒).
设BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式;（3分）
当t为何值时,以A、B、Q、P四点为顶点的四边形是平行四边形.（4）
当t为何值时,以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形 （5分）
龙台九年级数学2025年下学期答案
一．选择题 1——5 BCBCB 6——10 CCABD
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11． 2 12. 5　 13.a+b+c 14. 9 15.x=2021 16. a＜3
三．解答题
17．（1）3- （2）-
18．（1），．
（2）＝1，． （3）x1=1 x2=-
19．解：（1）
，
当m1时，原式．
20．解：（1）把x＝2代入方程得到4m﹣6+2＝0，
解得m＝1，
即m的值为1；
（2）根据题意得m≠0且Δ＝（﹣3）2﹣8m≥0，
解得且m≠0，
当m=0时，此时方程为一次方程-3x+2=0有解
即m的取值范围为．
21．解：（1），整理得，解得，
∴实数m的取值范围是；
（2）由两根关系得，
∵，
∴，
整理得：
解得：（不符合要求，舍去）或，
∴．
22.解：（1）设每件童装应降价x元，
根据题意得，
，
根据题意，不合题解：∵方程有实数根，
意，应取．
答：每件童装应降价20元；
（2）设每件童装降价x元，则可盈利：
，
，
∴当时，盈利最大，最大盈利为1250元．
23解：（1）根据题意，得，
当时，解得时，
所以，当时，原式的最小值为2；
（2）由，
可知，
当时，
解的m＝3，
所以当m＝3时，原式的最小值为4；
（3）设休闲区的长为x m，则宽为，根据题意，得：
公园的面积
．
当时，
解得x＝100，
所以当x＝100时，面积最小为5760m2．
则，
所以休闲区的长为100m，宽为40m．
24．解：（1）由题意，OPt，OQ＝2t，
故答案为：t，2t；
（2）当点Q在线段OC上时，2tt（6﹣2t）×2＝30，
解得t＝6或﹣4，
t＝6或﹣4都不符合题意，舍去．
当点Q在OC的延长线上时，2tt（2t﹣6）×2＝30，
整理得t2+2t﹣36＝0，
解得t＝﹣1或﹣1（舍去），
∴t＝﹣1时，S1+S2的值为30；
（3）要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB＝90°或∠PBQ＝90°．
设移动时间为t秒．如图，作PG⊥OC于点G，
在Rt△POG中，∠POQ＝45°，
∴∠OPG＝45°．
∵OPt，
∴OG＝PG＝t，
∴点P（t，t）．
又∵Q（2t，0），B（6，2），
根据勾股定理可得：PB2＝（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2＝（6﹣2t）2+22，PQ2＝（2t﹣t）2+t2＝2t2，
①若∠PQB＝90°，则有PQ2+BQ2＝PB2，
即：2t2+[（6﹣2t）2+22]＝（6﹣t）2+（2﹣t）2，
整理得：4t2﹣8t＝0，
解得：t1＝0（舍去），t2＝2，
∴t＝2，
②若∠PBQ＝90°，则有PB2+QB2＝PQ2，
∴[（6﹣t）2+（2﹣t）2]+[（6﹣2t）2+22]＝2t2，
整理得：t2﹣10t+20＝0，
解得：t＝5±．
∴当t＝2或t＝5或t＝5时，△PQB为直角三角形．

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