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2025-2026学年江苏省南京市高三（上）9月学情调研
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是虚数单位，则复数的实部为( )
A. B. C. D.
2.有一组样本数据，，，，，，去掉和后，相较于原数据不变的是( )
A. 平均数 B. 极差 C. 方差 D. 中位数
3.已知，若集合，，则“”是“”的( )
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
5.要得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向上平移个单位长度 D. 向下平移个单位长度
6.设等比数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
7.已知点，，线段为的一条直径设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，，则( )
A. B. C. D.
8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等某星形线如图所示，已知该曲线上一点的坐标可以表示为，若，且，则( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则( )
A. B. C. D.
10.已知向量，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 在上的投影向量为 D. 的最小值为
11.已知函数，则( )
A.
B. 在上单调递减
C.
D. 在上有且仅有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知椭圆的离心率为，则实数 ______．
13.记的内角，，的对边分别为，，，若，则______．
14.已知球的半径为，，是球面上两点，过，的平面与球面的交线为圆，且，，，四点不共面若平面与平面的夹角为，则四面体体积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
袋中有个大小相同的球，其中有个黄球、个白球，从中随机地连续抽取次，每次取个球．
若每次抽取后都放回，设取到黄球的个数为，求；
若每次抽取后都不放回，设取到黄球的个数为，求的分布列和数学期望．
16.本小题分
对于数列，记，称数列为数列的差分数列．
已知，证明：的差分数列为等差数列；
已知的差分数列为，求的通项公式．
17.本小题分
如图，直三棱柱中，，分别为和的中点．
证明：平面；
若，求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且过的直线与交于，两点．
求的方程；
若，均在的右支上，且的周长为，求的方程；
是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数，其中．
当时，若直线是曲线的一条切线，求的值；
讨论的单调性；
若集合中有且仅有一个元素，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.袋中有个大小相同的球，其中有个黄球、个白球，
从中随机地连续抽取次，每次取个球，
每次抽取后都放回，设取到黄球的个数为，
则取到黄球的个数，
所以，，
所以；
每次抽取后都不放回，设取到黄球的个数为，
则取到黄球的个数的值可能为：，，，
且，，，
所以的分布列为：
所以．
16.证明：由，，
得，其中，
故，故的差分数列为等差数列；
解：由的差分数列为，
有，
故，
所以，，，
，
累加法得，
又，所以，
而也满足该式，故．
17.证明：取的中点为，连接，，
因为，，故，
由直三棱柱的性质可得，故，，
故四边形为平行四边形，故A，
而平面，平面，
故平面．
因为，故AC，故，设．
由直三棱柱可得平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故，且．
因为，故即，故舍去，
故，，又．
设平面的法向量为，
则，则，
所以，取，
故A与平面所成角的正弦值为．
18.因为，因此，
又，因此，
因此双曲线的方程为：；
因为，均在的右支上，且的周长为，
因此．
如图：
因为，设直线：，代入得：，
整理得：，
设，，
因为，均在的右支上，因此，且，因此，
，
因此，
因此，
因此，
因此直线的方程为：，即；
假设存在轴上的定点，使得为定值，
因为，，
因此
，
因为为常数，因此，
此时，
因此存在点，使得为定值．
19.因为函数，
所以，当时，，则，
当时，解得或舍，
则，可得切点，
故，解得；
由，得；
当时，定义域为，
，
令，其图象开口向上，且，故方程在必有解，
当时，，，在上单调递减，
当时，，，在上单调递增；
当时，定义域为，则恒成立，在上单调递减，
综上所述：
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减．
由可知，，
当时，在上单调递减，若集合中有且仅有一个元素，
则，即，即，
解得；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
可知，所以集合中有且仅有一个元素，
则，即，即，解得；
综上所述，的取值范围为．
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