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2025-2026学年上海市闸北区风华中学高三（上）9月段考数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.如果，那么下列式子中一定成立的是( )
A. B. C. D.
3.定义域和值域均为常数的函数和的图象如图所示，给出下列四个命题：
方程有且仅有三个解；
方程有且仅有三个解；
方程有且仅有九个解；
方程有且仅有一个解．
那么，其中正确命题的个数是( )
A. B. C. D.
4.设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，现有关于“取整函数”的两个命题：集合是单元素集：对于任意成立，则以下说法正确的是( )
A. 都是假命题 B. 是假命题，是真命题
C. 是真命题，是假命题 D. 都是真命题
二、填空题：本题共12小题，共60分。
5.不等式的解集为______．
6.若指数函数的图像经过点，则其解析式为 ______．
7.已知幂函数在上是严格减函数，则 ______．
8.若函数的对称中心是，则 ______．
9.已知函数，则______．
10.已知，则曲线在点处的切线方程是______．
11.已知函数在上时为增函数则的取值范围为______．
12.已知，，若，则满足条件的的取值范围是______．
13.若函数在上单调，则的取值范围是______．
14.已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则______．
15.如图，将一张的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则剪下的小正方形的边长为______时，这个纸盒的容积最大．
16.已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知全集，若集合，．
Ⅰ若，求集合及；
Ⅱ若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数．
求实数的值及函数的值域；
若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
年月日，为期天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见，令游客驻足欣赏；据调查，国内某公司生产的一款巴黎奥运会吉祥物的供货价格固定价格浮动价格，其中固定价格为元，浮动价格浮动价格单位：元，销售量单位：万件，假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售价不超过元时，销售量为万件：当每件吉祥物售价超过元时，售价每增加元，销售量就减小万件，总利润售价供货价格销售量；
当每件吉祥物的售价为元时，获得的总利润是多少万元？
每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元？
20.本小题分
已知函数．
当时，判断在的单调性，并用定义证明；
若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；
讨论零点的个数．
21.本小题分
已知，，是自然对数的底数．
当时，求函数的极值；
若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；
当时，若满足，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.，
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.，
14.
15.
16.
17.全集，集合或，
．
Ⅰ时，集合或，
，
集合或；
Ⅱ，
当时，，解得，成立；
当时，，解得．
综上，实数的取值范围是．
18.解：由，解得：，反之时，
，
，符合题意，故，
由，时，，
时，，
故函数的值域是；
在递增，
故，
故，
故，
令，，
则随的增大而增大，
最大值是，
故实数的取值范围是．
19.解：因为供货价格固定价格浮动价格，其中固定价格为元，浮动价格，
又当每件吉祥物售价不超过元时，销售量为万件，
所以当单价售价为元时，销售量为万件，浮动价格为元，供货价格为元，
故总利润为：万元；
当时，销售量为万件，供货价为元，
则，且，
因而，当时，单件利润为，
即单件利润最大为元；
当时，销售量为万件，
同时，，解得，且，
此时单件利润为：
，
当且仅当，即时，等号成立，
又，
所以当每件吉祥物的售价为元时，单件吉祥物的利润最大，最大为元．
20.解当时，且时，是单调递减的．
证明：设，则
又，，且，，所以
故当时，在上是单调递减的．
由得，变形为，即，
设，令，，则，易求得，可得．
由有个零点可得有两个解，变为，，有两个解令
作的图象及直线图象有两个交点，由图象可得：
当或，即或时，有个零点．
当或或时有个零点；
当或有个零点．
21.解：当时，，定义域为，
则，
令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以在处取到极小值，无极大值；
方程，
显然当时，方程不成立，则，，
若方程有两个不等实根，即与有个交点，
则，
当或时，，在区间和上单调递减，
并且时，，当时，，
当时，，严格增，时，当时，取得最小值，，
作出函数的图象，如下图所示：
与有个交点，
则，
即的取值范围为；
证明：，
令，可得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
由题意，则，，
要证，只需证，
而，且函数在上单调递减，
故只需证，
又，所以只需证，
即证，
令，
即，，
由均值不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，
所以函数在上严格增，
由，可得，即，
所以，
又函数在上严格减，
所以，
即得证．
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