资源简介

2025-2026学年上海市杨浦区复旦大学附中高三（上）月考数学试卷（三）
一、单选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是的倍数，事件：点数是下列每对事件中，不是互斥事件的为( )
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
2.若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为、、、，则直线与所成角的大小不可能为( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则关于的方程的实根个数不可能为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共12小题，共60分。
5.设全集，若集合，则 ______．
6.不等式的解集是 ．
7.已知某抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为______．
8.若圆柱的底面半径与高均为，则其侧面积为______．
9.若正数、满足，则的最小值为______．
10.设为虚数单位，若复数满足，则 ______．
11.从校高一年级学生中抽取名学生测量他们的身高，其中最大值为，最小值，绘制身高频率分布直方图，若组距为，且第一组下限为，则组数为______．
12.已知函数为奇函数，则 ______．
13.在正四面体中，点是的中心，若、、，则 ______．
14.已知、是双曲线的左右焦点，是的一条渐近线，以为圆心的圆与相切于若双曲线的离心率为，则 ______．
15.已知、、为空间中三组单位向量，且、，与夹角为，点为空间任意一点，且，满足，则最大值为______．
16.已知各项均为正整数的数列，，，满足：对任意正整数，均存在，使得若，则满足条件的数列的个数为______．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在正方体中，是的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的大小．
18.本小题分
已知函数，其中．
求证：是奇函数；
若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围．
19.本小题分
一根长为的铁棒欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽．
设，试将表示为的函数；
求的最小值，并说明此最小值的实际意义．
20.本小题分
双曲线：的左、右焦点分别为、，过点的直线与右支在轴上方交于点．
若，点的坐标为，求的值；
若，且，，是等比数列，求证：直线的斜率为定值；
设直线与左支的交点为，，当且仅当满足什么条件时，存在直线，使得成立．
21.本小题分
函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为、，且若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移．
设，，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移？
设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移；
设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：证明：连接，
由题意，是的中点，且，即，
因为平面，平面，
可得，
又，，平面，
可得平面，得证；
过作，交于，连接，
由题意，平面，
又平面，
可得以，
所以是直线与平面所成的角，
由题意，设，
则，，
所以，
所以在，，
故直线与平面所成角的大小是．
18.解：证明：由，得或，
的定义域为，关于原点对称，
又，
故是奇函数；
，且或，
由题意，可得在区间上有解，
即在区间上有解，
令，
在区间上单调递减，
，
．
19.解：走廊的宽．
，
；
．
，，为减函数；
，，为增函数；
时，取最小值，
该最小值表示：超过则无法通过．
20.解：因为，
所以双曲线的方程为，
因为点在双曲线上，
所以，
解得，
则；
证明：设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
若，
此时点横坐标为恰是方程的解，
所以，
解得，
因为，，是等比数列，
所以，
联立，
解得，
因为过点的直线与双曲线右支在轴上方交于点，
所以，
则直线的斜率为定值，定值为；
因为点在双曲线右支上，
所以，
即，
因为，
所以，
因为点为直线与双曲线左支的交点，
所以，
所以，
在中，设，
由余弦定理得，
因为，
所以，
即，
解得，
因为．
所以当且仅当时，存在直线，使得成立．
21.解：由，得到，所以，，
又，由，得到，
又当时，，当时，，
所以只有一个极值点，且极值点为，此时，
所以函数在上的极值点不偏移．
证明：因为，且，，
由，得到，或，，则，
又，，则有两根，
不妨设为，，且，，，所以，
又时，，时，，所以函数在上只有一个极值点且，
又，
所以，故函数在上的极值点右偏移．
证明：由题知，，令，得到，
当时，，当时，，所以是的极值点，
且在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，时，，时，，，
则有两个零点，不妨设为，且，所以，，
令，
则在恒成立，
所在区间上单调递增，
所以，即，
故，又，，
故，得到，即，
所以当时，函数在上的极值点左偏移．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑