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2025-2026学年河南省信阳高级中学北湖校区高三（上）9月月考
数学试卷（二）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则集合的子集个数是( )
A. B. C. D. 无数个
2.设复数，，其中，若在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
3.记为等差数列的前项和若，则( )
A. B. C. D.
4.的展开式中二项式系数的和为，则展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
5.曲线上的点到直线的最短距离是( )
A. B. C. D.
6.“”是“函数在上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.将个小球随机地投入编号为，，，的个盒子中每个盒子容纳的小球个数没有限制，记号盒子中小球的个数为，则( )
A. B. C. D.
8.已知是定义在上的增函数，且存在函数使得，若，分别是方程和的根，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是圆：上的一个动点，过原点的动直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 最大值为 D. 最小值为
10.已知定义在上的偶函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论中正确的是( )
A.
B. ，
C.
D. 方程有唯一实数解
11.已知函数，为的导数，则下列说法正确的是( )
A. 当时，恒成立
B. 当时，在区间单调递减
C. 当时，在区间上存在唯一极小值点
D. 当时，有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是______．
14.已知正方体的棱长为，正方形内部有一片区域Ⅰ，是的中点，是的中点，若对于区域Ⅰ内的任意一点，总存在线段上一点，使得平面，则区域Ⅰ的面积最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，所对的边分别为，，，已知．
若，求外接圆的半径；
若，求线段的长．
16.本小题分
近日，年江苏省城市足球联赛被球迷称为“苏超“如火如荼地进行，引发广泛关注某地区随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下列联表：
性别 不关注赛事 关注赛事
男性
女性
根据小概率值的独立性检验，能否认为关注“苏超“赛事与性别有关？
现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取名市民参加“苏超“赛事知识问答已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成相互独立求在有且仅有人顺利完成的条件下，这人性别不同的概率．
附：；
17.本小题分
如图，在边长为的等边中，点，分别在边，上，且，，连，沿将折起得到四棱锥图，使．
求证：平面平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上运动，是的重心，且点到点与到点的距离之和为．
求的方程；
设，分别为的左、右顶点，动点在直线上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为．
(ⅰ)证明：直线过定点，并求出该定点坐标；
(ⅱ)求四边形面积的最大值．
19.本小题分
已知函数
讨论函数的单调性；
若函数有两个正零点，且，
求证：；
当时，不等式恒成立，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，
所以由正弦定理得：，
所以，
由余弦定理得：，
又因为，所以，
设外接圆的半径为，
所以余弦定理得：．
因为，所以，
所以，即，
则
，
所以．
16.列联表如下：
性别 不关注赛事 关注赛事 合计
男性
女性
合计
零假设为：关注“苏超”赛事与性别无关，
则，
故依据小概率值的独立性检验，我们不能否定零假设，
即不能认为关注“苏超”赛事与性别有关；
根据分层抽样，抽取男性市民人，女性市民人，
记“有且仅有人顺利完成知识问答”为事件，“人性别不同”为事件，
则，
，
所以，
所以在有且仅有人顺利完成知识问答的条件下，人性别不同的概率为．
17.证明：在中，由余弦定理得，
，
所以，得，
如图，在中，由余弦定理得，
，
所以在图中，，得，
由，平面，平面，
得平面，又平面，
所以平面平面．
由图，可知，
所以，以点为原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则．
得，
设平面的法向量为，
则，则，
取平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，而，
则，则，
取平面的一个法向量为，
所以，
因为平面与平面夹角不超过，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18.由设，，，，
因为点到点与到点的距离之和为，
所以．
则点的轨迹是长轴长为，焦距为的椭圆，
此时椭圆的方程为，
因为点是的重心，为的中点，
所以，
则，
因为点在椭圆上，
所以，
则椭圆的方程为；
证明：由对称性可知直线经过的定点必在轴上且异于原点，
设定点为，，
当直线的斜率不为时，
设直线的方程为，，，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，
由得，，
所以直线的方程为，
直线的方程为，
因为直线与交于点，且点在直线上．
所以，
即，
所以，
整理得，
当，即直线的斜率存在且不为时，
由，
可得，
因为，
所以．
当时，上式恒成立，
所以；
当，即直线的斜率不存在时，
若，则直线的方程为，
取，
此时满足，
当直线的斜率为时，直线的方程为，
此时直线过点，
综上所述，直线过定点，且该定点的坐标为；
(ⅱ)易知直线的斜率不为，
由(ⅰ)知直线过定点，
则，
所以，
令，，
此时，
设，函数定义域为，
易知函数在上单调递增，
所以．
则，
所以．
则四边形面积的最大值为．
19.因为的定义域为，导函数，
当时，令，解得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，所以函数在上单调递增．
综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递增．
根据题意知方程有两个不同的正实根，，
根据第一问知且，解得，
因此，，
两边同时取自然对数，得，，
两式相减得，即，
证明：要证不等式，那么只需证明，
令，那么只需证明
构造，导函数，
因此在上单调递增，于是，因此不等式成立，
于是原不等式成立．
证明：结合以上分析可知当时，函数；
当时，函数；当时，，
因此要满足题意，那么方程的两根也是，，
于是，
对比系数得，
因此．
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