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平面向量及其运算
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 广西月考）已知向量，满足，，，则（　　）
A．7 B． C． D．4
2．（2025春 金安区校级期中）在△ABC中，点P是AB上一点，且P为靠近A点的三等分点，Q是BC中点，AQ与CP交点为M，又，则t＝（　　）
A． B． C． D．
3．（2025春 永安市期中）在△ABC中，“”是“△ABC为钝角三角形”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分不必要条件
4．（2025春 宁德期中）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则b＝（　　）
A． B． C． D．
5．（2025春 昭通期中）在△ABC中，A＝60°，，AC＝2，则AB＝（　　）
A．1 B． C． D．
6．（2025春 永安市期中）已知向量，若A，C，D三点共线，则k的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2025春 安康期中）已知向量（3，5），（﹣6，﹣10），则与（　　）
A．互为相等向量 B．互为相反向量
C．互为共线向量 D．均为零向量
8．（2025春 衢州期中）若，，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春 清远期中）已知平面向量（1，﹣2），（4，y），则下列结论正确的有（　　）
A．若∥，则y＝﹣8
B．若⊥，则y＝2
C．若与的夹角为锐角，则y的取值范围为
D．若y＝2，则在上的投影向量是（1，0）
（多选）10．（2025春 清远期中）已知平面向做（3，4），（7，1），则下列结论正确的是（　　）
A． B．||＝10||
C．⊥（） D．与的夹角为45°
（多选）11．（2025春 濮阳校级期中）对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称、中心对称都能给人以美感，已知△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，BC＝4，分别以AB，AC为直径作两个半圆，得到如图所示的几何图形，P是两个半圆弧上的动点，则的值可能是（　　）
A．4 B．1 C．8 D．18
（多选）12．（2025春 滨湖区校级期中）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则下列结论错误的是（　　）
A．若，b＝2，c＝3，则
B．若A＞B，则sinA＞sinB
C．若，，B＝45°，则A＝60°
D．若acosA＝bcosB，则△ABC为等腰三角形
三．填空题（共4小题）
13．（2025 福州模拟）已知向量（1，2），（k﹣1，1），若向量与垂直，则k＝ 　 　 ．
14．（2025 唐山二模）已知△ABC的面积为S，M，N分别为边AB，AC的中点，设，则P取得最大值时，cos∠BAC＝ 　 　 ．
15．（2025春 河南期中）已知向量，满足（1，x），（2，1），若2与共线，则实数x＝ 　 　 ．
16．（2025春 浙江期中）已知为平面中的单位向量，满足，若，，且，则实数λ＝ 　 　 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 山西校级期中）在面积为S的△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）若A：C＝1：3，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若b＝2，则△ABC的面积为，求a，c的值；
（3）若△ABC为锐角三角形，求sinA+sinB+sinC的取值范围．
18．（2025春 赣州期中）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝3，∠ACB，点D是边BC上一点，且∠CAD．
（1）求AD的长；
（2）求△ABD的面积．
19．（2025春 迁安市期中）如图，在梯形ABCD中，E为DC的中点，AD∥BC，，，BC＝BD＝2．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求与夹角的余弦值．
20．（2025春 金安区校级期中）在△ABC中，．
（1）若a+b＝8，△ABC的面积为，求c；
（2）若c＝4，
①求的值：
②求△ABC面积的最大值；
③求△ABC周长的取值范围．
平面向量及其运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 广西月考）已知向量，满足，，，则（　　）
A．7 B． C． D．4
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的模．
【专题】对应思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】利用平方法求解得答案．
【解答】解：由，，，
得．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查向量模的求法，是基础题．
2．（2025春 金安区校级期中）在△ABC中，点P是AB上一点，且P为靠近A点的三等分点，Q是BC中点，AQ与CP交点为M，又，则t＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量的数乘与线性运算．
【专题】计算题；方程思想；定义法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】将、向量都用、表示出来，再利用平面向量基本定理列方程组可求t的取值．
【解答】解：因为C、M、P三点共线，点Q是BC中点，
所以λ（1﹣λ）λ（1﹣λ），
又因为P是AB上靠近点A三等分点，
所以，
因为，
所以λ（1﹣λ），
所以，解得．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，考查学生逻辑推理与数学运算的能力，属于中档题．
3．（2025春 永安市期中）在△ABC中，“”是“△ABC为钝角三角形”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分不必要条件
【考点】三角形的形状判断；充分不必要条件的判断．
【专题】转化思想；转化法；解三角形；运算求解．
【答案】A
【分析】结合余弦定理，以及判断充分性，必要性，即可求解．
【解答】解：在△ABC中，“”，
则cosB0，
又B为三角形的内角，
则角B为钝角，故△ABC为钝角三角形，充分性成立，
若△ABC为钝角三角形，可能角A或角C为钝角，必要性不成立．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题．
4．（2025春 宁德期中）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则b＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】利用正弦定理解三角形．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】A
【分析】根据正弦定理，代入数据算出边b的值，可得答案．
【解答】解：由正弦定理得b．
故选：A．
【点评】本题主要考查了利用正弦定理解三角形的知识，属于基础题．
5．（2025春 昭通期中）在△ABC中，A＝60°，，AC＝2，则AB＝（　　）
A．1 B． C． D．
【考点】余弦定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】A
【分析】由余弦定理代入计算即可．
【解答】解：在△ABC中，A＝60°，，AC＝2，
设A，B，C所对的边为a，b，c，
由余弦定理可得3＝4+c2﹣2×2×c×cos60°，
化简得c2﹣2c+1＝0，
解得c＝1，即AB＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
6．（2025春 永安市期中）已知向量，若A，C，D三点共线，则k的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；三点共线．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
【解答】解：，，
若A，C，D三点共线，
则，
故2（1+k）＝10，解得k＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
7．（2025春 安康期中）已知向量（3，5），（﹣6，﹣10），则与（　　）
A．互为相等向量 B．互为相反向量
C．互为共线向量 D．均为零向量
【考点】平面向量的坐标运算．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合共线向量的定义，即可求解．
【解答】解：向量（3，5），（﹣6，﹣10），
，
则与互为共线向量．
故选：C．
【点评】本题主要考查共线向量的定义，属于基础题．
8．（2025春 衢州期中）若，，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量；数量积表示两个平面向量的夹角．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意，设与的夹角为θ，由投影向量的计算公式可得||cosθ，变形分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设与的夹角为θ，
若，且在方向上的投影向量为，
则||cosθ，则有cosθ，
又由0≤θ≤π，即θ．
故选：C．
【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春 清远期中）已知平面向量（1，﹣2），（4，y），则下列结论正确的有（　　）
A．若∥，则y＝﹣8
B．若⊥，则y＝2
C．若与的夹角为锐角，则y的取值范围为
D．若y＝2，则在上的投影向量是（1，0）
【考点】平面向量的投影向量；平面向量数量积的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由向量平行的坐标表示求得y判断A；由向量垂直的坐标表示求得y判断B；由向量夹角为锐角求得y的范围判断C；由投影向量的定义计算即可判断D．
【解答】解：对于A，因为（1，﹣2），（4，y），且，
所以1×y+2×4＝0，解得y＝﹣8，故A正确；
对于B，因为（1，﹣2），（4，y），且，
所以1×4﹣2y＝0，解得y＝2，故B正确；
对于C，设与的夹角为θ，则，
解得且y≠﹣8，故C错误；
对于D，因为y＝2，所以，所以，
所以在方向上的投影向量为（1，0），故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查平面向量的坐标运算，向量平行与垂直的坐标表示，投影向量的求解，属于基础题．
（多选）10．（2025春 清远期中）已知平面向做（3，4），（7，1），则下列结论正确的是（　　）
A． B．||＝10||
C．⊥（） D．与的夹角为45°
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个平面向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】ACD
【分析】由平面向量的坐标运算结合数量积求夹角逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：由（3，4），（7，1），
得（10，5），故A正确；
||，，故B错误；
，12+12＝0，则，故C正确；
cos，又∈[0°，180°]，
∴与的夹角为45°，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查平面向量的坐标运算，考查数量积求夹角，是基础题．
（多选）11．（2025春 濮阳校级期中）对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称、中心对称都能给人以美感，已知△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，BC＝4，分别以AB，AC为直径作两个半圆，得到如图所示的几何图形，P是两个半圆弧上的动点，则的值可能是（　　）
A．4 B．1 C．8 D．18
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示得到的取值范围，从而选出正确答案．
【解答】解：因为△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，BC＝4，
又分别以AB，AC为直径作两个半圆，且P是两个半圆弧上的动点，
所以取BC中点为O，连接OA，且建系如图：
则，
因为，所以两圆的半径均为，圆心分别是（﹣1，1）和（1，1），
所以，
所以，
所以的值可能是1，4，8，
故选：ABC．
【点评】本题考查平面向量数量积的运算，坐标法的应用，属中档题．
（多选）12．（2025春 滨湖区校级期中）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则下列结论错误的是（　　）
A．若，b＝2，c＝3，则
B．若A＞B，则sinA＞sinB
C．若，，B＝45°，则A＝60°
D．若acosA＝bcosB，则△ABC为等腰三角形
【考点】解三角形．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据正弦定理即可求解．
【解答】解：对于A，，而，A选项错误；
对于B，在△ABC中，若A＞B，则a＞b，
由正弦定理，得2RsinA＞2RsinB（R为△ABC的外接圆半径），故sinA＞sinB，B选项正确；
对于C，由正弦定理，得，
由a＞b，得A＝60°或A＝120℃选项错误；
对于D，若acosA＝bcosB，由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，得2A＝2B或2A＝π﹣2B，
故A＝B或，△ABC为等腰三角形或直角三角形，D选项错误．
故选：ACD．
【点评】本题考查了正弦定理，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025 福州模拟）已知向量（1，2），（k﹣1，1），若向量与垂直，则k＝ 　﹣1　 ．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】﹣1．
【分析】结合向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：向量（1，2），（k﹣1，1），向量与垂直，
则，解得k＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
14．（2025 唐山二模）已知△ABC的面积为S，M，N分别为边AB，AC的中点，设，则P取得最大值时，cos∠BAC＝ 　　 ．
【考点】解三角形．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】．
【分析】由M，N为中点，可得BN，CM的向量表示，并求出BN2，CM2的表达式，再求出面积的表达式，可得函数P的表达式，换元，求导可得P取到最大值时cosA的值．
【解答】解：由题意如图所示：
因为M，N分别为边AB，AC的中点，可得，
所以222 22﹣|| ||cosA，
同理可得222 22﹣|| ||cosA，
因为|| ||＝|| ||，22，
所以22（22）﹣2|| ||cosA，
即BN2+CM2（AB2+AC2）﹣2AB ACcosA（c2+b2）﹣2bccosA，
S△ABCAB ACsinAcbsinA，
所以P，当且仅当b＝c时取等号，
设f（A），则f'（A），
令f'（A）＝0，可得cosA，
当cosA时，f'（A）＜0，
当cosA时，f'（A）＞0，
可得cosA时，f（A）最大，即此时P最大，
故答案为：．
【点评】本题考查用向量的方法表示中线的平方，换元，求导的方法求函数的最大值，属于中档题．
15．（2025春 河南期中）已知向量，满足（1，x），（2，1），若2与共线，则实数x＝ 　　 ．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】利用向量线性运算的坐标表示，结合向量共线坐标条件列式计算即得．
【解答】解：由题意可知，，
由与共线，得2（x﹣2）＝﹣3，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
16．（2025春 浙江期中）已知为平面中的单位向量，满足，若，，且，则实数λ＝ 　　 ．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：若，，且，
则，解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 山西校级期中）在面积为S的△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）若A：C＝1：3，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若b＝2，则△ABC的面积为，求a，c的值；
（3）若△ABC为锐角三角形，求sinA+sinB+sinC的取值范围．
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】整体思想；解题方法；解三角形；运算求解．
【答案】（1）直角三角形，理由见解析；
（2）a＝c＝2；
（3）．
【分析】（1）利用面积公式和正弦定理，余弦定理可求答案；
（2）利用面积公式和余弦定理可求答案；
（3）先化简目标式，结合角的范围可得答案．
【解答】解：（1）因为，
由正弦定理可得：，
在△ABC中，因为sinA＞0，整理可得b2+ac＝a2+c2，即a2+c2﹣b2＝ac，
由余弦定理可得cosB，
又因为0＜B＜π，所以；
若A：C＝1：3，即C＝3A，且A+B+C＝π，
可得，，
所以△ABC为直角三角形；
（2）因为，则，
解得ac＝4，
由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，
即4＝（a+c）2﹣8﹣4，可得a+c＝4，
所以a＝c＝2；
（3）因为sinA+sinB+sinC＝sinAsin（A）
＝sinAcosAsinA
，
因为，且三角形是锐角三角形，
则，解得，
则，可得，
所以sinA+sinB+sinC的取值范围为．
【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，锐角三角形的性质的应用，属于中档题．
18．（2025春 赣州期中）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝3，∠ACB，点D是边BC上一点，且∠CAD．
（1）求AD的长；
（2）求△ABD的面积．
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】方程思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】（1）6；（2）．
【分析】（1）在△ACD中，运用正弦定理，可得所求值；
（2）在△ABD中，运用余弦定理和面积公式，可得所求值．
【解答】解：（1）△ABC中，AB＝3，AC＝3，∠ACB，
点D是边BC上一点，且∠CAD，
可得∠ADC＝π，
在△ACD中，由正弦定理可得，
即有AD6；
（2）在△ABD中，∠ADB＝π，
由余弦定理可得AB2＝AD2+BD2﹣2AD BD cos，
即为63＝36+BD2+6BD，
解得BD＝3（负的舍去），
则△ABD的面积为AD BD sin6×3．
【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
19．（2025春 迁安市期中）如图，在梯形ABCD中，E为DC的中点，AD∥BC，，，BC＝BD＝2．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求与夹角的余弦值．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（Ⅰ）2；
（Ⅱ）0；
（Ⅲ）．
【分析】（Ⅰ）先结合题意建立平面直角坐标系，然后求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算求解即可；
（Ⅱ）结合平面向量数量积的坐标运算求解即可；
（Ⅲ）由平面向量数量积的坐标运算，结合与夹角的余弦值为求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）已知在梯形ABCD中，E为DC的中点，AD∥BC，，，BC＝BD＝2，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则A（0，0），D（1，0），B（0，），C（2，），E（，），
则；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）由（Ⅰ）可得，，
则，，，
则与夹角的余弦值为．
【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了平面向量的夹角的求法，属基础题．
20．（2025春 金安区校级期中）在△ABC中，．
（1）若a+b＝8，△ABC的面积为，求c；
（2）若c＝4，
①求的值：
②求△ABC面积的最大值；
③求△ABC周长的取值范围．
【考点】解三角形．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）①；②；③（8，12]．
【分析】（1）由余弦定理得a2+b2﹣c2＝ab，应用余弦定理有，进而有，再由面积公式得ab＝12，结合已知即可求边长；
（2）①应用正弦定理有，结合合比性质即可得；
②③应用基本不等式求ab，a+b的范围，即可得面积最值和周长范围．
【解答】解：（1）因为，
所以，
所以a2+b2﹣c2＝ab，则c2＝（a+b）2﹣3ab，
所以由余弦定理得：，
所以，
又因为，解得ab＝12，
因为a+b＝8，且c2＝（a+b）2﹣3ab，所以；
（2）①由（1）知，，
则由正弦定理有：，
所以；
②由c2＝a2+b2﹣ab＝16≥ab，当且仅当a＝b＝4时取等号，
所以，
所以△ABC面积最大值为；
③由，
所以c＝4＜a+b≤8，当且仅当a＝b＝4时取等号，
所以△ABC周长a+b+c∈（8，12]．
【点评】本题考查利用正、余弦定理和三角形的面积公式解三角形，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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