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三角函数
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 安徽期中）函数的最小正周期为（　　）
A．π B．2π C．1 D．2
2．（2025春 安康期中）已知4tanθ﹣1＝0，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025春 广陵区校级期中）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则cosα＝（　　）
A． B． C． D．
4．（2025 朝阳区一模）已知sinα+sinβ＝0，cosα+cosβ，则cos（α﹣β）＝（　　）
A． B． C． D．1
5．（2025春 阆中市校级期中）为了得到函数的图象，只要把函数y＝2sin3x图象上所有的点（　　）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
6．（2025春 清远期中）将函数f（x）＝sinx图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把所得图象的所有点向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象．若g（x）在（π，2π）上没有零点，则ω的取值范围是（　　）
A．（0，1] B．
C． D．
7．（2025春 安徽期中）已知0＜β＜α，sin（α﹣β），tanαtanβ＝2，则cos（α+β）＝（　　）
A． B． C． D．
8．（2025春 驻马店期中）若实数x，y满足，则sin（x+y）＝（　　）
A． B．﹣1 C．±1 D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 渝中区校级模拟）已知函数，则下列说法正确的有（　　）
A．是f（x）图象的一个对称中心
B．是g（x）图象的一条对称轴
C．f（x）的周期也是g（x）的周期
D．g（x）图象可以由f（x）图象向右平移个单位得到
（多选）10．（2025 内江三模）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图，将曲线y＝f（x）向右平移个单位长度，再将得到的曲线上的所有点横坐标变为原来的倍，得到函数g（x）的图象，则（　　）
A．直线是函数g（x）图象的一条对称轴
B．直线是函数g（x）图象的一条对称轴
C．点是函数g（x）图象的一个对称中心
D．函数g（x）在区间上单调递减
（多选）11．（2025春 安徽期中）（　　）
A． B．
C． D．
（多选）12．（2025春 萍乡期中）若0≤x≤π，则满足不等式cos2x＞sin2x成立的x的集合有（　　）
A． B． C． D．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 顺庆区校级期中）若，，则sinθ+cosθ＝ 　 　 ．
14．（2025春 宁德期中）函数的最小正周期为 　 　 ，定义域为 　 　 ．
15．（2025春 长宁区校级期中）函数f（x）＝tan（4﹣2x）的最小正周期为 　 　 ．
16．（2025春 顺庆区校级期中）函数f（x）＝tan2x，x∈[0，]的值域是 　 　 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 闵行区校级期中）已知．
（1）将f（x）化成；
（2）求函数y＝f（x）在区间上的单调减区间；
（3）将函数y＝f（x）的图像向右移动个单位，再将所得图像的上各点的横坐标缩短到原来的a（0＜a＜1）倍得到y＝g（x）的图像，若y＝g（x）在区间[﹣1，1]上至少有100个最大值，求实数a的取值范围．
18．（2025春 浙江期中）已知函数，x∈R．
（1）求f（x）的单调递增区间．
（2）若f（x）的图象向右平移个长度单位后得到g（x）图象，求g（x）在上的值域．
19．（2025春 安徽期中）已知，且．
（Ⅰ）求tanα；
（Ⅱ）若，且，求2α+β．
20．（2025春 衢州期中）已知函数f（x）＝asinxcosx﹣bcos2x+1．
（1）如果a＝b＝2，求函数f（x）的最小正周期与增区间；
（2）如果a＝4，b＝2，当x＝x0时，函数f（x）取得最大值，求tanx0的值．
三角函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 安徽期中）函数的最小正周期为（　　）
A．π B．2π C．1 D．2
【考点】三角函数的周期性．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】D
【分析】由正弦型函数的周期公式计算即得．
【解答】解：由题意可得f（x）的最小正周期．
故选：D．
【点评】本题考查了正弦型函数的周期公式的应用，属于基础题．
2．（2025春 安康期中）已知4tanθ﹣1＝0，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】同角正弦、余弦的商为正切．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】D
【分析】由已知结合同角基本关系即可求解．
【解答】解：因为4tanθ﹣1＝0，
则．
故选：D．
【点评】本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
3．（2025春 广陵区校级期中）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则cosα＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】二倍角的三角函数；同角三角函数间的基本关系．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】B
【分析】由已知结合二倍角公式进行化简即可求解．
【解答】解：因为α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝6cos2α﹣8cosα﹣3＝5，
整理得3cos2α﹣4cosα﹣4＝0，
则cosα．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题．
4．（2025 朝阳区一模）已知sinα+sinβ＝0，cosα+cosβ，则cos（α﹣β）＝（　　）
A． B． C． D．1
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】B
【分析】将已知两个等式两边平方相加，由同角三角函数的平方关系及两角差的余弦公式计算即可得解．
【解答】解：因为sinα+sinβ＝0，cosα+cosβ，
所以（sinα+sinβ）2＝0，（cosα+cosβ）2＝3，
即sin2α+sin2β+2sinαsinβ＝0，cos2α+cos2β+2cosαcosβ＝3，
两式相加可得（sin2α+cos2α）+（sin2β+cos2β）+2（cosαcosβ+sinαsinβ）＝3，
即1+1+2cos（α﹣β）＝3，解得cos（α﹣β）．
故选：B．
【点评】本题主要考查同角三角函数的平方关系及两角差的余弦公式，考查运算求解能力，属于基础题．
5．（2025春 阆中市校级期中）为了得到函数的图象，只要把函数y＝2sin3x图象上所有的点（　　）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】综合法；三角函数的图象与性质；能力层次；运算求解．
【答案】C
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【解答】解：把函数y＝2sin3x图象上的所有点向左平移个单位长度即可得到的图象．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正弦函数图象的平移变换，属于基础题．
6．（2025春 清远期中）将函数f（x）＝sinx图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把所得图象的所有点向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象．若g（x）在（π，2π）上没有零点，则ω的取值范围是（　　）
A．（0，1] B．
C． D．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】D
【分析】结合函数图象的伸缩变换及平移变换求出g（x），然后结合正弦函数零点存在条件即可求解．
【解答】解：将函数f（x）＝sinx图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得y＝sinωx，
再把所得图象的所有点向左平移个单位长度，得到函数g（x）＝sin（），的图象，
若g（x）在（π，2π）上没有零点，则，
所以0＜ω≤1，
因为0＜x＜π，所以，
当g（x）在（π，2π）上没有零点时，或，
解得或，
故ω的范围为{ω|或}．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数图象的伸缩及平移变换，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
7．（2025春 安徽期中）已知0＜β＜α，sin（α﹣β），tanαtanβ＝2，则cos（α+β）＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】先根据同角三角函数关系得出，再结合切化弦计算两角和余弦值即可．
【解答】解：由题意，故，且，
所以，，
又因为，所以，
则．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
8．（2025春 驻马店期中）若实数x，y满足，则sin（x+y）＝（　　）
A． B．﹣1 C．±1 D．
【考点】求二倍角的三角函数值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】根据正余弦函数的最值结合可得，从而可求出x，y，进而可得出答案．
【解答】解：由三角函数的值域可知cos2y≤1，sinx≥﹣1，所以sinx+3≥2，
实数x，y满足，
所以，
当且仅当时取等号，此时，
所以，k∈Z，
所以sin（x+y）＝±1．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 渝中区校级模拟）已知函数，则下列说法正确的有（　　）
A．是f（x）图象的一个对称中心
B．是g（x）图象的一条对称轴
C．f（x）的周期也是g（x）的周期
D．g（x）图象可以由f（x）图象向右平移个单位得到
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】AC
【分析】由已知结合正弦函数及余弦函数性质的应用，检验各选项即可判断．
【解答】解：因为，
则f（）＝sin0＝0，即（，0）是函数f（x）的一个对称中心，A正确；
g（）＝cos（2），不是函数的最值，即x不是g（x）的对称轴，B错误；
f（x）与g（x）的周期都为π，C正确；
f（x）图象向右平移个单位可得y＝sin2x≠g（x），D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于基础题．
（多选）10．（2025 内江三模）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图，将曲线y＝f（x）向右平移个单位长度，再将得到的曲线上的所有点横坐标变为原来的倍，得到函数g（x）的图象，则（　　）
A．直线是函数g（x）图象的一条对称轴
B．直线是函数g（x）图象的一条对称轴
C．点是函数g（x）图象的一个对称中心
D．函数g（x）在区间上单调递减
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】ACD
【分析】由最值求解A，结合对称性及五点作图求出ω，φ，进而可求f（x），然后结合函数图象的平移变换及伸缩变换求出g（x），再由正弦函数的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：由图象可得，A＝2，
因为f（0）＝f（）＝f（），
所以函数的相邻对称轴分别为x，x，
则T＝2（），ω＝3，
由五点作图可得，3φ，则，f（x）＝2sin（3x），
y＝f（x）向右平移个单位长度，再将得到的曲线上的所有点横坐标变为原来的倍，得到函数g（x）＝2sin（2x），
因为2，此时g（x）取得最小值，即x为函数的对称轴，A正确；
因为2，此时g（x）不是最值点，即x不是函数的对称轴，B错误；
因为g（）＝2sin（2）＝0，即是函数g（x）对称中心，C正确；
当时，，此时g（x）单调递减，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了正弦函数图象的变换及正弦函数性质的应用，属于中档题．
（多选）11．（2025春 安徽期中）（　　）
A． B．
C． D．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】对应思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】BD
【分析】运用诱导公式对选项逐一化简求解即可．
【解答】解：选项A，sin（α）＝sin[（α）]＝cos（α），故选项A错误；
选项B，，故选项B正确；
选项C，，故选项C错误；
选项D，，故选项D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查诱导公式的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
（多选）12．（2025春 萍乡期中）若0≤x≤π，则满足不等式cos2x＞sin2x成立的x的集合有（　　）
A． B． C． D．
【考点】余弦函数的图象；正弦函数的图象．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】AD
【分析】题意等价于解cos（2x）＞0，由x的范围，得到2x整体的范围，根据余弦函数的取值情况解出不等式．
【解答】解：cos2x＞sin2x，即cos2x﹣sin2x＞0，即cos（2x）＞0，
因为0≤x≤π，所以2x∈[，]，
当2x∈[，）∪（，]时，
即x∈[0，）∪（，π]时，cos（2x）＞0，即cos2x﹣sin2x＞0．
故选：AD．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和解三角不等式，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 顺庆区校级期中）若，，则sinθ+cosθ＝ 　　 ．
【考点】二倍角的三角函数的逆用．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】．
【分析】结合同角基本关系及二倍角公式即可求解．
【解答】解：若，，则sinθ+cosθ＞0，
因为（sinθ+cosθ）2＝1+2sinθcosθ＝1+sin2θ，
故sinθ+cosθ．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了同角基本关系及二倍角公式的应用，属于基础题．
14．（2025春 宁德期中）函数的最小正周期为 　5π　 ，定义域为 　　 ．
【考点】正切函数的单调性和周期性；正切函数的定义域和值域．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】5π；．
【分析】根据正切函数周期公式及定义域计算求解．
【解答】解：函数的最小正周期T＝5π．
由，k∈Z，得，k∈Z，
则函数的定义域为．
故答案为：5π；．
【点评】本题主要考查了正切函数性质的应用，属于基础题．
15．（2025春 长宁区校级期中）函数f（x）＝tan（4﹣2x）的最小正周期为 　　 ．
【考点】正切函数的单调性和周期性．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】．
【分析】结合正切函数的周期公式即可求解．
【解答】解：根据正切函数的性质可知，T．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正切函数性质的应用，属于基础题．
16．（2025春 顺庆区校级期中）函数f（x）＝tan2x，x∈[0，]的值域是 　[0，]　 ．
【考点】正切函数的图象．
【专题】函数思想；定义法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】[0，]．
【分析】根据正切函数的单调性，求解即可．
【解答】解：x∈[0，]时，2x∈[0，]，
根据正切函数的单调性知，tan2x∈[0，]，
所以f（x）的值域是[0，]．
故答案为：[0，]．
【点评】本题考查了正切函数的单调性应用问题，是基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 闵行区校级期中）已知．
（1）将f（x）化成；
（2）求函数y＝f（x）在区间上的单调减区间；
（3）将函数y＝f（x）的图像向右移动个单位，再将所得图像的上各点的横坐标缩短到原来的a（0＜a＜1）倍得到y＝g（x）的图像，若y＝g（x）在区间[﹣1，1]上至少有100个最大值，求实数a的取值范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）f（x）＝2sin（2x）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据两角和的正弦公式与二倍角公式进行化简，可得f（x）＝2sin（2x）；
（2）根据正弦函数的单调性求出f（x）在R上的减区间，然后将所得区间与取交集，即可得到f（x）在区间上的单调减区间；
（3）根据函数图象的变换公式算出g（x）＝2sin，然后根据g（x）在区间[﹣1，1]上至少有100个最大值，运用正弦函数的性质建立关于a的不等式，解之即可得到本题的答案．
【解答】解：（1）由题意得f（x）＝sin2x（2cos2x﹣1）＝sin2xcos2x＝2sin（2x）．
（2）对于，令（k∈Z），解得（k∈Z），
可得y＝f（x）在R上的单调减区间为[kπ，kπ]（k∈Z），
取k＝0，将得到的单调减区间与取交集，可得，
所以函数y＝f（x）在区间上的单调减区间为．
（3）将函数f（x）的图像向右移动个单位，可得y＝2sin2x的图像．
再将所得图像的上各点的横坐标缩短到原来的a（0＜a＜1）倍，可得到的图像，
根据当100π时，g（x）在区间[﹣1，1]上正好有100个最大值，
可知：若y＝g（x）在区间[﹣1，1]上至少有100个最大值，
则100π，解得，故实数a的取值范围为．
【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式、函数图象的变换公式、正弦函数的图象与性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
18．（2025春 浙江期中）已知函数，x∈R．
（1）求f（x）的单调递增区间．
（2）若f（x）的图象向右平移个长度单位后得到g（x）图象，求g（x）在上的值域．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）[kπ，kπ]，k∈Z；
（2）[，1]．
【分析】（1）利用三角函数恒等变换可求函数的解析式，进一步利用函数的性质即可求解；
（2）利用函数图象的平移变换求出函数g（x）的解析式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．
【解答】解：（1）因为2cosx（sinxcosx）sinxcosxcos2xsin2xcos2xsin（2x），
令2kπ2x2kπ，k∈Z，解得kπx≤kπ，k∈Z，
所以f（x）的单调递增区间为[kπ，kπ]，k∈Z；
（2）由题意可得g（x）＝f（x）＝sin[2（x）]sin（2x），
由于x∈，可得2x∈[，]，
所以sin（2x）∈[，1]，
可得g（x）＝sin（2x）∈[，1]．
【点评】本题考查的知识点：函数的解析式的求法，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
19．（2025春 安徽期中）已知，且．
（Ⅰ）求tanα；
（Ⅱ）若，且，求2α+β．
【考点】求两角和与差的三角函数值；求二倍角的三角函数值．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】（Ⅰ）．
（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）结合二倍角公式及同角基本关系即可求解；
（2）结合二倍角公式及同角基本关系即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）因为，
整理得3tan2α﹣10tanα+3＝0，解得tanα＝3或，
因为，所以0＜tanα＜1，所以．
（Ⅱ）由（I）知，
所以，
因为，，
所以2α+β∈（0，π），所以2α+β．
【点评】本题主要考查了二倍角公式的应用，属于中档题．
20．（2025春 衢州期中）已知函数f（x）＝asinxcosx﹣bcos2x+1．
（1）如果a＝b＝2，求函数f（x）的最小正周期与增区间；
（2）如果a＝4，b＝2，当x＝x0时，函数f（x）取得最大值，求tanx0的值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）π，，k∈Z；
（2）．
【分析】（1）由题意利用三角函数恒等变换的应用可求f（x），进而利用正弦函数的性质即可求解；
（2）当a＝4，b＝2时，利用三角函数恒等变换的应用可求f（x），其中tanφ＝2，利用正弦函数的性质以及二倍角公式即可求解．
【解答】解：（1）当a＝b＝2时，f（x）＝2sinxcosx﹣2cos2x+1
＝sin2x﹣cos2x
，
故函数f（x）的最小正周期Tπ，
由，k∈Z，可得，k∈Z，
故函数f（x）的增区间为，k∈Z；
（2）当a＝4，b＝2时，
可得f（x）＝4sinxcosx﹣（2cos2x﹣1）
＝2sin2x﹣cos2x
，其中，，tanφ＝2，
当，即时，f（x）取得最大值，
所以，，
所以．
【点评】本题考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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