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双曲线
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 顺庆区校级期中）设双曲线，的离心率分别为e1，e2，若e2＝2e1，则双曲线C1的渐近线方程为（　　）
A．y＝±2x B．y＝±x C． D．
2．（2025春 桂平市期中）已知F1，F2分别是双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是C上一点，且|PF2|＝3|PF1|，cos∠PF1F2，则C的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．
3．（2025春 湖南期中）已知直线是双曲线C：的一条渐近线，则C的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
4．（2025春 杏花岭区校级期中）双曲线其中a∈{1，2，3，4}，b∈{1，2，3，4}，且a，b取到其中每个数都是等可能的，则直线l：y＝x：与双曲线C左右支各有一个交点的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025 内江三模）已知双曲线的焦距为，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025 广东模拟）从双曲线上一点M向该双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为A，B，已知|MA|+|MB|＝2，则|AB|＝（　　）
A． B． C． D．
7．（2025春 盐城校级期中）已知双曲线．若直线3x+2y＝0与C有公共点，则C的离心率的范围为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025 渝中区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知双曲线0，b＞0）的左焦点为F，左、右顶点分别为A1、A2，P点为双曲线左支上一点且满足PF⊥x轴，点M为线段PF上一点，直线MA1交y轴于点E，直线MA2交y轴于点G，若，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．3
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春 大祥区校级期中）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P为双曲线C右支上的动点，则（　　）
A．若F2到渐近线的距离为1，则
B．当点P异于顶点时，△PF1F2的内切圆的圆心总在定直线上
C．若∠F1PF2＝90°，则点P的纵坐标为±
D．过点P作双曲线的切线交渐近线于A，B两点，若，则曲线的渐近线方程为
（多选）10．（2025春 安康期中）设双曲线C：的左，右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝4．A，B为C上关于原点中心对称的两点，则（　　）
A．C的实轴长为
B．
C．若，则直线AB的斜率为
D．若，则BF2⊥F1F2
（多选）11．（2025 泰安模拟）已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，则下列选项正确的是（　　）
A．若a＝2，，则双曲线的任一焦点到渐近线的距离为
B．若点P在双曲线C上，则直线PF1与PF2的斜率之积为
C．以线段F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限交于点P，且|PO|＝|PF2|，则双曲线C的离心率
D．若过F2的直线l与x轴垂直且与渐近线交于A，B两点，，则双曲线C的渐近线方程为
（多选）12．（2025春 琼山区校级月考）已知一关于坐标轴对称的双曲线的渐近线的斜率的绝对值小于，则该双曲线的离心率的取值可能是（　　）
A． B． C． D．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 赣州期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点F2且斜率为的直线l与双曲线右支相交于A，B两点（点A在第一象限），且|AF1|＝|AB|，则△BF1F2的面积等于 　 　 ．
14．（2025春 新乡期中）双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线C右支上一点，且直线PF2的斜率为，△PF1F2是面积为的直角三角形，则双曲线C的实半轴长为 　 　 ．
15．（2025春 宝山区期中）若双曲线经过点P（4，3），它的一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为　 　 ．
16．（2025 揭阳模拟）记双曲线C：的离心率为e，若直线3x﹣y＝0与C有公共点，则离心率e的取值范围为 　 　 （请用区间表示）．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 湖北模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点在C上，且AF2⊥F1F2．
（1）求C的标准方程；
（2）过F2的直线交双曲线C于M，N两点（M，N两点均位于x轴下方，M在左，N在右），线段AM与线段F1N交于点R，若△F1RM的面积等于△ARN的面积，求|MN|．
18．（2025 绵阳模拟）已知双曲线C：的右焦点为F（2，0），且点F到双曲线C的渐近线的距离为1．过点P（3，0）作两条互相垂直的直线l1和l2，l1交双曲线C于A，B两点，l2交双曲线C于D，E两点，M，N分别是AB，DE的中点，直线MN过定点P1（x1，y1）；再过点P1（x1，y1）作两条互相垂直的直线l3和l4，l3交双曲线C于A1，B1两点，l4交双曲线C于D1，E1两点，M1，N1分别是A1B1，D1E1的中点，直线M1N1过定点P2（x2，y2）以这样的方式构造下去，可以得到一列定点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）求点P1的坐标；
（3）若Q（1，0），R（1，1），记△QRPn（n≥1，n∈N*）的面积为Sn，证明：．
19．（2025 淮北模拟）已知双曲线E：1（a，b＞0）经过点，A，B为其左，右顶点，且PA与PB的斜率之积为．
（Ⅰ）求双曲线E的方程；
（Ⅱ）点M为实轴上一点，直线PM交E于另一点Q，记△APM的面积为S1，△BMQ的面积为S2，若S1﹣S2，求Q点坐标．
20．（2025 广州模拟）已知双曲线C：的右焦点F（2，0）到C的一条渐近线的距离为．
（1）求C的方程；
（2）设点P在C的右支上，过点P作圆O：的两条切线，一条与C的左支交于点M，另一条与C的右支交于点N（异于点P）．
（i）证明：OM⊥OP；
（ii）当△PMN的面积最小时，求直线PM和直线PN的方程．
双曲线
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 顺庆区校级期中）设双曲线，的离心率分别为e1，e2，若e2＝2e1，则双曲线C1的渐近线方程为（　　）
A．y＝±2x B．y＝±x C． D．
【考点】求双曲线的渐近线方程．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】根据C2方程可求出e2，根据e2＝2e1，可求得e1，从而求得双曲线C1方程中的a和渐近线方程．
【解答】解：由已知，e2，所以e1，
即，解得a＝2，所以双曲线C1的渐近线方程为y＝±x．
故选：C．
【点评】本题主要考查求双曲线的渐近线方程，属于基础题．
2．（2025春 桂平市期中）已知F1，F2分别是双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是C上一点，且|PF2|＝3|PF1|，cos∠PF1F2，则C的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义和|PF2|＝3|PF1|，解得|PF1|＝a，|PF2|＝3a，在△PF1F2中，利用余弦定理可得离心率．
【解答】解：由已知，|PF2|＝3|PF1|，|PF2|﹣|PF1|＝3|PF1|﹣|PF1|＝2|PF1|＝2a，
所以|PF1|＝a，|PF2|＝3a，
则在△PF1F2中，cos∠PF1F2，
整理得6c2﹣ac﹣12a2＝0，即6e2﹣e﹣12＝0，解得e（负根舍去）．
故选：C．
【点评】本题主要考查求双曲线的离心率，属于中档题．
3．（2025春 湖南期中）已知直线是双曲线C：的一条渐近线，则C的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
【考点】双曲线的离心率；由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】利用双曲线的渐近线方程，综合求解离心率即可．
【解答】解：直线是双曲线C：的一条渐近线，
可得，
所以e．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．
4．（2025春 杏花岭区校级期中）双曲线其中a∈{1，2，3，4}，b∈{1，2，3，4}，且a，b取到其中每个数都是等可能的，则直线l：y＝x：与双曲线C左右支各有一个交点的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；概率与统计．
【答案】B
【分析】求得双曲线的渐近线方程可得斜率，由题意可得b＞a，求得基本事件的总数和满足条件的基本事件个数，即可得到所求概率．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为y＝±x，
直线l：y＝x与双曲线C左右支各有一个交点，
则1，总基本事件数为16，
满足条件的基本事件数为6，概率为，
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查古典概率的求法，注意运用渐近线的斜率大于1，考查运算能力，属于基础题．
5．（2025 内江三模）已知双曲线的焦距为，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】由已知可得c与b，结合a、b、c的关系求解a，再由双曲线的离心率公式求解即可．
【解答】解：因为双曲线的焦距为，即2c，
所以c，
又b＝1，
所以a2，
所以双曲线的离心率为e．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的性质，是基础题．
6．（2025 广东模拟）从双曲线上一点M向该双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为A，B，已知|MA|+|MB|＝2，则|AB|＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的弦及弦长．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】由双曲线的性质，结合余弦定理求解即可．
【解答】解：从双曲线上一点M向该双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为A，B，
则双曲线的两条渐近线方程为，
不妨设M（x0，y0），且M在第一象限，
则，，
又|MA|+|MB|＝2，
则，
又，
则，
则，，
又在四边形AMBO中可得：，
在△AMB中，结合余弦定理可得：，
则|AB|．
故选：A．
【点评】本题考查了双曲线的性质，重点考查了余弦定理，属中档题．
7．（2025春 盐城校级期中）已知双曲线．若直线3x+2y＝0与C有公共点，则C的离心率的范围为（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线与双曲线的位置关系及公共点个数．
【专题】数形结合；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】由直线斜率与双曲线渐近线斜率关系结合离心率的齐次式即可求解．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为，
因为直线3x+2y＝0与双曲线有公共点，故有，即，
所以e，
所以C的离心率的范围为．
故选：D．
【点评】本题主要考查直线与双曲线的位置关系以及求双曲线离心率的取值范围，属于中档题．
8．（2025 渝中区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知双曲线0，b＞0）的左焦点为F，左、右顶点分别为A1、A2，P点为双曲线左支上一点且满足PF⊥x轴，点M为线段PF上一点，直线MA1交y轴于点E，直线MA2交y轴于点G，若，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．3
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】根据图形，可得△MA1F∽△EA1O，以及△MA2F∽△GA2O，则可得，再由，可解得离心率．
【解答】解：由已知得，△MA1F∽△EA1O，所以，
同理，△MA2F∽△GA2O，所以，
所以，因为，所以c+a＝3（c﹣a），得2c＝4a，故离心率e2．
故选：C．
【点评】本题主要考查求双曲线的离心率，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春 大祥区校级期中）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P为双曲线C右支上的动点，则（　　）
A．若F2到渐近线的距离为1，则
B．当点P异于顶点时，△PF1F2的内切圆的圆心总在定直线上
C．若∠F1PF2＝90°，则点P的纵坐标为±
D．过点P作双曲线的切线交渐近线于A，B两点，若，则曲线的渐近线方程为
【考点】双曲线的其他性质；双曲线的焦点三角形；求双曲线的渐近线方程．
【专题】数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由题干知，a，根据双曲线的焦点到渐近线的距离为b可判断A；根据内切圆的性质以及双曲线的定义可判断B；根据点P在双曲线上以及互相垂直的直线斜率之积为﹣1可判断C；写出双曲线过点P的切线方程，与两渐近线联立，可得A、B坐标，进而表示出S△AOB，可求出b，得到渐近线方程，判断D．
【解答】解：由已知，a，
对于A，若F2到渐近线的距离为1，由双曲线的性质知，b＝1，所以c，故A正确；
对于B，如图，
设内切圆与PF1切于点M，与PF2切于点N，与F1F2切于点Q，
则由内切圆的性质，知PM＝PN，F1M＝F1Q，F2N＝F2Q，
由双曲线的定义，PF1﹣PF2＝2a，即F1M﹣F2N＝2a，即F1Q﹣F2Q＝2a，
因为F1Q+F2Q＝2c，所以F1Q＝a+c，F2Q＝c﹣a，则Q（a，0），
即△PF1F2的内切圆的圆心总在定直线上，故B正确；
对于C，设P（x，y），若∠F1PF2＝90°，则1，
即1，得y2＝c2﹣x2，
因为点P在双曲线上，所以x2，
则y2＝c2，整理得y2，所以y＝±，故C错误；
对于D，设P（m，n），则双曲线过点P的切线方程为1①，
双曲线的两条渐近线方程分别为y②，y③，
联立①②，得点A（，），
联立①③，得点B（，），
双曲线过点P的切线与x轴交于点（，0），
所以S△AOB||||，
因为P（m，n）在双曲线上，所以b2m2﹣2n2＝2b2，所以S△AOBb，b，
所以双曲线的渐近线方程为，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查双曲线的性质、双曲线与直线的综合，属于中档题．
（多选）10．（2025春 安康期中）设双曲线C：的左，右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝4．A，B为C上关于原点中心对称的两点，则（　　）
A．C的实轴长为
B．
C．若，则直线AB的斜率为
D．若，则BF2⊥F1F2
【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的焦点弦及焦半径；双曲线的几何特征．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由题意，结合a，b，c之间的关系即可判断选项A；利用对称性得出|AF1|＝|BF2|，再结合双曲线的定义即可判断选项B；利用即可求出点B坐标，再计算直线OB的斜率即可判断选项C；根据并结合双曲线的定义可得|F1A|，|F2A|，再利用勾股定理即可判断选项D．
【解答】解：设c为双曲线C的半焦距，
此时2，
因为a2＝c2﹣2＝2，
所以，
则C的实轴长2a，故选项A正确；
因为A，B关于原点中心对称，F1，F2关于原点中心对称，
所以四边形AF1BF2为平行四边形，
所以|AF1|＝|BF2|，
则||AF1|﹣|BF1||＝||BF2|﹣|BF1||＝2a，故选项B正确；
因为，
解得|yB|＝2，
所以，
所以直线AB斜率即直线OB斜率，
因为kOB，
所以直线AB的斜率为±，故选项C错误；
因为，，
所以，，
则，
所以AF1⊥F1F2，
因为AF1∥BF2，
所以BF2⊥F1F2，故选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查双曲线的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
（多选）11．（2025 泰安模拟）已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，则下列选项正确的是（　　）
A．若a＝2，，则双曲线的任一焦点到渐近线的距离为
B．若点P在双曲线C上，则直线PF1与PF2的斜率之积为
C．以线段F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限交于点P，且|PO|＝|PF2|，则双曲线C的离心率
D．若过F2的直线l与x轴垂直且与渐近线交于A，B两点，，则双曲线C的渐近线方程为
【考点】求双曲线的渐近线方程；双曲线的几何特征；求双曲线的离心率．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】ACD
【分析】利用双曲线焦点到渐近线距离为b判断A，取特殊位置判断B，由题意求出P点坐标代入双曲线方程化简即可得出离心率判断C，利用向量的夹角公式化简即可得出 并判断D．
【解答】对于A，由双曲线的性质知，焦点到渐近线的距离为b，故A正确；
对于B，在双曲线上取顶点P（a，0）时，直线PF1与PF2的斜率之积为0，故B错误；
对于C，由题意P点在圆x2+y2＝c2上，又|PO|＝|PF2|，所以，
代入圆的方程，可得，将点代入双曲线方程，可得，
即，所以，故C正确；
对于D，直线l方程为x＝c，与渐近线相交于，，
所以，
即，化简可得，解得，
所以双曲线渐近线方程为，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程以及双曲线的几何特征，属于中档题．
（多选）12．（2025春 琼山区校级月考）已知一关于坐标轴对称的双曲线的渐近线的斜率的绝对值小于，则该双曲线的离心率的取值可能是（　　）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的离心率．
【专题】分类讨论；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】BCD
【分析】先对双曲线焦点位置分类讨论，利用渐近线斜率的性质求出的范围，进而得到离心率的范围，再逐步检验各个选项是否符合即可．
【解答】解：因为该双曲线关于坐标轴对称，所以我们对其焦点位置进行讨论，
当焦点在y轴上时，渐近线的斜率的绝对值为，
因为渐近线的斜率的绝对值小于，所以，
且a＞0，b＞0，解得，则，
得到，解得，
当焦点在x轴上时，渐近线的斜率的绝对值为，
因为渐近线的斜率的绝对值小于，所以，
且a＞0，b＞0，故解得，则，
得到，解得，
综上可得，下面我们开始检验选项，
对于A，，故A错误，
对于B，，故B正确，
对于C，，故C正确，
对于D，，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查双曲线离心率的取值范围，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 赣州期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点F2且斜率为的直线l与双曲线右支相交于A，B两点（点A在第一象限），且|AF1|＝|AB|，则△BF1F2的面积等于 　　 ．
【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的定义．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】由题意，根据双曲线定义可得|BF2|＝2a，|BF1|＝4a，结合余弦定理以及三角形面积公式求解即可．
【解答】解：因为|AF1|﹣|AF2|＝|AB|﹣|AF2|＝|BF2|＝2a，
所以|BF1|＝|BF2|+2a＝4a，
因为，直线的斜率为，
即，
在△BF1F2中，由余弦定理得，
即，
解得或（舍去），
即，
所以
．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
14．（2025春 新乡期中）双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线C右支上一点，且直线PF2的斜率为，△PF1F2是面积为的直角三角形，则双曲线C的实半轴长为 　1　 ．
【考点】双曲线的几何特征；双曲线的定义．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】1．
【分析】根据已知条件求得|PF1|＝2，|PF2|＝2，再利用双曲线的定义，即可得解．
【解答】解：由题意知，∠F1PF2是直角，
因为直线PF2的斜率为，所以tan∠PF2F1①，
又△PF1F2的面积为，
所以②，
由①②得|PF1|＝2，|PF2|＝2，
由双曲线的定义知，|PF1|﹣|PF2|＝2a，
所以22＝2a，即a1，
所以双曲线C的实半轴长为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查双曲线的定义与几何特征，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
15．（2025春 宝山区期中）若双曲线经过点P（4，3），它的一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为　　 ．
【考点】双曲线的几何特征；双曲线的标准方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，可设双曲线方程为y2＝λ（λ≠0），又由双曲线过点P（4，3），将点P的坐标代入可得λ的值，进而可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，
设双曲线方程为y2＝λ（λ≠0），
∵双曲线过点P（4，3），
∴32＝λ，即λ＝﹣5．
∴所求双曲线方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的标准方程的求法，需要学生熟练掌握已知渐近线方程时，如何设出双曲线的标准方程．
16．（2025 揭阳模拟）记双曲线C：的离心率为e，若直线3x﹣y＝0与C有公共点，则离心率e的取值范围为 　（，+∞）　 （请用区间表示）．
【考点】求双曲线的离心率；双曲线的几何特征．
【专题】转化思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学建模；运算求解．
【答案】（，+∞）．
【分析】先求得双曲线的渐近线方程，再由双曲线与直线3x﹣y＝0有交点，得渐近线的正的斜率3，最后由离心率e，可得e的范围．
【解答】解：双曲线C：1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，
由双曲线C与直线3x﹣y＝0有交点，得3，
所以离心率e，
故双曲线C的离心率e的取值范围为（，+∞）．
故答案为：（，+∞）．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 湖北模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点在C上，且AF2⊥F1F2．
（1）求C的标准方程；
（2）过F2的直线交双曲线C于M，N两点（M，N两点均位于x轴下方，M在左，N在右），线段AM与线段F1N交于点R，若△F1RM的面积等于△ARN的面积，求|MN|．
【考点】直线与双曲线的综合；根据双曲线的几何特征求标准方程．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据条件得到c＝2，再利用点在双曲线上和a，b，c间的关系，建立方程组，求出a2，b2，即可求解；
（2）设直线方程为x＝my+2（m＞0），联立双曲线方程得到（m2﹣3）y2+4my+1＝0，根据条件得到点F1（﹣2，0）和点到直线x＝my+2的距离相等，从而可求出，再利用弦长公式，即可求解．
【解答】解：（1）因为AF2⊥F1F2，
所以F2（2，0），
即c＝2，
因为点在双曲线上，
所以，
解得，
则双曲线；
（2）易知直线斜率不为0，
设过F2（2，0）的直线为x＝my+2（m＞0），M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，消x并整理得（m2﹣3）y2+4my+1＝0，
此时Δ＝（4m）2﹣4×（m2﹣3）＝12（m2+1）＞0，且
由韦达定理得，
因为，
所以，
即点F1（﹣2，0）和点到直线x＝my+2的距离相等，
所以，
解得，
则．
故．
【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
18．（2025 绵阳模拟）已知双曲线C：的右焦点为F（2，0），且点F到双曲线C的渐近线的距离为1．过点P（3，0）作两条互相垂直的直线l1和l2，l1交双曲线C于A，B两点，l2交双曲线C于D，E两点，M，N分别是AB，DE的中点，直线MN过定点P1（x1，y1）；再过点P1（x1，y1）作两条互相垂直的直线l3和l4，l3交双曲线C于A1，B1两点，l4交双曲线C于D1，E1两点，M1，N1分别是A1B1，D1E1的中点，直线M1N1过定点P2（x2，y2）以这样的方式构造下去，可以得到一列定点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）求点P1的坐标；
（3）若Q（1，0），R（1，1），记△QRPn（n≥1，n∈N*）的面积为Sn，证明：．
【考点】直线与双曲线的综合；平面直角坐标系与曲线方程．
【专题】应用题；整体思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）；
（2）；
（3）证明见解析．
【分析】（1）利用点到直线的距离公式求出b的值，结合c的值可得出a的值，由此可得出双曲线的方程；
（2）分析直线MN经过的定点P1（x1，y1）也在x轴上，设点P1（n，0），设直线AB的方程为x＝ty+3，设点A（x'1，y'1）B（x'2，y'2），将直线AB的方程与双曲线联立，列出韦达定理，求出点M、N的坐标，由此可得出点P的坐标；
（3）分析可知，点均在x轴上，考虑一般情况，假设点P（m，0），设点P1（s，0），设直线AB的方程为 x＝ty+m，将该直线方程与双曲线方程联立，结合韦达定理求出点M的坐标，同理得出点N的坐标，利用P1、M、N三点共线，结合斜率公式可得出，由此可归纳得出Pn的坐标，由此可得出Sn的表达式，利用放缩法结合等比数列的求和公式可证得所证不等式成立．
【解答】解：（1）双曲线的渐近线方程为，即bx±ay＝0，则点F到渐近线的距离为，
又因为c＝2，所以，因此，双曲线C的方程为．
（2）当l1⊥x轴，l2必然与x轴重合，由曲线的对称性知AB的中点M在x轴上，DE的中点N也在x轴，
故MN经过的定点P1（x1，y1）也在x轴上，设点P1（n，0），设直线AB的方程为x＝ty+3，
设点A（x'1，y'1）、B（x'2，y'2），联立，得（t2﹣3）y2+6ty+6＝0，
所以，t2﹣3≠0，3t2﹣1≠0，Δ＝36t2﹣24（t2﹣3）＝12（t2+6）＞0，
由韦达定理可得，x'1+x'2＝t，
故线段AB的中点，同理可知，直线DE的方程为，
DE的中点为，即点，
当t≠±1时，由P1、M、N三点共线可得，得，
解得，因此，，当t＝±1时，，此时MN过，故；
（3）证明：由（2）可知，当P（3，0）时，定点，同理可知，P2（x2，y2）也一定在x轴上，
考虑一般情况，假设点P（m，0），设点P1（s，0），
设直线AB的方程为x＝ty+m，设点A（x'1，y'1）、B（x'2，y'2），联立，
得（t2﹣3）y2+2tmy+m2﹣3＝0，所以，t2﹣3≠0，3t2﹣1≠0，Δ＝4t2m2﹣4（t2﹣3）（m2﹣3）＝12（t2+m2﹣3）＞0，
由韦达定理可得，，
故线段AB的中点为，同理，直线DE的方程为，
线段DE的中点为；即点，
当t≠±1时，由P1、M、N三点共线可知，，即，
整理可得，即当点P（m，0）时，，当t＝±1时，，
此时MN过，综上，，故当点P（3，0）时，
、，
由题意可知，△QRPn的面积为，
所以．
所以
．
【点评】本题考查直线与双曲线的综合，属于难题．
19．（2025 淮北模拟）已知双曲线E：1（a，b＞0）经过点，A，B为其左，右顶点，且PA与PB的斜率之积为．
（Ⅰ）求双曲线E的方程；
（Ⅱ）点M为实轴上一点，直线PM交E于另一点Q，记△APM的面积为S1，△BMQ的面积为S2，若S1﹣S2，求Q点坐标．
【考点】直线与双曲线的综合．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（Ⅰ）．
（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）根据PA与PB的斜率之积为求出a2的值，再将点P的坐标代入双曲线中即可求解b2，从而可得双曲线E的方程；
（Ⅱ）设直线PM：x＝ty+m，与双曲线E的方程联立，可得，将点P的坐标代入直线PM中可得t与m的关系，进而y0可得用m表示，结合S1﹣S2，可得关于m的方程，求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）由，得，
解得a2＝4，
又，解得b2＝1，
于是E的方程为：．
（Ⅱ）设Q（x0，y0），M（m，0），显然﹣2＜m＜2；
设直线PM：x＝ty+m，与x2﹣4y2﹣4＝0联立，消去x得（t2﹣4）y2+2tmy+m2﹣4＝0，
则，
又在直线PM：x＝ty+m上，得，代入上式得，
于是，
即，
整理得5m2+4m﹣4＝0，
解得，进而，
即所求Q点坐标为．
【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
20．（2025 广州模拟）已知双曲线C：的右焦点F（2，0）到C的一条渐近线的距离为．
（1）求C的方程；
（2）设点P在C的右支上，过点P作圆O：的两条切线，一条与C的左支交于点M，另一条与C的右支交于点N（异于点P）．
（i）证明：OM⊥OP；
（ii）当△PMN的面积最小时，求直线PM和直线PN的方程．
【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的几何特征．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．
【答案】（1）．
（2）（i）证明见解答．
（ii）直线PM的方程为，直线PN的方程为．
【分析】（1）结合右焦点F（2，0）到C的一条渐近线的距离为求解即可．
（2）（i）设切线PM的方程为y＝kx+m，联立双曲线方程结合韦达定理求解即可．
（ii）证明出△PMN的面积S＝2S△POM，再设切线PM与圆O的切点为D，结合（i）得出|PM|，进而求解．
【解答】解：（1）由于双曲线C的右焦点为F（2，0），所以a2+b2＝4，
双曲线C的渐近线方程为，即为bx±ay＝0，
由于点F（2，0）到C的一条渐近线的距离为，则，
解得
所以C的方程为．
（2）（i）证明：显然圆O的切线PM的斜率存在，设切线PM的方程为y＝kx+m，
由于切线PM不平行C的渐近线，则．
由圆心O到切线PM的距离，得2m2＝3（k2+1），
由消去y得（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣3＝0，
由题意知Δ＞0．设P（x1，y1），M（x2，y2），
则，，
而
．
则，
则x1x2+y1y2＝0，
所以OM⊥OP，即OM⊥OP．
（ⅱ）由（i）同理可得ON⊥OP，
所以M，O，N三点共线．则△PMN的面积S＝2S△POM．
设切线PM与圆O的切点为D，则，
．
由（i）得，
又2m2＝3（k2+1），
则．
当k＝0时，，Smin＝3，
此时，直线PM平行x轴，则M，P的纵坐标绝对值为圆O的半径．
得点P的坐标为，
所以直线PM的方程为，直线PN的方程为．
【点评】本题考查直线与双曲线的综合应用，属于难题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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