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统计
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 萍乡期中）人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，AI技术加持的电脑（以下简称AI电脑）也在全国各地逐渐热销起来．下表为M市统计的2024年11月至2025年3月这5个月该市AI电脑的月销量，其中x为月份代号，y（单位：万台）为AI电脑的月销量．
月份 2024年11月 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月
月份代号x 1 2 3 4 5
月销量y 0.5 0.9 1 1.2 1.4
经过分析，y与x线性相关，且其线性回归方程为0.21x，估计2025年4月的该市AI电脑的月销量为（　　）
A．1.63 B．1.62 C．1.53 D．1.52
2．（2025 内江三模）下列说法错误的是（　　）
A．若随机变量X～N（μ，σ2），则当σ较大时，对应的正态曲线“矮胖”，随机变量X的分布比较分散
B．在线性回归分析时，可以用相关系数r刻画两个随机变量间的线性相关性，若r越小，则说明线性相关性越弱
C．若样本数据x1，x2，…，xn的方差为3，则3x1+1，3x2+1， ，3xn+1的方差为27
D．一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第50百分位数为11
3．（2025 山东模拟）已知一组数据1，2，m，n的平均数为，则该组数据方差的最小值为（　　）
A．5 B．3 C． D．
4．（2025 天津模拟）下列说法中，不正确的是（　　）
A．在1，3，6，7，9，10，12，15这组数据中，第50百分位数为8
B．分类变量A与B的统计量χ2越大，说明“A与B有关系”的可信度越大
C．根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的经验回归方程为，若，，，则
D．两个模型中，残差平方和越大的模型拟合的效果越好
5．（2025 河南模拟）人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，AI技术加持的电脑（以下简称AI电脑）也在全国各地逐渐热销起来．下表为M市统计的2024年11月至2025年3月这5个月该市AI电脑的月销量，其中x为月份代号，y（单位：万台）为AI电脑的月销量．
月份 2024年11月 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月
月份代号x 1 2 3 4 5
月销量y 0.5 0.9 1 1.2 1.4
经过分析，y与x线性相关，且其线性回归方程为，则2025年3月的残差为（　　）（实际值与预计值之差）
A．﹣0.04 B．﹣0.02 C．0.02 D．0.04
6．（2025 广东模拟）一组数据由小到大排列为2，4，5，x，11，14，15，39，41，50，已知该组数据的40%分位数是9.5，则x的值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（2025春 无锡校级期中）稀土被誉为工业的维生素，具有无法取代的优异磁、光、电性能，对改善产品性能，增加产品品种，提高生产效率起到了巨大的作用．右表是2024年前5个月某国稀土出口均价y（单位：万元/吨）与月份x的统计数据．若y与x的线性回归方程为，则t的值为（　　）
x 1 2 3 4 5
y 1.7 2.4 2.0 1.6 t
A．1.4 B．1.5 C．1.6 D．1.7
8．（2025春 淮安期中）已知甲、乙、丙、丁四组数据变量间对应的样本相关系数分别为﹣0.92，0.46，0.79，0.85，则（　　）
A．甲组数据变量间的线性相关程度最强
B．乙组数据变量间的线性相关程度最强
C．丙组数据变量间的线性相关程度最强
D．丁组数据变量间的线性相关程度最强
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春 浙江期中）下列结论正确的是（　　）
A．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变
B．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差
C．两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于0
D．决定系数可以衡量一个模型拟合效果，它越大说明拟合效果越好
（多选）10．（2025春 淮安期中）某科技公司统计了一款App最近5个月的下载量，如表所示，若y与x线性相关，且经验回归方程为，则（　　）
月份编号x 1 2 3 4 5
下载量y/万次 5 4.5 4 3.5 2.5
A．y与x负相关
B．
C．第7个月的下载量估计为1.8万次
D．残差绝对值的最大值为0.2
（多选）11．（2025春 北仑区校级期中）已知由样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3， ，8）组成的一个样本，得到回归直线方程为且，去除其中两个点A（﹣2，7）和B（2，﹣7）后，得到新的回归直线的．则下列说法正确的是（附：样本点（xi，yi）的残差（　　）
A．相关变量x，y具有正相关关系
B．去除点A，B后的回归直线方程为
C．去除点A，B后，随x值增加相关变量y值增加速度变小
D．去除点A，B后，样本点（4，8.9）的残差为0.1
（多选）12．（2025 南昌校级模拟）已知两组样本数据，第一组，第二组，若x1≤x2≤x3≤x4，则（　　）
A．这两组数据的平均数一定相等
B．这两组数据的极差一定相等
C．这两组数据的第90百分位数一定相等
D．这两组数据的众数一定相等
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 浙江期中）已知具有线性相关关系的变量x，y，设其样本点为Ai（xi，yi）（i＝1，2，3，…，8），经验回归方程为2x，若64，则 　 　 ．
14．（2025春 萍乡期中）在研究线性回归模型时，样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）所对应的点均在直线上，用r表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则r＝ 　 　 ．
15．（2024秋 上海校级期末）某高中的三个年级共有学生1000人，其中高一300人，高二340人，高三360人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是 　 　 ．
16．（2025 渝中区校级模拟）若一组数据6，1，7，5，5，27，11，21，m，3m（m∈R）的第75百分位数为12，则这组数据的第40百分位数为 　 　 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 浙江期中）2025年3月30日，第20届亚洲马拉松锦标赛在浙江嘉兴盛大启幕．为了解观众的观赛体验，从现场随机抽取了200位观众开展相关调查，得到满意率为80%．
（1）根据所给数据，完成2×2列联表；
性别 满意度 合计
满意 不满意
男性 20
女性 40
合计
（2）在（1）的条件下，依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为性别与满意度有关联？
附：χ2，n＝a+b+c+d．
α 0.050 0.010 0.005 0.001
xα 3.841 6.635 7.879 10.828
18．（2025 内江三模）疫苗是指用各种病原微生物制作的用于预防接种的生物制品，接种疫苗是预防和控制传染病最经济、最有效的公共卫生干预措施．今年入春以来，代号为A﹣α的病毒在某地流行．某制药厂针对预防A﹣α病毒研发出了一种特效药物γ．为了调查该药物的防疫效果，某机构采取了随机抽样的调查方式．其中是否接种特效药与是否感染病毒的调查结果整理如下：
病毒感染情况 使用药物γ 未使用药物γ 合计
感染病毒 80 300
未感染病毒 580 700
合计 800 200 1000
（1）完成上面的列联表，并将频率视为概率，用样本估计总体，试求该地区居民A﹣α病毒的感染率；
（2）在犯错误的概率不超过0.001的前提下，能否认为使用特效药物γ与预防A﹣α病毒有关？
（3）科学实验表明，任何形式的医学检测，均有结果检错的可能．已知感染A﹣α病毒的人其检测结果有5%的漏诊率（将已感染病毒的人判定为未感染），而没有感染A﹣α病毒的人其检测结果有1%的误诊率（将未感染病毒的人判定为已感染）．
已知某人的A﹣α病毒检查结果为已感染，求此人真的感染A﹣α病毒的概率．
附：．
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
19．（2025春 萍乡期中）某高中开设“四季农耕”的劳动教育课程，课程包括播种和田间管理．学校对选择了这两类课程的学生人数分布进行了统计，相关数据记录在如表格中，但其中有几项缺失，已知有的男生选择了播种课，统计表格如下．
课程 性别 合计
男生 女生
播种 160
田间管理 120
合计 400
（1）补全表格，并判断是否有99.9%的把握认为不同劳动教育课程的选择与性别有关；
（2）学校为了调研学生课程完成率是否存在与平均完成率偏差过大的情况，需计算偏差系数w（n），现给出以下两种数据处理方式：①，②，已知随机调查了6名同学课程的完成率如表，用两种处理方式分别计算学生任务完成率的偏差系数w（n），并指出哪一种数据处理方式对大偏差数据的存在体现更明显．（数据处理方式的偏差系数越大，对大偏差数据的存在体现越明显）
学生编号 1 2 3 4 5 6
完成率x% 50 70 60 66 72 84
附：．
P（x2≥k0） 0.1 0.05 0.01 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
20．（2025春 崇川区期中）某医院采用甲、乙两种方案治疗胃痛．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到下面两种疗法治疗数据的列联表：
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
甲 15 50 65
乙 5 60 65
合计 20 110 130
（1）根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好；
（2）从未治愈的20名患者中随机抽取2人进行电话回访，求2人采用不同疗法的概率．
附：χ2，
α 0.050 0.010 0.005 0.001
xα 3.841 6.635 7.879 10.828
统计
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 萍乡期中）人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，AI技术加持的电脑（以下简称AI电脑）也在全国各地逐渐热销起来．下表为M市统计的2024年11月至2025年3月这5个月该市AI电脑的月销量，其中x为月份代号，y（单位：万台）为AI电脑的月销量．
月份 2024年11月 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月
月份代号x 1 2 3 4 5
月销量y 0.5 0.9 1 1.2 1.4
经过分析，y与x线性相关，且其线性回归方程为0.21x，估计2025年4月的该市AI电脑的月销量为（　　）
A．1.63 B．1.62 C．1.53 D．1.52
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】函数思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】根据线性回归方程0.21x过点（，）求出，进而得到线性回归方程，再利用线性回归方程进行预测即可．
【解答】解：由题意可知，，
因为线性回归方程0.21x过点（，），即（3，1），
所以，
所以y关于x的线性回归方程为0.21x+0.37，
所以2025年4月对应的x＝6，代入得，
即估计2025年4月的该市AI电脑的月销量为1.63．
故选：A．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，属于基础题．
2．（2025 内江三模）下列说法错误的是（　　）
A．若随机变量X～N（μ，σ2），则当σ较大时，对应的正态曲线“矮胖”，随机变量X的分布比较分散
B．在线性回归分析时，可以用相关系数r刻画两个随机变量间的线性相关性，若r越小，则说明线性相关性越弱
C．若样本数据x1，x2，…，xn的方差为3，则3x1+1，3x2+1， ，3xn+1的方差为27
D．一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第50百分位数为11
【考点】百分位数；样本相关系数；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；方差．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】结合正态分布的性质，即可判断A；结合相关系数的性质，即可判断B；结合方差的性质，判断C；结合百分位数的定义，即可求解．
【解答】解：随机变量X～N（μ，σ2），则当σ较大时，对应的正态曲线“矮胖”，随机变量X的分布比较分散，故A正确；
在线性回归分析时，可以用相关系数r刻画两个随机变量间的线性相关性，
若|r|越小，则说明线性相关性越弱，故B错误；
样本数据x1，x2，…，xn的方差为3，则3x1+1，3x2+1， ，3xn+1的方差为32×3＝27，故C正确；
一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21，共10个，
则10×50%＝5，
故第50百分位数为，故D正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查概率与统计的知识，属于基础题．
3．（2025 山东模拟）已知一组数据1，2，m，n的平均数为，则该组数据方差的最小值为（　　）
A．5 B．3 C． D．
【考点】方差；平均数．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合方差的公式，即可求解．
【解答】解：一组数据1，2，m，n的平均数为，
则5，即m+n＝2，
故该组数据的方差为，则当m＝1时，其最小值为．
故选：D．
【点评】本题主要考查方差的公式，属于基础题．
4．（2025 天津模拟）下列说法中，不正确的是（　　）
A．在1，3，6，7，9，10，12，15这组数据中，第50百分位数为8
B．分类变量A与B的统计量χ2越大，说明“A与B有关系”的可信度越大
C．根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的经验回归方程为，若，，，则
D．两个模型中，残差平方和越大的模型拟合的效果越好
【考点】百分位数；样本相关系数；经验回归方程与经验回归直线．
【专题】转化思想；定义法；概率与统计；逻辑思维．
【答案】D
【分析】求数据的第50百分位数，判断A的真假；根据χ2的意义，判断B的真假；根据线性回归方程必过求判断C的真假；根据残差平方和的意义判断D的真假．
【解答】解：对A：1，3，6，7，9，10，12，15，
由8×50%＝4，得这组数据的第50百分位数为：，故A选项正确；
对B：根据统计量χ2的意义可知，B选项正确；
对C：根据线性回归方程必过得：，即，故C选项正确；
对D：因为残差平方和越小，模型拟合的效果越好，故D选项错误．
故选：D．
【点评】本题考查百分位数，线性回归方程，残差平方的概念，是基础题．
5．（2025 河南模拟）人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，AI技术加持的电脑（以下简称AI电脑）也在全国各地逐渐热销起来．下表为M市统计的2024年11月至2025年3月这5个月该市AI电脑的月销量，其中x为月份代号，y（单位：万台）为AI电脑的月销量．
月份 2024年11月 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月
月份代号x 1 2 3 4 5
月销量y 0.5 0.9 1 1.2 1.4
经过分析，y与x线性相关，且其线性回归方程为，则2025年3月的残差为（　　）（实际值与预计值之差）
A．﹣0.04 B．﹣0.02 C．0.02 D．0.04
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】求出样本中心点，代入回归方程求出，在求出对应的月销量预测值，结合月销量求出残差．
【解答】解：y与x线性相关，且其线性回归方程为，
根据题意可知，，
所以，故y关于x的线性回归方程为，
2025年3月对应的x＝5，故此时残差为．
故选：B．
【点评】本题考查了经验回归方程，属于基础题．
6．（2025 广东模拟）一组数据由小到大排列为2，4，5，x，11，14，15，39，41，50，已知该组数据的40%分位数是9.5，则x的值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】百分位数．
【专题】整体思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】直接利用百分位数的求法列式求解x值．
【解答】解：该组数据共10个数，
由10×40%＝4，可知该组数据的40%分位数是第四个数与第五个数的平均数，
等于，即x＝8．
故选：C．
【点评】本题考查百分位数的求法，是基础题．
7．（2025春 无锡校级期中）稀土被誉为工业的维生素，具有无法取代的优异磁、光、电性能，对改善产品性能，增加产品品种，提高生产效率起到了巨大的作用．右表是2024年前5个月某国稀土出口均价y（单位：万元/吨）与月份x的统计数据．若y与x的线性回归方程为，则t的值为（　　）
x 1 2 3 4 5
y 1.7 2.4 2.0 1.6 t
A．1.4 B．1.5 C．1.6 D．1.7
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据线性回归方程为过样本中心点求解即可．
【解答】解：，
y与x的线性回归方程为，线性回归方程过样本中心点，
故，
所以，解得t＝1.5．
故选：B．
【点评】本题考查了线性回归方程，属于基础题．
8．（2025春 淮安期中）已知甲、乙、丙、丁四组数据变量间对应的样本相关系数分别为﹣0.92，0.46，0.79，0.85，则（　　）
A．甲组数据变量间的线性相关程度最强
B．乙组数据变量间的线性相关程度最强
C．丙组数据变量间的线性相关程度最强
D．丁组数据变量间的线性相关程度最强
【考点】变量间的相关关系；样本相关系数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】根据相关系数的性质求解．
【解答】解：因为相关系数r的绝对值越大，变量间的线性相关程度越强，
而|﹣0.92|＞|0.85|＞|0.79|＞|0.46|，
所以甲组数据变量间的线性相关程度最强．
故选：A．
【点评】本题主要考查了相关系数的性质，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春 浙江期中）下列结论正确的是（　　）
A．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变
B．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差
C．两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于0
D．决定系数可以衡量一个模型拟合效果，它越大说明拟合效果越好
【考点】样本相关系数；残差及残差图；决定系数与模型的拟合效果；独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据方差的性质可判断A，根据残差图的性质可判断B，根据相关系数的性质可判断C，根据决定系数的性质可判断D．
【解答】解：对于A，将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，故A正确；
对于B，在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，故B错误；
对于C，两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于1，故C错误；
对于D，决定系数可以衡量一个模型拟合效果，它越大说明拟合效果越好，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查了方差、相关系数和决定系数的性质，考查了残差图的性质，属于基础题．
（多选）10．（2025春 淮安期中）某科技公司统计了一款App最近5个月的下载量，如表所示，若y与x线性相关，且经验回归方程为，则（　　）
月份编号x 1 2 3 4 5
下载量y/万次 5 4.5 4 3.5 2.5
A．y与x负相关
B．
C．第7个月的下载量估计为1.8万次
D．残差绝对值的最大值为0.2
【考点】经验回归方程与经验回归直线；残差及残差图；变量间的相关关系．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据回归方程的增减性，可得A的正误；取得样本中心代入方程，可得B的正误，利用回归方程，代入x＝7求值，可得C的正误；由题意列表求得每个月的残差，可得D的正误．
【解答】解：对于A，由﹣0.6＜0，则y与x负相关，故A正确；
对于B，由，，
因为经验回归方程过样本中心点（3，3.9），
则，
解得，故B正确；
对于C，由B可知经验回归方程为，
将x＝7代入回归方程，解得，故C错误；
对于D，由题意可得下表：
x 1 2 3 4 5
y 5 4.5 4 3.5 2.5
5.1 4.5 3.9 3.3 2.7
0.1 0 0.1 0.2 0.2
则最大值为0.2，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，考查了残差的定义，属于基础题．
（多选）11．（2025春 北仑区校级期中）已知由样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3， ，8）组成的一个样本，得到回归直线方程为且，去除其中两个点A（﹣2，7）和B（2，﹣7）后，得到新的回归直线的．则下列说法正确的是（附：样本点（xi，yi）的残差（　　）
A．相关变量x，y具有正相关关系
B．去除点A，B后的回归直线方程为
C．去除点A，B后，随x值增加相关变量y值增加速度变小
D．去除点A，B后，样本点（4，8.9）的残差为0.1
【考点】经验回归方程与经验回归直线；残差及残差图；变量间的相关关系．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据回归直线方程的斜率大于0可判断A，根据回归直线方程过样本中心点（，）可判断BC，根据残差的定义可判断D．
【解答】解：对于A，因为回归直线方程的斜率大于0，
所以相关变量x，y具有正相关关系，故A正确；
对于B，由题意可知，2×2﹣0.4＝3.6，
去除其中两个点A（﹣2，7）和B（2，﹣7）后，，4.8，
所以新的样本中心点为（，4.8），
又因为新的回归直线的，
所以4.8﹣33.2，
所以去除点A，B后的回归直线方程为，故B正确；
对于C，因为去除点A，B后的回归直线方程的斜率变大，
所以去除点A，B后，随x值增加相关变量y值增加速度变大，故C错误；
对于D，因为去除点A，B后的回归直线方程为，
所以去除点A，B后，样本点（4，8.9）的残差为8.9﹣（3×4﹣3.2）＝0.1，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，属于中档题．
（多选）12．（2025 南昌校级模拟）已知两组样本数据，第一组，第二组，若x1≤x2≤x3≤x4，则（　　）
A．这两组数据的平均数一定相等
B．这两组数据的极差一定相等
C．这两组数据的第90百分位数一定相等
D．这两组数据的众数一定相等
【考点】百分位数；平均数；众数．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据给定条件，利用平均数、极差、第90百分位数的定义判断ABC；利用众数的定义举例说明判断D．
【解答】解：第二组数据由小到大排列为或，
第一组数据由小到大排列为，
，
对于A，由
，当且仅当x1+x2＝2x3取等号，
因此这两组数据的平均数不一定相等，A错误；
这两组数据的极差都为x4﹣x1，B正确；
由5×90%＝4.5，得这两组数据的第90百分位数都为x4，C正确；
取x1＝1，x2＝2，x3＝3，x4＝4，第一组数据为，5个数据出现次数相同，
第二组数据为1，2，2，3，4，其众数为2，因此这两组数据的众数不同，D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查统计的知识，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 浙江期中）已知具有线性相关关系的变量x，y，设其样本点为Ai（xi，yi）（i＝1，2，3，…，8），经验回归方程为2x，若64，则 　2　 ．
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】2．
【分析】根据经验回归方程2x过点（，）求解．
【解答】解：因为64，
所以5，8，
因为经验回归方程2x过点（，），即（5，﹣8），
所以﹣8＝﹣2×5，
解得2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了经验回归方程的性质，属于基础题．
14．（2025春 萍乡期中）在研究线性回归模型时，样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）所对应的点均在直线上，用r表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则r＝ 　﹣1　 ．
【考点】经验回归方程与经验回归直线；样本相关系数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】﹣1．
【分析】根据相关系数的性质求解．
【解答】解：由已知样本数据（x1，y）（i＝1，2，3，…，n）所对应的点均在直线上，
则|r|＝1，
又因为0，
所以r＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了相关系数的性质，属于基础题．
15．（2024秋 上海校级期末）某高中的三个年级共有学生1000人，其中高一300人，高二340人，高三360人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是 　15　 ．
【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】15．
【分析】确定抽样比，即可求解；
【解答】解：某高中的三个年级共有学生1000人，其中高一300人，高二340人，高三360人，
该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，
采取分层抽样，且按年级来分层，
由题意可知抽样比为：，
∴高一年级应抽取的人数是．
故答案为：15．
【点评】本题考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16．（2025 渝中区校级模拟）若一组数据6，1，7，5，5，27，11，21，m，3m（m∈R）的第75百分位数为12，则这组数据的第40百分位数为 　5.5　 ．
【考点】百分位数．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】5.5．
【分析】根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解．
【解答】解：一组数据6，1，7，5，5，27，11，21，m，3m（m∈R）的第75百分位数为12，
则3m＝12，解得m＝4，
对数据排序1，4，5，5，6，7，11，12，21，27，
故这组数据的第40百分位数为．
故答案为：5.5．
【点评】本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 浙江期中）2025年3月30日，第20届亚洲马拉松锦标赛在浙江嘉兴盛大启幕．为了解观众的观赛体验，从现场随机抽取了200位观众开展相关调查，得到满意率为80%．
（1）根据所给数据，完成2×2列联表；
性别 满意度 合计
满意 不满意
男性 20
女性 40
合计
（2）在（1）的条件下，依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为性别与满意度有关联？
附：χ2，n＝a+b+c+d．
α 0.050 0.010 0.005 0.001
xα 3.841 6.635 7.879 10.828
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）补全2×2列联表如下：
性别 满意度 合计
满意 不满意
男性 120 20 140
女性 40 20 60
合计 160 40 200
（2）能．
【分析】（1）根据题意补全2×2列联表即可；
（2）计算χ2的值，再与临界值比较即可．
【解答】解：（1）根据题意，补全2×2列联表如下：
性别 满意度 合计
满意 不满意
男性 120 20 140
女性 40 20 60
合计 160 40 200
（2）零假设H0：性别与满意度无关，
此时，
根据小概率值α ＝0.005的独立性检验，推断H0不成立，即认为性别与满意度有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
18．（2025 内江三模）疫苗是指用各种病原微生物制作的用于预防接种的生物制品，接种疫苗是预防和控制传染病最经济、最有效的公共卫生干预措施．今年入春以来，代号为A﹣α的病毒在某地流行．某制药厂针对预防A﹣α病毒研发出了一种特效药物γ．为了调查该药物的防疫效果，某机构采取了随机抽样的调查方式．其中是否接种特效药与是否感染病毒的调查结果整理如下：
病毒感染情况 使用药物γ 未使用药物γ 合计
感染病毒 80 300
未感染病毒 580 700
合计 800 200 1000
（1）完成上面的列联表，并将频率视为概率，用样本估计总体，试求该地区居民A﹣α病毒的感染率；
（2）在犯错误的概率不超过0.001的前提下，能否认为使用特效药物γ与预防A﹣α病毒有关？
（3）科学实验表明，任何形式的医学检测，均有结果检错的可能．已知感染A﹣α病毒的人其检测结果有5%的漏诊率（将已感染病毒的人判定为未感染），而没有感染A﹣α病毒的人其检测结果有1%的误诊率（将未感染病毒的人判定为已感染）．
已知某人的A﹣α病毒检查结果为已感染，求此人真的感染A﹣α病毒的概率．
附：．
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【考点】独立性检验；全概率公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）补全2×2列联表如下：
有毒感染情况 使用药物γ 未使用药物γ 合计
感染病毒 220 80 300
未感染病毒 580 120 700
合计 800 200 1000
估计A﹣α病毒的感染率为0.3；
（2）能；
（3）0.976．
【分析】（1）根据题意补全2×2列联表，利用频率估算概率即可；
（2）计算K2的值，与临界值比较即可；
（3）利用全概率公式和条件概率公式求解．
【解答】解：（1）补全2×2列联表如下：
有毒感染情况 使用药物γ 未使用药物γ 合计
感染病毒 220 80 300
未感染病毒 580 120 700
合计 800 200 1000
估计A﹣α病毒的感染率；
（2）零假设H0：使用特效药物γ与预防A﹣α病毒无关，
由列联表知：11.905＞10.828，
依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，
即在犯错误的概率不超过0.001前提下，认为使用特效药与预防A﹣α病毒有关；
（3）设事件A为“被检测者的检测结果为已感染”，事件B为“被检测者感染 A﹣α 病毒”，
由题意得P（B）＝0.3，，P（A|B）＝0.95，P（A|）＝0.01，
所以P（AB）＝P（B） P（A|B）＝0.3×0.95＝0.285，
由全概率公式得P（A）＝P（B） P（A|B）+P（） P（A|）＝0.3×0.95+0.7×0.01＝0.292，
所以，
于是已知某人的A﹣α病毒检查结果为已感染，此人真的感染A﹣α病毒的概率是0.976．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，考查了全概率公式的应用，属于中档题．
19．（2025春 萍乡期中）某高中开设“四季农耕”的劳动教育课程，课程包括播种和田间管理．学校对选择了这两类课程的学生人数分布进行了统计，相关数据记录在如表格中，但其中有几项缺失，已知有的男生选择了播种课，统计表格如下．
课程 性别 合计
男生 女生
播种 160
田间管理 120
合计 400
（1）补全表格，并判断是否有99.9%的把握认为不同劳动教育课程的选择与性别有关；
（2）学校为了调研学生课程完成率是否存在与平均完成率偏差过大的情况，需计算偏差系数w（n），现给出以下两种数据处理方式：①，②，已知随机调查了6名同学课程的完成率如表，用两种处理方式分别计算学生任务完成率的偏差系数w（n），并指出哪一种数据处理方式对大偏差数据的存在体现更明显．（数据处理方式的偏差系数越大，对大偏差数据的存在体现越明显）
学生编号 1 2 3 4 5 6
完成率x% 50 70 60 66 72 84
附：．
P（x2≥k0） 0.1 0.05 0.01 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）完善表格如图，
课程 性别 合计
男生 女生
播种 160 80 240
田间管理 40 120 160
合计 200 200 400
有关；
（2），，方式②．
【分析】（1）设男生有x人，根据题意有，解得x＝200，可补全表格，再根据卡方的计算可判断；
（2）先计算完成率的平均数，再根据①②公式计算比较即可．
【解答】解：（1）设男生有x人，
则，解得x＝200，
所以选择田间管理课的男生人数为40，
从而女生有200人，女生中选择播种课的人数为80人，
完善表格如图，
课程 性别 合计
男生 女生
播种 160 80 240
田间管理 40 120 160
合计 200 200 400
零假设H0：不同劳动教育课程的选择与性别无关，
则，
依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，
故有99.9%的把握认为不同劳动教育课程的选择与性别有关；
（2）由题意可知，，
根据①的计算公式计算：，
根据②的计算公式计算：，
因此方式②的偏差系数更大，从而方式②对大偏差数据的体现更加明显．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于中档题．
20．（2025春 崇川区期中）某医院采用甲、乙两种方案治疗胃痛．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到下面两种疗法治疗数据的列联表：
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
甲 15 50 65
乙 5 60 65
合计 20 110 130
（1）根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好；
（2）从未治愈的20名患者中随机抽取2人进行电话回访，求2人采用不同疗法的概率．
附：χ2，
α 0.050 0.010 0.005 0.001
xα 3.841 6.635 7.879 10.828
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）根据小概率值α ＝0.005的独立性检验，没有充分证据推断H0成立，因此可以认为H0不成立，即认为两种疗法效果没有差异；
（2）．
【分析】（1）计算χ2的值，与临界值比较即可；
（2）利用古典概型的概率公式求解．
【解答】解：（1）零假设H0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异，
根据列联表中的数据，经计算得到，
根据小概率值α ＝0.005的独立性检验，没有充分证据推断H0成立，因此可以认为H0不成立，即认为两种疗法效果没有差异；
（2）从未治愈的20名患者中随机抽取2人，共有种不同取法，
两人采用不同疗法的取法共有种不同取法，
记“从未治愈的20名患者中随机抽取2人，2人采用不同疗法”为事件A，
则．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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