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相等关系与不等关系
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 浙江期中）设a，b∈R，若﹣1＜b＜a＜0，则下列不等式中不正确的是（　　）
A．a2＜b2 B． C．ab＜b2 D．a+b＞﹣1
2．（2025春 莲湖区期中）已知复数z＝a+bi（a，b∈R，且ab≠0），若是纯虚数，则的最小值是（　　）
A．9 B．4 C．1 D．
3．（2025 邯郸模拟）已知集合A＝{x|﹣1＜x≤3}，B＝{x|log2（x+2）＜2}，则A∩B＝（　　）
A．{x|﹣1＜x≤1} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|﹣1＜x≤2} D．{x|﹣1＜x＜2}
4．（2025 广东模拟）若x＞0，y＞0，且x+y＝xy，则的最小值为（　　）
A．2 B． C．3 D．
5．（2025春 琼山区校级月考）已知b克糖水中含有a克糖（b＞a＞0），再添加m克糖（m＞0，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025 辽宁二模）若（i为虚数单位，a，x，y∈R），则xy的最大值是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025春 雁塔区校级期中）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|3x﹣1＞0}，则A∪B＝（　　）
A．（﹣∞，0） B．（0，2） C．（﹣1，+∞） D．（﹣1，2）
8．（2025 延平区校级模拟）已知3x×9y＝3xy，且x，y＞0，则x+2y的最小值是（　　）
A． B．4 C． D．8
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 内江三模）设正实数m、n满足m+n＝2，则（　　）
A．mn的最大值为1 B．m2+n2的最小值为2
C．的最小值为2 D．的最小值为
（多选）10．（2025春 北仑区校级期中）下列说法正确的有（　　）
A．的最小值为2
B．已知a＞0，b＞0，ab＝a+b+3，则ab的取值范围是[9，+∞）
C．已知a＞0，b＞0，a+2b＝1，则的最小值为4
D．已知a＞b＞0，，则5a﹣4b最小值为2
（多选）11．（2025 聊城二模）已知实数a，b满足ab＞0，则（　　）
A．a+b＜ab
B．
C．若a＞b，则
D．若a＜b，m＞0，则
（多选）12．（2025 山东模拟）已知实数a，b满足a＞|b+1|，则下列不等关系一定成立的是（　　）
A．2a＞2b+1 B．a2＞4b C．a2＞b2+1 D．a2＞b|b+1|
三．填空题（共4小题）
13．（2025 平凉校级模拟）已知m＞0，n＞0，且m+n＝1，则的最小值是 　 　 ．
14．（2025 西峰区校级二模）设a，b为正实数，若a+4b＝4，则的最小值为 　 　 ，此时a的值为 　 　 ．
15．（2025春 徐州期中）在△ABC中，O是BC边上靠近B的四等分点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，设m，n，其中m＞0，n＞0，则lnm+lnn的最大值为 　 　 ．
16．（2025春 宝山区校级期中）已知a、b∈R，若不等式的解集为[l，+∞），则|a+bi|（i为虚数单位）的取值范围是 　 　 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 合肥期末）已知集合，集合B＝{x|log3（1+2x）＞2}．
（1）求A∪B；
（2）已知C＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}，若x∈C是x∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
18．（2025春 东港区校级月考）如图，在△ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．
（1）用和分别表示，，；
（2）若直线EF交AB于点E，交AM于点G，交AC于点F，，（λ，μ∈R+），，求λ+2μ最小值．
19．（2025 泉州模拟）已知正实数a，b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是 　 　 ．
20．（2025 虹口区二模）已知函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝2x，x∈R．
（1）解不等式：log2[f（x）﹣1]+log2[f（x）]≤1；
（2）若存在实数，使得f（msinx0），f（2+sin2x0），f（mcosx0）成等比数列，求实数m的最小值．
相等关系与不等关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 浙江期中）设a，b∈R，若﹣1＜b＜a＜0，则下列不等式中不正确的是（　　）
A．a2＜b2 B． C．ab＜b2 D．a+b＞﹣1
【考点】等式与不等式的性质．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】结合特殊值法，以及作差法，即可求解．
【解答】解：﹣1＜b＜a＜0，
则a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）＜0，即a2＜b2，故A正确；
，即故B正确；
ab﹣b2＝b（a﹣b）＜0，故C正确；
令b＝﹣0.6，a＝﹣0.5，满足﹣1＜b＜a＜0，但a+b＜﹣1，故D错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式大小的比较，属于基础题．
2．（2025春 莲湖区期中）已知复数z＝a+bi（a，b∈R，且ab≠0），若是纯虚数，则的最小值是（　　）
A．9 B．4 C．1 D．
【考点】运用基本不等式求最值；纯虚数．
【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；不等式；运算求解．
【答案】D
【分析】结合复数的基本运算及概念先求出a，b的关系，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为复数z＝a+bi（a，b∈R，且ab≠0），
若是纯虚数，
则a2+b2＝4，
12，
当且仅当b2＝2a2，即，b2时取等号．
故选：D．
【点评】本题主要考查了复数的基本运算及概念，还考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
3．（2025 邯郸模拟）已知集合A＝{x|﹣1＜x≤3}，B＝{x|log2（x+2）＜2}，则A∩B＝（　　）
A．{x|﹣1＜x≤1} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|﹣1＜x≤2} D．{x|﹣1＜x＜2}
【考点】指、对数不等式的解法；求集合的交集．
【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】D
【分析】利用对数函数的性质得到B＝{x|﹣2＜x＜2}，再利用交集的定义求解即可．
【解答】解：由log2（x+2）＜2可得﹣2＜x＜2，则B＝{x|﹣2＜x＜2}，
所以A∩B＝{x|﹣1＜x＜2}，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
4．（2025 广东模拟）若x＞0，y＞0，且x+y＝xy，则的最小值为（　　）
A．2 B． C．3 D．
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】转化思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】B
【分析】由题意可得y的表达式，由基本不等式可得的最小值．
【解答】解：因为x＞0，y＞0，且x+y＝xy，可得y0，可得x＞1，
所以y﹣11，
所以2 （x﹣1）≥22，
当且仅当2（x﹣1），即x＝1时取等号，
所以的最小值为2．
故选：B．
【点评】本题考查基本不等式的性质的应用，属于基础题．
5．（2025春 琼山区校级月考）已知b克糖水中含有a克糖（b＞a＞0），再添加m克糖（m＞0，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（　　）
A． B．
C． D．
【考点】等式与不等式的性质．
【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】加糖前糖的浓度，加入m克糖之后糖的浓度，糖水变甜，表示糖的浓度变大，即．
【解答】解：这一事实表示为一个不等式为．
下面证明不等式成立：
∵
又∵b＞a＞0，m＞0，
∴b（b+m）＞0，m（a﹣b）＜0即，
∴即．
故选：D．
【点评】本题考查不等式应用，利用作差的方法比较代数式的大小，属于基础题．
6．（2025 辽宁二模）若（i为虚数单位，a，x，y∈R），则xy的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】运用基本不等式求最值；复数的相等．
【专题】转化思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】B
【分析】由复数的运算性质可得x，y的表达式，进而可得xy的表达式，再由二次函数的性质可得xy的最大值．
【解答】解：因为x+yi（i为虚数单位），
所以x+yi，
即i＝x+yi，
所以x，y，
所以xy（1﹣a2），当且仅当a＝0时取等号，
所以xy的最大值为．
故选：B．
【点评】本题考查复数的运算性质的应用及二次函数的最值的求法，属于基础题．
7．（2025春 雁塔区校级期中）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|3x﹣1＞0}，则A∪B＝（　　）
A．（﹣∞，0） B．（0，2） C．（﹣1，+∞） D．（﹣1，2）
【考点】指、对数不等式的解法；求集合的并集．
【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．
【答案】C
【分析】由一元二次不等式解出集合A，由指数函数的运算解出集合B，再求并集．
【解答】解：B＝{x|3x﹣1＞0}＝{x|x＞0}，A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，
所以A∪B＝（﹣1，+∞）．
故选：C．
【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
8．（2025 延平区校级模拟）已知3x×9y＝3xy，且x，y＞0，则x+2y的最小值是（　　）
A． B．4 C． D．8
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】D
【分析】条件3x×9y＝3xy结合指数函数性质可得x+2y＝xy，再利用基本不等式求x+2y的最小值．
【解答】解：由3x×9y＝3x+2y＝3xy，且x，y＞0，
可得x+2y＝xy，
故，
即x+2y≥8，当且仅当x＝4，y＝2时取等号．
故选：D．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 内江三模）设正实数m、n满足m+n＝2，则（　　）
A．mn的最大值为1 B．m2+n2的最小值为2
C．的最小值为2 D．的最小值为
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
【解答】解：因为正实数m、n满足m+n＝2，
所以mn1，当且仅当m＝n＝1时取等号，A正确；
因为2，当且仅当m＝n＝1时取等号，B正确；
2，且仅当m＝n＝1时取等号，C错误；
（）（m+n）（5）（5+2），
当且仅当n＝2m，即m，n时取等号，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
（多选）10．（2025春 北仑区校级期中）下列说法正确的有（　　）
A．的最小值为2
B．已知a＞0，b＞0，ab＝a+b+3，则ab的取值范围是[9，+∞）
C．已知a＞0，b＞0，a+2b＝1，则的最小值为4
D．已知a＞b＞0，，则5a﹣4b最小值为2
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】BD
【分析】举出反例检验选项A，结合基本不等式及相关结论检验选项BCD．
【解答】解：当a＜0时，A显然错误；
因为a＞0，b＞0，ab＝a+b+33，当且仅当a＝b＝3时取等号，
则ab≥9，B正确；
a＞0，b＞0，a+2b＝1，则a2b1+（a+2b）（）
＝1+25，当且仅当a＝2b，即b，a时取等号，C错误；
因为a＞b＞0，，
令m＝a﹣b，n＝a+b，则4，m＞0，n＞0，
则5a﹣4b（9m+n）（）（10）（10+2）＝2，
当且仅当n＝3m，即m，n＝1时取等号，D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
（多选）11．（2025 聊城二模）已知实数a，b满足ab＞0，则（　　）
A．a+b＜ab
B．
C．若a＞b，则
D．若a＜b，m＞0，则
【考点】等式与不等式的性质．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】BC
【分析】由已知结合不等式性质及基本不等式检验各选项即可判断．
【解答】解：因为实数a，b满足ab＞0，
当a＜0，b＜0时，A显然错误；
2，当且仅当a＝b时取等号，B正确；
当a＞b，ab＞0时，0，即，C正确；
若a＝﹣2，b＝﹣1，m＝2时，满足a＜b，m＞0，但2，0，D显然错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了不等式性质及基本不等式的应用，属于基础题．
（多选）12．（2025 山东模拟）已知实数a，b满足a＞|b+1|，则下列不等关系一定成立的是（　　）
A．2a＞2b+1 B．a2＞4b C．a2＞b2+1 D．a2＞b|b+1|
【考点】不等关系与不等式．
【专题】分类讨论；转化思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由题意整理不等式，两边平方，由不等式的性质判断出A，B，C的真假；分b为非负数和负数两种情况讨论，判断出D的真假．
【解答】解：对于非零实数a，b满足a＞|b+1|，则a2＞（b+1）2，
即a2＞b2+2b+1，当b＞0时，a2＞b2+1不成立，故C不一定成立；
因为a＞|b+1|≥b+1，则2a＞2b+1，故A一定成立；
因为a＞|b+1|，所以a2＞b2+2b+1≥2b+2b＝4b，即a2＞4b，故B成立；
对于D：因为a＞|b+1|，显然a≥0，
当b≥0时，可得a＞b，所以a2＞b|b+1|，
当b＜0时，则a2≥0＞b|b+1|，
综上所述：a2＞b（|b+1|），故D一定成立．
故选：ABD．
【点评】本题考查不等式的性质的应用，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025 平凉校级模拟）已知m＞0，n＞0，且m+n＝1，则的最小值是 　　 ．
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】利用代换1法来，结合基本不等式，即可求解．
【解答】解：m＞0，n＞0，且m+n＝1，
设m+n+k＝λ（3m+2n）+μ（1+3n），
可得，
解得，
所以，整理得，
所以
，
当且仅当，即时等号成立．
故答案为：．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．
14．（2025 西峰区校级二模）设a，b为正实数，若a+4b＝4，则的最小值为 　2　 ，此时a的值为 　2　 ．
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】转化思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】2；2．
【分析】由题意及基本不等式ab的范围，再由二次函数的性质可得的最小值及此时a的值．
【解答】解：由a，b为正实数，a+4b＝4，得4＝a+4b≥24，当且仅当a＝4b＝2时取等号，
因此0＜ab≤1，
又因为2，
设x＝ab∈（0，1]，
令y（）2，
因为该函数在（0，1]上单调递减，所以当x＝1时，y取得最小值，ymin，
所以当ab＝1，且a+4b＝4，即a＝2，b时，取得最小值，最小值为2．
故答案为：2；2．
【点评】本题考查基本不等式的性质的应用及二次函数的性质的应用，换元法的应用，属于中档题．
15．（2025春 徐州期中）在△ABC中，O是BC边上靠近B的四等分点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，设m，n，其中m＞0，n＞0，则lnm+lnn的最大值为 　ln　 ．
【考点】运用基本不等式求最值；用平面向量的基底表示平面向量．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；不等式；运算求解．
【答案】ln．
【分析】由已知结合向量线性运算及向量共线定理可求得3m+n＝4，然后结合对数运算性质及基本不等式即可求解．
【解答】解：O是BC边上靠近B的四等分点，m，n，m＞0，n＞0，
则
，
因为M，O，N共线，
所以1，即3m+n＝4，
因为3mn4，当且仅当3m＝n，即n＝2，m时取等号，
所以mn的最大值为，
则lnm+lnn＝lnmn的最大值为ln．
故答案为：ln．
【点评】本题主要考查了向量共线条件及基本不等式求解最值，属于基础题．
16．（2025春 宝山区校级期中）已知a、b∈R，若不等式的解集为[l，+∞），则|a+bi|（i为虚数单位）的取值范围是 　[2，+∞）　 ．
【考点】其他不等式的解法．
【专题】计算题；方程思想；综合法；数系的扩充和复数；不等式；运算求解．
【答案】[2，+∞）．
【分析】根据题意，由不等式解集与方程根的关系可得a+b＝4，则有a2+b2＝a2+（4﹣a）2，结合二次函数的性质求出a2+b2的最小值，结合复数模的定义分析可得答案．
【解答】解：根据题意，若不等式的解集为[l，+∞），则方程ax+b的根为x＝1，
则有a+b＝4，
则a2+b2＝a2+（4﹣a）2＝2a2﹣8a+16＝2（a﹣2）2+8≥8，当且仅当a＝2时等号成立，
故|a+bi|的最小值为2，即|a+bi|的取值范围是[2，+∞）．
故答案为：[2，+∞）．
【点评】本题考查不等式的解法，涉及复数的性质和应用，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 合肥期末）已知集合，集合B＝{x|log3（1+2x）＞2}．
（1）求A∪B；
（2）已知C＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}，若x∈C是x∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【考点】指、对数不等式的解法；解一元二次不等式；充分不必要条件的应用．
【专题】集合思想；定义法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（1）{x|x≥3}；
（2）{m|m＞5}．
【分析】（1）化简集合A、B，根据并集的定义求解即可；
（2）化简集合C，根据题意知C是B的真子集，由此求解即可．
【解答】解：（1）不等式3x﹣4≤9，等价于﹣1≤x﹣4≤2，解得3≤x≤6，即A＝{x|3≤x≤6}，
不等式log3（1+2x）＞2，等价于1+2x＞9，解得x＞4，即B＝{x|x＞4}，
所以A∪B＝{x|x≥3}；
（2）因为C＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}＝{x|m﹣1≤x≤m+1}，
且x∈C是x∈B的充分不必要条件，
所以C是B的真子集，即m﹣1＞4，解得m＞5，
所以实数m的取值范围是{m|m＞5}．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．
18．（2025春 东港区校级月考）如图，在△ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．
（1）用和分别表示，，；
（2）若直线EF交AB于点E，交AM于点G，交AC于点F，，（λ，μ∈R+），，求λ+2μ最小值．
【考点】运用基本不等式求最值；用平面向量的基底表示平面向量．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1），，；
（2）．
【分析】（1）根据平面向量的线性运算计算即可；
（2）先将用表示，再根据E，F，G三点共线，可得λ，μ的关系，再根据基本不等式即可得解．
【解答】解：（1）在△ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点，
，
；
；
（2）由，
得，
，
因为E，F，G三点共线，
所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以λ+2μ最小值为．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，还考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
19．（2025 泉州模拟）已知正实数a，b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是 　[2，+∞）　 ．
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】[2，+∞）．
【分析】由题意可得，将化为，再利用基本不等式可求得m的范围．
【解答】解：因为a，b为正实数，，
所以，
因此的最小值为4，故存在，即ab＝1时使得等号成立，
又因为，所以在（0，+∞）上有解，
由基本不等式可知时等号成立，
所以m≥2，故实数m的取值范围是[2，+∞）．
故答案为：[2，+∞）．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
20．（2025 虹口区二模）已知函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝2x，x∈R．
（1）解不等式：log2[f（x）﹣1]+log2[f（x）]≤1；
（2）若存在实数，使得f（msinx0），f（2+sin2x0），f（mcosx0）成等比数列，求实数m的最小值．
【考点】指、对数不等式的解法；三角函数中的恒等变换应用；等比数列的性质．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】（1）（0，1]；（2）4．
【分析】（1）根据对数的运算，对数函数和指数函数的单调性解不等式即可；
（2）根据条件可得出，然后根据x0的范围可求出sinx0+cosx0的范围，然后根据对勾函数可求出m的范围．
【解答】解：（1）由原不等式得：，
∴2x（2x﹣1）≤2，且x＞0，
∴（2x﹣2）（2x+1）≤0，且x＞0，
∴2x≤2，且x＞0，解得0＜x≤1，
∴原不等式的解集为（0，1]；
（2）根据题意得：，
∴2（2+sin2x0）＝m（sinx0+cosx0），
∴，
令，，则，
∴，则y在上单调递增，∴t＝1时，y取最小值4，
∴m的最小值为4．
【点评】本题考查了指数函数的单调性，指数的运算，等比数列的定义，辅助角公式，对勾函数的单调性，是中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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