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圆与方程
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 丰城市校级期中）在平面直角坐标系xOy中，以点（0，1）为圆心且与直线x﹣by+2b+1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（　　）
A．x2+（y﹣1）2＝4 B．x2+（y﹣1）2＝2
C．x2+（y﹣1）2＝8 D．x2+（y﹣1）2＝16
2．（2025春 昌江区校级期中）已知圆C：（x+2）2+y2＝4，直线l：（m+1）x+2y﹣1+m＝0（m∈R），则下列错误的是（　　）
A．直线l与圆C不可能相切
B．当m＝0时，圆C上恰有三个点到直线l距离等于1
C．直线l与直线2x﹣（m+1）y＝0垂直
D．若圆C与圆x2+y2﹣2x+8y+a＝0恰有三条公切线，则a＝8
3．（2025春 南乐县期中）已知圆心在x轴上的圆过点且与y轴相切，则该圆的标准方程为（　　）
A．（x+1）2+y2＝4 B．x2+（y﹣2）2＝4
C．（x+2）2+y2＝4 D．（x﹣2）2+y2＝4
4．（2025春 青羊区校级期中）已知m，n∈{﹣1，1，2，3}，若直线l：mx+ny＝4与圆x2+y2＝4没有交点，则满足条件的直线l有（　　）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2025春 琼山区校级月考）已知点P（1，﹣2）和以点Q为圆心的圆（x﹣4）2+（y﹣2）2＝9，以PQ为直径的圆与圆Q相交于A，B两点，则|AB|＝（　　）
A． B． C． D．
6．（2025春 北仑区校级期中）已知圆与圆恰有3条公切线，则ab的最大值是（　　）
A． B．4 C．2 D．
7．（2025春 北仑区校级期中）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（﹣2，2），若点P为圆C：x2+y2＝1上的动点，则的最大值为（　　）
A．3 B． C．5 D．
8．（2025春 北仑区校级期中）直线与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M、N两点，则（　　）
A．1 B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春 山西期中）定义：min（P，C）表示点P到曲线C上任意一点的距离的最小值．已知P是圆（x﹣1）2+y2＝9上的动点，圆C：x2+y2＝1，则min（P，C）的取值可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
（多选）10．（2025 广州模拟）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，4），B（﹣1，2），C（1，0），其“欧拉线”为l，圆M：（x﹣a）2+y2＝1，则（　　）
A．过A作圆M的切线，切点为P，则|AP|的最小值为4
B．若直线l被圆M截得的弦长为2，则a＝﹣1
C．若圆M上有且只有两个点到l的距离都为1，则
D．存在a，使圆M上有三个点到l的距离都为1
（多选）11．（2025 广西模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C上任意一点到点C（1，1）的距离等于1，若直线y＝kx（k∈R）与曲线C交于不同的两点A，B，则（　　）
A．当时，
B．线段AB中点的轨迹长度为
C．的取值范围为[﹣1，1]
D．|OA| |OB|＝1
（多选）12．（2025 成都校级模拟）已知抛物线C：x2＝4y与圆M：x2+（y﹣1）2＝r2交于A，B两点，圆M与y轴的负半轴交于点P，O为坐标原点，则（　　）
A．r＞1
B．若△PAB为等边三角形，则r＝4
C．存在r，使得|OP|＝|OA|
D．直线PA与抛物线C相切
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 甘肃月考）已知实数x，y满足x2+y2﹣4x+2＝0，则的最小值为 　 　 ．
14．（2025春 宝山区期中）若直线l：kx﹣y+3k＝0与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 　 　 ．
15．（2025 渝中区校级模拟）圆心在射线上，与y轴相切，且被x轴所截得的弦长为的圆的方程为 　 　 ．
16．（2025春 宝山区期中）若无论实数a取何值，直线ax﹣y+1＝0与圆x2+y2＝r2（r＞0）恒有交点，则r的取值范围为 　 　 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 宝山区期中）如图是用3个圆构成“卡通鼠”的形象，点Q（0，﹣3）是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．
（1）求圆心S与圆心L的坐标；
（2）已知直线l过点O若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于t，求出t的值．
18．（2025春 昌江区校级期中）已知轨迹E的方程为（x+1）2+y2＝4．
（1）过点N（1，3）作轨迹E的切线，求切线的方程；
（2）经过原点O的两条互相垂直的直线分别与轨迹E相交于A、B两点和C、D两点，求四边形ACBD的面积的最大值．
19．（2024秋 广东校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y＝2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y＝x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程：
（2）若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
20．（2025 张家口二模）已知函数，圆C：．
（1）若f（x）两条相邻的对称轴与C相切，求ω，φ；
（2）若，xi（i＝1，2，…）是f（xi）的极值点，且点（xi，0）（i＝1，2，…）有且仅有两个在C的内部，求ω的取值范围．
圆与方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 丰城市校级期中）在平面直角坐标系xOy中，以点（0，1）为圆心且与直线x﹣by+2b+1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（　　）
A．x2+（y﹣1）2＝4 B．x2+（y﹣1）2＝2
C．x2+（y﹣1）2＝8 D．x2+（y﹣1）2＝16
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】求解直线系经过的定点，利用已知条件，综合求解圆的半径，推出结果．
【解答】解：直线x﹣by+2b+1＝0，变形可得x+1﹣b（y﹣2）＝0，过定点（﹣1，2），
则以点（0，1）为圆心且与直线x﹣by+2b+1＝0相切的所有圆中，
半径r的最大值为．
则半径最大的圆的标准方程为x2+（y﹣1）2＝2．
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，转化思想的应用，是中档题．
2．（2025春 昌江区校级期中）已知圆C：（x+2）2+y2＝4，直线l：（m+1）x+2y﹣1+m＝0（m∈R），则下列错误的是（　　）
A．直线l与圆C不可能相切
B．当m＝0时，圆C上恰有三个点到直线l距离等于1
C．直线l与直线2x﹣（m+1）y＝0垂直
D．若圆C与圆x2+y2﹣2x+8y+a＝0恰有三条公切线，则a＝8
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】对于A项，求出直线l经过的定点坐标，判断该点与圆的关系，即可判断；对于B项，代入m＝0，得出直线的方程，求出圆心到直线的距离，即可得出答案；对于C项，根据两直线的系数计算即可得出；对于D项，根据已知可知两圆外切，根据已知求出两圆圆心、半径，列出方程，求解即可得出答案．
【解答】解：对于A项，直线l：（m+1）x+2y﹣1+m＝0（m∈R），即m（x+1）+x+2y﹣1＝0，
解方程组可得，直线l过定点A（﹣1，1）．
圆C：（x+2）2+y2＝4的圆心为C（﹣2，0），半径为r＝2，
则，
所以点A在圆内，即直线l过圆内一定点，
所以，直线l与圆C一定相交，不可能相切．故A正确；
对于B项，当m＝0时，直线l：（m+1）x+2y﹣1+m＝0（m∈R），
直线l化为x+2y﹣1＝0．
圆C：（x+2）2+y2＝4的圆心为C（﹣2，0），半径为r＝2，
此时有圆心C（﹣2，0）到直线l的距离，且1＜d＜2，
因此圆C上只有两个点到直线l的距离等于1．故B错误；
对于C项，因为（m+1）×2﹣2（m+1）＝0，
所以直线l与直线2x﹣（m+1）y＝0垂直．故C正确；
对于D项，要使圆C与圆x2+y2﹣2x+8y+a＝0恰有三条公切线，则应满足两圆外切．
圆x2+y2﹣2x+8y+a＝0可化为（x﹣1）2+（y+4）2＝17﹣a（a＜17），
圆心为M（1，﹣4），半径为．
因为两圆外切，所以有|MC|＝r+R，
即，化简可得17﹣a＝9，解得a＝8．故D项正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
3．（2025春 南乐县期中）已知圆心在x轴上的圆过点且与y轴相切，则该圆的标准方程为（　　）
A．（x+1）2+y2＝4 B．x2+（y﹣2）2＝4
C．（x+2）2+y2＝4 D．（x﹣2）2+y2＝4
【考点】根据圆的几何属性求圆的标准方程．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】设圆心坐标（a，0），得到（x﹣a）2+y2＝a2，再由点在圆上，代入即可求解．
【解答】解：根据题意，要求圆的圆心在x轴上，且与y轴相切，
设圆心坐标为（a，0），则该圆的半径为|a|，
故要求圆的标准方程为（x﹣a）2+y2＝a2，
又由圆过点，则有（﹣1﹣a）2+3＝a2，解得：a＝﹣2，
所以圆的标准方程为（x+2）2+y2＝4．
故选：C．
【点评】本题考查圆的标准方程，涉及圆与坐标轴相切的性质，属于基础题．
4．（2025春 青羊区校级期中）已知m，n∈{﹣1，1，2，3}，若直线l：mx+ny＝4与圆x2+y2＝4没有交点，则满足条件的直线l有（　　）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】D
【分析】通过直线与圆的位置关系可得点P（m，n）是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点，结合m，n∈{﹣1，1，2，3}，进而可得结论．
【解答】解：由题意直线l：mx+ny＝4与圆x2+y2＝4没有交点，
可得：2，
即m2+n2＜4，
∴点P（m，n）是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点，
∵m，n∈{﹣1，1，2，3}，
即满足条件的有序实数对（m，n）有（﹣1，﹣1），（﹣1，1），（1，﹣1），（1，1），
∴满足条件的直线l有4条．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．
5．（2025春 琼山区校级月考）已知点P（1，﹣2）和以点Q为圆心的圆（x﹣4）2+（y﹣2）2＝9，以PQ为直径的圆与圆Q相交于A，B两点，则|AB|＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】求出PQ的中点R的坐标，可得以PQ为直径的圆的圆心，然后求出半径，可得到该圆的方程，进而求出两圆的公共弦AB的方程，结合圆的弦长公式求得|AB|，可得答案．
【解答】解：根据题意，圆Q的圆心为Q（4，2），半径r1＝3．
结合P（1，﹣2），可得PQ的中点为，
所以圆R的半径为，
可得圆R的方程为，即x2+y2﹣5x＝0．
根据圆Q的方程为x2+y2﹣8x﹣4y+11＝0，
两圆方程相减，化简得3x+4y﹣11＝0，
即为它们的公共弦AB所在直线方程，
设AB与PQ交于点S，则QS⊥AB，
因为，|AQ|＝r1＝3，所以．
故选：B．
【点评】本题主要考查两圆的位置关系、圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系等知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于中档题．
6．（2025春 北仑区校级期中）已知圆与圆恰有3条公切线，则ab的最大值是（　　）
A． B．4 C．2 D．
【考点】两圆的公切线条数及方程的确定．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】A
【分析】结合圆心距与两圆半径之间的关系，推得a2+b2≥2ab，再结合不等式的公式，即可求解．
【解答】解：圆与圆，
则圆心C1（a，0），半径r1＝2，圆心C2（0，b），半径r2＝1，
圆与圆恰有3条公切线，
则两圆外切，
故，即a2+b2＝9，
所以a2+b2≥2ab，即ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
故选：A．
【点评】本题主要考查圆心距与两圆半径之间的关系，属于基础题．
7．（2025春 北仑区校级期中）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（﹣2，2），若点P为圆C：x2+y2＝1上的动点，则的最大值为（　　）
A．3 B． C．5 D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；直线与圆；运算求解．
【答案】D
【分析】设P（x，y）为圆C：x2+y2＝1上任意一点，利用向量的坐标运算得，进而利用的几何意义可求得的最大值．
【解答】解：∵A（﹣2，0），B（﹣2，2），∴，
设P（x，y）为圆C：x2+y2＝1上任意一点，
可知，
∴，∴，
表示点P（x，y）到点D（﹣2，﹣2）的距离，
又C：x2+y2＝1的圆心C（0，0）到点D（﹣2，﹣2）的距离为，
又圆C：x2+y2＝1的半径为r＝1，
∴P（x，y）到点D（﹣2，﹣2）的距离的最大值为，
∴的最大值为．
故选：D．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，向量模的求法，是中档题．
8．（2025春 北仑区校级期中）直线与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M、N两点，则（　　）
A．1 B． C． D．
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】D
【分析】由已知及向量模长的定义，应用几何法求直线与圆的相交弦长即可得．
【解答】解：由，一般式为3x+4y﹣12＝0，
由（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4的圆心为（3，2），半径为2，
所以（3，2）到3x+4y﹣12＝0的距离为，
综上，．
故选：D．
【点评】本题考查了直线与圆的相交弦长，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春 山西期中）定义：min（P，C）表示点P到曲线C上任意一点的距离的最小值．已知P是圆（x﹣1）2+y2＝9上的动点，圆C：x2+y2＝1，则min（P，C）的取值可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】圆上的点到定点的距离及其最值．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆．
【答案】ABC
【分析】根据题意，分析两个圆的圆心和半径，可得两圆的位置关系，作出图形，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C：x2+y2＝1，其圆心为（0，0），半径为1，
圆（x﹣1）2+y2＝9，其圆心为（1，0），半径为3，
圆心距|PC|＝1，则圆C内含于圆（x﹣1）2+y2＝9，
若P是圆（x﹣1）2+y2＝9上的动点，
如图，易得2≤|PC|≤4，故1≤min（P，C）≤3，
分析选项：A、B、C符合，D不符合．
故选：ABC．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，注意min（P，C）的定义，属于基础题．
（多选）10．（2025 广州模拟）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，4），B（﹣1，2），C（1，0），其“欧拉线”为l，圆M：（x﹣a）2+y2＝1，则（　　）
A．过A作圆M的切线，切点为P，则|AP|的最小值为4
B．若直线l被圆M截得的弦长为2，则a＝﹣1
C．若圆M上有且只有两个点到l的距离都为1，则
D．存在a，使圆M上有三个点到l的距离都为1
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】数形结合；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据切线长、半径以及点到圆心的距离的数量关系列出|AP|的表达式可判断A；求出欧拉线方程，根据直线与圆的位置关系可判断BC；由圆的半径大小可判断D．
【解答】解：对于A，由已知，因为AM2＝（a﹣3）2+42≥42，且r2＝1，
所以，故A错误；
对于B，先求欧拉线，由重心的坐标公得1，，
设垂心为H（x，y），则得，
即，解得垂心，
过重心G（1，3）及的欧拉线的方程为y＝x+1，
因为弦长为2，即圆的直径，故圆心M（a，0）在欧拉线上，得a＝﹣1，故B正确；
对于C，若圆M上有且只有两个点到l的距离都为1，则圆心M（a，0）到欧拉线的距离小于2，
即，解得一，故C正确；
对于D，若圆M上存在三个点到l的距离为1，则圆的直径需大于2，而圆M半径r＝1，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查直线与圆的综合，属于中档题．
（多选）11．（2025 广西模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C上任意一点到点C（1，1）的距离等于1，若直线y＝kx（k∈R）与曲线C交于不同的两点A，B，则（　　）
A．当时，
B．线段AB中点的轨迹长度为
C．的取值范围为[﹣1，1]
D．|OA| |OB|＝1
【考点】直线与圆的位置关系；轨迹方程．
【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】ABD
【分析】求圆心C（1，1）到直线x﹣2y＝0的距离，运算求解即可判断A；分析可知点M的轨迹是以OC为直径的圆（圆C内部部分），即可判断B；根据数量积可得，进而可判断C；分析可得|OA| |OB|＝|OC|2﹣r2＝1，即可判断D．
【解答】解：由题意，曲线C为圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，如图：
对于选项A，圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1的圆心坐标为C（1，1），半径为r＝1，
若直线，圆心C到直线的距离为，
则，故A正确；
对于选项B，如图线段AB中点M满足OM⊥CM，
所以M的轨迹是以OC为直径的圆（圆C内部部分），
所以线段AB中点的轨迹长度为，故B正确；
对于选项C，，
因为点A，B不重合，所以cos∠ACB＜1，故C错误；
对于选项D，|OA||OB|＝（|OM|+|MA|）（|OM|﹣|MA|）
＝|OM|2﹣|MA|2＝|OC|2﹣d2﹣（r2﹣d2）＝|OC|2﹣r2＝1，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
（多选）12．（2025 成都校级模拟）已知抛物线C：x2＝4y与圆M：x2+（y﹣1）2＝r2交于A，B两点，圆M与y轴的负半轴交于点P，O为坐标原点，则（　　）
A．r＞1
B．若△PAB为等边三角形，则r＝4
C．存在r，使得|OP|＝|OA|
D．直线PA与抛物线C相切
【考点】直线与圆的位置关系；直线与抛物线的位置关系及公共点的个数；圆与圆锥曲线的综合．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ABD
【分析】直接根据抛物线的定义与几何性质对选项一一判断即可．
【解答】解：M（1，0）为抛物线C的焦点，r＝|MP|＝|MA|．
对于选项A：r＝|MP|＞|OM|＝1，故A正确；
由抛物线与圆的对称性可知，点A，B关于x轴对称，若△PAB 为等边三角形，则∠AMP＝120°，
根据抛物线的定义易求 r＝|AM|＝2p＝4，故B确；
对于选项C：设，由抛物线定义可知，，
又因为|PM|＝r，则，
从而，而，故C错误；
对于选项D：设切点为（x0，），对x2＝4y求导可得y′x，则切线PA的方程为，
与抛物线C：x2＝4y，联立可得，
故Δ＝（2x0）2﹣40，所以直线PA抛物线C相切，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了抛物线的几何性质，是中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 甘肃月考）已知实数x，y满足x2+y2﹣4x+2＝0，则的最小值为 　3﹣2　 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】3﹣2．
【分析】求解圆的圆心与半径，然后综合求解的最小值．
【解答】解：x2+y2﹣4x+2＝0化为（x﹣2）2+y2＝2，圆的圆心（2，0），半径为，
x2+y2的几何意义是圆上的点与坐标原点距离的平方，距离的最大值为：（2）2＝6+4．
则的最小值为3﹣2．
故答案为：3﹣2．
【点评】本题考查圆的方程的综合应用，是中档题．
14．（2025春 宝山区期中）若直线l：kx﹣y+3k＝0与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 　　 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】．
【分析】根据直线和圆的位置关系，结合图象来求得正确答案．
【解答】解：曲线（y≥1），
可化为x2+（y﹣1）2＝1（y≥1），
即以（0，1）为圆心，半径为1的圆的上半部分，直线l：kx﹣y+3k＝0，化为y＝k（x+3），可知直线系过定点D（﹣3，0），
画出直线和半圆的图象如图所示，
设A（﹣1，1），则k的最小值为．
当直线l与半圆相切于B点时，圆心（0，1）到直线l：kx﹣y+3k＝0的距离：
，解得或k＝0（舍去），
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
15．（2025 渝中区校级模拟）圆心在射线上，与y轴相切，且被x轴所截得的弦长为的圆的方程为 　（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4　 ．
【考点】直线与圆相交的性质；根据圆的几何属性求圆的标准方程．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4．
【分析】由题意设圆心坐标为（a，a）（a≥0），半径为r（r＞0），可写出圆的方程为（x﹣a）2+（ya）2＝r2，根据所求圆与y轴相切，且被x轴所截得弦长为，可得关于a，r的方程，联立可求出a，r，从而可得圆的方程．
【解答】解：因为圆心在射线yx（x≥0）上，
所以可设圆心坐标为（a，a）（a≥0），半径为r（r＞0），
则所求圆的方程为（x﹣a）2+（ya）2＝r2，
因为圆与y轴相切，所以r＝a①，
又因为圆被x轴所截得弦长为，
所以（a）2r2②，
联立①②，解得a＝2，r＝2，
故所求圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4．
故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4．
【点评】本题考查圆的方程的求法，考查圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（2025春 宝山区期中）若无论实数a取何值，直线ax﹣y+1＝0与圆x2+y2＝r2（r＞0）恒有交点，则r的取值范围为 　[1，+∞）　 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】[1，+∞）．
【分析】ax﹣y+1＝0恒过点（0，1），判断这个定点与圆的位置关系即可．
【解答】解：ax﹣y+1＝0恒过点（0，1），
无论实数a取何值，直线ax﹣y+1＝0与国x2+y2＝r2（r＞0）恒有交点，
则（0，1）在圆x2+y2＝r2内或圆上，则r≥1．
则r的取值范围为[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 宝山区期中）如图是用3个圆构成“卡通鼠”的形象，点Q（0，﹣3）是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．
（1）求圆心S与圆心L的坐标；
（2）已知直线l过点O若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于t，求出t的值．
【考点】根据圆的几何属性求圆的标准方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）S（4，0）、L（﹣4，0）；
（2）．
【分析】（1）设圆心S（m，0），其中m＞0，根据圆与圆的位置关系可得出|QS|＝5，可求出m的值，即可得出点S的坐标，同理可得出点L的坐标；
（2）分析可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx，利用几何法求出直线l截三个圆所得的弦长，可得出关于k的方程，解出k2的值，即可求出t的值．
【解答】解：（1）由题意点Q（0，﹣3）是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切，
可得圆Q的半径为|QO|＝3，设圆心S（m，0），其中m＞0，
由于圆S和圆Q外切，且圆S的半径为2，则，解得m＝4，
即点S（4，0），同理可得点L（﹣4，0）．
（2）若直线l的斜率不存在，则直线l与y轴重合，此时，直线l与圆L、圆S都相离，不合乎题意，
设直线l的方程为y＝kx，即kx﹣y＝0，
圆心L到直线l的距离为，圆心S到直线l的距离为，
且圆S、圆Q的半径均为2，所以，直线l截圆S、圆Q的弦长为，
圆心Q到直线l的距离为，则直线l截圆Q的弦长为，
由题意可得，解得，
所以，．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题．
18．（2025春 昌江区校级期中）已知轨迹E的方程为（x+1）2+y2＝4．
（1）过点N（1，3）作轨迹E的切线，求切线的方程；
（2）经过原点O的两条互相垂直的直线分别与轨迹E相交于A、B两点和C、D两点，求四边形ACBD的面积的最大值．
【考点】由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数；过圆外一点的圆的切线方程．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）x＝1和5x﹣12y+31＝0；
（2）7．
【分析】（1）需要分类讨论：切线的斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离等于半径求解即可；
（2）根据直线是否存在斜率进行分类讨论，当直线存在斜率时，利用点斜式写出两直线的方程，分别求出弦长，将四边形的面积用弦长表示，即可求出最大值．
【解答】解：（1）根据题意，轨迹E的方程为（x+1）2+y2＝4．则E的轨迹为圆（x+1）2+y2＝4，其圆心（﹣1，0），半径r＝2，
过点N（1，3）作轨迹E的切线，
当切线斜率不存在时，圆心（﹣1，0）到直线x＝1的距离为2，等于半径，直线x＝1与圆相切．
当切线斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为y﹣3＝k（x﹣1），即kx﹣y+3﹣k＝0，
则有，解得，切线方程为5x﹣12y+31＝0．
综合可得：所求的切线方程为x＝1和5x﹣12y+31＝0．
（2）根据题意，若两直线都有斜率，可设直线AB的方程为y＝kx（k≠0），则直线CD的方程为，
圆（x+1）2+y2＝4的圆心（﹣1，0），半径r＝2，
圆心（﹣1，0）到直线AB的距离，所以，
同理，，
所以四边形ACBD的面积，
当且仅当，即k＝±1时，等号成立．
若AB、CD两直线中有一条斜率不存在，则另一条的斜率为0，
此时线段AB、CD的长分别为、4（或4、），
所以．
综上所述，四边形ACBD的面积的最大值为7．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线方程，属于基础题．
19．（2024秋 广东校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y＝2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y＝x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程：
（2）若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
【考点】过圆外一点的圆的切线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）所求切线为y＝3或．
（2）．
【分析】（1）设点C（a，2a﹣4），又C也在直线y＝x﹣1上求出a，通过圆的方程过A点切线方程可设为y＝kx+3．利用得到直线的距离公式，求解k，得到切线方程．
（2）设点C（a，2a﹣4），M（x0，y0），通过MA＝2MO，求出M的轨迹方程，通过两个圆有公共点，转化求解a 的范围即可．
【解答】解：（1）由题设点C（a，2a﹣4），又C也在直线y＝x﹣1上，∴2a﹣4＝a﹣1，∴a＝3，
∴⊙C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1，
由题，过A点切线方程可设为y＝kx+3．即kx﹣y+3＝0，
则，解得：k＝0，，
∴所求切线为y＝3或．
（2）设点C（a，2a﹣4），M（x0，y0），∵MA＝2MO，A（0，3），O（0，0），
∴，即，
又点M在圆C上∴，两式相减得，
由题以上两式有公共点，∴，
整理得：，即（5a2﹣12a+6）2≤4（5a2﹣12a+9），
令t＝5a2﹣12a+6，则t2≤4（t+3），解得：﹣2≤t≤6，∴﹣2≤5a2﹣12a+6≤6，
解得：．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，轨迹方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
20．（2025 张家口二模）已知函数，圆C：．
（1）若f（x）两条相邻的对称轴与C相切，求ω，φ；
（2）若，xi（i＝1，2，…）是f（xi）的极值点，且点（xi，0）（i＝1，2，…）有且仅有两个在C的内部，求ω的取值范围．
【考点】由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；点与圆的位置关系．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据已知条件，结合正弦函数的性质，即可求解；
（2）结合极值点的定义，以及正弦函数的性质，即可求解．
【解答】解：（1）函数f（x）相邻对称轴间的距离为，
由题知C的直径为3，所以，解得，C的圆心，
所以其中一条对称轴为x＝2，代入f（x）的对称轴方程，解得，
因为，所以φ；
（2）若，则f（x）的极值点满足kπ（k∈Z），所以，
C左顶点的横坐标为﹣1，右顶点的横坐标为2，
故原题设等价于有且仅有2个k的值满足2（k∈Z），整理得，
故k能且仅能取0，1两个值，
所以，解得．
【点评】本题主要考查正弦函数的性质，是基础题．
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