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圆锥曲线综合
一．选择题（共8小题）
1．（2025 泉州模拟）已知抛物线C1：y2＝2px的焦点F为双曲线C2：x21的右焦点，点Q（x0，y0）为C1和C2的一个公共点．若|QF|＝5，则|y0|＝（　　）
A．3 B． C．4 D．
2．（2025春 宝山区期中）若椭圆和双曲线有相同的焦点F1和F2，而P是这两条曲线的一个交点，则|PF1| |PF2|的值是（　　）
A．n+t B． C．m2﹣s2 D．
3．（2025 湖北模拟）设F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，O是坐标原点，以F2为圆心的圆与C的两条渐近线都相切，且其中一个切点为P．若，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025 宿迁模拟）已知椭圆C：的右顶点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025 沧州二模）在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，0），B（0，6），动点P满足，且|λ|+|μ|＝1，则下列说法正确的是（　　）
A．点P的轨迹为圆
B．点P到原点最短距离为2
C．点P的轨迹是一个正方形
D．点P的轨迹所围成的图形面积为24
6．（2025春 资中县校级期中）已知四边形ABCD满足，且．设平面内有一点P满足，点P的轨迹分别与CB、CD交于E、F两点．线段AB上有一动点G，AD上有一动点H，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025 宝安区模拟）已知a＞b＞0，椭圆C：1与双曲线E：1的离心率分别为e1，e2，若3e1＝e2，则双曲线E的渐近线方程为（　　）
A． B．2x±y＝0 C． D．
8．（2025 望城区校级一模）如图，某简单组合体由圆柱与一个半球黏合而成，已知圆柱底面半径为2，高为4，A是圆柱下底面圆周上的一个定点，P是半球面上的一个动点，且，则点P的轨迹的长度为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 聊城二模）笛卡尔叶形线是一种非常优美且具有丰富几何性质的代数曲线，它的形状如图所示，其标准方程为：x3+y3＝3axy（a＞0），其中a是参数．已知某笛卡尔叶形线过点，点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）是该曲线上的一点，则（　　）
A．当时，y0取到最大值
B．x0的取值范围是
C．直线x+y＝3是曲线的一条切线
D．若x+y＝t是曲线的渐近线，则t＝﹣1
（多选）10．（2025 太原二模）已知双曲线E与焦点在y轴上的椭圆C的离心率之积为1，点P（2，）是其公共点，若双曲线E的渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是（　　）
A．双曲线E的实轴长为2
B．椭圆C的离心率为
C．椭圆C的长轴长为
D．椭圆C与双曲线E的焦距相同
（多选）11．（2025 天河区模拟）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M为CC1的中点，点P为底面A1B1C1D1上的动点（包括边界），则（　　）
A．满足MP∥平面BDA1的点P的轨迹长度为
B．满足的点P的轨迹长度小于
C．存在点P满足∠APM＝90°
D．存在点P满足PA+PM＝4
（多选）12．（2025 揭阳模拟）已知曲线C：一条不过原点的动直线l与x，y轴分别交于A，B两点，则下列结论正确的是（　　）
A．曲线C有4条对称轴
B．曲线C形成封闭图形的面积大于4﹣π
C．当|AB|时，线段AB中点的轨迹与曲线C相切
D．当|OA|+|OB|＝1时，直线l与曲线C相切
三．填空题（共4小题）
13．（2025 日照二模）已知⊙O：x2+y2＝16与x轴相交于C，D两点，点，以AB为直径的圆与⊙O内切，则△BCD面积的最大值为 　 　 ．
14．（2025春 宝山区期中）曲线C为到两定点M（﹣2，0）、N（2，0）距离乘积为常数16的动点P的轨迹．以下结论正确的编号为 　 　 ．
①曲线C一定经过原点；
②曲线C关于x轴对称，但不关于y轴对称；
③△MPN的面积不大于8；
④曲线C在一个面积为64的矩形范围内．
15．（2025春 湖南期中）已知在平面直角坐标系xOy中，M（﹣1，0），N（1，0），动点P满足|PM| |PN|＝4，则|OP|的取值范围是 　 　 ．
16．（2024秋 延庆区期末）已知曲线C：4y2﹣x|x|＝4，点，下面有四个结论：
①曲线C关于x轴对称；
②曲线C与y轴围成的封闭图形的面积大于2；
③曲线C上任意点P满足|PF|≥2；
④曲线C与曲线（x﹣2y﹣m）（x+2y﹣m）＝0，（m∈R）的交点个数可以是0个、2个、3个、4个．
其中，所有正确结论的序号是 　 　 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 汕头二模）已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．如图，以矩形的中心为坐标原点，分别平行于AB、AD的直线为x、y轴建立平面直角坐标系．设y轴分别交AB、DC于点E、F，点P为平面上的动点，且直线PE、PF的斜率的积为．
（1）证明点P不在矩形ABCD的外部；
（2）现将矩形折叠，使A点落在线段DC上，设折痕所在直线l的斜率为k．
①求直线l的方程；
②重新展平矩形ABCD，当折痕的长最大时，求折痕被点P的轨迹所截得的弦长．
18．（2025 江西模拟）在直角坐标平面内，设P是圆O：x2+y2＝4上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足，动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点N（3，0）的动直线l交C于A，B两点，求△AOB面积的最大值．
19．（2025 江苏模拟）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：1（a＞0），离心率为，点P是C1上任意一点．抛物线C2：x2＝2y．
（1）求C1的方程；
（2）过点P作C1的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于A，B两点，求证：平行四边形PAOB的面积为定值；
（3）PC，PD是C2的两条切线，C，D是切点，求△PCD面积的最小值．
20．（2025春 云岩区校级期中）若双曲线的一个焦点是F（2，0），且离心率为2．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设过焦点F的直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点（不重合），
①求直线l的倾斜角的取值范围；
②在x轴上是否存在定点M，使得直线MA和MB的斜率之积为常数，若存在，求出M的坐标，若不存在，请说明理由．
圆锥曲线综合
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 泉州模拟）已知抛物线C1：y2＝2px的焦点F为双曲线C2：x21的右焦点，点Q（x0，y0）为C1和C2的一个公共点．若|QF|＝5，则|y0|＝（　　）
A．3 B． C．4 D．
【考点】圆锥曲线的综合；双曲线的焦点和焦距．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】由抛物线和双曲线的方程，结合抛物线的定义和两点的距离公式，解方程可得所求值．
【解答】解：抛物线C1：y2＝2px的焦点F（，0）为双曲线C2：x21的右焦点（c，0），
可得c，①
点Q（x0，y0）为C1和C2的一个公共点，
可得2px0，1，②
若|QF|＝5，则x05，③
由①②③，解得p＝6，x0＝2，|y0|＝2，b2＝8，
或p＝4，x0＝3，|y0|＝2，b2＝3．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
2．（2025春 宝山区期中）若椭圆和双曲线有相同的焦点F1和F2，而P是这两条曲线的一个交点，则|PF1| |PF2|的值是（　　）
A．n+t B． C．m2﹣s2 D．
【考点】圆锥曲线的综合．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】利用椭圆与双曲线的定义得出|PF1|与|PF2|的和与差，变形求得积．
【解答】解：若椭圆和双曲线有相同的焦点F1和F2，
而P是这两条曲线的一个交点，设c为半焦距，
不妨设点P是两曲线在第一象限内的交点，
由椭圆和双曲线的定义，
可得，解得，
则．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
3．（2025 湖北模拟）设F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，O是坐标原点，以F2为圆心的圆与C的两条渐近线都相切，且其中一个切点为P．若，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】圆与圆锥曲线的综合；求双曲线的离心率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】不妨设切点P在第一象限，由题意可知PF2与渐近线 bx﹣ay＝0垂直，画出图形，通过点到直线的距离公式以及三角形的面积，转化求解离心率即可．
【解答】解：不妨设切点P在第一象限，由题意可知PF2与渐近线 bx﹣ay＝0垂直，如图所示，
故．由点到直线的距离公式可得，
又|OF2|＝c，故|OP|＝a．
设P（x，y），则，得，从而．
由，解得．
由，得，解得|PF1|＝2b．
从而可得，所以离心率e．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，双曲线与圆的位置关系的应用，是中档题．
4．（2025 宿迁模拟）已知椭圆C：的右顶点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】圆锥曲线的综合；求椭圆的离心率．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】利用抛物线的性质得到椭圆的基本量，再求解离心率即可．
【解答】解：由抛物线y2＝8x，得其焦点为（2，0），
∵椭圆C：的右顶点与抛物线y2＝8x的焦点重合，
∴a＝2，又b＝1，
∴c，
可得椭圆的离心率为．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆与抛物线的几何性质，是基础题．
5．（2025 沧州二模）在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，0），B（0，6），动点P满足，且|λ|+|μ|＝1，则下列说法正确的是（　　）
A．点P的轨迹为圆
B．点P到原点最短距离为2
C．点P的轨迹是一个正方形
D．点P的轨迹所围成的图形面积为24
【考点】轨迹方程．
【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；平面向量及应用；直线与圆；运算求解．
【答案】D
【分析】设P点坐标为（x，y），由已知条件，结合向量的坐标表示可用x，y表示λ，μ，结合|λ|+|μ|＝1可得x，y的关系，进而可求点P的轨迹方程，再由平行四边形面积公式检验选项D．
【解答】解：设P点坐标为（x，y），由已知条件，可得，
又因为|λ|+|μ|＝1，所以P点坐标对应轨迹方程为||+||＝1，
x≥0，且y≥0时，方程为3x+y＝6；
x≥0，且y＜0时，方程为y＝3x﹣6；
x＜0，且y≥0时，方程为y＝3x+6；
x＜0，且y＜0时，方程为3x+y＝﹣6．
P点对应的轨迹如图所示：kAB＝kCD＝﹣3，
所以P点的轨迹为菱形，A，C错误；
原点到直线的距离为：d2，所以B不正确．
轨迹图形是平行四边形，面积为42×6＝24；D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了点的轨迹的求解，考查了综合解决问题的能力，属于难题
6．（2025春 资中县校级期中）已知四边形ABCD满足，且．设平面内有一点P满足，点P的轨迹分别与CB、CD交于E、F两点．线段AB上有一动点G，AD上有一动点H，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】轨迹方程．
【专题】数形结合；定义法；平面向量及应用；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】根据数量积的运算律得到，即可得到平行四边形ABCD为正方形，建立平面直角坐标系，求出P点的轨迹方程，即可求出E、F的坐标，再作E关于x轴对称的点为E′，作F关于y轴对称的点为F′，即可求出最小值．
【解答】解：因为||＝||，所以2 2 ，
所以 0，所以⊥，又||＝||＝2，
所以平行四边形ABCD为正方形，
建立平面直角坐标系，如图所示：
则A（0，0），B（2，0），D（0，2），
所以（2，0），（0，2），
设P（x，y），则（x，y），
因为λ（λ），
所以，
所以，所以，即点P在上，
令x＝2，可得y，所以E（2，），
令y＝2，可得x，所以F（，2），
作E关于x轴对称的点为E′（2，），作F关于y轴对称的点为F′（，2），
则，
所以，当且仅当F′、H、G、E′四点共线时取等号，
所以的最小值为．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的运算问题，也考查了点的轨迹方程应用问题，是中档题．
7．（2025 宝安区模拟）已知a＞b＞0，椭圆C：1与双曲线E：1的离心率分别为e1，e2，若3e1＝e2，则双曲线E的渐近线方程为（　　）
A． B．2x±y＝0 C． D．
【考点】圆锥曲线的综合；求椭圆的离心率；求双曲线的渐近线方程；求双曲线的离心率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】通过椭圆以及双曲线的离心率的关系，求解a，b的关系，然后求解双曲线的离心率．
【解答】解：椭圆C：1与双曲线E：1的离心率分别为e1．e2，
3e1＝e2，可得，a＞b＞0，
可得，
所以双曲线的渐近线方程为：2xy＝0．
故选：C．
【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，是中档题．
8．（2025 望城区校级一模）如图，某简单组合体由圆柱与一个半球黏合而成，已知圆柱底面半径为2，高为4，A是圆柱下底面圆周上的一个定点，P是半球面上的一个动点，且，则点P的轨迹的长度为（　　）
A． B． C． D．
【考点】轨迹方程．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】D
【分析】由题意分析出P在半球面形成的轨迹为圆周，再由三点共线及勾股定理解出r，最后按照圆的周长求得即可．
【解答】解：
由于，因此P在半球面形成的轨迹为圆周，
如图：记圆柱上顶面圆心为M，点P的轨迹所在圆的圆心为N，则A，M，N共线，
AN⊥PN，设|PN|＝r，|MN|＝d，
在△ANP和△MNP中使用勾股定理有，
解得，于是点P的轨迹的长度．
故选：D．
【点评】本题主要考查点的轨迹的判断，考查计算能力，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 聊城二模）笛卡尔叶形线是一种非常优美且具有丰富几何性质的代数曲线，它的形状如图所示，其标准方程为：x3+y3＝3axy（a＞0），其中a是参数．已知某笛卡尔叶形线过点，点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）是该曲线上的一点，则（　　）
A．当时，y0取到最大值
B．x0的取值范围是
C．直线x+y＝3是曲线的一条切线
D．若x+y＝t是曲线的渐近线，则t＝﹣1
【考点】曲线与方程．
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】BCD
【分析】由笛卡尔叶形线过点，得曲线方程为x3+y3＝3xy，设y0的最大值为m＞0，则曲线与y＝m在第一象限只有一个交点，构造函数f（x）＝x3﹣3mx+m3x＞0，根据导数结合函数只有1个零点即可判断A；
同理即可判断B；
若直线x+y＝3是曲线的一条切线，则x+y＝3与曲线在第一象限只有一个交点，联立方程组即可判断C；
根据极限思想即可判断D．
【解答】解：由笛卡尔叶形线过点得，，解得a＝1，
所以x3+y3＝3xy，
对于A，设y0的最大值为m＞0，
则曲线与y＝m在第一象限只有一个交点，联立得x3+m3＝3xm，
设f（x）＝x3﹣3mx+m3，x＞0，
令f'（x）＝3x2﹣3m＝0，解得x＝m，
当x∈（0，m）时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，m）单调递减，
当x∈（m，+∞）时，f'（x）＞0，则f（y）在（m，+∞）单调递增，又f（0）＝m3＞0，
所以必满足f（m）＝0，
即f（m）＝m3m mm3＝﹣2mm3＝m（﹣2+m）＝0，解得m＝2，
所以y0的最大值为，此时x0＝m（2），故A错误；
对于B，设x0的最大值为t＞0，则曲线与x＝t在第一象限只有一个交点，
联立得t3+y3＝3ty，
与A同理得，，所以x0的取值范围是，故B正确；
对于C，若直线x+y＝3是曲线的一条切线，则x+y＝3与曲线在第一象限只有一个交点，
联立得x3+（3﹣x）3＝3x（3﹣x），
整理得4x2﹣12x+9＝（2x﹣3）2＝0，所以方程有2个相等的实数根，
所以x+y＝3与曲线在第一象限只有一个交点，故C正确；
对于D，因为曲线过（0，0），所以x＝0不是曲线渐近线，
设曲线的渐近线为y＝mx+b（m≠0），
代入曲线方程得（m3+1）x3+（3m2b﹣3m）x2+（3b2m﹣3b）x+b3＝0，
同时除以x3≠0得，，
当x→∞时，，此时m＝﹣1，
则上式为（3b+3）（3m﹣3b）0 （3b+3）+（﹣3﹣3b）0，
当x→∞，，→0，此时b＝﹣1，
所以曲线的渐近线为y＝﹣x﹣1，即x+y＝﹣1，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查曲线与方程，属于中档题．
（多选）10．（2025 太原二模）已知双曲线E与焦点在y轴上的椭圆C的离心率之积为1，点P（2，）是其公共点，若双曲线E的渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是（　　）
A．双曲线E的实轴长为2
B．椭圆C的离心率为
C．椭圆C的长轴长为
D．椭圆C与双曲线E的焦距相同
【考点】圆锥曲线的综合；求椭圆的离心率；求双曲线的渐近线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BC
【分析】由双曲线的渐近线方程，求解离心率，推出椭圆的离心率，求解双曲线方程，椭圆方程，然后判断选项即可．
【解答】解：双曲线E的渐近线方程为y＝±x，可知双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率为，所以B正确；
点P（2，）是其公共点，所以双曲线的焦点坐标在x轴上，所以D不正确；
设双曲线方程为：x2﹣y2＝t，可得t＝4﹣2＝2，
双曲线的标准方程，
双曲线的实轴长为2，所以A不正确；
设椭圆方程：，可得，，解得a，b，
椭圆长轴长为2，所以C正确．
故选：BC．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，是中档题．
（多选）11．（2025 天河区模拟）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M为CC1的中点，点P为底面A1B1C1D1上的动点（包括边界），则（　　）
A．满足MP∥平面BDA1的点P的轨迹长度为
B．满足的点P的轨迹长度小于
C．存在点P满足∠APM＝90°
D．存在点P满足PA+PM＝4
【考点】轨迹方程．
【专题】数形结合；向量法；立体几何；逻辑思维．
【答案】AC
【分析】建立空间直角坐标系，根据线面平行的判定、点的轨迹方程、向量垂直的数量积表示以及最短距离问题对各选项逐一分析．
【解答】解：以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），M（2，2，1），
设P（x，y，2），其中0≤x≤2，0≤y≤2，
对于A，（﹣2，2，0），（﹣2，0，2），（x﹣2，y﹣2，1），
易知平面BDA1的法向量（1，1，1），若MP∥平面BDA1，则 0，即x+y﹣3＝0，
故点P轨迹为连接C1D1和B1C1的中点的线段，长度为，故A正确；
对于B，时，（x﹣2）2+（y﹣2）2+1＝6，
则点M轨迹是底面A1B1C1D1上以为C1圆心，以为半径的圆弧，圆心角为90°，
故P的轨迹长度为，故B错误；
对于C，（x，y，2），令 0，得x（x﹣2）+y（y﹣2）+2＝0，
即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝0，解得x＝1，y＝1，故存在点P（1，1，2）满足∠APM＝90°，C正确；
对于D，点M关于平面A1B1C1D1的对称点M'（2，2，3），则PA+PM≥AM'，
因为4，所以不存在点P满足PA+PM＝4，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查线面平行的判定、动点的轨迹问题、向量垂直的判定以及最短距离问题，属于中档题．
（多选）12．（2025 揭阳模拟）已知曲线C：一条不过原点的动直线l与x，y轴分别交于A，B两点，则下列结论正确的是（　　）
A．曲线C有4条对称轴
B．曲线C形成封闭图形的面积大于4﹣π
C．当|AB|时，线段AB中点的轨迹与曲线C相切
D．当|OA|+|OB|＝1时，直线l与曲线C相切
【考点】曲线与方程；轨迹方程．
【专题】计算题；分析法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ACD
【分析】选项A：通过分析方程的对称性，判断对称轴数量．选项B：计算曲线在第一象限的积分面积，再乘以4，与4﹣π 比较．选项C：利用动直线与坐标轴交点坐标，求出中点轨迹方程，分析与曲线C的相切条件．选项D：通过直线方程与曲线方程联立，结合几何条件判断相切性．
【解答】解：选项A：曲线C关于x轴、y轴、直线y＝x和y＝﹣x对称．
将x替换为﹣x或y替换为﹣y，方程不变；交换x和y的位置，方程形式不变．
因此，曲线C有4条对称轴，选项A正确；
选项B：计算曲线C的面积．在第一象限内，方程为，解为．
积分计算第一象限面积：，
总面积为四倍第一象限面积，即，由于 4﹣π≈0.8584，显然，选项B错误．
选项C：当时，线段AB的中点轨迹方程为．
该圆与曲线C在点 （±0.25，±0.25）处相切．在第一象限点（0.25，0.25），
曲线C的切线斜率为﹣1，与圆在此点的切线斜率相同，选项C正确．
选项D：当|OA|+|OB|＝1时，直线方程为，其中|a|+|b|＝1．通过代数验证，
无论a和b的符号如何，直线与曲线C均相切．例如，当a＝b＝0.5时，
直线x+y＝0.5在点（0.25，0.25）处与曲线相切，选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查曲线与方程，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025 日照二模）已知⊙O：x2+y2＝16与x轴相交于C，D两点，点，以AB为直径的圆与⊙O内切，则△BCD面积的最大值为 　8　 ．
【考点】轨迹方程．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】8．
【分析】由两圆内切可以判定得到B的轨迹方程为椭圆，根据椭圆的性质即可确定S△BCD最大值．
【解答】解：因为⊙O：x2+y2＝16与x轴相交于C，D两点，点，
又以AB为直径的圆与⊙O内切，
所以作出示意图如下：
设以AB为直径的圆的圆心为E，，
因为两圆内切，所以，
又OE为△ABF的中位线，所以，
所以，
所以B的轨迹为以A，F为焦点的椭圆，
2a＝8 a＝4，，
显然当B为椭圆短轴顶点即（0，±2）时，S△BCD的面积最大，
最大值为．
故答案为：8．
【点评】本题考查圆的几何性质及应用，属中档题．
14．（2025春 宝山区期中）曲线C为到两定点M（﹣2，0）、N（2，0）距离乘积为常数16的动点P的轨迹．以下结论正确的编号为 　③④　 ．
①曲线C一定经过原点；
②曲线C关于x轴对称，但不关于y轴对称；
③△MPN的面积不大于8；
④曲线C在一个面积为64的矩形范围内．
【考点】轨迹方程．
【专题】动点型；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．
【答案】③④．
【分析】求出动点轨迹方程，由方程确定轨迹的性质，判断各结论．
【解答】解：设P（x，y），则，
对于①，原点（0，0）代入方程，得2×2≠16，所以曲线C一定不经过原点，故①错误；
对于②，以﹣y代替y，可得成立，
以﹣x代替x，可得成立，
即曲线C关于x、y轴对称，故②错误；
对于③，显然P、M、N三点不共线，
设|PM|＝a，|PN|＝b，∠MPN＝θ，则ab＝16，
由余弦定理得，
当且仅当a＝b＝4时等号成立，则θ为锐角，所以，
则△MPN的面积为，故③正确；
对于④，，
可得﹣16≤x2﹣4≤16，得x2≤20，解得，
由③知，得，即，
曲线C在一个面积为的矩形内，故④正确．
故答案为：③④．
【点评】本题考查轨迹方程，考查曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
15．（2025春 湖南期中）已知在平面直角坐标系xOy中，M（﹣1，0），N（1，0），动点P满足|PM| |PN|＝4，则|OP|的取值范围是 　　 ．
【考点】轨迹方程．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】设点P（x，y），由距离公式得到，则，求出x2的取值范围，即可得解．
【解答】解：因为在平面直角坐标系xOy中，M（﹣1，0），N（1，0），动点P满足|PM| |PN|＝4，
设点P（x，y），则|PM|2 |PN|2＝16，
所以[（x+1）2+y2] [（x﹣1）2+y2]＝16，
化简可得，
所以，
因为16＝[（x+1）2+y2] [（x﹣1）2+y2]≥（x﹣1）2（x+1）2＝（x2﹣1）2，当且仅当y＝0时取等号，
由（x2﹣1）2≤16，解得0≤x2≤5，所以16≤16+4x2≤36，则，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查动点轨迹问题的求解，属中档题．
16．（2024秋 延庆区期末）已知曲线C：4y2﹣x|x|＝4，点，下面有四个结论：
①曲线C关于x轴对称；
②曲线C与y轴围成的封闭图形的面积大于2；
③曲线C上任意点P满足|PF|≥2；
④曲线C与曲线（x﹣2y﹣m）（x+2y﹣m）＝0，（m∈R）的交点个数可以是0个、2个、3个、4个．
其中，所有正确结论的序号是 　①②④　 ．
【考点】曲线与方程；命题的真假判断与应用．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据点对称即可判断①；根据椭圆的几何性质可判断②；根据双曲线和椭圆上的点到的距离可做出判断③；由直线与曲线的关系可判断④．
【解答】解：对于①：因为点（x，y），（x，﹣y）均在C上，
所以曲线C关于x轴对称，故①正确；
对于②：当x≤0，x2+4y2＝4，
此时曲线是焦点为，长轴长为4的椭圆的左半部分，
当x≥0时，曲线C的方程可化为，
对应的曲线为以为焦点的，实轴长为2的双曲线位于y轴右侧的部分，
所以封闭图形面积大于△ABD的面积，
因为△ABD面积为，
所以曲线C与y轴围成的封闭图形的面积大于2，故②正确；
对于③：当x≤0时，曲线的方程可化为，
此时，
当x＝0时，|PF|min＝2，
当x＞0时，，
此时，
当时，，
综上所述，曲线C上任意点P满足，故③错误；
对于④：方程可化为（x﹣m）2﹣4y2＝0，
代入4y2﹣x|x|＝4中，
可得（x﹣m）2﹣x|x|＝4，
当x＞0时，2mx＝m2﹣4，
当m＝0时，该方程无解，
当m≠0时，
解得，
当m＞2或﹣2＜m＜0时，
解得，
当0＜m＜2或m＜﹣2时，
解得，
当m＝±2时，，
所以当m＞2或﹣2＜m＜0时，方程（x﹣m）2﹣x|x|＝4有一个正根，
当0＜m＜2或m＜﹣2时，方程（x﹣m）2﹣x|x|＝4没有正根，
所以当m＞2或﹣2＜m＜0时，曲线4y2﹣x|x|＝4（x＞0）与曲线（x﹣2y﹣m）（x+2y﹣m）＝0有两个交点，
当0≤m≤2或m≤﹣2时，曲线4y2﹣x|x|＝4（x＞0）与曲线（x﹣2y﹣m）（x+2y﹣m）＝0没有交点，
当x≤0时，（x﹣m）2﹣x|x|＝4可化为2x2﹣2mx+m2﹣4＝0，
即，
当时，方程2x2﹣2mx+m2﹣4＝0的根为（舍去），
当时，方程2x2﹣2mx+m2﹣4＝0的根为，
当时，方程2x2﹣2mx+m2﹣4＝0没有解，
当m＝2时，方程2x2﹣2mx+m2﹣4＝0的根为x＝2（舍去）或x＝0，
当m＝﹣2时，方程2x2﹣2mx+m2﹣4＝0的根为x＝﹣2或x＝0，
当时，方程2x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根为（舍去），（舍去），
当﹣2＜m＜2时，方程2x2﹣2mx+m2﹣4＝0两个根为（舍去），（舍去），
当时，方程2x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根为，，
所以当或m＞2时，曲线4y2﹣x|x|＝4（x≤0）与曲线（x﹣2y﹣m）（x+2y﹣m）＝0没有交点，
当时，曲线4y2﹣x|x|＝4（x≤0）与曲线（x﹣2y﹣m）（x+2y﹣m）＝0有四个交点，
当﹣2＜m≤2或时，曲线4y2﹣x|x|＝4（x≤0）与曲线（x﹣2y﹣m）（x+2y﹣m）＝0有两个交点，
当m＝﹣2时，曲线4y2﹣x|x|＝4（x≤0）与曲线（x﹣2y﹣m）（x+2y﹣m）＝0有三个交点，
综上所述，曲线C与曲线（x﹣2y﹣m）（x+2y﹣m）＝0，（m∈R）的交点个数可以是0个、2个、3个、4个，故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查轨迹方程，考查了逻辑推理、分类讨论、数形结合和运算能力，属于难题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 汕头二模）已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．如图，以矩形的中心为坐标原点，分别平行于AB、AD的直线为x、y轴建立平面直角坐标系．设y轴分别交AB、DC于点E、F，点P为平面上的动点，且直线PE、PF的斜率的积为．
（1）证明点P不在矩形ABCD的外部；
（2）现将矩形折叠，使A点落在线段DC上，设折痕所在直线l的斜率为k．
①求直线l的方程；
②重新展平矩形ABCD，当折痕的长最大时，求折痕被点P的轨迹所截得的弦长．
【考点】轨迹方程．
【专题】数形结合；分类讨论；综合法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）证明详见解析；
（2）①y＝kx+k（k+2）（﹣2≤k≤0）；
②．
【分析】（1）根据所建直角坐标系以及直线PE、PF的斜率的积为，可求出点P轨迹方程，根据方程中x、y的范围可证明；
（2）①设折叠后A点落在线段DC上的点为G（t，1），分k＝0和k≠0进行讨论，k≠0时，利用A与G关于折痕所在的直线对称，可得点G坐标，以及线段AG中点坐标，可求出折痕所在的直线方程；②同样分k＝0和k≠0进行讨论，其中k≠0时又分为：（i）若折痕所在的直线分别与边AD、BC相交，（ii）若折痕所在的直线分别与边AD、AB相交，（iii）若折痕所在的直线分别与边CD、AB相交三种情形，比较后得出折痕最长时所在直线方程，再求出其与（1）中点P轨迹交出的弦长．
【解答】解：（1）设P（x，y），由题设知 E（0，﹣1）、F（0，1），
从而，整理得，
所以点P的轨迹为椭圆（去掉上下顶点），
其范围是﹣2≤x≤2，﹣1＜y＜1，故点P不可能在矩形外部；
（2）①设折叠后A点落在线段DC上的点为G（t，1）（﹣2≤t≤2），
若k≠0，由A与G关于折痕所在的直线对称，有kAG k＝﹣1，即，
所以G（﹣2k﹣2，1）（﹣2≤k＜0），AG中点坐标为（﹣k﹣2，0），
从而折痕所在的直线方程y＝k[x﹣（﹣k﹣2）]，即y＝kx+k（k+2）（﹣2≤k＜0）；
若k＝0，则折痕所在直线方程为y＝0，也符合上述方程；
故折痕所在的直线方程y＝kx+k（k+2）（﹣2≤k≤0）；
②当 k＝0 时，折痕的长为4；
当k≠0时，（i）若折痕所在的直线分别与边AD、BC相交，
则交点坐标为N（﹣2，k2），M（2，k2+4k），
此时，且；
（ii）若折痕所在的直线分别与边AD、AB相交，
则交点坐标为N（﹣2，k2），，
此时，，记，
，
令f'（k）＝0 得，
k∈[﹣1，）时，f'（k）＜0，f（k）递增，k∈[，﹣2）时，f'（k）＞0，f（k）递减，
所以；
（iii）若折痕所在的直线分别与边CD、AB相交，
则交点坐标为，，
此时，﹣2≤k＜﹣1，；
综上所述，当且仅当时，，
即折痕长的最大值为，
由，得（1+4k2）x2+8k2（k+2）x+4k2（k+2）2﹣4＝0，
所以，，
故弦长d．
【点评】本题主要考查轨迹方程、直线方程以及求直线与椭圆相交所得弦长，属于较难题．
18．（2025 江西模拟）在直角坐标平面内，设P是圆O：x2+y2＝4上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足，动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点N（3，0）的动直线l交C于A，B两点，求△AOB面积的最大值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合；轨迹方程．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设M（x，y），P（x0，y0），借助构造方程组，求出，代入，整理计算即可；
（2）依题意，知道直线AB不垂直于y轴，设其方程为x＝my+3，直曲联立，借助韦达定理和三角形面积公式得，令，变形，结合基本不等式计算即可．
【解答】解：（1）设M（x，y），P（x0，y0），
则，过P作x轴的垂线，垂足为Q，则Q（x0，0），
因为，则，
则，整理得，代入中得，
整理得，
所以曲线C的方程为．
（2）依题意知道，直线AB不垂直于y轴，
则设其方程为x＝my+3，
由消去x，得，
并整理得（3m2+4）y2+18my+15＝0，
Δ＝182m2﹣60（3m2+4）＝48（3m2﹣5）＞0，
解得，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，
则，
令，则t＞0，且，
当且仅当，即t＝3时取等号，
所以△AOB面积的最大值为．
【点评】本题考查椭圆、圆的方程的应用，属于中档题．
19．（2025 江苏模拟）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：1（a＞0），离心率为，点P是C1上任意一点．抛物线C2：x2＝2y．
（1）求C1的方程；
（2）过点P作C1的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于A，B两点，求证：平行四边形PAOB的面积为定值；
（3）PC，PD是C2的两条切线，C，D是切点，求△PCD面积的最小值．
【考点】圆锥曲线的综合；抛物线的定点及定值问题；根据abc及其关系式求双曲线的标准方程．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）证明过程见解析；
（3）．
【分析】（1）根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系，列出等式求解即可；
（2）设出直线AP的方程，将直线方程与渐近线方程联立，求出A点的坐标和|OA|，同理得到B点坐标和|OB|，再代入面积公式中求证即可；
（3）推出直线CD的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式求解即可．
【解答】解：（1）设双曲线的焦半距为c，
此时c2＝a2+1，
因为双曲线的离心率为，
所以，
解得，
则双曲线C1的方程为；
（2）证明：设P（x0，y0），OA为渐近线，OB为渐近线，
直线AP的方程为，
联立，
解得，
所以，
同理得
所以OB，
因为直线OA的斜率，
所以∠AOx＝30°，
所以∠AOB＝2∠AOx＝60°，
则平行四边形PAOB的面积S＝|OA| |OB| sin∠AOB，
因为点P在双曲线C上，
所以，
即，
则平行四边形PAOB的面积为；
（3）设P（x0，y0），C（x1，y1），D（x2，y2），
因为，
可得y′＝x，
所以直线PC的方程为y﹣y1＝x1（x﹣x1），
因为P（x0，y0）在直线PC上，
所以y0﹣y1＝x1（x0﹣x1）＝x0x1﹣2y1，
解得y0+y1＝x0x1，
同理得y0+y2＝x0x2，
所以C（x1，y1），D（x2，y2）均满足方程y0+y＝x0x，
则直线CD的方程为x0x＝y+y0，
联立，消去y并整理得x2﹣2x0x+2y0＝0，
由韦达定理得x1+x2＝2x0，x1x2＝2y0，
所以，
因为P到直线CD的距离，
所以△PCD面积，
因为，
所以，
当P为时，T取得最小值，最小值为．
故△PCD面积最小值为．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
20．（2025春 云岩区校级期中）若双曲线的一个焦点是F（2，0），且离心率为2．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设过焦点F的直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点（不重合），
①求直线l的倾斜角的取值范围；
②在x轴上是否存在定点M，使得直线MA和MB的斜率之积为常数，若存在，求出M的坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合；双曲线的几何特征．
【专题】综合题；分类讨论；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）①；
②存在，M的坐标为（±1，0）．
【分析】（1）由题意，根据焦点坐标，离心率公式以及a，b，c之间的关系，列出等式再进行求解即可；
（2）①对直线斜率是否存在进行讨论，联立直线与双曲线方程，利用判别式条件与两交点都在右支上，结合韦达定理转化为斜率的不等关系求解斜率范围，进而可得所求倾斜角的范围；
②利用韦达定理，将条件“直线MA和MB的斜率之积为常数”，转化为不受参数k的影响恒为常数，待定系数求解方程组即可．
【解答】解：（1）因为的一个焦点是F（2，0），且离心率为2，
所以c＝2，，
又c2＝a2+b2，
解得a2＝1，b2＝3，
则双曲线C的方程为；
（2）①（i）当直线l斜率存在时，
不妨设直线l的方程为y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y并整理得（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3＝0，
此时Δ＝16k4﹣4（3﹣k2）（﹣4k2﹣3）＝36k2+36＞0
易知，
解得或，
此时直线l的倾斜角的范围为；
（ii）当直线l斜率不存在时，直线l的倾斜角为．
综上可知，直线l的倾斜角的范围为；
②（i）当直线l斜率存在时，
不妨设直线MA和MB的斜率之积kMA kMB＝t，M（m，0），
由（2）①得，
因为y1＝k（x1﹣2），y2＝k（x2﹣2）
所以，
此时4k2﹣tm2＝0，
即4k2﹣tm2＝0，
整理得（4mt﹣4t﹣tm2﹣9）k2+3t（m2﹣1）＝0，
上对于任意的都成立，
所以，
解得或，
即当M坐标为（1，0）时，kMA kMB＝﹣9；
当M坐标为（﹣1，0）时，kMA kMB＝﹣1；
（ii）当直线l斜率不存在时，
可得A（2，3），B（2，﹣3），
当M坐标为（1，0）时，kMA kMB＝﹣9；
当M坐标为（﹣1，0）时，kMA kMB＝﹣1，
综上所述，存在点M（±1，0），使得直线MA和MB的斜率之积为常数．
【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论、转化思想和运算能力．
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