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二次函数与矩形的存在性
第一部分：基础知识储备
一、矩形的判定
(1)有一个角是直角的平行四边形；
(2)对角线相等的平行四边形；
(3)有三个角为直角的四边形.
二、题型分析
矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：
(AC为对角线)
因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组.确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个.
三、题型分类
(1)2个定点+1个半自由点+1个自由点；(2)1个定点+3个半自由点.
四、解题思路
思路1：先直角，再矩形；思路2：先平行，再矩形；思路3：构造“三垂直”直角得矩形
第二部分：典型例题分析
例 1 已知A(1,1)、B(4,2),点C在x轴上,点D在平面中,且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形,求D点坐标
思路1：先直角，再矩形
在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点。对“2定+1半动+1全动”尤其适用
【分析】
点C满足以A、B、C为顶点的三角形是直角三角形，构造“两线一圆”可得满足条件的点C有：
在点C的基础上，借助点的平移思路，可迅速得到点D的坐标。
【小结】这种解决矩形存在性问题的方法相当于在直角三角形存在性问题上再加一步求D点坐标，也是因为这两个图形之间的密切关系方能如此.
思路2：先平行，再矩形
当AC为对角线时，A、B、C、D满足以下3个等式，则为矩形：
其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形。表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可。无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组。
【分析】
设C点坐标为(a,0),D点坐标为(b,c),又A(1,1)、B(4,2). 先考虑平行四边形存在性:
(1)AB为对角线时, 满足此条件的C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,另外AB=CD,得:
综合以上可解： 或
故C(3,0)、D(2,3)或C(2,0)、D(3,3).
(2)AC为对角线时,
另外AC=BD,得
综合以上可解得： 故
(3)AD为对角线时, 另外AD=BC,得
综合以上可解得： 故
综上所述，满足条件的点D有：((2,3)、(3,3)、
第三部分：针对提高训练
练 1 如图，抛物线 的对称轴是直线x=1，与x轴交于点A，B(3，0)，与y轴交于点C，连接AC.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.
练 2 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC.
(1)直接写出点A的坐标，并求直线l的函数解析式(其中k，b用含a的式子表示).
(2)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形 若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.
【练1】解:(1)抛物线 的对称轴是直线x=1,与x轴交于点A,B(3,0),
解得 ∴抛物线的解析式
(2)设E(1,a),F(m,n),∵B(3,0),C(0,3),∴BC=3
①以BC为对角线时，
解 得 : 或 ∴ 或
∵B(3,0),C(0,3),
或n+
或
∴点F的坐标为 或
②以BC为边时，
或
或
解得:a=4或a=-2,∴E(1,4)或(1,-2),
∵B(3,0),C(0,3),
∴m+0=1+3,n+3=0+4或m+3=1+0,n+0=3-2,
∴m=4,n=1或m=-2,n=1,
∴点F的坐标为(4,1)或(-2,1),
综上所述：存在，点F的坐标为 或 或(4,1)或(-2,1).
【练2】解:( 3),令y=0,得到(x+1)(x+3)=0,
∴x+1=0或x+3=0,x =-1,x =3,∴B(3,0),A(-1,0),
∵直线l经过点A(-1,0),∴-k+b=0,即b=k,∴y= kx+k. 令 整理得，
∵CD=4AC,∴D点的横坐标为4,∴-1×4=-3 ∴直线l的函数表达式为y=ax+a;
(2)令( 即 解得x =4,x =-1. ∴ ∴抛物线的对称轴为x=1，
设P(1,t). ①若AD是矩形的一条边,
则Q(-4,2la),t=21a+5a=26a,则P(1,26a).
∵四边形ADPQ是矩形,∴∠ADP=90°,∴AD + 即 整理得 解得a=
②若AD是矩形的一条对角线，
则线段AD的中点坐标为
∴m=5a-(-3a)=8a,∴P(1,8a).
∵四边形 APDQ是矩形,∴∠APD=90°,∴PD +
即 .即 综上所述，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为 或(1,-4).

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