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二次函数与菱形的存在性
第一部分：基础知识储备
一、菱形的判定
作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形：
(1)有一组邻边相等的平行四边形菱形；
(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
(3)四边都相等的四边形是菱形.
坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法.和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCD是菱形，则其4个点坐标需满足：
或
根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式，故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量.
二、题型分类
菱形存在性问题包括：(1)2个定点+1半自由点+1个自由点；(2)1个定点+3个半自由点
三、解题方法
思路1：先平形四边形，再菱形
设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+C=B+D”(AC、BD为对角线)方程，再结合一组邻边相等或者对角线互相垂直，得到方程组；
思路2：先等腰三角形，再菱形
在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰三角形存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点.
第二部分：典型典例分析
例1 如图，在坐标系中，A点坐标(1，1)，B点坐标为(5，4)，点C在x轴上，点D在平面中，求D点坐标，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形.
思路1：先平四，再菱形
设C点坐标为(m,0),D点坐标为(p,q).
(1)当AB为对角线时,由题意得:(AB和CD互相平分及AC=BC)
解得
(2)当AC为对角线时,由题意得:(AC和BD互相平分及BA=BC)
解得： 或
(3)当AD为对角线时，由题意得：
解得： 或
思路2：先等腰，再菱形
先求点C，点C满足由A、B、C构成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性问题的方法先确定C，再确定D点.
(1)当AB=AC时,
C点坐标为( 对应D点坐标为
C点坐标为(1-2 ，0)，对应D点坐标为(
(2)当BA=BC时,
C点坐标为(8,0),对应D点坐标为(4,-3);C点坐标为(2,0),对应D点坐标为((-2,-3).
(3)当AC=BC时,
C点坐标为 对应D点坐标为(
以上只是两种简单的处理方法，对于一些较复杂的题目，需具体问题具体分析，或许有更为简便的方法.
第三部分：针对提高训练
练 1 综合与探究：
如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=2,OC=6,连接AC和BC.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形 若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
练 2 如图，抛物线 与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，已知抛物线的对称轴所在的直线是 点B的坐标为(4,0).
(1)求抛物线的解析式；
(2)若M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点N，使得点B，C，M，N构成的四边形是菱形 若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.
练 3 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上， ，以A为顶点的抛物线y= 经过点C(3,0),交y轴于点E(0,3),动点P在对称轴上.
(1)求抛物线解析式；
(2)若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由.
【练1】解:(1)∵OA=2,OC=6,∴A(-2,0),C(0,-6),将A(-2,0),C(0,-6),代入 得解得：b=-1,c=-6,
∴抛物线得解析式为：
(2)存在；点N坐标为 (2,0),(-2,- ). ∵A(-2,0),C(0,-6),∴AC=
①若AC为菱形的边长，如图，
则MN∥AC,且.
②若AC为菱形的对角线，如图，
则 设
则 解得： ∴
综上所述，点N坐标为(
或 或(2,0)或
【练2】解:(1)∵点A与点B(4,0)关于直线是x=
∴点 ∴抛物线解析式为 -4),即 故答案为 2;
(2)在抛物线上不存在点N，使得点B，C，M，N构成的四边形是菱形.
理由如下：若BC为对角线，易得点B，C，M，N构成的四边形不是菱形；
若 BC 为边,则 CN ∥BM ,则 而BC= 所以点B，C，M，N构成的四边形不可能为菱形.
【练3】解：(1)将点C、E的坐标代入二次函数表达式得： 解得：
故抛物线的解析式为： 则点A(1,4);
(2)设点P(1,m),点M(x,y),
①当EC是菱形一条边时，
当点M在点P右方时，点E向右平移3个单位、向下平移3个单位得到C，则点P向右平移3个单位、向下平移3个单位得到M,则1+3=x,m-3=y,而MP=EP得: 解得： 故点
当点M在点P 左方时，同理可得：点M(-2，3+
②当EC是菱形一对角线时，则EC中点即为PM中点,则x+1=3,y+m=3,而PE=PC,即1+(m ,解得:m=1,故x=2,y=3-m=3-1=2,故点M(2,2);
综上，点M(4, )或 或M(2,2)

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