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21.2.3 因式分解法
一．选择题（共7小题）
1．（2024秋?威县期末）某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），解答过程如下所示：
甲
乙
两边同时除以（x﹣1），得x＝3．
移项，得x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0．
∴（x﹣3）（x﹣1）＝0．
∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，解得x1＝3，x2＝1．
其中完全正确的是（　　）
A．甲 B．甲和乙 C．乙 D．都不正确
2．（2025?武汉模拟）一元二次方程x（x﹣5）＝5﹣x的根是（　　）
A．x1＝x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝﹣5
C．x1＝﹣1，x2＝5 D．x1＝x2＝5
3．（2025?集美区模拟）一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（　　）
A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝﹣2
C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2
4．（2025?罗湖区校级模拟）方程（x﹣1）（x+3）＝x﹣1的根是（　　）
A．x＝1 B．x1＝﹣3，x2＝1
C．x1＝﹣2，x2＝1 D．x1＝﹣3，x2＝0
5．（2024秋?沙坪坝区校级期末）已知两个多项式A＝﹣3x2+2x﹣5，B＝2x2﹣3x，下列结论正确的有（　　）个．
①若关于x的代数式mA+B不含一次项，则m=23；
②若A﹣B＝﹣10，则3x2﹣3x﹣1＝2；
③若|4A+6B|＝5，则x=?52或x=?32；
④若关于x的方程2A+3B＝ax+15的解为负整数，则符合条件的非负整数a有1个．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024春?桐城市校级期中）对于实数m，n，定义运算“※”：m※n＝m2﹣2n，例如：2※3＝22﹣2×3＝﹣2．若x※5x＝0，则方程的根为（　　）
A．都为10 B．都为0 C．0或10 D．5或﹣5
7．（2024秋?武进区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12．以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BA于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E．下列哪条线段的长度是方程．x2﹣2x﹣8＝0的一个根（　　）
A．线段BC的长 B．线段AD的长
C．线段CE的长 D．线段AE的长
二．填空题（共5小题）
8．（2025?瑶海区校级二模）一元二次方程x2﹣3x＝0的根是 　 　 ．
9．（2025?南通模拟）对于实数a，b，定义运算“※”：a※b=a?b(a≥b)2b?a(a＜b)．例如4※2，因为4＞2，所以4※2＝4﹣2＝2．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1※x2＝　 　 ．
10．（2025春?凤阳县校级期中）方程x（x+2）＝3（x+2）的根是 　 　 ．
11．（2025春?浙江期中）如果一元二次方程x（x﹣8）＝4（x﹣8）的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等腰三角形的周长为　 　 ．
12．（2025?定西一模）在正数范围内定义一种运算：M（a，b）＝a2﹣2ab+b2，如M（1，3）＝1﹣2×1×3+32＝4，若M（2，m）＝9，则m的值为 　 　 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2025春?永康市期末）对于任意两个非零实数a，b，定义运算“◎”如下：
a◎b=ab(a≥b)ab(a＜b)，如：4◎3=43，2◎3＝2×3＝6．
根据上述定义，解决下列问题：
（1）计算：1000◎10=　 　 ，2◎(8+1)=　 　 ．
（2）若（x﹣1）◎（x+1）＝2x+2，求x的值．
14．（2025春?吴兴区期末）对于解方程（x+3）2＝2x+6，小刚的做法如下：
解：等号右边提取公因式2，得（x+3）2＝2（x+3），…步骤1
等号两边同时除以（x+3），得x+3＝2，…步骤2
移项，得x＝2﹣3，…步骤3
合并同类项，得x＝﹣1．…步骤4
已知小刚在解方程的过程中出现了错误，请指出他开始出错的步骤，并给出正确且完整的解答过程．
15．（2024秋?万全区期末）解方程：
（1）x2﹣2x＝3；
（2）（x+1）2＝3（x+1）．
21.2.3 因式分解法
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2024秋?威县期末）某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），解答过程如下所示：
甲
乙
两边同时除以（x﹣1），得x＝3．
移项，得x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0．
∴（x﹣3）（x﹣1）＝0．
∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，解得x1＝3，x2＝1．
其中完全正确的是（　　）
A．甲 B．甲和乙 C．乙 D．都不正确
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】分别利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：∵x﹣1的符号不能确定，
∴依题意，甲的解法错误，方程两边不能同时除以（x﹣1），这样会漏解；
乙利用解一元二次方程﹣因式分解法，
移项，得x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0．
∴（x﹣3）（x﹣1）＝0．
∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝3，x2＝1，计算正确；
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
2．（2025?武汉模拟）一元二次方程x（x﹣5）＝5﹣x的根是（　　）
A．x1＝x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝﹣5
C．x1＝﹣1，x2＝5 D．x1＝x2＝5
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】把方程右边的部分移到左边，再利用提取公因式法分解因式，然后转化成两个一元一次方程求解即可．
【解答】解：x（x﹣5）＝5﹣x，
x（x﹣5）+（x﹣5）＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
∴x﹣5＝0或x+1＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握利用分解因式法解一元二次方程．
3．（2025?集美区模拟）一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（　　）
A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝﹣2
C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】用因式分解法解方程即可．
【解答】解：x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2．
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握直因式分解法解一元二次方程是解本题的关键．
4．（2025?罗湖区校级模拟）方程（x﹣1）（x+3）＝x﹣1的根是（　　）
A．x＝1 B．x1＝﹣3，x2＝1
C．x1＝﹣2，x2＝1 D．x1＝﹣3，x2＝0
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵（x﹣1）（x+3）＝x﹣1，
∴（x﹣1）（x+3）﹣（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（x+2）＝0，
则x﹣1＝0或x+2＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
5．（2024秋?沙坪坝区校级期末）已知两个多项式A＝﹣3x2+2x﹣5，B＝2x2﹣3x，下列结论正确的有（　　）个．
①若关于x的代数式mA+B不含一次项，则m=23；
②若A﹣B＝﹣10，则3x2﹣3x﹣1＝2；
③若|4A+6B|＝5，则x=?52或x=?32；
④若关于x的方程2A+3B＝ax+15的解为负整数，则符合条件的非负整数a有1个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；绝对值；合并同类项；多项式．
【专题】整式；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】①把A＝﹣3x2+2x﹣5，B＝2x2﹣3x代入mA+B，再根据关于x的代数式mA+B不含一次项，列出关于m的方程，解方程，再进行判断即可；
②把A＝﹣3x2+2x﹣5，B＝2x2﹣3x代入A﹣B＝﹣10，求出x2﹣x的值，最后把所求代数式写成含有x2﹣x的形式，再代入进行计算即可；
③把A＝﹣3x2+2x﹣5，B＝2x2﹣3x，代入|4A+6B|＝5得到关于x的方程，解方程进行判断即可；
④先把A＝﹣3x2+2x﹣5，B＝2x2﹣3x代入2A+3B，然后解含有字母参数a的方程，求出x，最后根据方程2A+3B＝ax+15的解为负整数，列出关于a的方程，解方程求出a，然后判断即可．
【解答】解：①∵A＝﹣3x2+2x﹣5，B＝2x2﹣3x，
∴mA+B
＝m（﹣3x2+2x﹣5）+2x2﹣3x
＝﹣3mx2+2mx﹣5m+2x2﹣3x
＝2x2﹣3mx2+2mx﹣3x﹣5m
＝（2﹣3m）x2+（2m﹣3）x﹣5m，
∵关于x的代数式mA+B不含一次项，
∴2m﹣3＝0，
2m＝3，
m=32，
∴①的结论错误；
②∵A＝﹣3x2+2x﹣5，B＝2x2﹣3x，A﹣B＝﹣10，
∴（﹣3x2+2x﹣5）﹣（2x2﹣3x）＝﹣10，
﹣3x2+2x﹣5﹣2x2+3x+10＝0，
﹣3x2﹣2x2+2x+3x+10﹣5＝0，
﹣5x2+5x+5＝0，
x2﹣x﹣1＝0，
x2﹣x＝1，
∴3x2﹣3x﹣1
＝3（x2﹣x）﹣1
＝3×1﹣1
＝3﹣1
＝2，
∴②的结论正确；
③∵A＝﹣3x2+2x﹣5，B＝2x2﹣3x，
∴4A+6B
＝4（﹣3x2+2x﹣5）+6（2x2﹣3x）
＝﹣12x2+8x﹣20+12x2﹣18x
＝12x2﹣12x2+8x﹣18x﹣20
＝﹣10x﹣20，
∵|4A+6B|＝5，
∴|﹣10x﹣20|＝5，
﹣10x﹣20＝±5，
解得：x＝﹣2.5或﹣1.5，
∴③的结论正确；
④∵A＝﹣3x2+2x﹣5，B＝2x2﹣3x，
∴2A+3B
＝2（﹣3x2+2x﹣5）+3（2x2﹣3x）
＝﹣6x2+4x﹣10+6x2﹣9x
＝6x2﹣6x2+4x﹣9x﹣10
＝﹣5x﹣10，
∵2A+3B＝ax+15，
∴﹣5x﹣10＝ax+15，
ax+5x＝﹣25，
（a+5）x＝﹣25，
x=?25a+5，
∵x的方程2A+3B＝ax+15的解为负整数，
∴a+5＝1或5或25，
解得：a＝﹣4或0或20，
∴符合条件的非负整数a有2个，
故④的结论错误，
综上可知：正确的是②③，共2个，
故选：B．
【点评】本题主要考查了多项式、合并同类项和绝对值的性质，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则．
6．（2024春?桐城市校级期中）对于实数m，n，定义运算“※”：m※n＝m2﹣2n，例如：2※3＝22﹣2×3＝﹣2．若x※5x＝0，则方程的根为（　　）
A．都为10 B．都为0 C．0或10 D．5或﹣5
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】现根据新定义运算得出一元二次方程，再求解即可．
【解答】解：根据定义运算m※n＝m2﹣2n可得，
x※5x＝0即为x2﹣5x?2＝0，
即x（x﹣10）＝0，
∴x1＝0，x2＝10，
则方程的根为0或10．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是新定义运算、解一元二次方程，解题关键是理解题意．
7．（2024秋?武进区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12．以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BA于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E．下列哪条线段的长度是方程．x2﹣2x﹣8＝0的一个根（　　）
A．线段BC的长 B．线段AD的长
C．线段CE的长 D．线段AE的长
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；勾股定理．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】先解方程x2﹣2x﹣8＝0可得x1＝4，x2＝﹣2；由题意可得：BD＝BC＝5，AE＝AD；由勾股定理AB＝13，进而得到AE＝AD＝8，再根据线段的和差求得CE＝4即可解答．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣8＝0，
∴（x﹣4）（x+2）＝0，
∴x﹣4＝0，x+2＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣2，
则BD＝BC＝5，AE＝AD，
∵∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴AB=BC2+AC2=13，
∴AE＝AD＝BC﹣BD＝8，
∴CE＝AC﹣AE＝4，
∴方程x2﹣2x﹣8＝0的一个根是线段CE的长．
故选C．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程、勾股定理等知识点，明确线段间的关系成为解题的关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2025?瑶海区校级二模）一元二次方程x2﹣3x＝0的根是 　x1＝3，x2＝0　 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x1＝3，x2＝0．
【分析】方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：分解因式得：x（x﹣3）＝0，
可得x﹣3＝0或x＝0，
解得：x1＝3，x2＝0．
故答案为：x1＝3，x2＝0．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
9．（2025?南通模拟）对于实数a，b，定义运算“※”：a※b=a?b(a≥b)2b?a(a＜b)．例如4※2，因为4＞2，所以4※2＝4﹣2＝2．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1※x2＝　4或1　 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；实数的运算．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】4或1．
【分析】利用因式分解法，可求出x1，x2的值，分x1＝2，x2＝3及x1＝3，x2＝2两种情况考虑，即可求出x1※x2的值．
【解答】解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝2，x2＝3或x1＝3，x2＝2．
当x1＝2，x2＝3时，x1※x2＝2×3﹣2＝4；
当x1＝3，x2＝2时，x1※x2＝3﹣2＝1．
∴x1※x2＝4或1．
故答案为：4或1．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及实数的运算，通过解方程，求出x1，x2的值是解题的关键．
10．（2025春?凤阳县校级期中）方程x（x+2）＝3（x+2）的根是 　x1＝﹣2，x2＝3　 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x1＝﹣2，x2＝3．
【分析】方程变形后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程移项得：x（x+2）﹣3（x+2）＝0，
分解因式得：（x﹣3）（x+2）＝0，
可得x+2＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝3，
故答案为：x1＝﹣2，x2＝3．
【点评】此题考查了解一元一次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11．（2025春?浙江期中）如果一元二次方程x（x﹣8）＝4（x﹣8）的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等腰三角形的周长为　20　 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】20．
【分析】先解一元二次方程，根据根的情况可知有两种方式，用三角形三边关系排除一组后即可得出三角形周长．
【解答】解：∵x（x﹣8）＝4（x﹣8），
∴x（x﹣8）﹣4（x﹣8）＝0
∴（x﹣4）（x﹣8）＝0，
∴x﹣4＝0或x﹣8＝0，
∴x1＝4，x2＝8，
∴等腰三角形的三边为4，4，8或8，8，4，
∵4，4，8不能构成三角形，
∴这个等腰三角形的三边长为8，8，4，
∴8+8+4＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，解一元二次方程，三角形三边关系，熟知以上知识是解题的关键．
12．（2025?定西一模）在正数范围内定义一种运算：M（a，b）＝a2﹣2ab+b2，如M（1，3）＝1﹣2×1×3+32＝4，若M（2，m）＝9，则m的值为 　5　 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】5．
【分析】利用题中的新定义，得到22﹣4m+m2＝9，解出即可求解．
【解答】解：∵M（a，b）＝a2﹣2ab+b2，
∴22﹣4m+m2＝9，
即m2﹣4m﹣5＝0，
∴（m+1）（m﹣5）＝0，
∴m+1＝0或m﹣5＝0，
解得：m＝﹣1（舍去）或m＝5．
故答案为：5．
【点评】此题考查了解一元二次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2025春?永康市期末）对于任意两个非零实数a，b，定义运算“◎”如下：
a◎b=ab(a≥b)ab(a＜b)，如：4◎3=43，2◎3＝2×3＝6．
根据上述定义，解决下列问题：
（1）计算：1000◎10=　10　 ，2◎(8+1)=　4+2　 ．
（2）若（x﹣1）◎（x+1）＝2x+2，求x的值．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；实数的运算．
【专题】实数；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）10；4+2；
（2）x1＝3，x2＝﹣1．
【分析】（1）根据定义的新运算列式计算即可；
（2）由题意易得x﹣1＜x+1，根据定义的运算列得一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵1000＞10，
∴1000◎10=100010=10，
∵2＜8+1，
∴2◎(8+1)=2(8+1)=4+2，
故答案为：10；4+2；
（2）∵x﹣1＜x+1，
∴（x﹣1）（x+1）＝2x+2，
整理得：x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1．
【点评】本题考查解一元二次方程，实数的运算，理解题意并列得正确的算式或方程是解题的关键．
14．（2025春?吴兴区期末）对于解方程（x+3）2＝2x+6，小刚的做法如下：
解：等号右边提取公因式2，得（x+3）2＝2（x+3），…步骤1
等号两边同时除以（x+3），得x+3＝2，…步骤2
移项，得x＝2﹣3，…步骤3
合并同类项，得x＝﹣1．…步骤4
已知小刚在解方程的过程中出现了错误，请指出他开始出错的步骤，并给出正确且完整的解答过程．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】计算题；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x1＝﹣3，x2＝﹣1．
【分析】先找出错误的步骤，再利用因式分解法求解．
【解答】解：小刚开始出错的步骤是：步骤2．
完整解答过程：（x+3）2＝2（x+3），
移项，得（x+3）2﹣2（x+3）＝0，
因式分解，得（x+3）（x+3﹣2）＝0，即（x+3）（x+1）＝0．
∴x+3＝0或 x+1＝0．
∴x1＝﹣3，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键．
15．（2024秋?万全区期末）解方程：
（1）x2﹣2x＝3；
（2）（x+1）2＝3（x+1）．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝3，x2＝﹣1；
（2）x1＝﹣1，x2＝2．
【分析】（1）原方程可变为（x﹣1）2＝4，再利用开平方得到x﹣1＝±2，即可求出方程的根；
（2）原方程可变为（x+1）（x﹣2）＝0，则x+1＝0或x﹣2＝0，即可求出方程的根．
【解答】解：（1）x2﹣2x+1＝3+1，
则（x﹣1）2＝4，
∴x﹣1＝±2，
∴x1＝3，x2＝﹣1；
（2）（x+1）2﹣3（x+1）＝0，
则（x+1）（x+1﹣3）＝0，
∴（x+1）（x﹣2）＝0，
则x+1＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝2．
【点评】此题考查了解一元二次方程．熟练掌握运算法则是解题的关键．

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