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22.1.2 二次函数y=ax 的图象和性质
一．选择题（共7小题）
1．（2024秋 扬州期末）在同一平面直角坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025 银川一模）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+1与二次函数y＝x2﹣a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025 湖南模拟）设抛物线y＝ax2（a＞0）与直线y＝kx+b相交于两点，它们的横坐标为x1，x2，而x3是直线与x轴交点的横坐标，那么x1、x2、x3的关系是（　　）
A．x3＝x1+x2 B．x3
C．x1x2＝x2x3+x3x1 D．x1x3＝x2x3+x1x2
4．（2025 潘集区模拟）关于函数y＝ax2和函数y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象，A，B，C，D四位同学各画了一种，你认为可能画对的图象是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025 凤凰县模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝﹣ax2﹣b的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025 香洲区校级一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和二次函数y＝b（x+k）2的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024秋 南沙区期末）抛物线y＝3x2﹣2的顶点坐标是（　　）
A．（3，﹣2） B．（0，﹣2） C．（0，2） D．（3，2）
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 鼓楼区校级期末）二次函数y＝﹣2x2+4的顶点坐标是　 　 ．
9．（2025春 虹口区校级期末）抛物线y＝ax2+c的对称轴为 　 　 ．
10．（2025 荔湾区校级三模）已知二次函数y＝2x2，当x＞0时，y随x的增大而 　 　 （填“增大”或“减小”）．
11．（2025 许昌一模）已知函数y＝（x+1）2，当x＞﹣1时，y随x的增大而 　 　 ．（填“增大”或“减小”）
12．（2024秋 滑县期末）二次函数y＝﹣2x2﹣1图象的顶点坐标为 　 　 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2023秋 武江区校级月考）在直角坐标系中，画出二次函数y＝x2﹣1的图象．
解：列表如下：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y …
　 　
　 　
　 　
　 　
　 　
…
描点并连线．
14．（2023秋 思明区校级月考）画出二次函数y＝﹣（x+2）2的图象．
15．（2022春 曲阳县期中）在直角坐标系中，画出函数y＝2x2的图象（取值、描点、连线、画图）．
22.1.2 二次函数y=ax 的图象和性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2024秋 扬州期末）在同一平面直角坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；符号意识．
【答案】B
【分析】分别利用函数解析式分析图象得出答案．
【解答】解：A、二次函数开口向下，k＜0；一次函数图象经过第一、三象限，k＞0，故此选项错误；
B、两函数图象符合题意；
C、二次函数开口向上，k＞0；一次函数图象经过第二、四象限，k＜0，故此选项错误；
D、一次函数解析式为：y＝kx﹣2，图象应该与y轴交在负半轴上，故此选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，正确得出k的符号是解题关键．
2．（2025 银川一模）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+1与二次函数y＝x2﹣a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观．
【答案】A
【分析】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，1），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．
【解答】解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当a＞0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标．
3．（2025 湖南模拟）设抛物线y＝ax2（a＞0）与直线y＝kx+b相交于两点，它们的横坐标为x1，x2，而x3是直线与x轴交点的横坐标，那么x1、x2、x3的关系是（　　）
A．x3＝x1+x2 B．x3
C．x1x2＝x2x3+x3x1 D．x1x3＝x2x3+x1x2
【考点】二次函数的性质．
【答案】C
【分析】先将直线y＝kx+b与抛物线y＝ax2联立，构成一元二次方程，求出两根积与两根和的表达式；然后将欲证等式的左边通分，转化为两根积与两根和的形式，将以上两表达式代入得到等式左边的值；再根据直线解析式求出与x轴的交点横坐标，即可得出答案．
【解答】解：由题意得x1和x2为方程kx+b＝ax2的两个根，即ax2﹣kx﹣b＝0，
∴x1+x2，x1x2；
∴；
∵直线与x轴交点的横坐标为：x3，
∴．
∴x1x2＝x2x3+x3x1．
故选：C．
【点评】此题考查了函数与方程的关系，证明时利用一元二次方程根与系数的关系将原式转化，得到关于k、b的表达式是证明的关键．证明思路可简单表达为：抓两头，凑中间．
4．（2025 潘集区模拟）关于函数y＝ax2和函数y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象，A，B，C，D四位同学各画了一种，你认为可能画对的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【答案】D
【分析】分a＞0和a＜0两种情况根据二次函数与一次函数图象分析判断即可得解．
【解答】解：a＞0时，抛物线开口向上，一次函数y＝ax+a经过第一、二、三象限，a＜0时，抛物线开口向下，一次函数y＝ax+a经过第二、三、四象限，D选项符合．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，熟练掌握函数图象与系数的关系是解题的关键，注意分情况讨论．
5．（2025 凤凰县模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝﹣ax2﹣b的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；模型思想．
【答案】A
【分析】可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】解：A、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＞0，﹣b＞0，此时二次函数y＝﹣ax2﹣b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标﹣b大于零，故A正确；
B、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＜0，﹣b＞0，此时二次函数y＝﹣ax2﹣b的图象应该开口向上，顶点的纵坐标﹣b大于零，故B错误；
C、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＜0，﹣b＞0，此时二次函数y＝﹣ax2+b的图象应该开口向上，故C错误；
D、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＞0，﹣b＞0，此时抛物线y＝﹣ax2﹣b的顶点的纵坐标大于零，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
6．（2025 香洲区校级一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和二次函数y＝b（x+k）2的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】分当k＞0，b＞0时，当k＞0，b＜0时，当k＜0，b＞0时，当k＜0，b＜0时，四种情况讨论即可．
【解答】解：对于一次函数y＝kx+b和二次函数y＝b（x+k）2的图象，
①当k＞0，b＞0时，一次函数y＝kx+b的图象过第一、二、三象限，二次函数y＝b（x+k）2的图象开口向上，对称轴在y轴左侧，没有选项符合题意；
②当k＞0，b＜0时，一次函数y＝kx+b的图象过第一、三、四象限，二次函数y＝b（x+k）2的图象开口向下，对称轴在y轴左侧，没有选项符合题意；
③当k＜0，b＞0时，一次函数y＝kx+b的图象过第一、二、四象限，二次函数y＝b（x+k）2的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，选项B符合题意；
④当k＜0，b＜0时，一次函数y＝kx+b的图象过第二、三、四象限，二次函数y＝b（x+k）2的图象开口向下，对称轴在y轴右侧，没有选项符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与二次函数的图象，解题的关键是对参数k和b进行分类讨论．
7．（2024秋 南沙区期末）抛物线y＝3x2﹣2的顶点坐标是（　　）
A．（3，﹣2） B．（0，﹣2） C．（0，2） D．（3，2）
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】B
【分析】二次函数y＝ax2+k（a≠0）的顶点坐标是（0，k）．
【解答】解：根据二次函数的顶点式方程y＝3x2﹣2知，该抛物线的顶点坐标：（0，﹣2）．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式．解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程y＝a（x﹣h）2+k中的h、k所表示的意义．
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 鼓楼区校级期末）二次函数y＝﹣2x2+4的顶点坐标是　（0，4）　 ．
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】（0，4）．
【分析】根据解析式写出顶点坐标即可．
【解答】解：顶点坐标是（0，4）．
故答案为：（0，4）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题关键．
9．（2025春 虹口区校级期末）抛物线y＝ax2+c的对称轴为 　直线x＝0　 ．
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】直线x＝0．
【分析】根据抛物线y＝ax2+c是由抛物线y＝ax2沿y轴平移得到解答即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c是由抛物线y＝ax2沿y轴平移得到，
∴抛物线y＝ax2+c的对称轴为直线x＝0．
故答案为：直线x＝0．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的平移规律是解题的关键．
10．（2025 荔湾区校级三模）已知二次函数y＝2x2，当x＞0时，y随x的增大而 　增大　 （填“增大”或“减小”）．
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次函数的二次项系数及对称轴，判断函数的增减性，由此得到答案．
【解答】解：∵二次函数y＝2x2，开口向上，对称轴为y轴，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，
故答案为：增大．
【点评】本题考查了二次函数的性质，求出二次函数的对称轴为y轴，开口向上是解答本题的关键．
11．（2025 许昌一模）已知函数y＝（x+1）2，当x＞﹣1时，y随x的增大而 　增大　 ．（填“增大”或“减小”）
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】增大．
【分析】根据二次函数的解析式和二次函数的性质，可以写出当x＞﹣1时，y随x的增大如何变化．
【解答】解：∵y＝（x+1）2，
∴该函数图象开口向上，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
故答案为：增大．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12．（2024秋 滑县期末）二次函数y＝﹣2x2﹣1图象的顶点坐标为 　（0，﹣1）　 ．
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（0，﹣1）．
【分析】根据二次函数的性质，直接写出顶点坐标即可．
【解答】解：二次函数y＝﹣2x2﹣1图象的顶点坐标为：（0，﹣1）．
故答案为：（0，﹣1）．
【点评】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2023秋 武江区校级月考）在直角坐标系中，画出二次函数y＝x2﹣1的图象．
解：列表如下：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y …
　3　
　0　
　﹣1　
　0　
　3　
…
描点并连线．
【考点】二次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；几何直观．
【答案】见解答．
【分析】（1）把x的值代入y＝x2﹣1求得y的对应值即可；
（2）在平面直角坐标系中描点并连线即可得到函数图象．
【解答】解：（1）列表：
x ﹣2 ﹣1 0 1 2
y 3 0 ﹣1 0 3
故答案为：3；0；﹣1；0；3；
（2）描点并连线如图所示．
【点评】本题考查了二次函数的图象，正确地画出函数的图象是解题的关键．
14．（2023秋 思明区校级月考）画出二次函数y＝﹣（x+2）2的图象．
【考点】二次函数的图象．
【专题】作图题；二次函数图象及其性质；几何直观．
【答案】见解答．
【分析】根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象上的五个点，然后画出相应的函数图象即可．
【解答】解：二次函数y＝﹣（x+2）2，
∴该函数图象的顶点坐标为（﹣2，0），过点（﹣3，﹣1），（﹣1，﹣1），（﹣4，﹣4），（0，﹣4），
函数图象如图所示．
【点评】本题考查二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，写出函数图象上的五个关键点．
15．（2022春 曲阳县期中）在直角坐标系中，画出函数y＝2x2的图象（取值、描点、连线、画图）．
【考点】二次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；模型思想．
【答案】见解答．
【分析】根据列表、描点、连线，作出图象即可．
【解答】解：列表：
描点：如图，描出点：（﹣2，8），（﹣1，2），（0，0），（1，2），（2，8），
连线：如图所示，
【点评】本题考查画函数图象，一般步骤：列表：①表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；③连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来，正确求出各点坐标是解答本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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