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24.2.1 点和圆的位置关系
一．选择题（共7小题）
1．（2025 南山区校级三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，若⊙O的半径为1，则弦BC的长为（　　）
A．1 B．2 C． D．
2．（2025 桐柏县二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AB＝2，∠C＝45°，则⊙O的半径OA的长度为（　　）
A． B．1 C． D．2
3．（2025春 宁江区期中）如图，在⊙O的内接△ABC中，AB＝AC．射线CO与⊙O交于点D．若∠ABC＝76°，则∠DCB的度数为（　　）
A．52° B．62° C．68° D．72°
4．（2025 成都模拟）如图，⊙O是△ACD外接圆，AB是⊙O的直径，连接BC，∠D＝36°，则∠BAC的度数是（　　）
A．26° B．36° C．44° D．54°
5．（2025 武安市三模）对于题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝120°，求∠A的度数”小亮的解答：画出△ABC以及它的外接圆⊙O，连接OB，OC，如图，由∠BOC＝2∠A＝120°，得∠A＝60°，下列判断正确的是（　　）
A．小亮的求解不正确，∠A＝60°或120°
B．小亮的求解正确
C．小亮的求解不正确，∠A应该等于65°
D．小亮的求解不正确，∠A的度数不固定
6．（2025 连城县模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，CD是弦，连接OD，若∠B＝3∠D＝3α，则∠BOD的度数是（　　）
A．3α B．4α C．90°﹣α D．180°﹣5α
7．（2025 长安区校级四模）如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，连接BO并延长交⊙O于点D，交AC于点E，连接CD，若∠ACD＝18°，则∠BEC的大小为（　　）
A．46° B．50° C．54° D．58°
二．填空题（共5小题）
8．（2025 定海区模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB＝22°，则∠CAB＝ 　 　 ．
9．（2025 浙江模拟）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝22.5°，S△ABC＝8，则△ABC外接圆⊙O的面积为　 　 ．
10．（2025 新城区模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，DE为⊙O的弦，且，连接BE．若∠ABC＝65°，则∠E的度数为　 　 ．
11．（2025 徐州模拟）如图△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，作OD⊥BC，垂足为D，OD＝3，则AC＝　 　 ．
12．（2025 海门区一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝32°，D为斜边AB上一点，作△BCD的外接圆，交边AC于点E，若BC＝CE，则∠ACD的度数为 　 　 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2025 金水区校级模拟）如图，三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，连接BO并延长交⊙O于点D，连结AO，AD，CD．
（1）求证：∠ABC＝∠ADB；
（2）猜想OA与CD的位置关系，并说明理由．
14．（2025 高州市模拟）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交⊙O于点E，连接EA，EB．点D为的中点，连接DE交AC于点F．
（1）连接CD，判断四边形CBED的形状，并说明理由；
（2）求的值．
15．（2025 朝阳区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB直径，OD⊥AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC＝4，DE＝4，求BC的长．
24.2.1 点和圆的位置关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 南山区校级三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，若⊙O的半径为1，则弦BC的长为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理；垂径定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】D
【分析】根据圆周角定理得到∠BOC＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠OBC＝45°，解直角三角形得到答案．
【解答】解：由圆周角定理得：∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝45°，
∴BC，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理是解题的关键．
2．（2025 桐柏县二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AB＝2，∠C＝45°，则⊙O的半径OA的长度为（　　）
A． B．1 C． D．2
【考点】三角形的外接圆与外心．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】C
【分析】连接OB，根据圆周角定理求出∠AOB，根据等腰直角三角形的性质得到∠OAB＝45°，再根据余弦的定义计算即可．
【解答】解：如图，连接OB，
由圆周角定理得：∠AOB＝2∠C＝2×45°＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝45°，
∴OA＝AB cos∠OAB＝2，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．
3．（2025春 宁江区期中）如图，在⊙O的内接△ABC中，AB＝AC．射线CO与⊙O交于点D．若∠ABC＝76°，则∠DCB的度数为（　　）
A．52° B．62° C．68° D．72°
【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】连接BD，根据圆周角定理得到∠DBC＝90°，进而求出∠DBA，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠ABC＝76°，计算即可．
【解答】解：如图，连接BD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∴∠DBA＝∠DBC﹣∠ABC＝90°﹣76°＝14°，
由圆周角定理得：∠DCA＝∠DBA＝14°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝76°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠DCA＝76°﹣14°＝62°，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质是解题的关键．
4．（2025 成都模拟）如图，⊙O是△ACD外接圆，AB是⊙O的直径，连接BC，∠D＝36°，则∠BAC的度数是（　　）
A．26° B．36° C．44° D．54°
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】D
【分析】由圆周角定理得出∠B＝∠D＝36°，∠ACB＝90°，则可得出答案．
【解答】解：∵∠D＝36°，
∴∠B＝∠D＝36°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝180°﹣90°﹣36°＝54°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理及其推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半；直径所对的圆周角为直角．
5．（2025 武安市三模）对于题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝120°，求∠A的度数”小亮的解答：画出△ABC以及它的外接圆⊙O，连接OB，OC，如图，由∠BOC＝2∠A＝120°，得∠A＝60°，下列判断正确的是（　　）
A．小亮的求解不正确，∠A＝60°或120°
B．小亮的求解正确
C．小亮的求解不正确，∠A应该等于65°
D．小亮的求解不正确，∠A的度数不固定
【考点】三角形的外接圆与外心．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】A
【分析】分△ABC是锐角三角形、钝角三角形两种情况，根据圆周角定理、圆内接四边形的性质计算即可．
【解答】解：如图1，∠A∠BOC120°＝60°，
如图2，∠D∠BOC120°＝60°，
∵四边形ABDC为⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠D＝120°，
综上所述：∠A＝60°或120°，
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．
6．（2025 连城县模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，CD是弦，连接OD，若∠B＝3∠D＝3α，则∠BOD的度数是（　　）
A．3α B．4α C．90°﹣α D．180°﹣5α
【考点】三角形的外接圆与外心；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质分别求出∠OCB、∠OCD，进而求出∠DCB，再根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：如图，连接OC，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B＝3α，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠D＝α，
∴∠DCB＝∠OCB﹣∠OCD＝3α﹣α＝2α，
由圆周角定理得：∠BOD＝2∠DCB＝4α，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理是解题的关键．
7．（2025 长安区校级四模）如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，连接BO并延长交⊙O于点D，交AC于点E，连接CD，若∠ACD＝18°，则∠BEC的大小为（　　）
A．46° B．50° C．54° D．58°
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】C
【分析】连接AD，根据圆周角定理得到∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ACD＝18°，根据直角三角形的性质求出∠ADB，再根据圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：如图，连接AD，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
由圆周角定理得：∠ABD＝∠ACD＝18°，
∴∠ADB＝90°﹣18°＝72°，
由圆周角定理得：∠ACB＝∠ADB＝72°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∴∠BAC＝180°﹣72°×2＝36°，
∴∠BEC＝∠BAC+∠ABD＝36°+18°＝54°，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的外角性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2025 定海区模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB＝22°，则∠CAB＝ 　46°　 ．
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接OB，根据圆周角定理得∠AOB＝2∠ACB＝44°，然后根据等腰三角形”等边对等角“性质，结合三角形内角和定理得∠OAB＝∠OBA＝68°，接下来根据平行线的性质得∠OAC＝∠ACB＝22°，最后求出∠CAB＝∠OAB﹣∠OAC的值即可．
【解答】解：连接OB，
∵∠ACB＝22°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×22°＝44°，
∵OA＝OB，
∴，
∵OA∥CB，
∴∠OAC＝∠ACB＝22°，
∴∠CAB＝∠OAB﹣∠OAC＝68°﹣22°＝46°，
故答案为：46°．
【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆与外心，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9．（2025 浙江模拟）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝22.5°，S△ABC＝8，则△ABC外接圆⊙O的面积为　16π　 ．
【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；几何直观；推理能力．
【答案】16π．
【分析】先连接AO，BO，CO，在CB截取一点N，连接AN，使得AN＝AB，证明△ABN是等腰直角三角形，结合三角形的外角性质以及角的和差关系得∠ACB＝∠NAC＝22.5°，即AN＝NC，设AN＝a，则AB＝AN＝NC＝a，得，根据S△ABC＝8，得，整理得，运用圆周角定理以及勾股定理，得AB2﹣BW2＝AO2﹣OW2，再代入数值计算，即可作答．
【解答】解：△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝22.5°，S△ABC＝8，如图，连接AO，BO，CO，在CB截取一点N，连接AN，使得AN＝AB，
∴∠ANB＝45°，∠BAN＝90°，
即△ABN是等腰直角三角形，
∵∠ANB＝∠ACB+∠NAC，
∴∠NAC＝∠ANB﹣∠ACB＝22.5°，
即∠ACB＝∠NAC＝22.5°，
∴AN＝NC，
设AN＝a，
则AB＝AN＝NC＝a，
在直角三角形ABN中，由勾股定理得：，
过A作AH⊥BC，
∴，
同理证明△AHN是等腰直角三角形，
∴，
∵S△ABC＝8，
∴，
整理得，
过A作AW⊥BO，
∵，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×22.5°＝45°，
∵AW⊥BO，
∴△AWO是等腰直角三角形，
∴AW＝WO，
设AO＝BO＝r，
在直角三角形AOW中，由勾股定理得：AO2＝AW2+WO2＝2AW2，
即r2＝2AW2，
∴，
∴，
则AW2＝AB2﹣BW2，AW2＝AO2﹣OW2，
即AB2﹣BW2＝AO2﹣OW2，
∴，
∵，
∴，
整理得，
∴，
则△ABC外接圆⊙O的面积为πr2＝16π，
故答案为：16π．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
10．（2025 新城区模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，DE为⊙O的弦，且，连接BE．若∠ABC＝65°，则∠E的度数为　50°　 ．
【考点】三角形的外接圆与外心；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】50°．
【分析】连接OC、OD，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠BAC，根据圆周角定理求出∠BOC，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠DOC＝∠BOC＝50°，再根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：如图，连接OC、OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣65°＝25°，
由圆周角定理得：∠BOC＝2∠BAC＝50°，
∵，
∴∠DOC＝∠BOC＝50°，
∴∠DOB＝100°，
由圆周角定理得：∠E∠DOB100°＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理是解题的关键．
11．（2025 徐州模拟）如图△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，作OD⊥BC，垂足为D，OD＝3，则AC＝　6　 ．
【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理；三角形中位线定理；垂径定理；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】6．
【分析】由AB是⊙O的直径，证明O是AB的中点，由OD⊥BC，根据垂径定理得CD＝BD，则D是BC的中点，由三角形中位线定理得AC＝2OD＝6，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴O是AB的中点，
∵OD⊥BC，OD＝3，
∴CD＝BD，
∴D是BC的中点，
∴AC＝2OD＝6，
故答案为：6．
【点评】此题重点考查垂径定理、三角形中位线定理等知识，推导出O是AB的中点，且D是BC的中点是解题的关键．
12．（2025 海门区一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝32°，D为斜边AB上一点，作△BCD的外接圆，交边AC于点E，若BC＝CE，则∠ACD的度数为 　13°　 ．
【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接BE，根据等腰直角三角形的性质求出∠CEB＝45°，根据三角形的外角性质求出∠ABE，再根据圆周角定理求出∠ACD．
【解答】解：如图，连接BE，
在Rt△BCE中，CB＝CE，
则∠CEB＝∠CBE＝45°，
∵∠CEB是△ABE的外角，
∴∠ABE＝∠CEB﹣∠A＝45°﹣32°＝13°，
由圆周角定理得：∠ACD＝∠ABE＝13°，
故答案为：13°．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、三角形的外角性质是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2025 金水区校级模拟）如图，三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，连接BO并延长交⊙O于点D，连结AO，AD，CD．
（1）求证：∠ABC＝∠ADB；
（2）猜想OA与CD的位置关系，并说明理由．
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）OA∥CD，理由见解析．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB，证明∠ABC＝∠ADB；
（2）根据垂径定理得到∠BAO＝∠CAO，根据圆周角定理得到∠ABO＝∠ACD，得到∠CAO＝∠ACD，根据平行线的判定证明即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
由圆周角定理得：∠ACB＝∠ADB，
∴∠ABC＝∠ADB；
（2）解：OA∥CD，理由如下：
∵AB＝AC，
∴AO⊥BC，
∴∠BAO＝∠CAO，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO，
∴∠ABO＝∠CAO，
由圆周角定理得：∠ABO＝∠ACD，
∴∠CAO＝∠ACD，
∴OA∥CD．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键．
14．（2025 高州市模拟）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交⊙O于点E，连接EA，EB．点D为的中点，连接DE交AC于点F．
（1）连接CD，判断四边形CBED的形状，并说明理由；
（2）求的值．
【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）四边形CBED是矩形，理由见解答；
（2）的值是．
【分析】（1）连接OD、OA、OB，由⊙O是等边三角形ABC的外接圆，得AC＝BC，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝120°，∠ACB＝60°，因为，所以CE垂直平分AB，则∠ACE＝∠BCE＝30°，由，得∠AOD＝∠COD＝60°，则∠CED∠COD＝30°，∠DOE＝120°，所以∠CED＝∠BCE，∠DOE＝∠BOC，则DE∥BC，且DE＝BC，而∠CDE＝90°，所以四边形CBED是矩形；
（2）由∠CED＝∠ACE＝30°，得CF＝EF，因为∠CDF＝90°，∠FCD∠AOD＝30°，所以DFCFEF，求得．
【解答】解：（1）四边形CBED是矩形，
理由：连接OD、OA、OB，
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，CE是⊙O的直径，
∴AC＝BC，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB360°＝120°，∠ACB＝60°，
∴，∠AOE＝180°﹣∠AOC＝60°，
∴CE垂直平分AB，
∴∠ACE＝∠BCE∠ACB＝30°，
∵点D为的中点，
∴，
∴∠AOD＝∠COD∠AOC＝60°，
∴∠CED∠COD＝30°，
∴∠DOE＝∠AOD+∠AOE＝120°，
∴∠CED＝∠BCE，∠DOE＝∠BOC，
∴DE∥BC，且DE＝BC，
∴四边形CBED是平行四边形，
∵∠CDE＝90°，
∴四边形CBED是矩形．
（2）∵∠CED＝∠ACE＝30°，
∴CF＝EF，
∵∠CDF＝90°，∠FCD∠AOD＝30°，
∴DFCF，
∴DFEF，
∴，
∴的值是．
【点评】此题重点考查等边三角形的性质、正多边形和圆、垂径定理、圆周角定理、矩形的判定、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
15．（2025 朝阳区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB直径，OD⊥AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC＝4，DE＝4，求BC的长．
【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理；垂径定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】BC的长是2．
【分析】由OD⊥AC于点D，根据垂径定理得AD＝CDAC＝2，由勾股定理得OD2+（2）2＝（4﹣OD）2，求得OD＝1，则BC＝2OD＝2．
【解答】解：∵OD⊥AC于点D，AC＝4，DE＝4，
∴AD＝CDAC＝2，∠ADO＝90°，
∵OD2+AD2＝OA2，且OA＝OE＝4﹣OD，
∴OD2+（2）2＝（4﹣OD）2，
解得OD＝1，
∵O是AB的中点，D是AC的中点，
∴BC＝2OD＝2，
∴BC的长是2．
【点评】此题重点考查垂径定理、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，正确地求出AD的长进而求出OD的长是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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