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四川省达州市渠县文崇中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学测试题
满分：150分 时间：120分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2．菱形的两条对角线长分别为3和4，那么这个菱形的面积为（ ）
A．12 B．6 C．5 D．7
3． 是下列哪个一元二次方程的根？（ ）
A. B. C. D.
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形
C．三条边相等的四边形是菱形 D．一组邻边相等的矩形是正方形
5.若关于x的方程有实数根，则的值为（ ）
A．－4 B．2 C．－4或2 D．4或－2
6．某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，点在矩形的边上，△ADE沿直线折叠，使点落在边上的点处，已知，，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
8.若关于y的一元二次方程y2+my+n=0的两个实数根互为相反数,则 (　　)
A.m=0且n≥0 B.n=0且m≥0 C.m=0且n≤0 D.n=0且m≤0
9．如图，在中，，，分别是斜边上的高和中线，，，则的长为　　
A． B．4 C． D．
10．如图①，在正方形中，点P以每秒的速度从点A出发，沿的路径运动，到点C停止．过点P作，与边（或边）交于点Q，的长度与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图②所示，当点P运动3.5秒时，的长是______．
A． B． C． D．2
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．关于的方程是一元二次方程，则的值为 ．
12.关于x的方程的一根为1，则另一根为_________．
13．如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为 ．
14.探索一元二次方程x2+3x-5=0的一个正数解的过程如下表:
x -1 0 1 2 3 4
x2+3x-5 -7 -5 -1 5 13 23
从表中可以看出方程x2+3x-5=0的一个正数解在相邻整数a和b之间,则整数a,b分别是　　　　.
15．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，且∠CDF＝18°，则∠DAF＝ 度.
三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分）
16．（8分）解方程：(1)； (2)．
17．（8分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，BE＝DF，连接CE，AF．求证：AF＝CE．
18．（8分）如图，已知四边形为菱形，过点C分别作，的垂线，垂足分别为E，F，证明：．
19.（8分）已知关于的一元二次方程.
（1） 求证：方程总有两个实数根；
（2） 若方程有一个根为1，求的值.
20．（8分）已知关于的一元二次方程为．
(1)求证：无论为何值，此方程一定有实数根；
(2)若，是该方程的两个不同的根，且满足，求的值．
21．（8分）如图，在□ABCD中，点E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥BD，且CF=DE，连接AE、BF、EF．
（1）求证：△ADE≌△BCF；
（2）若∠BFC－∠ABE=90°，判断四边形ABFE的形状，并证明你的结论．
22．（10分）在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况．
(1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率；
(2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？
23．（10分）在平行四边形中，连接、交于点，点为的中点，连接并延长交于的延长线于点．
（1）求证：为的中点；
（2）若，，连接DF，试判断四边形ACDF的形状，并说明理由．
24．（10分）阅读与思考：
配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．
例如：.
（1）解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解.
① ；② .
（2）深入研究：试说明多项式的值总是一个正数.
（3）拓展运用：已知，，分别是的三边长，且，试判断的形状，并说明理由．
25．（12分）已知，在中，，，点为直线上一动点（点不与点B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
(1)如图1，当点D在线段BC上时，求证：；
(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线 之间的关系；
(3)如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变，求CF、BC、CD三条线段之间的关系．

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