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浙江省杭州市2025-2026学年第一学期八年级数学期中复习训练试卷（解析版）
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1.下列四个图形中，是轴对称图形的是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，对选项进行分析即可．
【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意；
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故符合题意．
故选：D．
2．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（　 　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系：通过验证两短边和大于最大边，即可进行判断．
【详解】解：A、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；
B、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；
C、，符合三角形三边关系，故能构成三角形；
D、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；
故选C．
若，则下列式子中错误的是（　 　）
A．x－3>y－3 B． C．x+3>y+3 D．－3x>－3y
【答案】D
【分析】根据不等式的基本性质，依次判断即可．
【详解】A、由于x>y，则x 3>y 3，故A正确；
B、由于x>y，则，故B正确；
C、由于x>y，则x+3>y+3，故C正确；
D、由于x>y，则 3x＜ 3y，故D错误．
故选D．
4．若等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为（　 　）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质．由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论．
【详解】解：当的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数；
当的角为等腰三角形的底角时，其底角为，
故它的底角的度数是或．
故选：C．
5. 对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，
能说明这个命题是假命题的是（　 　）
A．a=3，b=2 B．a=－3，b=2 C．a=3，b=－1 D．a=－1，b=3
【答案】B
【详解】试题解析：在A中，a2=9，b2=4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
在B中，a2=9，b2=4，且－3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题；
在C中，a2=9，b2=1，且3＞－1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
在D中，a2=1，b2=9，且－1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
故选B．
6. 水果店进了某种水果1吨，进价7元/千克，出售价为11元/千克，卖掉一半后准备打折出售，
如果要使总利润不低于3450元，应至少（　 　）折出售．
A．7折 B．8折 C．8.5折 D．9折
【答案】D
【分析】此题主要考查了不等式的应用，设余下水果可按原定价打折出售，分别表示出打折前后的利润，进而得出不等式求出即可．
【详解】解：设余下水果可按原定价打折出售，根据题意可得：
，
解得：，
即应至少九折出售余下水果．
故选：D．
如图，中，、的平分线相交于，过点且与平行．
的周长为，的周长为，则的长为（　 　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，及平行线的性质，由为角平分线，得到一对角相等，再由平行于，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，等量代换可得出，利用等角对等边得到，同理得到，而三角形的周长等于三边相加，即，其中，，等量代换后可得出三角形的周长等于三角形的周长与的和，即等于两三角形的周长之差，将两三角形的周长代入，即可求出的长．
【详解】解：平分，
，
又，
，
，
，
同理可得，
，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，
两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．
若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，
小丽距离地面的高度是（　 　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案．
【详解】解：，
，
，，
，，
，，
又，
，
，，
．
故选：D．
9． 如图，等腰的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．
若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　 　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接，
∵是等腰三角形，点D是边的中点，
∴，，
∴，
解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴点C关于直线的对称点为点A，
∴的长为的最小值，
∴周长的最小值为．
故选：C．
如图，在中，，于点，平分，
且于点，与相交于点，于点，交于点．下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的是（　 　）

A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据可得出 , 利用判定,从而得出.则,即； 再利用判定 , 得出又因为所以 连接.因为是等腰直角三角形, 即.又因为,那么垂直平分.即.在中, 是斜边, 是直角边, 所以.即.
【详解】解：∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，故①正确；
在和中，
∵,, 且，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
在和中
∵平分，
∴，
又∵,，
∴，
，
又由,知，
∴，故③正确；
连接，

∵是等腰直角三角形，
∴，
又，
∴垂直平分，
∴，
在中，
∵是斜边，是直角边，
∴，
∵，
∴，故④错误；
综上分析可知，正确的是①②③．
故选：．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共6分．请将正确答案填写在横线上）
11．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A = ．
【答案】/80度
【分析】根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：由三角形的外角性质得：，
，
，
解得，
故答案为：．
12.如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，
其实他们仅仅少走了___________步路，却踩伤了花草（假设2步为1米）．
【答案】
【解析】
分析】根据勾股定理即可求解．
【详解】解：根据题意得，“路”的长度，即步，
是步，是步，共步，
∴少走了步，
故答案为：步．
13. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，
作直线分别交于点D，E．若，的周长为，则的周长为 ．

【答案】
【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质．熟练掌握作垂线，垂直平分线的性质是解题的关键．
由作图过程可知，是线段的垂直平分线，则，，由题意知，的周长为，根据的周长为，计算求解即可．
【详解】解：由作图过程可知，是线段的垂直平分线，
∴，，
由题意知，的周长为，
∴的周长为，
故答案为：．
如图，这是李强同学设计的一个计算机程序，
规定从“输入一个x值“到判断“结果是否≥15为一次运行过程，如果程序运行两次就停止，
那么x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意和题目中的运算程序可以得到，然后求解即可．
本题考查一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组．
【详解】解：由题意可得，
，
解得，
故答案为：．
15. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．
【答案】76
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个即风车的外围周长．
【详解】解：依题意，可得“数学风车”中的四个大直角三角形的两条直角边长分别为5和12，
“数学风车”中的四个大直角三角形的斜边长为：，
这个风车的外围周长是，
故答案为：76．
16 ．如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正和正，
与交于点，与交于点，与交于点，连接；以下四个结论：
①；②；③；④；
其中正确的的结论是 （填序号）．
【答案】①②④
【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的判定．熟练掌握等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的判定是解题的关键．证明，得出即可判断①正确；证明，得出，根据，得出为等边三角形，得出，即可判断②正确；根据，，结合三角形内角和定理得出，即可判断③错误；根据可得：，根据，证明，即可判断④正确．
【详解】解：①等边和等边，
，，，
，即，
∴，
，故正确；
②∵，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
，
又，
∴为等边三角形，
，
，故正确；
③，且，
，
，故错误；
④由可得：，
，
，则，
，故④正确；
所以正确的结论有三个：．
故答案为：．
三、解答题：（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 如图，于点，于点，与交于点，．求证：．

【答案】证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，先根据判定，再根据判定，即可证明，准确找到边长之间的关系和角度之间的关系是解题的关键．
【详解】证明：连接，如图所示：
，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴．
18. 解下列不等式（组）
(1)， (2)并把它的解集表示在数轴上；
【答案】(1)
(2)，数轴表示见解析
【分析】（1）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】（1）解：
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，；
（2）
解不等式①，移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
解不等式②，去分母得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
故不等式组的解集为：．
数轴表示如下：

19．如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上．
(1)作关于直线对称的图形；
(2)若网格中最小正方形的边长为，求的面积；
(3)在直线上找一点，则的最小值为______．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了作图 轴对称变换，轴对称 最短路径问题，三角形的面积，勾股定理等知识点，解决本题的关键是掌握轴对称的性质准确作出点P．
（1）根据轴对称的性质即可作出；
（2）根据网格即可求的面积；
（3）连接交直线于点P，此时的值最小．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：的面积为．
（3）解：连接，交直线于点，连接，
此时，为最小值．
由勾股定理得，，
的最小值为．
故答案为：．
20．如图，点B、C、E、F在同一直线上，点A、D在BC的异侧，AB＝CD，BF＝CE，∠B＝∠C．
求证：△ABE≌△DCF；
若∠A＋∠D＝144°，∠C＝30°，求∠AEC的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)∠AEC=102°
【分析】（1）由BF＝CE，得BE＝CF，再利用SAS证明△ABE≌△DCF；
（2）由（1）知，∠A＝∠D，∠AEB＝∠DFC，可知∠D＝72°，再利用三角形外角的性质∠DFB＝∠C+∠D＝102°，从而得出答案．
【详解】（1）解：证明：∵BF＝CE，
∴BE＝CF，
在△ABE与△DCF中，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
（2）解：由（1）知，△ABE≌△DCF，
∴∠AEB＝∠DFC，∠A＝∠D，
∵∠AEB+∠AEC＝180°
∠DFC+∠DFB=180°
∴∠AEC＝∠DFB，
∵∠A+∠D＝144°，
∴∠D＝72°，
又∵∠C＝30°，
∴∠DFB＝∠C+∠D＝102°，
∴∠AEC＝102°．
21．勾股定理是人类早期发现并证明的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
(1)应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．
如图1．在数轴上找出表示的点A，表示1的点B，过点B作直线l垂直于，在l上取点C，使，以点A为圆心，为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为______．
(2)应用场景2：解决实际问题．
如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，踏板离地的垂直高度，整个过程中它的绳索始终拉直，求秋千绳的长．（作于D）
【答案】(1)
(2)秋千绳的长为
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，关键是正确理解题意，表示出，的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
（1）根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可．
（2）设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论．
【详解】（1）在中，
，
，
点表示的数是；
（2）设秋千绳索的长度为，
由题意可得，
四边形为矩形，，，，，
，，
在中，，
即，
解得，
即的长度为，
答：绳索的长为．
刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．
已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，
购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元．
(1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？
(2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，
那么最多能购买A种湘绣作品多少件？
【答案】(1)A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元
(2)最多能购买100件A种湘绣作品
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．
（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，根据“购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可解题；
（2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件，总费用单价数量，结合总费用不超过50000元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的值，再取其中的最大整数值即可得出该校最大可以购买湘绣的数量．
【详解】（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元．
根据题意，得
，
解得
答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元．
（2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件．
根据题意，得，
解得．
答：最多能购买100件A种湘绣作品．
23.已知：如图，在中，于点D，E是上一点，连结交点于点F，，．
求证：．
求证：．
若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理．
（1）利用证明，即可；
（2）利用，得，从而证得，即可得出结论；
（3）利用得，从而求得，利用勾股定理求得，再利用等积法求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵
∴，
∴．
24．某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角△和等腰直角△，按如图1的方式摆放，．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
(1)【初步探究】
如图1，试探究与的位置关系，并说明理由；
(2)【深入探究】
如图2，当、、三点共线时，请探究此位置时线段、、之间的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图3，当、、三点不共线时，连接，延长交于点，连接，
请猜想此位置时线段、、之间的数量关系：______．
【答案】(1)平行，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，即可得出结论；
（2）由等腰直角三角形的性质易推出，由全等三角形的性质等量代换，即可得出结论；
（3）由及等腰直角三角形的性质推出，由全等三角形的性质等量代换，即可得出结论；
【详解】（1）解：，理由如下：
如图1，
和是等腰直角三角形，
，
；
（2）解：，理由如下：
如图2，
和是等腰直角三角形，
，，，，
，
，
，
，
；
（3）解：，理由如下：
如图4，过点作交于点，
由（2）知，，
，
，，
，
，，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
．
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浙江省杭州市2025-2026学年第一学期八年级数学期中复习训练试卷
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1.下列四个图形中，是轴对称图形的是（　 　）
A． B． C． D．
2．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（　 　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
若，则下列式子中错误的是（　 　）
A．x－3>y－3 B． C．x+3>y+3 D．－3x>－3y
4．若等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为（　 　）
A． B． C．或 D．或
5. 对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，
能说明这个命题是假命题的是（　 　）
A．a=3，b=2 B．a=－3，b=2 C．a=3，b=－1 D．a=－1，b=3
6. 水果店进了某种水果1吨，进价7元/千克，出售价为11元/千克，卖掉一半后准备打折出售，
如果要使总利润不低于3450元，应至少（　 　）折出售．
A．7折 B．8折 C．8.5折 D．9折
如图，中，、的平分线相交于，过点且与平行．
的周长为，的周长为，则的长为（　 　）
A． B． C． D．
小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，
两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．
若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，
小丽距离地面的高度是（　 　）

A． B． C． D．
9． 如图，等腰的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．
若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　 　）
A．6 B．8 C．10 D．12
如图，在中，，于点，平分，
且于点，与相交于点，于点，交于点．下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的是（　 　）

A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共6分．请将正确答案填写在横线上）
11．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A = ．
12.如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，
其实他们仅仅少走了___________步路，却踩伤了花草（假设2步为1米）．
13. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，
作直线分别交于点D，E．若，的周长为，则的周长为 ．

如图，这是李强同学设计的一个计算机程序，
规定从“输入一个x值“到判断“结果是否≥15为一次运行过程，如果程序运行两次就停止，
那么x的取值范围是 ．
15. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．
16 ．如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正和正，
与交于点，与交于点，与交于点，连接；以下四个结论：
①；②；③；④；
其中正确的的结论是 （填序号）．
三、解答题：（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 如图，于点，于点，与交于点，．求证：．

18. 解下列不等式（组）
(1)， (2)并把它的解集表示在数轴上；
19．如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上．
(1)作关于直线对称的图形；
(2)若网格中最小正方形的边长为，求的面积；
(3)在直线上找一点，则的最小值为______．
20．如图，点B、C、E、F在同一直线上，点A、D在BC的异侧，AB＝CD，BF＝CE，∠B＝∠C．
求证：△ABE≌△DCF；
若∠A＋∠D＝144°，∠C＝30°，求∠AEC的度数．
21．勾股定理是人类早期发现并证明的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
(1)应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．
如图1．在数轴上找出表示的点A，表示1的点B，过点B作直线l垂直于，在l上取点C，使，以点A为圆心，为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为______．
(2)应用场景2：解决实际问题．
如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，踏板离地的垂直高度，整个过程中它的绳索始终拉直，求秋千绳的长．（作于D）
刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．
已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，
购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元．
(1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？
(2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，
那么最多能购买A种湘绣作品多少件？
23.已知：如图，在中，于点D，E是上一点，连结交点于点F，，．
求证：．
求证：．
若，，求的长．
24．某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角△和等腰直角△，按如图1的方式摆放，．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
(1)【初步探究】
如图1，试探究与的位置关系，并说明理由；
(2)【深入探究】
如图2，当、、三点共线时，请探究此位置时线段、、之间的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图3，当、、三点不共线时，连接，延长交于点，连接，
请猜想此位置时线段、、之间的数量关系：______．
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