浙江省杭州市2025-2026学年第一学期八年级数学期中复习训练试卷(原卷+解析版)

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浙江省杭州市2025-2026学年第一学期八年级数学期中复习训练试卷(解析版)
全卷共三大题,24小题,满分为120分.
一、选择题:本题共10题,每题3分,共30分.每小题只有一个选项符合题目要求.
1.下列四个图形中,是轴对称图形的是(   )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴,对选项进行分析即可.
【详解】解:A,B,C选项中的图形都不能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以不是轴对称图形,故不符合题意;
D选项中的图形能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以是轴对称图形,故符合题意.
故选:D.
2.下列长度的三条线段中,能组成三角形的是(   )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系:通过验证两短边和大于最大边,即可进行判断.
【详解】解:A、,不符合三角形三边关系,故不能构成三角形;
B、,不符合三角形三边关系,故不能构成三角形;
C、,符合三角形三边关系,故能构成三角形;
D、,不符合三角形三边关系,故不能构成三角形;
故选C.
若,则下列式子中错误的是(   )
A.x-3>y-3 B. C.x+3>y+3 D.-3x>-3y
【答案】D
【分析】根据不等式的基本性质,依次判断即可.
【详解】A、由于x>y,则x 3>y 3,故A正确;
B、由于x>y,则,故B正确;
C、由于x>y,则x+3>y+3,故C正确;
D、由于x>y,则 3x< 3y,故D错误.
故选D.
4.若等腰三角形的一个内角为,则这个等腰三角形的底角为(   )
A. B. C.或 D.或
【答案】C
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质.由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角,故应分的角是顶角和底角两种情况讨论.
【详解】解:当的角为等腰三角形的顶角时,
底角的度数;
当的角为等腰三角形的底角时,其底角为,
故它的底角的度数是或.
故选:C.
5. 对于命题“若a2>b2,则a>b”,下面四组关于a,b的值中,
能说明这个命题是假命题的是(   )
A.a=3,b=2 B.a=-3,b=2 C.a=3,b=-1 D.a=-1,b=3
【答案】B
【详解】试题解析:在A中,a2=9,b2=4,且3>2,满足“若a2>b2,则a>b”,故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题;
在B中,a2=9,b2=4,且-3<2,此时虽然满足a2>b2,但a>b不成立,故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题;
在C中,a2=9,b2=1,且3>-1,满足“若a2>b2,则a>b”,故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题;
在D中,a2=1,b2=9,且-1<3,此时满足a2<b2,得出a<b,即意味着命题“若a2>b2,则a>b”成立,故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题;
故选B.
6. 水果店进了某种水果1吨,进价7元/千克,出售价为11元/千克,卖掉一半后准备打折出售,
如果要使总利润不低于3450元,应至少(   )折出售.
A.7折 B.8折 C.8.5折 D.9折
【答案】D
【分析】此题主要考查了不等式的应用,设余下水果可按原定价打折出售,分别表示出打折前后的利润,进而得出不等式求出即可.
【详解】解:设余下水果可按原定价打折出售,根据题意可得:

解得:,
即应至少九折出售余下水果.
故选:D.
如图,中,、的平分线相交于,过点且与平行.
的周长为,的周长为,则的长为(   )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质,及平行线的性质,由为角平分线,得到一对角相等,再由平行于,利用两直线平行内错角相等,得到一对角相等,等量代换可得出,利用等角对等边得到,同理得到,而三角形的周长等于三边相加,即,其中,,等量代换后可得出三角形的周长等于三角形的周长与的和,即等于两三角形的周长之差,将两三角形的周长代入,即可求出的长.
【详解】解:平分,

又,



同理可得,

∴,
∵,
∴.
故选:C.
小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图,小丽坐在秋千的起始位置A处,与地面垂直,
两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推,爸爸在C处接住她.
若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和,.爸爸在C处接住小丽时,
小丽距离地面的高度是(   )

A. B. C. D.
【答案】D
【分析】利用全等三角形判定,证得与全等,根据全等三角形性质可求出和的值,进而求出的值,最后根据,即可求出问题答案.
【详解】解:,

,,
,,
,,
又,

,,

故选:D.
9. 如图,等腰的底边长为4,面积是16,腰的垂直平分线分别交边于E,F点.
若点D为边的中点,点M为线段上一动点,则周长的最小值为(   )
A.6 B.8 C.10 D.12
【答案】C
【分析】连接,由于是等腰三角形,点D是边的中点,故,再根据三角形的面积公式求出的长,再根据是线段的垂直平分线可知,点C关于直线的对称点为点A,故的长为的最小值,由此即可得出结论.
【详解】解:连接,
∵是等腰三角形,点D是边的中点,
∴,,
∴,
解得,
∵是线段的垂直平分线,
∴点C关于直线的对称点为点A,
∴的长为的最小值,
∴周长的最小值为.
故选:C.
如图,在中,,于点,平分,
且于点,与相交于点,于点,交于点.下列结论:
①;②;③;④.
其中正确的是(   )

A.①② B.①③ C.①②③ D.①②③④
【答案】C
【分析】根据可得出 , 利用判定,从而得出.则,即; 再利用判定 , 得出又因为所以 连接.因为是等腰直角三角形, 即.又因为,那么垂直平分.即.在中, 是斜边, 是直角边, 所以.即.
【详解】解:∵,
∴是等腰直角三角形,
∴,故①正确;
在和中,
∵,, 且,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∵,
∴,故②正确;
在和中
∵平分,
∴,
又∵,,
∴,

又由,知,
∴,故③正确;
连接,

∵是等腰直角三角形,
∴,
又,
∴垂直平分,
∴,
在中,
∵是斜边,是直角边,
∴,
∵,
∴,故④错误;
综上分析可知,正确的是①②③.
故选:.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共6分.请将正确答案填写在横线上)
11.如图,在△ABC中,D是BC延长线上一点,∠B=40°,∠ACD=120°,则∠A = .
【答案】/80度
【分析】根据三角形的外角性质即可得.
【详解】解:由三角形的外角性质得:,


解得,
故答案为:.
12.如图,学校有一块长方形花圃,有少数人为了走“捷径”,在花圃内走出一条不文明的“路”,
其实他们仅仅少走了___________步路,却踩伤了花草(假设2步为1米).
【答案】
【解析】
分析】根据勾股定理即可求解.
【详解】解:根据题意得,“路”的长度,即步,
是步,是步,共步,
∴少走了步,
故答案为:步.
13. 如图,在中,分别以点A和点C为圆心,大于长为半径画弧,两弧相交于点M,N,
作直线分别交于点D,E.若,的周长为,则的周长为 .

【答案】
【分析】本题考查了作垂线,垂直平分线的性质.熟练掌握作垂线,垂直平分线的性质是解题的关键.
由作图过程可知,是线段的垂直平分线,则,,由题意知,的周长为,根据的周长为,计算求解即可.
【详解】解:由作图过程可知,是线段的垂直平分线,
∴,,
由题意知,的周长为,
∴的周长为,
故答案为:.
如图,这是李强同学设计的一个计算机程序,
规定从“输入一个x值“到判断“结果是否≥15为一次运行过程,如果程序运行两次就停止,
那么x的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意和题目中的运算程序可以得到,然后求解即可.
本题考查一元一次不等式组的应用,解答本题的关键是明确题意,列出相应的不等式组.
【详解】解:由题意可得,

解得,
故答案为:.
15. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.若,,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到如图所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是 .
【答案】76
【分析】本题考查了勾股定理的应用,根据题意可知为直角,利用勾股定理求得外围中一条边,又由延伸一倍,从而求得风车的一个轮子,进一步求得四个即风车的外围周长.
【详解】解:依题意,可得“数学风车”中的四个大直角三角形的两条直角边长分别为5和12,
“数学风车”中的四个大直角三角形的斜边长为:,
这个风车的外围周长是,
故答案为:76.
16 .如图,为线段上一动点(不与点,重合),在同侧分别作正和正,
与交于点,与交于点,与交于点,连接;以下四个结论:
①;②;③;④;
其中正确的的结论是 (填序号).
【答案】①②④
【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的判定.熟练掌握等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的判定是解题的关键.证明,得出即可判断①正确;证明,得出,根据,得出为等边三角形,得出,即可判断②正确;根据,,结合三角形内角和定理得出,即可判断③错误;根据可得:,根据,证明,即可判断④正确.
【详解】解:①等边和等边,
,,,
,即,
∴,
,故正确;
②∵,
∴,
∵,

∴,
∵,
∴,

又,
∴为等边三角形,

,故正确;
③,且,

,故错误;
④由可得:,

,则,
,故④正确;
所以正确的结论有三个:.
故答案为:.
三、解答题:(本大题共8个小题,共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 如图,于点,于点,与交于点,.求证:.

【答案】证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,先根据判定,再根据判定,即可证明,准确找到边长之间的关系和角度之间的关系是解题的关键.
【详解】证明:连接,如图所示:

∵,,
∴,
在和中,

∴,
∴,
在中,

∴,
∴.
18. 解下列不等式(组)
(1), (2)并把它的解集表示在数轴上;
【答案】(1)
(2),数轴表示见解析
【分析】(1)不等式去分母,去括号,移项合并,把x系数化为1,即可求出解;
(2)分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可.
【详解】(1)解:
移项得,
合并同类项得,
系数化为1得,;
(2)
解不等式①,移项,合并同类项得,
系数化为1得,;
解不等式②,去分母得,
移项,合并同类项得,
系数化为1得,;
故不等式组的解集为:.
数轴表示如下:

19.如图,在正方形网格中,点,,,,都在格点上.
(1)作关于直线对称的图形;
(2)若网格中最小正方形的边长为,求的面积;
(3)在直线上找一点,则的最小值为______.
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了作图 轴对称变换,轴对称 最短路径问题,三角形的面积,勾股定理等知识点,解决本题的关键是掌握轴对称的性质准确作出点P.
(1)根据轴对称的性质即可作出;
(2)根据网格即可求的面积;
(3)连接交直线于点P,此时的值最小.
【详解】(1)解:如图,即为所求.
(2)解:的面积为.
(3)解:连接,交直线于点,连接,
此时,为最小值.
由勾股定理得,,
的最小值为.
故答案为:.
20.如图,点B、C、E、F在同一直线上,点A、D在BC的异侧,AB=CD,BF=CE,∠B=∠C.
求证:△ABE≌△DCF;
若∠A+∠D=144°,∠C=30°,求∠AEC的度数.
【答案】(1)见解析;
(2)∠AEC=102°
【分析】(1)由BF=CE,得BE=CF,再利用SAS证明△ABE≌△DCF;
(2)由(1)知,∠A=∠D,∠AEB=∠DFC,可知∠D=72°,再利用三角形外角的性质∠DFB=∠C+∠D=102°,从而得出答案.
【详解】(1)解:证明:∵BF=CE,
∴BE=CF,
在△ABE与△DCF中,
∴△ABE≌△DCF(SAS),
(2)解:由(1)知,△ABE≌△DCF,
∴∠AEB=∠DFC,∠A=∠D,
∵∠AEB+∠AEC=180°
∠DFC+∠DFB=180°
∴∠AEC=∠DFB,
∵∠A+∠D=144°,
∴∠D=72°,
又∵∠C=30°,
∴∠DFB=∠C+∠D=102°,
∴∠AEC=102°.
21.勾股定理是人类早期发现并证明的数学定理之一,是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一.它不但因证明方法层出不穷吸引着人们,更因为应用广泛而使人入迷.
(1)应用场景1:在数轴上画出表示无理数的点.
如图1.在数轴上找出表示的点A,表示1的点B,过点B作直线l垂直于,在l上取点C,使,以点A为圆心,为半径作弧,弧与数轴的交点D表示的数为______.
(2)应用场景2:解决实际问题.
如图2,秋千静止时,踏板离地的垂直高度,将它往前推至C处时,踏板离地的垂直高度,整个过程中它的绳索始终拉直,求秋千绳的长.(作于D)
【答案】(1)
(2)秋千绳的长为
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明,关键是正确理解题意,表示出,的长,掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方.
(1)根据勾股定理求出,根据实数与数轴解答即可.
(2)设秋千的绳索长为,根据题意可得,利用勾股定理可得,即可得到结论.
【详解】(1)在中,


点表示的数是;
(2)设秋千绳索的长度为,
由题意可得,
四边形为矩形,,,,,
,,
在中,,
即,
解得,
即的长度为,
答:绳索的长为.
刺绣是我国民间传统手工艺.湘绣作为中国四大刺绣之一,闻名中外,在巴黎奥运会倒计时50天之际,某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品.
已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元,
购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元.
(1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元?
(2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件,总费用不超过50000元,
那么最多能购买A种湘绣作品多少件?
【答案】(1)A种湘绣作品的单价为300元,B种湘绣作品的单价为200元
(2)最多能购买100件A种湘绣作品
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用.
(1)设A种湘绣作品的单价为x元,B种湘绣作品的单价为y元,根据“购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元,购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可解题;
(2)设购买A种湘绣作品a件,则购买B种湘绣作品件,总费用单价数量,结合总费用不超过50000元,即可得出关于a的一元一次不等式,解之即可得出a的值,再取其中的最大整数值即可得出该校最大可以购买湘绣的数量.
【详解】(1)设A种湘绣作品的单价为x元,B种湘绣作品的单价为y元.
根据题意,得

解得
答:A种湘绣作品的单价为300元,B种湘绣作品的单价为200元.
(2)设购买A种湘绣作品a件,则购买B种湘绣作品件.
根据题意,得,
解得.
答:最多能购买100件A种湘绣作品.
23.已知:如图,在中,于点D,E是上一点,连结交点于点F,,.
求证:.
求证:.
若,,求的长.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质,三角形的面积,勾股定理.
(1)利用证明,即可;
(2)利用,得,从而证得,即可得出结论;
(3)利用得,从而求得,利用勾股定理求得,再利用等积法求解即可.
【详解】(1)证明:∵,
∴,
∵,,
∴.
(2)证明:∵,
∴,
∵,
∴,
∴.
(3)解:∵,
∴,
∵,,
∴,,

∴,
∴.
24.某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中,将两块大小不同的等腰直角△和等腰直角△,按如图1的方式摆放,.该数学兴趣小组进行如下探究,请你帮忙解答:
(1)【初步探究】
如图1,试探究与的位置关系,并说明理由;
(2)【深入探究】
如图2,当、、三点共线时,请探究此位置时线段、、之间的数量关系,并说明理由;
(3)【拓展延伸】
如图3,当、、三点不共线时,连接,延长交于点,连接,
请猜想此位置时线段、、之间的数量关系:______.
【答案】(1)平行,理由见解析
(2),理由见解析
(3)
【分析】(1)根据同位角相等,两直线平行,即可得出结论;
(2)由等腰直角三角形的性质易推出,由全等三角形的性质等量代换,即可得出结论;
(3)由及等腰直角三角形的性质推出,由全等三角形的性质等量代换,即可得出结论;
【详解】(1)解:,理由如下:
如图1,
和是等腰直角三角形,


(2)解:,理由如下:
如图2,
和是等腰直角三角形,
,,,,





(3)解:,理由如下:
如图4,过点作交于点,
由(2)知,,

,,

,,

,,
为等腰直角三角形,


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全卷共三大题,24小题,满分为120分.
一、选择题:本题共10题,每题3分,共30分.每小题只有一个选项符合题目要求.
1.下列四个图形中,是轴对称图形的是(   )
A. B. C. D.
2.下列长度的三条线段中,能组成三角形的是(   )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
若,则下列式子中错误的是(   )
A.x-3>y-3 B. C.x+3>y+3 D.-3x>-3y
4.若等腰三角形的一个内角为,则这个等腰三角形的底角为(   )
A. B. C.或 D.或
5. 对于命题“若a2>b2,则a>b”,下面四组关于a,b的值中,
能说明这个命题是假命题的是(   )
A.a=3,b=2 B.a=-3,b=2 C.a=3,b=-1 D.a=-1,b=3
6. 水果店进了某种水果1吨,进价7元/千克,出售价为11元/千克,卖掉一半后准备打折出售,
如果要使总利润不低于3450元,应至少(   )折出售.
A.7折 B.8折 C.8.5折 D.9折
如图,中,、的平分线相交于,过点且与平行.
的周长为,的周长为,则的长为(   )
A. B. C. D.
小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图,小丽坐在秋千的起始位置A处,与地面垂直,
两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推,爸爸在C处接住她.
若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和,.爸爸在C处接住小丽时,
小丽距离地面的高度是(   )

A. B. C. D.
9. 如图,等腰的底边长为4,面积是16,腰的垂直平分线分别交边于E,F点.
若点D为边的中点,点M为线段上一动点,则周长的最小值为(   )
A.6 B.8 C.10 D.12
如图,在中,,于点,平分,
且于点,与相交于点,于点,交于点.下列结论:
①;②;③;④.
其中正确的是(   )

A.①② B.①③ C.①②③ D.①②③④
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共6分.请将正确答案填写在横线上)
11.如图,在△ABC中,D是BC延长线上一点,∠B=40°,∠ACD=120°,则∠A = .
12.如图,学校有一块长方形花圃,有少数人为了走“捷径”,在花圃内走出一条不文明的“路”,
其实他们仅仅少走了___________步路,却踩伤了花草(假设2步为1米).
13. 如图,在中,分别以点A和点C为圆心,大于长为半径画弧,两弧相交于点M,N,
作直线分别交于点D,E.若,的周长为,则的周长为 .

如图,这是李强同学设计的一个计算机程序,
规定从“输入一个x值“到判断“结果是否≥15为一次运行过程,如果程序运行两次就停止,
那么x的取值范围是 .
15. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.若,,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到如图所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是 .
16 .如图,为线段上一动点(不与点,重合),在同侧分别作正和正,
与交于点,与交于点,与交于点,连接;以下四个结论:
①;②;③;④;
其中正确的的结论是 (填序号).
三、解答题:(本大题共8个小题,共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 如图,于点,于点,与交于点,.求证:.

18. 解下列不等式(组)
(1), (2)并把它的解集表示在数轴上;
19.如图,在正方形网格中,点,,,,都在格点上.
(1)作关于直线对称的图形;
(2)若网格中最小正方形的边长为,求的面积;
(3)在直线上找一点,则的最小值为______.
20.如图,点B、C、E、F在同一直线上,点A、D在BC的异侧,AB=CD,BF=CE,∠B=∠C.
求证:△ABE≌△DCF;
若∠A+∠D=144°,∠C=30°,求∠AEC的度数.
21.勾股定理是人类早期发现并证明的数学定理之一,是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一.它不但因证明方法层出不穷吸引着人们,更因为应用广泛而使人入迷.
(1)应用场景1:在数轴上画出表示无理数的点.
如图1.在数轴上找出表示的点A,表示1的点B,过点B作直线l垂直于,在l上取点C,使,以点A为圆心,为半径作弧,弧与数轴的交点D表示的数为______.
(2)应用场景2:解决实际问题.
如图2,秋千静止时,踏板离地的垂直高度,将它往前推至C处时,踏板离地的垂直高度,整个过程中它的绳索始终拉直,求秋千绳的长.(作于D)
刺绣是我国民间传统手工艺.湘绣作为中国四大刺绣之一,闻名中外,在巴黎奥运会倒计时50天之际,某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品.
已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元,
购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元.
(1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元?
(2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件,总费用不超过50000元,
那么最多能购买A种湘绣作品多少件?
23.已知:如图,在中,于点D,E是上一点,连结交点于点F,,.
求证:.
求证:.
若,,求的长.
24.某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中,将两块大小不同的等腰直角△和等腰直角△,按如图1的方式摆放,.该数学兴趣小组进行如下探究,请你帮忙解答:
(1)【初步探究】
如图1,试探究与的位置关系,并说明理由;
(2)【深入探究】
如图2,当、、三点共线时,请探究此位置时线段、、之间的数量关系,并说明理由;
(3)【拓展延伸】
如图3,当、、三点不共线时,连接,延长交于点,连接,
请猜想此位置时线段、、之间的数量关系:______.
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