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2025-2026学年广西南宁三中高二（上）月考数学试卷（一）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 3 + 2 = 0 的倾斜角 是( )
A. B. 2 3 6 C. 3 D. 3
2.中心为原点，焦点在 轴上，且长轴长与短轴长之比为 2：1，焦距为 4 3的椭圆方程为( )
2 2 2 2 2 2
A. 4 +

16 = 1 B.

16+
2
4 = 1 C. 4 + = 1 D.
2 + 4 = 1
3.若直线 + = 0 被圆 ：( 1)2 + ( + 1)2 = 4 截得的弦长为 2 2，则 =( )
A. ±2 B. 2 C. 2 D. 2 2
4.若直线 1： + 2 2 = 0 与 2：5 + ( + 3) 5 = 0 平行，则 =( )
A. 67 B. 2 C. 5 D. 5 或 2
5.已知圆 ： 2 + 2 = 9，则“点 ( , )在圆 外”是“直线 + = 1 与圆 相交”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
26 +
2
.已知椭圆 2 2 = 1( > 2)的两焦点分别为 1、 2.若椭圆上有一点 ，使∠ 1 2 = 120°，则△ 1 2
的面积为( )
A. 3 4 32 B. 3 C. 3 D. 2 3
7.设 是圆 ：( + 2)2 + 2 = 16 上的动点， 是圆的切线，且| | = 2 5，则点 到点(4,8)距离的最小
值为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 16
8 1.我们把平面内到定点 的距离不大于定点 到 的距离的 ( ∈ +)倍的动点的集合称为 关于 的 阶亲密
点域，记为动点符合 ( , ).已知 ( 2,5)， (1,1)，动点 ( , )符合 5( , )，则| + 2|的最大值是( )
A. 2 + 2 B. 2 2 C. 2 + 1 D. 2 1
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的有( )
A.直线 + ( 1) + 2 = 0 过定点(2,0)
B.点(1,1)关于直线 + 1 = 0 的对称点为(0,2)
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C.两条平行直线 + 3 4 = 0 与 2 + 6 9 = 0 10之间的距离为 20
D.当实数 = 2 时，直线 2 + 2 = 0 和 + 1 = 0 互相垂直
10.在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中，下列说法正确的有( )
A. 1 1//平面 1 B. 1 ⊥平面 1
C.点 到平面 31的距离为 3 D. 与平面 1所成的角为 30°
11.如图，有一组圆 ( ∈ +)都内切于点 ( 2,0)，圆 1：( + 3)2 + (
1)2 = 2，设直线 + + 2 = 0 与圆 在第二象限的交点为 ，若| +1| =
2，则下列结论正确的是( )
A.圆 的圆心都在直线 + + 2 = 0 上
B.圆 9的方程为( + 7)2 + ( 5)2 = 50
C.若 ≥ 9，则圆 与 轴有交点
D.设直线 = 2 与圆 在第二象限的交点为 ，则| +1| = 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.若向量 = (1, , 2)， = (0,1,2)，且 = 4，则 cos , = ______．
13.若圆 2 + ( + 2)2 = 2( > 0)上到直线 = 3 + 2 的距离为 1 的点有且仅有 2 个，则 的取值范围是
______．
2 2
14 .已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别是 1和 2，下顶点为点 ，直线 2交椭圆 于点 ，
△ 1的内切圆与 1相切于点 ，若 7 1 = 2 1 ，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知直线 1： 2 + 3 = 0， 2：2 + 3 8 = 0．
(1)求经过点 (1,4)且与直线 2垂直的直线方程；
(2)求经过直线 1与 2的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程．
16.(本小题 15 分)
已知在△ 中，角 ， ， + 2 所对的边分别是 ， ， ，且满足 = ．
(1)求角 的大小；
(2)若△ 的外接圆半径为 1，求△ 面积的最大值．
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17.(本小题 15 分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)过点 (0,1)，其中一个焦点在直线 + 2 = 0 上，直线 ： = +
与椭圆 相交于不同的两点 ， ；
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 = 1， 为坐标原点，求△ 的面积最大时实数 的值．
18.(本小题 17 分)
如图，在长方体 1 1 1 1中，底面 1 1是边长为 1 的正方形， = 2, = 1(0 ≤ ≤ 1)．
(1) 2若 = 3，求平面 1与平面 1的夹角的余弦值；
(2)求直线 1 与平面 1所成角的正弦值的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知圆 过 (2,2 3), (3, 15)，且圆心 在 轴上．
(1)求圆 的周长；
(2)若直线 过点(6,10)，且被圆 截得的弦长为 4 3，求直线 的方程；
(3)过点 且不与 轴重合的直线与圆 相交于 ， ， 为坐标原点，直线 ， 分别与直线 = 8 相交于 ，
，记△ 的面积为 1，△ 的面积为 2，求 1 的最大值．2
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.45
13.(1,3)
14.12
15.(1)由直线 2：2 + 3 8 = 0 =
2 8 2
3 + 3可得斜率为 3，
3
所以根据垂直关系可设所求直线方程为 = 2 + ，
所求直线过点 (1,4)，
3
则 4 = 2 × 1 +
5
，解得 = 2，
3 5
所以所求直线方程为 = 2 + 2，整理得 3 2 + 5 = 0；
2 + 3 = 0
(2) = 1联立 2 + 3 8 = 0，解得 = 2，即直线 1与 2的交点为(1,2)，

当直线的截距都不为 0 时，设直线方程为 + = 1( , ≠ 0)，
依题意 = 1 + 2 = 1，解得 = 1， = 1，此时直线方程为 + 1 = 0；
当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为 = ，
代入(1,2)得 = 2，此时 = 2 ；
综上所述：所求直线方程为 = 2 或 + 1 = 0．
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16.(1) + 因为 =
2
，
+ = 2 = 2 由正弦定理可得： ，
= 又因为 ， = ，
+ 2
代入化简得 = ，
sin( + ) 2
即 = ，
在△ 中，sin( + ) = > 0，
1
可得 = 2
因为角 ∈ (0, )，
所以 = 3；
(2)已知△ 的外接圆半径 = 1，

由正弦定理可得 = 2 = 2，
所以 = 2 = 2 × 32 = 3，
由余弦定理可知 2 = 2 + 2 2 = 2 + 2 ≥ 2 = ，
所以 ≤ 3，当且仅当 = = 3时 取最大值 3．
由三角形面积公式可得 1△ = 2 =
3
4 ≤
3 3 3
4 × 3 = 4
即△ 3 3面积最大值为 4 ．
17.(1)因为椭圆 的一个焦点在直线 + 2 = 0 上，
令 = 0，
解得 = = 2，
因为椭圆 过点 (0,1)，
所以 = 1，
则 2 = 1 + 2 = 3，
2
故椭圆的方程为 23 + = 1；
(2)当 = 1 时，直线 的方程为 = + ( ≠ 0)，设
( 1, 1)， ( 2, 2)，
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2 2
联立 3 + = 1 ，消去 并整理得 4 2 6 + 3 2 3 = 0，
= +
此时 = 12 2 + 48 > 0，
解得 ∈ ( 2,0) ∪ (0,2)，
+ = 3 3
2 3
由韦达定理得 1 2 2 ， 1 2 = 4 ，
| |点 到直线 的距离 = 2，
2
又| | = 1 + 1 ( 1 + )22 4 1
3
2 = 2 3 4 ，
2
所以△ 的面积 = 12 | | =
1
2
| | 2 3 3 2 4
= 1 2(3 3
2
) = 1 3
2 2 2
2 4 2 4 (4
2) ≤ 12
3
2
+4
2 =
3
2 ，
当且仅当 2 = 4 2，即 =± 2时，等号成立．
则 的值为± 2．
18.(1)由题，以 1为坐标原点， 1 1， 1 ， 1 1所在直线方向分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角
坐标系，
= 2若 3，则 (1,
1
3 , 0), (1,1,2), 1(0,0,0), (0,1,2)，
所以 = (0, 23 , 2),
1 = ( 1, 1, 2), = (1,0,0)，
设平面 1的法向量为 2 = ( 2, 2, 2)，
2 = 2 = 0所以 ，令 = 2，所以 = (0,2, 1)，
2 1 =
2 2
2 2 2 2 = 0
设平面 1的法向量为 1 = ( 1, 1, 1)，
1 = 0
2
3 1 + 2 = 0所以 ，即 1 = 3 ，令 1 ，所以
1 = ( 1,3, 1)， 1 1 = 0 1 1 2 1 = 0
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|cos < , > | = | 1 2| 7 7 55所以 1 2 | ， 1|| |
= 11× 5 =2 55
所以平面 1与平面 1的夹角的余弦值为
7 55；
55
(2)由题可得 (1,1,0)， (1,1,2)， 1(1,0,0)， 1(1,0,2)，
则 1 = (0, 1,0), = ( 1,0,2), 1 = (0,1,2)， 1 = (0,1,0), = (0,0, 2)，
所以 1 = 1 + + 1 = (0,1 , 2)，
设平面 1的法向量为 = ( , , )，
= + 2 = 0
所以 ，令 = 1，所以 = (2, 2,1)， 1 = + 2 = 0
设直线 1 与平面 1所成角为 ，

= |cos < , > | = | 1 | | 2(1 ) 2| 2 2 所以 1 | 1
= =
|| | (1 )2+4 4+4+1 3 2 2 +5
= 2 1 = 23
1
2 2 +5 3 2 2 +5，
(2 )2 2 4 +4
2
设 ( ) = 2 +52 ，0 ≤ ≤ 1， 4 +4
则 ′( ) = 2( +3)( 2)3 ，
因为 0 ≤ ≤ 1，所以 ′( ) > 0，所以 ( )在[ 2, 1]，[0,1]上单调递增，
5
所以 1 4 54 ≤ ( ) ≤ 4，所以 ∈ [ 3 , 15 ]，
所以直线 与平面 1 4 51 1所成角的正弦值的取值范围为[ ．3 , 15 ]
19.(1)设圆的方程为( )2 + 2 = 2，又圆 过 (2,2 3), (3, 15)，
(2 )2 + 12 = 2 = 4
则 2 2，解得 = 4，∴圆的方程为( 4)
2 + 2 = 16，∴圆的周长为 2 = 8 ．
(3 ) + 15 =
(2)根据圆的方程为( 4)2 + 2 = 16，直线 过点(6,10)，如图．
∵直线 被圆 截得的弦长为 4 3，∴圆心 到直线 的距离为 16 (2 3)2 = 2．
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①当直线 的斜率存在时，设直线 ： 10 = ( 6)，整理得 + 10 6 = 0，
∴ |10 2 | = 2 = 12圆心 到直线 的距离为 ，解得 5，则直线 ：12 5 22 = 0． 2+1
②当直线 的斜率不存在时，直线 ： = 6 与圆 的交点为(6, ± 2 3)，
此时，直线 被圆 截得的弦长为 4 3，∴直线 = 6 满足题意．
综上，直线 的方程为 = 6 或 12 5 22 = 0．
(3)根据题意作图．
∵原点 在圆 ：( 4)2 + 2 = 16 上，直线 过圆心 ，且与 轴所在直线不重合，
∴ ∠ = 2 .设直线 的斜率为 ( ≠ 0)，则直线 的方程为 = ，
8
= = 0 = 2
联立 2 2 1+ ( 4)2 + 2 = 16，可得(1 + ) 8 = 0，解得 = 0或 = 8
，
1+ 2
∴ ( 8 , 8 点 的坐标为 1+ 2 1+ 2 )．
1 1又直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 = ，
8 2
= 1 (1 + 2) 2 8 2 = 0 = 0
= 2
联立 ，可得 ，解得 = 0或
1+ ，
( 4)2 + 2 = 16 = 8 1+ 2
∴ ( 8
2 8
点 的坐标为 1+ 2 , 1+ 2 )．
8
由题意可知，点 (8,8 ), (8, )，
∴ = 11 2 | || |sin

2 =
1 1 1
2 | || |， 2 = 2 | || |sin 2 = 2 | || |，
8 8 2
1 = | || | = | | | | | | 故 ，又 = 1+ 2 1 | | 1+ 2
2
2 | || | | | | | | |
= 8 = 1+ 2
，| | = 8 = 1+ 2，
∴ 1 1
2 2 1 1 1
=2 1+ 2
1+ 2 = 4+2 2+1 = 2+ 1
≤ = ，
2+2 2 2
1 4
2
+2
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1
当且仅当 2 = 2，即| | = 1 时等号成立，
∴ 1 1 的最大值为4．2
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