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2025-2026学年富宁县上海新纪元实验学校高二（上）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = {1,3}， = {2,3,6}，则 ∪ =( )
A. {3} B. {6} C. {1,2,3,6} D. {3,6}
2 2.已知 为虚数单位， = 1+ ，则复数 的虚部为( )
A. B. C. 1 D. 1
3.已知| | = 3，| | = 5，设 ， 的夹角为 135°，则 在 上的投影向量是( )
A. 5 2 B. 5 2 3 2 3 26 6 C. 10 D. 10
4.要得到函数 = 3 ( ∈ )的图象，只需将函数 = ( ∈ )的图象上的所有点( )
A. 1横坐标变为原来的3 (纵坐标不变) B.横坐标变为原来的 3 倍(纵坐标不变)
C. 1纵坐标变为原来的3 (横坐标不变) D.纵坐标变为原来的 3 倍(横坐标不变)
5 3 1.不等式 ≤ 1 的解集为( )
A. { |0 ≤ ≤ 12 } B. { |0 < ≤
1
2 } C. { | ≤
1
2 } D. { | > 0}
6.从装有 4 个红球和 3 个白球的口袋中任取 4 个球，那么互斥而不对立的事件是( )
A.至多有 2 个白球与恰有 3 个白球 B.至少有 1 个白球与都是红球
C.恰有 1 个红球与恰有 3 个白球 D.至多有 1 个红球与至多有 1 个白球
7 2
2
.函数 ( ) = 的图像可能是( )
A. B.
C. D.
1 + , 0 < ≤ 1
8.已知函数 ( ) = 1 2
2 1 , > 1
，若方程 ( ) + (1 ) ( ) = 0 恰有三个不同的实数根，则实
数 的取值范围是( )
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A. ( ∞,0) B. (0,1) C. (1, + ∞) D. (0, + ∞)
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = (2, 1,2)， = (2,2,1)， = (4,1,3)，则( )
A. | | = | | B. = (2, 1,2)
C. ⊥ D.向量 ， ， 共面
10.设 ， 为不重合的两条直线， ， 为不重合的两个平面，下列命题正确的是( )
A.若 // 且 // ，则 // B.若 ⊥ 且 ⊥ ，则 //
C.若 // 且 // ，则 // D.若 ⊥ 且 ⊥ ，则 //
11.已知函数 ( ) = 2sin(2 + 4 )，则( )
A. ( + 4 )是奇函数 B. ( )的最小正周期为
C. ( ) 的图象关于点( 8 , 0)对称 D. ( )在区间[
3
8 , 8 ]上单调递增
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.若 > 0， > 0 2 + = 2 1 + 1，且 ，则 的最小值是______．
13.在梯形 中，∠ = ∠ = 90， = = 12 = 1，将△ 沿直线 翻折成△ 1 ，当三
棱锥 1 的体积最大时，三棱锥 1 的外接球的表面积为______．
14.抛掷一枚质地不均匀的骰子，每次掷出点数为 5 的概率为 (0 < < 1).若连续抛掷这枚骰子三次，每次
抛掷均相互独立，则事件“三次抛掷中恰有 1 次掷出的点数为 5”的概率的最大值为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了 50 名学生的成绩，根据这 50 名学生的成绩(成绩均在
[40,100]之间)，将样本数据分为 6 组：[40,50)、[50,60)、…、[80,90)、[90,100]，绘制成频率分布直方图
(如图所示)．
(1)求频率分布直方图中 的值，并估计这 50 名学生的物理成绩的平均数(同一组中的数据以该组数据所在
区间中点的值作代表)；
(2)在样本中，从成绩在[40,60)内的学生中，随机抽取 2 人，求这 2 人成绩都在[50,60)内的概率．
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16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 2 + 2 3 1．
(1)求 ( )的最小正周期；
(2)求 ( )在[0, 2 ]上的值域．
17.(本小题 15 分)
正方体 1 1 1 1中 ， ， ， 分别是 1， 1， 1， 1 1的中点．
(1)证明： //平面 ；
(2)求 1 与平面 所成角的正弦值．
18.(本小题 17 分)
在△ 中， = 2 3，2 = 2 ．
(1)若 = 2，求△ 的面积；
(2)求 + 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 1 42 + ( > 0, ≠ 1)是定义在( ∞, + ∞)上的奇函数．
(1)求 的值；
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(2)求函数 ( )的值域；
(3)存在 ∈ (0,2]时，不等式 ( ) ≥ 2 + 2 有解，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.32 + 2
13.4
14.49
15.解：(1)根据题意可得(0.004 + + 0.022 + 0.028 + 0.022 + 0.018) × 10 = 1，∴ = 0.006，
估计这 50 名学生的物理成绩的平均数为：
45 × 0.04 + 55 × 0.06 + 65 × 0.22 + 75 × 0.28 + 85 × 0.22 + 95 × 0.18 = 76.2(分)；
(2)由频率分布直方图可得：成绩在[40,60)内的学生有 50 × (0.04 + 0.06) = 5 人，
其中[40,50)内有 2 人，设其为 ， ；[50,60)内有 3 人，设其为 1，2，3，
则从这 5 人中随机抽取 2 人所得样本空间为：
= {( , )，( , 1)，( , 2)，( , 3)，( , 1)，( , 2)，( , 3)，(1,2)，(1,3)，(2,3)}，
设 =“抽取的 2 人成绩都在[50,60)内“，
则 = {(1,2)，(1,3)，(2,3)}，
∴ ( ) 3所求概率为 ( ) = ( ) = 10．
16.解：(1) ∵函数 ( ) = 2 2 + 2 3 1 = 2 + 3 2 = 2 (2 3 )，故它的最小正周
2
期为 2 = ．
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(2)在[0, ] 2 2 上，2 3 ∈ [ 3 , 3 ]，故 cos(2
1
3 ) ∈ [ 2 , 1]，
故 ( )的值域为[ 1,2]．
17.(1)证明：∵ 1 1// ， ∈ 1 1，
∴平面 与平面 1 1是同一平面，
又 // 1，且 = 1，
∴四边形 1 是平行四边形，
∴ // 1，又 1 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ；
(2)解：设正方体的棱长是 2，以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0.0,0)， 1(0,0,2)， (2,2,0)， (0,0,1)， (2,0,1)， (1,2,2)，
∴ = (2,0,0), = (1,2,1), 1 = (2,2, 2)，
设平面 的法向量 = ( , , )，

则 ⊥
= 2 = 0

，即 ，令 = 1，则 = 0， = 2，即 = (0,1, 2)，⊥ = + 2 + = 0
设 1 与平面 所成角为 ，

则 = |cos 1 , | =
| 1 | 2+4 15
|
= =
1 | | | 22+22
，
+( 2)2× 12+( 2)2 5
所以 1 与平面 所成角的正弦值为
15．
5
18.解；(1)因为 2 = 2 ，
所以由正弦定理得：2 = 2 ，
所以 2 ( + ) = 2 ，
所以 2 + 2 = 2 ，
所以 2 = ，
因为 > 0，所以 = 1 2，因为 0 < < ，所以 = 3，
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2× 3
因为 = 2， = 2 3，所以由正弦定理得： = = 2 1 2 3 = 2，

又因为 < ，所以 = 6 , = 2，
所以△ 1的面积为 = 2 = 2 3；
(2) (1) = 由 知 ，由余弦定理得： 2 = 2 + 23 2 ，
2
即 12 = 2 + 2 = ( + )2 3 ≥ ( + )2 3( + )2 = ( + )2 4 ，
所以 + ≤ 4 3，当且仅当 = = 2 3时取等号，
又因为 + > = 2 3，所以 2 3 < + ≤ 4 3．
所以 + 的取值范围(2 3, 4 3]．
19.(1) 4 4由题， (0) = 1 2 0+ = 0，即 +2 = 1，解得 = 2；
(2)因为 = 2，故 ( ) = 1 4 22×2 +2 = 1 2 +1，
因为2 > 0，故2 + 1 > 1,0 < 22 +1 < 2，
2
故 1 < 1 2 +1 < 1.故 ( )的值域为( 1,1)；

(3)由(2) 2 2 1， ( ) = 1 2 +1 = 2 +1，

故存在 ∈ (0,2] 2 1时，使得不等式. 2 +1 ≥ 2 + 2 有解，
设 = 2 1，因为 ∈ (0,2]，所以 ∈ (0,3]，
即 +2 ≥ + 3，化简得 ≥
( +2)( +3)
= + 5 +
6
，
≥ ( + 5 + 6故 ) , + 5 +
6
≥ 2
6
+ 5 = 2 6 + 5，
当且仅当 = 6 ，即 = 6, 2
= 6 + 1, = 2( 6 + 1)时取等号，
故 ∈ [2 6 + 5, + ∞)．
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