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2025-2026学年湖北省孝感一中高一（上）摸底数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关系中正确的个数是( )
1
① 3 ∈ ，② 3 ，③0 ∈
，④ ∈
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.命题“ > 1， 2 > 1”的否定是( )
A. > 1， 2 ≤ 1 B. ≤ 1， 2 ≤ 1
C. > 1， 2 ≤ 1 D. ≤ 1， 2 ≤ 1
3.设 ： 4 < < 5， ：| | ≤ 3，则 是 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.4 2 + 12 + 5 2分解因式的结果中，含有的因式是( )
A. 2 + B. 2 C. 2 + 3 D. 2 3
5.已知集合 = { | 2 = 1}，集合 = { | = 1}，若 ，那么 的值是( )
A. 1 B. 1 C. 1 或 1 D. 0，1 或 1
6.若实数 ≠ ，且 ， 是方程 2 8 + 5 = 0 1 1的两个根，则代数式 1+ 1的值为( )
A. 20 B. 2 C. 2 或 20 D. 2 或 20
7.小明使用一架两臂不等长的天平称黄金.小明先将 10 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右
盘中使天平平衡；再将 10 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，你认为
小明两次称得的黄金总重量( )(附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有 1 1 = 2 2，其中 1， 2分别为
左右盘中物体质量， 1， 2分别为左右横梁臂长)．
A.等于 20 B.小于 20
C.大于 20 D.与左右臂的长度有关
8.如图，在平行四边形 中，点 在 上， 与 2交于点 ，若 = 3，则
图中阴影部分的面积占四边形 面积的( )
A. 14 B.
1
3 C.
2
5 D.
2
7
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
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A.若 < < < 0，则 2 < 2 B.若 < < 0，则 2 < 2
C.若 > > 0，则 2 > > 2 D.若 > > 0 1 1，则 >
10.下列说法正确的是( )
A.已知集合 = {0,1}，则满足条件 ∪ = 的集合 的个数为 4
B.若集合 = { | 2 + + 1 = 0}中只有一个元素，则 = 4
C.“ < 0”是“一元二次方程 2 + + = 0 有一正一负根”的充要条件
D. > 的一个充分条件是 1 >
11.已知 > 0， > 0， + = 1，则下列结论成立的是( )
A. 1+ 1 1 的最小值为 4 B. + 的最小值为 3
C. 1 + 1 11 2 的最小值为 2 D. + 的最小值为 1
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.设集合 = {1,2,3,4} 5， = { | 4 ≤ < 4}，则集合 ∩ 的子集个数为______．
2
13.函数 = + +3 2 ( > 2)的最小值为______．
14 1 1.如图，直线 1： = + 1 与直线 2： = 2 + 2在 轴上相交于点
( 1,0).直线 1与 轴交于点 .一动点 从点 出发，先沿平行于 轴的
方向运动，到达直线 2上的点 1处后，改为垂直于 轴的方向运动，到
达直线 1上的点 1处后，再沿平行于 轴的方向运动，到达直线 2上的
点 2处后，又改为垂直于 轴的方向运动，到达直线 1上的点 2处后，
仍沿平行于 轴的方向运动，一照此规律运动，动点依次经过点 1， 1， 2， 2， 3， 3，…，则当动点
到达 2003处时，点 2023的坐标为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知全集 为 ，集合 = { |0 < ≤ 2}， = { | < 3 或 > 1}.求：
(1) ∩ ；
(2) ∩ ；
(3) ( ∪ )．
16.(本小题 15 分)
已知集合 = { | 1 ≤ ≤ 3 2 }， = { | 2 < < 4}．
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(1)若 ∩ = ，求实数 的取值范围；
(2)设命题 ： ∈ ，命题 ： ∈ ，若 是 成立的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
已知二次函数 = 2 2 + 8．
(1)当 = 3 时，当 0 ≤ ≤ 4 时，求 的最大值和最小值；
(2)若 为任意实数，当 0 ≤ ≤ 4 时，求 的最小值．
18.(本小题 17 分)
某厂家拟在 2021 年举办某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量) 万件与年
促销费用 万元( ≥ 0)满足 = 4 +1 ( 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是 2 万
件．已知生产该产品的固定投入是 8 万元，每生产一万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销
8+16
售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(此处每件产品年平均成本按 元来计算)．
(1)将该产品的利润 万元表示为年促销费用 万元的函数；
(2)该厂家 2021 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
19.(本小题 17 分)
已知集合 = { | = 2 2, 、 ∈ }
(1)判断 8，9，10 是否属于集合 ；
(2)已知集合 = { | = 2 + 1, ∈ }，证明：“ ∈ ”的充分非必要条件是“ ∈ ”；
(3)写出所有满足集合 的偶数．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4
13.11
14.(22023 1, 22022)
15.解：(1)在数轴上画出集合 和 ，可知 ∩ = { |1 < ≤ 2}．
(2) = { | ≤ 0 或 > 2}， = { | 3 ≤ ≤ 1}．
在数轴上画出集合 和 ，可知 ∩ = { | 3 ≤ ≤ 0}．
(3)由(1)中数轴可知， ∪ = { | < 3 或 > 0}．
∴ ( ∪ ) = { | 3 ≤ ≤ 0}．
16.(1)由 ∩ = ，可得 ，
因为 = { | 1 ≤ ≤ 3 2 }， = { | 2 < < 4}，
1 ≤ 3 2
当 ≠ 时，则 1 > 2 1 4，解得 2 < ≤ 3，
3 2 < 4
当 = 时， 1 > 3 2 4，解得 > 3，符合题意；
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综上， > 12．
1
故实数 的取值范围为( 2 , + ∞)．
(2)由题意可得， ∈ 是 ∈ 的充分不必要条件，故 B ，
又 = { | 1 ≤ ≤ 3 2 }， = { | 2 < < 4}，
1 ≤ 2
则 3 2 ≥ 4，解得 ≤ 1，
故实数 的取值范围是( ∞, 1]．
17.解：(1) = 3 时，函数 = 2 6 + 8 = ( 3)2 1；当 = 3 时， 取得最小值 1；
当 = 0 时， 取得最大值为 8；
所以 0 ≤ ≤ 4 时， 的最大值为 8，最小值为 1；
(2)因为函数 = 2 2 + 8 = ( )2 2 + 8；
当 0 ≤ ≤ 4 时， 的最小值为 2 + 8；
当 < 0 时，函数 在 0 ≤ ≤ 4 上单调递增，最小值为 8；
当 > 4 时，函数 在 0 ≤ ≤ 4 上单调递减，最小值为 16 8 + 8 = 24 8 ；
综上，0 ≤ ≤ 4 时，最小值为 2 + 8；
< 0 时，最小值为 8；
> 4 时，最小值为 24 8 ．
18.解：(1) ∵不搞促销活动，该产品的年销售量只能是 2 万件，即 = 0 时， = 2，
∴ 2 = 4 20+1，解得 = 2，则 = 4 +1 > 0，
∴ = 8+16 × 1.5 (8 + 16 ) = 36
16
+1 ( ≥ 0)；
(2) = 36 16 16 +1 = 37 +1 ( + 1)
≤ 37 2 16 +1 ( + 1) = 37 8 = 29，
16
当且仅当 +1 = + 1，即 = 3 时，等号成立，
故该厂家 2021 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大．
19.解：(1) ∵ 8 = 32 1，9 = 52 42，∴ 8 ∈ ，9 ∈ ，
假设 10 = 2 2， ， ∈ ，则(| | + | |)(| | | |) = 10，且| | + | | > | | | | > 0，
∵ 10 = 1 × 10 = 2 × 5，
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∴ | | + | | = 10 | | + | | = 5| | | | = 1 或 | | | | = 2，
显然均无整数解，
∴ 10 ，
∴ 8 ∈ ，9 ∈ ，10 ，
(2) ∵集合 = { | = 2 + 1, ∈ }，则恒有 2 + 1 = ( + 1)2 2，
∴ 2 + 1 ∈ ，
∴即一切奇数都属于 ，
又∵ 8 ∈ ，
∴ ∈ ”的充分非必要条件是“ ∈ ”，
(3)集合 = { | = 2 2, 、 ∈ }，
2 2 = ( + )( )成立，①当 ， 同奇或同偶时， ， + 均为偶数，
( )( + )为 4 的倍数，
②当 ， 一奇，一偶时， ， + 均为奇数，
∴ ( )( + )为奇数，
综上所有满足集合 的偶数为 4 ， ∈ ．
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