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2025-2026 学年天津一中高三（上）月考数学试卷（9 月份）
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 = { | 1 < < 3}， = { 2, 1,0,2,4}，则( ) ∩ =( )
A. { 2, 1,4} B. { 1,2} C. { 2,4} D.
2 .设 ∈ ，则“| 12 | < 12”是“ <
1
2”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.若函数 = ( )的大致图象如图所示，则 ( )的解析式可能是( )
A. ( ) = | | 1 B. ( ) =

1 | | C. ( ) =

2 1 D. ( ) =

1 2
4.化简(2 43 + log83) × (log32 + log92)的值为( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
5 = 20.7 = ( 1.已知 ， )0.7 13 ， = 2 3，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
6.已知 = ，则角 所在的区间可能是( )
A. (0, ) B. ( , ) C. ( 4 4 2 2 ,
3 3
4 ) D. ( 4 , )
7.函数 ( ) = 0.3 的零点所在区间是( )
A. (0,0.3) B. (0.3,0.5) C. (0.5,1) D. (1,2)
8.设函数 ( ) = sin( + 3 )在区间(0, )恰有三个极值点，两个零点，则 的取值范围是( )
A. [ 5 13 13 8 5 19 13 193 , 6 ) B. ( 6 , 3 ] C. [ 3 , 6 ) D. ( 6 , 6 ]
9.设[ ] 1 2 3表示不大于 的最大整数，如[2.5] = 2，[1] = 1，若正数 满足[ + 20 ] + [ + 20 ] + [ + 20 ] +
+ [ + 1920 ] = 4，则[10 ] =( )
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
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二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
10.已知( )2 = 2 ，其中 是虚数单位，那么实数 =______．
11.( 2 1 )6 的展开式中的常数项为 ．
12.已知 ( ) = sin( + )( > 0, < < ) [ 5 ，在 12 , 12 ]

上单调递增，且 = 12为它的一条对称轴，
( 3 , 0)

是它的一个对称中心，当 ∈ [0, 2 ]， ( )的最小值为______．
13.已知△ 中， = 1, = 2, 3sin( + 6 ) = sin(

3 )，若∠ 的平分线交 于点 ，则 的长为
______．
14.已知函数 ( ) = ( 1)| + 1| 1 的图象与直线 = ( + 3) 有三个交点，则实数 的取值范围
是______．
15.已知正实数 ， 满足对任意实数 均有 2 ≥ 2，则 2 + 的最大值为______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 15 分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 = 3 ， 2 = 1， = 7．
( )求 的值；
(Ⅱ)求 ；
(Ⅲ)求 sin( + 2 )的值．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， ⊥平面 ， = 4， = = 2，点 在线段
3
上，且 = 4 ．
(Ⅰ)求证： ⊥平面 ；
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(Ⅲ)求平面 与平面 的夹角的余弦值．
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18.(本小题 15 分)
2 2
已知椭圆 ： 4 + 2 = 1 的左顶点 与上顶点 的距离为 6．
(Ⅰ)求椭圆 的方程和焦点的坐标；
(Ⅱ)点 在椭圆 上，线段 的垂直平分线与 轴相交于点 ，若△ 为等边三角形，求点 的横坐标．
19.(本小题 15 分)
设{ }是等差数列，{ }是各项均为正数的等比数列， 1 = 1 = 3 2 = 4 3 = 1．
(1)求数列{ }与{ }的通项公式；

(2){ }的前 项和为 ，求证：2 = 1；
(3)求 =1 +1．
20.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( + ) ， ( ) = + + ．
(Ⅰ)若 = 1，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(Ⅱ)当 > 1 时， ( ) > 2( 1)恒成立，求实数 的取值范围；
(Ⅲ)设 0 < < 1， < 0，若存在 1， 2 ∈ (0, + ∞)，使得 ( 1) = ( 2)( 1 ≠ 2).
2
证明： 1 + 2 > +1．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. 1
11.15
12. 32
13.23
14.( 4, 72 ) ∪ (
1
2 , + ∞)
15.2 + 2 3
16.( )因为 = 3 ，
所以 = 3 ，
又因为 ≠ 0，
所以 = 3 ，
即 = 3，
因为 ∈ (0, )，

所以 = 3；
(Ⅱ)因为 = 3， 2 = 1， = 7，
所以 2 = 2 + 2 2 ，
7 = ( 1 )2 + 2 2 × 1 × ( 1)即 2 2 2 ，
整理得：3 2 = 27，
解得 = 3；
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(Ⅲ)因为 = 3， 2 = 1， = 3， = 7，
所以 = 1，
2 2 2
= + 5 5 72 = 2 7 = 14 ，
所以 = 1 cos2 = 3 212 7 = 14 ，
所以 2 = 2 = 5 314 ， 2 = cos
2 sin2 = 1114，
sin( + 2 ) = 2 + 2 = 3 × 11 + 1 5 3 4 3所以 2 14 2 × 14 = 7 ．
17.( )证明：∵ ⊥平面 ， 平面
∴ ⊥ ，∵ = 4 3， = 4 ，
∴ = 3， = 1，∴ = = 2，
∴ △ ∽ △ ，
∴ ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ，∴ ⊥
平面 ，
(Ⅱ)解：∵ ⊥平面 ， 平面 ，
平面 ，
∴ ⊥ ， ⊥ ，∵ 为矩形， ⊥ ，
∴ ， ， 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 (0,4,0)， (0,0,2)， (2,3,0)， (2,0,0)，
∴ = (0,4, 2)， = (2, 1,0)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= 2 = 0
则 ，令 = 1，则 = 2， = 4，
= 4 2 = 0
∴平面 的一个法向量为 = (1,2,4)，
又 = (2,0, 2)，
设直线 与平面 所成角为 ，

= |cos < ， > | = | | = |2 8| 42
| | | | 21×2 2
= 14 ；
(Ⅲ) ∵ ⊥平面 ，取平面 的法向量为 = (0,0,1)，
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cos < >= 4 4 21则 ， | | | | = 1× 1+4+16 = 21 ，
4 21所以二平面 与平面 的夹角的余弦值为 21 ．
18.解：(Ⅰ)依题意，有 4 + 2 = 6所以 2 = 2
2 2
所以椭圆方程为 4 + 2 = 1，
所以 = 4 2 = 2，
焦点坐标分别为 1( 2, 0), 2( 2, 0)，
(Ⅱ)
2 2
方法 1：设 ( , )，则 0 + 00 0 4 2 = 1，且 ( 2,0)，
若点 为右顶点，则点 为上(或下)顶点，| | = 4, | | = 6，
△ 不是等边三角形，不合题意，所以 0 ≠± 2， 0 ≠ 0．
2
设线段 中点为 ，所以 ( 0 02 , 2 )，
因为 ⊥ ，所以 = 1，
+2
因为直线 的斜率 = 0 +2，所以直线 的斜率 =
0
0
，
0
又直线 +2 2的方程为 0 0 02 = ( 0 2
)，

令 = 0，得到 = 0 2 +
( 0+2)( 0 2)
2 ，0
2 20 + 0 = 1 因为 4 2 ，所以 =
0
2，
因为△ 为正三角形，
2
所以| | = | |，即 ( 0 + 2)2 + 2 2
0
0 = 2 + 4
化简，得到 5 20 + 32 0 + 12 = 0
2
，解得 0 = 5 , 0 = 6(舍)
故点 2的横坐标为 5．
方法 2：设 ( 0, 0)，直线 的方程为 = ( + 2)．
当 = 0 时，点 为右顶点，则点 为上(或下)顶点，| | = 4, | | = 6，
△ 不是等边三角形，不合题意，所以 ≠ 0．
2 +
2
= 1
联立方程 4 2 ，消元得(1 + 2 2) 2 + 8 2 + 8 2 4 = 0，
= ( + 2)
2
所以 = 16 > 0，所以 0 + ( 2) =
8
1+2 2，
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= 0 2 = 4
2 4 2 2
设线段 中点为 ，所以 2 1+2 2， = ( 1+2 2 + 2) = 1+2 2，
4 2
所以 ( 2 1+2 2 , 1+2 2 )，
⊥ = 1因为 ，所以 ，
2
所以直线 的方程为 2 1 4 1+2 2 = ( 1+2 2 )，
2
令 = 0，得到 =
2 1 4 2
1+2 2 1+2 2 = 1+2 2，
因为△ 为正三角形，所以| | = | |，
1 + 2 4 = 4 + ( 2 所以 21+2 2 1+2 2 ) ，
3
化简，得到 4 4 + 2 3 = 0，解得 2 = 4 ,
2 = 1(舍)，
= 4
2+2 = 2所以 0 1+2 2 5，
故点 2的横坐标为 5．
方法 3：设 ( 0, 0)，当直线 的斜率为 0 时，点 为右顶点，
则点 为上(或下)顶点，| | = 4, | | = 6，
△ 不是等边三角形，不合题意，所以直线 的斜率不为 0．
设直线 的方程为 = 2，
2 2+ = 1
联立方程 4 2 ，消元得，( 2 + 2) 2 4 = 0，
= 2
所以 4 0 = 2+2，
设线段 中点为 2 4，所以 = 2+2， = 2+2，
( 4 2 所以 2+2 , 2+2 )，
因为 ⊥ 1，所以 = ，
2 4
所以直线 的方程为 2+2 = ( 2+2 )，
令 = 0 2 ，得到 = 2+2
因为△ 为正三角形，所以| | = | |
|4 | 2
所以 1 + 2 2 2+2 = 4+ ( 2+2 )
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化简，得到 3 4 2 4 = 0 4，解得 2 = 23 , = 1(舍)
2 2
所以 0 =
4 2
2+2 = 5，
2故点 的横坐标为 5．
19.解：(1)设 1 = 1 + ( 1) ， = 1 ， > 0， ∈
2 = 2
由已知 1 = 1， 1 = 1， 3 2 = 2，解为 = = 2， = 2 3，
1
= 2 ．
(2) 1+ 证明：由已知 = 2 = ( 2)，

左式2 = 2 2，右式 = 2 1 1 = 2 2 1 ，

∴ 2 = 1．
(3)由已知 = =1 +1 = 1 + 2 1 + 3 2 + + 1，
= ( 1) × 2 1 + 1 × 2 2 + + (2 5) × 21 + (2 3) × 20①，
2 = ( 1) × 2 + 1 × 2 1 + + (2 5) × 22 + (2 3) × 21②，
② ①为 = ( 1) × 2 + 2 + 2 1 + + 22 (2 3) × 20，
2
∴ = 4 ×
2 1
2 1 (2 3) × 2
0 = 2 2 1．
20.解：(Ⅰ)当 = 1 时， ( ) = ( + 1) ， ′( ) = + ( +1) ，
∴ ′(1) = 2，又 (1) = 0，∴切线方程为 = 0 = 2( 1)，即 = 2 2．
(Ⅱ)设 ( ) = ( ) 2( 1) = ( + ) 2 + 2，则 ′( ) = ( ) 2( 1) = + 1，

令 ( ) = + 1，则 ′( ) = 2 ，
= 1 ( ) = ( + 1) 2 + 2 ( ) = 1当 时， ， ′ 2 > 0， ( )在(1, + ∞)上单调递增，
即 ′( )在(1, + ∞)上单调递增，∴ ′( ) > ′(1) = 0，
∴ ( )在(1, + ∞)上单调递增，∴ ( ) > (1) = 0，
∴ = 1 符合题意；
当 > 1 时，令 ′( ) = 0 得 = ，
当 ∈ (0, )时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 ∈ ( , + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
∴ ( ) ≥ ( ) = > 0，即 ′( ) > 0 在(1, + ∞)上恒成立，
∴ ( ) > (1) = 0，
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∴ > 1 符合题意；
当 < 1 时， ′( ) > 0 在(1, + ∞)上恒成立，
( )在(1, + ∞)上单调递增，即 ′( )在(1, + ∞)上单调递增，
又∵ ′(1) = 1 < 0，当 →+∞时， ′( ) →+ ∞，
∴存在 0 ∈ (1, + ∞)，使得 ′( 0) = 0，
当 ∈ (1, 0)时， ′( ) < 0，即 ( )在(1, 0)上单调递减，
当 ∈ (1, 0)时， ( ) < (1) = 0，不符合题意．
综上所述，实数 的取值范围是[1, + ∞)．
(Ⅲ)证明：由函数 ( ) = + + ，可得 ′( ) = 1 + + ，
设 1 < 2，由 ( 1) = ( 2)，
可得 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 2，
则( 2 1) + ( 2 1) = ( 2 1) =
2
，1
又由 = ，可得 ′ = 1 ≥ 0，
∴函数 = 为单调递增函数，
∴ 2 2 > 1 1，即 2 1 < 2 1，
∴ 2 < ( + 1)( 2 1)，1
由(Ⅱ)知，当 > 1 时， > 2 × 1 +1，
∴ ln > 2 × 1 +1，
即 = 2 > 4 × 1 +1，
2 1
∴ ln 2

> 4 ×
1 = 4 × 2 1 ，1 2 2+ 1
+11

代入可得：4 ( ) × 2 1 + < ( + 1)( 2 1) = ( + 1)( 2 1)( 2 + 1)，2 1
则 4 ( ) +1 < ( 2 + 1)
2，
∴ 2 + 1 > 2 +1，
又∵ 0 < < 1 时，( + 1)2 = + 2 + 1 > + 1 = ( + 1)2，
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∴ + 1 > + 1 2 2 ，∴ +1 > +1，
∴ 2 1 + 2 > +1．
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