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人教版 九年级上册
第二十一章 一元二次方程
单元测试·基础卷 试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.94 化成一元二次方程的一般式
2 0.94 一元二次方程的定义
3 0.85 判断是否是一元二次方程的解
4 0.75 判断是否是一元二次方程
5 0.65 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）
6 0.65 一元二次方程的根与系数的关系；根据一元二次方程根的情况求参数
7 0.65 因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
8 0.64 根据判别式判断一元二次方程根的情况
9 0.64 解一元二次方程——配方法
10 0.4 化简绝对值；数字问题(一元二次方程的应用)
二、知识点分布
二、填空题 11 0.75 动态几何问题(一元二次方程的应用)；用勾股定理解三角形
12 0.65 一元二次方程的根与系数的关系；根据一元二次方程根的情况求参数
13 0.65 因式分解法解一元二次方程
14 0.64 由一元二次方程的定义求参数
15 0.4 数轴上两点之间的距离；其他问题(一元二次方程的应用)
16 0.15 一元二次方程的根与系数的关系；判断三边能否构成直角三角形；根据一元二次方程根的情况求参数；公式法解一元二次方程
二、知识点分布
三、解答题 17 0.75 分式化简求值；由一元二次方程的解求参数；二次根式的混合运算
18 0.65 根据一元二次方程根的情况求参数；一元二次方程的根与系数的关系
19 0.75 销售、利润问题(二元一次方程组的应用)；根据判别式判断一元二次方程根的情况
20 0.65 根据判别式判断一元二次方程根的情况；根据一元二次方程根的情况求参数；等腰三角形的定义
21 0.85 增长率问题(一元二次方程的应用)；营销问题(一元二次方程的应用)
22 0.85 因式分解法解一元二次方程；分式方程的工程问题
23 0.64 动态几何问题(一元二次方程的应用)；用勾股定理解三角形；列代数式；根据矩形的性质求线段长
24 0.4 营销问题(一元二次方程的应用)；分式方程的经济问题2025—2026学年九年级数学上学期单元测试卷
第二十一章 一元二次方程 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B A C A D D A C
1．D
根据一元二次方程的一般形式为，其中叫做常数项，解答即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键．
解：由，
∴一元二次方程的常数项是，
故选：D．
2．D
本题考查一元二次方程的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，且）的方程是一元二次方程，据此求解即可．
解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，
∴．
故选：D．
3．B
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键．
由于当时，，则可判断该方程一定有一个根为3．
解：当时，，所以若，则该方程一定有一个根为3．
故选B．
4．A
本题考查了一元二次方程的一般式，利用去括号和移项把方程整理成（为常数，且）即可，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．
解：，
，
，
∴将一元二次方程化成一般形式为，
故选：．
5．C
本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是理解题意，找准等量关系．
假设全班有名学生，根据留言的数量，列出方程即可．
解：假设全班有名学生，根据题意得，
故选：C．
6．A
本题主要考查了根与系数的关系，由题意得到，，再由得到，再得到方程，解得b，分别代入进行检验即可得到答案．
解：∵，是关于x的方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得或，
当时，，满足题意，
当时，，不满足题意，
∴，
故选：A．
7．D
本题考查代数式求值，涉及换元法、因式分解法解一元二次方程等知识，采用换元法转化成一元二次方程求解是解决问题的关键．令，将条件中的等式转化为一元二次方程，采用十字相乘法因式分解求解即可得到答案．
解：令，
则可化为，
即，
，
解得或，
，
，即的值是，
故选：D．
8．D
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
根据一元二次方程根与判别式的关系，对选项逐个判断即可．
解：A、的判别式，无实数根，不符合题意；
B、的判别式，有两个相等的实数根，不符合题意；
C、的判别式，无实数根，不符合题意；
D、的判别式，有两个不相等的实数根，符合题意；
故选：D．
9．A
本题考查了配方法，灵活运用完全平方公式的性质是解决本题的关键．
先将配方，再根据完全平方公式的性质进行求解即可．
解：
，
∵，
∴当时，多项式有最大值为，
故选A．
10．C
本题考查了定义新运算、绝对值的性质、一元二次方程的应用，理解“差绝对值运算”的定义是解题的关键．根据“差绝对值运算”的定义及绝对值的性质，对题目中的说法逐项计算即可判断求解．
解：
，故说法①错误；
，
当时，的值最小，最小值为，
对，，1，3作“差绝对值运算”的结果的最小值为，故说法②正确；
，
，，
，
由题意得，，
当，即时，
，
整理得：，
解得：，（舍去）；
当，即时，
，
整理得：，
解得：，（舍去）；
对，，作“差绝对值运算”的结果为28，则的值为或，故③错误；
综上所述，其中正确的是②，个数是1．
故选：C．
11．或
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设第秒时，的长为，则，在中利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：设第秒时，的长为．
由题意，得．
在中，由勾股定理，得，
即，
解得．
故答案为：或．
12． 1
本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解法，掌握根与系数关系公式是解题关键．
先根据判别式得出的取值范围，通过一元二次方程根与系数关系求出和的表达式，再根据题意列方程求解即可．
解：整理得，
方程有两个实数根,
，
，
解得，
由一元二次方程根与系数的关系可得：， ，
，
，
解得，（舍）．
故答案为： 1．
13． 或1
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；
（1）由题意易得，然后根据因式分解法可进行求解方程；
（2）由题意可分为当时，当时和当时，然后进行分类求解即可．
解：（1）由题意得：，
，
，
解得：；
（2）当时，即，
∴，
解得：（均不符合题意，舍去）；
当时，即，
此时可有，方程成立，
所以是方程的解；
当时，即，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
综上所述：方程的解为或1．
14．5
本题考查了一元二次方程的一般形式，先把原方程进行化简整理，从而可得，然后根据题意可得，从而可得：，再把a的值代入中，进行计算即可解答．
解：，
，
，
，
由题意得：，
解得：，
∴该方程中的一次项系数，
故答案为：5．
15．
本题考查了数字的变化知识，根据数轴上两点距离列出一元二次方程是解题关键．
根据题意得出之间共有个或个整数，进而可得，设之间的数分别为，，，，，，，根据题意列出一元二次方程，再计算即可．
解：，
之间共有个或个整数，
个连续的整数满足，
．
当时，
间有个整数，
则，之间的个整数设为，，，
，之间的个整数为，，，，
，
或．
当上有个整数，，无整数解．
当时，间有个整数，
则，之间的个整数设为，，，，
，之间的个整数为，，，
，
或，
当，间有个整数时，
则，之间的个整数设为，，，，
，之间的个整数为，，
，无整数解；
当时，
则，之间的个整数设为，，，，，
，之间的个整数为，，
，无整数解
或，无整数解
当时，
则，之间的个整数设为，，，，，，
，之间的个整数为，
，无解．
综上所述，或或，
则或或．
，或
是正整数．
，
故答案为：．
16． 2 1或
本题考查了一元二次方程根与系数的关系、勾股定理及其逆定理等知识点，本题解题的关键是分类对，的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状．
第一空：先求出方程的两个根， 然后根据这两个根都是正整数写出的可能的情况， 求出的值．
第二空：由第一空得出的的值， 然后代入将进行化简，进而 得出、的值． 然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的的值， 用三角形的面积公式得出三角形的面积．
解：关于x的方程有两个正整数根，且m是正整数，
，解得，
解方程得：，
即．
，
，
．
将代入两等式，化简得：．
当时，．
当时，a，b是方程的两根，显然此方程．
由一元二次方程根与系数关系得：，
．
下面分三种情况讨论：
①当时，
，
是直角三角形，且，
∴．
②当时，
，
∴不能构成三角形，不合题意，故舍去．
③当时，
，
∴能构成三角形，符合题意．
从而．
综上，的面积为1或．
故答案为：2；1或．
17．(1)
(2)
本题考查了一元二次方程的根、分式的化简与求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）代入到方程得到关于的方程，即可求解；
（2）利用分式的运算法则化简式子，再代值计算即可．
（1）解：代入到方程得，，
解得：；
（2）解：
，
代入，原式．
18．(1)
(2)
此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系的知识，熟记根的判别式是解决本题的关键．
（1）根据关于x的一元二次方程有实数根得到，即可求出k的取值范围；
（2）由根与系数关系得到，再根据题目给出的条件进行解方程即可得解．
（1）解：∵方程是一元二次方程且有两个实数根，
∴判别式，
在方程中，，
则
，
∴
解得；
（2）解：在一元二次方程中，
∴两根之和，
∴在方程中，，
∵，
∴
，
∵，
∴符合条件．
19．(1)每箱应降价5元
(2)不能使每天销售该饮料获利达到1500元，理由见解析
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设每箱应降价x元，则每天销售量为箱，每箱利润为元，根据使每天销售该饮料获利1400元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设每箱应降价y元，则每天销售量为箱，每箱利润为元，根据使每天销售该饮料获利1500元，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论．
（1）设每箱应降价x元，则每天销售量为箱，每箱利润为元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：每箱应降价5元；
（2）不能使每天销售该饮料获利达到1500元，理由如下：
设每箱应降价y元，则每天销售量为箱，每箱利润为元，
由题意得：，
整理得：，
∵，
∴该方程无实数根，
∴不能使每天销售该饮料获利达到1500元．
20．(1)见解析；
(2)．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及等腰三角形的性质、三角形三边关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系，以及等腰三角形的性质和三角形三边关系是解题的关键．
（1）要证明无论为何值方程总有实数根，需要考虑方程的判别式．对于一元二次方程，当判别式非负时，方程有实数根，所以通过计算判别式并判断其取值范围来证明．
（2）已知等腰三角形的边长，、为方程的两个根，需要根据等腰三角形的性质，分情况讨论哪两边相等，再结合方程根与系数的关系求解的值．
（1）证明：∵，
∴其判别式
∵任何数的平方都大于等于，即，
∴无论为何值，方程总有实数根；
（2）解：∵，
∴，
分三种情况讨论：
情况一：若为腰，，．
∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边，这种情况舍去；
情况二：若为底，，则．
此时三边为，，，满足三角形三边关系；
综上，．
21．(1)2，3两个月的销售量月平均增长率为
(2)这种玩具应降价2元
本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，根据设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，进行列方程，再解方程，即可作答．
（2）设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元，结合在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个，进行列方程，再解方程，即可作答．
（1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，
依题意，得：，
解得：，(不符合题意，舍去)，
答：2，3两个月的销售量月平均增长率为．
（2）解：∵这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个
∴每降价1元，其销售量增加12个
设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得，(不符合题意，舍去)，
答：这种玩具应降价2元．
22．原计划每天生产医用防护服100套
本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，理解题意正确列出方程是解题的关键．设原计划每天生产医用防护服套，根据题意列出方程求解，再检验方程的解即可得出答案．
解：设原计划每天生产医用防护服套，
由题意得，，
整理得：，
解得：，（舍去），
经检验：是所列方程的解且符合题意．
答：原计划每天生产医用防护服100套．
23．(1)当或2时，的长度等于
(2)存在，t的值为1
（1）由题意得，，则，再由勾股定理得出方程，解方程即可求解；
（2）的面积等于，列出方程，解方程即可．
（1）解：由题意知，，，则，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，．
即当或2时，的长度等于．
（2）解：存在t的值，使得的面积等于，
理由：由题意知，，
解得：，（舍）．
即存在t的值，使得的面积等于，t的值为1．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．(1)普通票每张为元，票的每张为元
(2)
本题考查分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程．
（1）设普通票的每张为元，则票的每张为元，根据用元买的普通票的数量与用元买的票的数量相同，列出分式方程，解方程即可；
（2）由题意先表示出第二天普通票和票的单价和销量，再根据第二天总销售额比首日少了元，列出一元二次方程，解方程即可．
（1）解：设普通票的每张为元，则票的每张为元，，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则元，
答：普通票每张为元，票的每张为元；
（2）解：，
，
，（舍），
答：的值为．2025—2026学年九年级数学上学期单元测试卷
第二十一章 一元二次方程 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．一元二次方程的常数项是（ ）
A．1 B． C．3 D．
2．关于x的方程是一元二次方程，则m应满足条件（ ）
A． B． C． D．
3．已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（ ）
A． B．3 C． D．不能确定
4．将一元二次方程化成一般形式正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为 （ ）
A． B． C． D．
6．若，是关于x的方程的两个根，且，则b的值为（　　）
A．2 B． C．2或 D．6或
7．若，则的值是（ ）
A．或2 B．4 C．或4 D．2
8．下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A． B． C． D．
9．将进行配方后，求该多项式的最大值是（ ）
A． B． C． D．
10．对于若干个数，我们先将任意两个数作差（相同的两个数只作一次差），再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数作“差绝对值运算”．例如：对于1，2，3作“差绝对值运算”，得到．下列说法：
①对，，2，5，6作“差绝对值运算”的结果是50；
②对，，1，3作“差绝对值运算”的结果的最小值为；
③对，，作“差绝对值运算”的结果为28，则的值为或．其中正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在矩形中，．点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，两点同时停止运动．第 秒时，的长为．
12．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则 ．
13．对于两个互不相等的实数，我们规定符号表示两个数中最大的数．按照这个规定解决下列问题：
（1）方程的解为 ；
（2）方程的解为 ．
14．若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为 ．
15．已知，数轴上从左到右有三点，，，它们在数轴上对应的数分别为，，均不为整数，且，（k为正整数）为正整数．在点与点之间的所有整数依次记为，，，；在点与点之间的所有整数分别记为，，，，若，则的值为 ．
16．已知关于x的方程有两个正整数根（m是正整数）．的三边a，b，c满足，，则m为 ；的面积是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．已知是关于的方程的一个根，
(1)求的值；
(2)求．
18．关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若，求k的值．
19．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市决定降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱．
(1)若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？
(2)能否使每天销售该饮料获利达到1500元？若能，请求出每箱应降价多少元；若不能，请说明理由．
20．已知关于x的方程．
(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的边长，b、c为方程的两个根，求k值．
21．某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．
(1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；
(2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具应降价多少元？
22．2020年新年伊始，一场突如其来的新冠肺炎病毒席卷全国．在疫情肆虐的当下，口罩和医用防护服成了急需品，为了打赢疫情防控阻击战，多家企业紧急切换生产线“转战”防护服．某厂家的一条生产线要求在规定的天数内生产3600套医用防护服，但由于疫情严重，不但要在原计划基础上增加的总量，而且还要比原计划提前3天完成．经预测，要完成新计划，平均每天的生产总量要比原计划多20套．求原计划每天生产医用防护服多少套．
23．在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，的长度等于？
(2)是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
24．年8月，某音乐节推出了普通票与VIP票．据了解，1张普通票比1张票便宜元，用元买的普通票的数量与用元买的票的数量相同．
(1)求普通票与VIP票的单价分别是多少元；
(2)据统计，音乐节首日普通票销量是张，票销量是张．第二天由于天气原因，两种票的销售均受到影响，组委会为了刺激销售，进行了降价促销，普通票单价降低了m元，销量仍减少了张，票单价保持不变，销量减少了张，最终第二天总销售额比首日少了元，求m的值．

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