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(共6张PPT)
人教版 九年级上册
第二十一章 一元二次方程
单元测试·培优卷 试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.85 化成一元二次方程的一般式
2 0.85 一元二次方程的定义
3 0.75 动态几何问题(一元二次方程的应用)；根据矩形的性质求面积
4 0.75 传播问题(一元二次方程的应用)
5 0.65 根据判别式判断一元二次方程根的情况；根据一元二次方程根的情况求参数；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
6 0.65 根据一元二次方程根的情况求参数
7 0.65 解一元二次方程——直接开平方法；由一元二次方程的解求参数
8 0.64 已知式子的值，求代数式的值；判断是否是一元二次方程的解
9 0.4 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
10 0.4 因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
二、知识点分布
二、填空题 11 0.94 由一元二次方程的定义求参数
12 0.85 解一元二次方程——配方法
13 0.75 营销问题(一元二次方程的应用)
14 0.65 因式分解法解一元二次方程；用勾股定理解三角形
15 0.65 根据一元二次方程根的情况求参数；由一元一次不等式组的解集求参数；一元二次方程的定义
16 0.15 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)；全等三角形综合问题；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理构造图形解决问题
二、知识点分布
三、解答题 17 0.75 分式化简求值；由一元二次方程的解求参数
18 0.75 行程问题(一元二次方程的应用)；分式方程的行程问题
19 0.65 根据一元二次方程根的情况求参数；一元二次方程的根与系数的关系；根据矩形的性质与判定求面积；根据菱形的性质与判定求线段长
20 0.65 公式法解一元二次方程；由一元二次方程的解求参数；一元二次方程的定义
21 0.64 配方法的应用；解一元二次方程——配方法；等边三角形的性质
22 0.64 配方法的应用
23 0.4 公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；根据一元二次方程根的情况求参数
24 0.15 因式分解法解一元二次方程；求一次函数解析式；一次函数与几何综合；根据正方形的性质求线段长2025—2026学年九年级数学上学期单元测试卷
第二十一章 一元二次方程 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A D D B C C D A
1．A
本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是，本题中把一元二次方程的各项都移到等号的同一侧，即可得到一元二次方程的一般形式．
解：把一元二次方程移项，
可得：．
故选：A．
2．D
本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义逐个判断即可，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．
解：A、，化简后得，是一元一次方程，故选项不符合题意；
B、，当，不是一元二次方程，故选项不符合题意；
C、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项不符合题意；
D、，化简后得，是一元二次方程，故选项符合题意；
故选：D．
3．A
本题主要考查了一元二次方程的应用，矩形的性质．设运动时间为，则，利用三角形面积的计算公式结合的面积等于，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
设运动时间为，则，依题意，得：
，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
即当的面积等于时，运动时间为．
故选：A．
4．D
本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．
设1人每次都能教会x名同学，根据两次教会全班36人，再根据题意列出关于x的一元二次方程即可．
解：设1人每次都能教会x名同学，
根据题意得：．
故选：D．
5．D
此题考查了一元二次方程根与系数关系、根的判别式、方程根的定义等知识．
①与②根据方程的根的定义和解方程即可作出判断；根据根与系数关系即可判断③；根据一元二次方程根的判别式即可判断④．
解：①∵，
∴，
∴方程必有一根为；
∴①正确；
②当时，则一元二次方程变为，
则，
∴或，
解得或，
∴方程至少有一个根为；
故②正确；
③若方程的两根为和，
∴，
∴，
故③正确；
④若，则．
∴方程的判别式为,
∵，，
∴，
∴方程一定有两个不相等的实数根；
故④正确；
综上可知，①②③④正确；
故选：D．
6．B
此题考查了根的判别式，由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则，然后求出的取值范围即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．
解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∴的取值范围是，
故选：．
7．C
本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，先将代入一元二次方程得到，将方程可化为，则，再解方程即可．
解：∵关于的一元二次方程的一个根为1，
∴，，
∴，
∷方程可化为，
∴，
解得，，
故选：C．
8．C
本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握方程的根能使方程左右两边相等是解题的关键．利用方程的根的定义，将根代入方程得到关于的等式，再对所求式子进行变形，代入计算．
解：∵是方程的一个根，
∴，即．
∴
故选：C．
9．D
本题主要考查一元二次方程与图形有关的应用，解此题的关键在于将等腰三角形拆解拼成另一个没有缝隙的矩形，再利用面积相等得到相关边的长度关系．如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，根据题意得，求出，进而求出正方形的边长与等腰三角形的底边长的比，再根据面积为4求得，得，求出即可．
解：如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，
根据题意，得，
∴，
解得： (负值舍去)，
∴正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为：
，
∵将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，
∴，即：，
∴，即：．
故选：D．
10．A
通过换元法，将含有绝对值的不等式转化为关于新变量的一元二次不等式进行求解，再将新变量还原为原变量，从而得出原不等式的解集．
解：令，，
∴原不等式转化为，
∴因式分解，得，
∴与异号
∵恒成立，
∴只能是且，
又∵，恒成立，
∴由可得，
综合，得到，
∵，
∴，
根据绝对值的性质，当时，．
故选：A．
11．
本题利用了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．特别要注意的条件．根据一元二次方程的定义求解即可．
解：∵方程是关于的一元二次方程，
∴．
故答案为：．
12．7
本题主要考查配方法，熟练掌握一元二次方程的配方法是解题的关键；由题意可先对一元二次方程进行配方，然后可得、的值，进而问题可求解．
解：由方程可配方得：，
，
故答案为：7．
13．50
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系，根据等量关系列出方程是解题的关键．
设售价应定为元，则每件的利润为元，根据日利润保持不变为等量关系可列得方程，解出方程即可．
解：设售价应定为元，则每件的利润为元，日销售量为件，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不符合题意，舍去），
故答案为：．
14．5或
本题考查了因式分解法解一元二次方程，解一元二次方程求得直角三角形的两边长，分两种情况讨论求得即可．
解：∴，
，
∴或，
解得
当3 和4 为直角边长时，第三边长 ；
当4为斜边长时，第三边长
故这个直角三角形的第三边长为5 或 ．
故答案为：5或．
15．，，
本题考查了根据不等式组解的情况求参数，根据一元二次方程解的情况求参数，先求出不等式组的解集，根据解集的情况得出关于的不等式，求出的取值范围，再根据根的判别式及一元二次方程的定义求出的取值范围，进而综合两个解集即可求解，正确计算是解题的关键．
解：，
由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有且只有四个整数解，
∴，
解得，
∵关于的一元二次方程有实数根，
∴且，
∴且，
∴的取值范围为，
∴符合条件的所有整数的值为，，，
故答案为：，，．
16．
过作于，过作交的延长线于，由，，得到，证出，推出，得到，，设，，根据勾股定理得到，，，于是得到．
解：过作于，过作交的延长线于，
，，
，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
设，，
在中，，即：，
解得：；（不合题意，舍去）．
，，
，
．
故答案为：．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17．，．
本题考查了分式化简求值，方程的解，先通分计算括号里的，再计算括号外的，化为最简，由于是方程的根，那么，可得整体代入化简后的式子，计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：
，
∵是方程的根，
∴，
∴，
∴原式
．
18．(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时
(2)的值为
本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用．
（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度；
（2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（千米小时）．
答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时；
（2）根据题意得：，
即，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：的值为．
19．(1)
(2)
(3)存在，，矩形的面积为
本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握根的判别式和菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）将代入原方程，即可求出的值；
（2）根据菱形的性质可得出，即方程有两个相等的实数根，结合根的判别式，得出关于的一元二次方程，解方程即可得出的值；
（3）根据平行四边形为对角线长为的矩形，则有，即，由根与系数关系得：，，将等式进行变形，可得关于的一元二次方程，解方程结合实际意义可确定的值，进而可求得矩形的面积．
（1）解：将代入方程得：，
解得；
（2）解：菱形的邻边相等，
，即方程有两个相等的实数根，
，
即，
，
；
（3）解：存在，理由如下：
设方程两根为，，则，，
由根与系数的关系得：，，
若平行四边形为对角线长为的矩形，则有，
即，
，
，
整理得：，
解得或，
当时，，不符合题意，舍去，
，
矩形的面积为．
20．(1)是
(2)
(3)2
本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，正确读懂题意是解题的关键．
（1）根据题意求解即可；
（2）利用公式法求解即可；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积．
（1）解：
根据题意得：，，
∴，
∴，
∴方程是“勾系一元二次方程”；
（2）解：根据题意，得，
∵，
∴
∴；
（3）解：当时，有，即，
∵四边形的周长是12，
∴，即，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴．
21．(1)
(2)
(3)4或
(4)是等边三角形，理由见解析
本题主要考查配方法的应用及三角形的分类，熟练掌握配方法的应用及三角形的分类是解题的关键；
（1）先对方程左边按完全平方公式进行因式分解，再根据乘方的意义将二次方程转化为一元一次方程进行解答；
（2）用完全平方公式对方程左边进行因式分解，再根据非负数和为0的性质求得x、y，再代值计算便可；
（3）仿样例，先配方化成完全平方等于一个非负数的形式，再开方求解；
（4）先将方程两边都乘以2，再把方程左边分解成几个完全平方式之和，进而根据非负数和为0的性质得出，再由此判定三角形的形状．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
即，
∴，
∴；
（4）解：是等边三角形．理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
22．（1）；（2）；（3）当t的值为2时，的面积最大，最大值为
本题考查配方法的应用：
（1）利用配方法求解；
（2）利用配方法得出，即可求解；
（3）用含t的式子表示出的面积，再利用配方法求解．
解：（1），
，；
故答案为：；
（2），
当时，代数式有最小值，最小值是；
故答案为：；
（3）解：由题意得：，则，
∴,
∵,
∴,
∴,
∴当时，有最大值，最大值为4．
即：当t的值为2时，的面积最大，最大值为．
23．(1)是，计算见解析
(2)或
本题考查因式分解法解一元二次方程，公式法解一元二次方程．
（1）先利用因式分解法解一元二次方程，再根据题意即可得到答案；
（2）根据题意利用公式法解一元二次方程，再列出两根相减等于1的式子，解出即可得到本题答案．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∵符合“邻根方程”定义，
∴是“邻根方程”；
（2）解：∵关于的二次方程．（是常数）是“邻根方程”，
∴，
∴，
∴，
∴或，
①当时，即，
方程根为或，
∵，
∴，
∴，解得：；
②当时，即，
方程根为或，
∵，
∴，
∴，解得：；
③当时，即，
方程根为，
不符合题意，不存在的值使得其中一个根比另一个根大1，
∴综上所述：或．
24．(1)点，点
(2)
(3)存在，或或或
（1）求解方程可解出或，再根据则可求出答案；
（2）先由角角边证明和全等，即可得，使用勾股定理可求解的长度，由此可求解点B的坐标，再使用待定系数法可确定直线的解析式；
（3）分为边和为对角线两种情况讨论，分别画出图形，利用正方形的性质，勾股定理与全等三角形的判定与性质求解即可．
（1）解：，
解得或，
∵，
∴，
∴点，点；
（2）解：∵四边形是矩形，沿折叠得，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴.
在中，，
∴，
∴点的坐标是，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴线段所在直线解析式为；
（3）解：存在，
①当为边时，
若四边形是正方形，则，
过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于点，如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
在与中，
，
∴，
∴，，
同理可证，
∴，
设，
∵在直线上，
∴，
∴，
∴，.
∴.
∴点；
若四边形是正方形，如图，
同理可得，；
若四边形是正方形，如图，
同理可求，点；
②当是对角线时，
若四边形是正方形，过点作轴于，如图，
∵点，点，
∴直线解析式为，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
设点，
∴，，
∴点，
∵点在上，
∴，
∴，
∴，
同理可知，
∴，，
∴，
∴．
综上所述，符合条件的点坐标为或或或．
本题是一次函数的综合题，考查了正方形的性质，待定系数法求解析式，全等三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，折叠的性质，一次函数的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解决本题的关键．2025—2026学年九年级数学上学期单元测试卷
第二十一章 一元二次方程 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．将一元二次方程化为一般形式为（　　）
A． B．
C． D．
2．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（　　）s．
A．2 B．4 C．10 D．2或10
4．某同学自主学会了某个几何模型，并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个模型．若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．对于一元二次方程（，，为常数，且，下列说法：①若，则方程必有一根为；②当时，方程至少有一个根为；③若方程的两根为和，则必有成立；④若，则方程一定有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的根是（　　）
A．或1 B．或 C．或 D．1或3
8．若m是方程的一个根，则的值为（ ）
A．2026 B．2027 C．2028 D．2029
9．如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A． B． C． D．
10．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若方程是关于的一元二次方程．则的取值范围是 ．
12．用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值为 ．
13．近年来，电商直播高速发展．某电商对一款每件成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，这种小商品的售价每降低5元，日销售量增加10件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 元．
14．若直角三角形的两边长a，b是一元二次方程 的两个根，则这个直角三角形的第三边长为 ．
15．若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的一元二次方程有实数根，则符合条件的所有整数的值为 ．
16．已知：如图，等腰直角，，，点D为外一点，，连接CD，，，BC的长为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．先化简，再求值：，其中是方程的根．
18．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值．
19．已知平行四边形的两边长，是关于的一元二次方程的两个实数根．
(1)若的长为，求的值；
(2)当为何值时，平行四边形为菱形；
(3)是否存在使得平行四边形为对角线长为的矩形？若存在，请求出的值以及矩形面积；若不存在，请说明理由．
20．如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：
(1)试判断方程是不是“勾系一元二次方程”；
(2)求关于x的“勾系一元二次方程”的实数根；
(3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求面积．
21．阅读下列材料：
配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程，则，∴，已知，求x，y的值，则有，∴，解得．解方程，则有，∴，解得．
根据以上材料解答下列各题：
(1)若，求a的值；
(2)若，求的值；
(3)若，求a的值；
(4)若a，b，c表示的三边长，且，试判断的形状，并说明理由．
22．（1）若． _______， _______．
（2）当_______时，代数式有最小值，最小值是_______．
（3）如图，中，，点M,N分别是线段和上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？
23．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”
(1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；
(2)已知关于的一元二次方程．（是常数）是“邻根方程”，求的值．
24．矩形在坐标系中的位置如图所示，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，连接，将沿折叠得，交y轴于点D，、的长是关于x的方程的两根（）．
(1)求点A、点D的坐标；
(2)求出直线的解析式；
(3)动点M在x轴上，点N在直线上，坐标平面x轴上方是否存在点Q，使以B、M、N、Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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