资源简介

专题2.3 有理数的乘方（举一反三讲义）
【人教版2024】
【题型1 有理数幂的概念】 2
【题型2 有理数的乘方运算】 3
【题型3 有理数乘方的逆运算】 5
【题型4 乘方运算的符号规律】 7
【题型5 乘方的应用】 8
【题型6 有理数的混合运算】 10
【题型7 有理数混合运算的实际应用】 12
【题型8 程序流程图与有理数的计算】 16
【题型9 计算“24”点】 20
【题型10 乘方中的规律探究】 22
知识点1 有理数的乘方
1. 一般地，n个相同的乘数ɑ相乘，即，记作．求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂．
2. 中，a叫作底数，n叫作指数，读作a的n次方（或a的n次幂）．
乘方运算的结果及符号的规律
知识点2 有理数的混合运算顺序
1. 先乘方，再乘除，最后加减；
2. 同级运算，从左到右进行；
3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
有理数运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算．运算顺序是先算高级，再算低级；同级运算按从左到右的顺序进行；对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的．
【题型1 有理数幂的概念】
【例1】（2024·河北沧州·模拟预测）若（，都为正整数，则m的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】B
【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是是理解题意，明确幂的形式．根据所给的式子的特点，结合幂的运算的相应的法则进行分析即可．
【详解】
解：（，都为正整数，
则k是可以转为以2为底数的幂的形式的数，
∴的最小值为：，
，
∴，
∴的最小值为：4
故选：B
【变式1-1】（22-23七年级上·江西宜春·阶段练习） 的底数是 指数是 表示 ．
【答案】 2 3 2的3次方的相反数/的相反数
【分析】根据乘方的定义，中，是底数，是指数，是幂．
【详解】解：根据乘方的概念，则的底数是，指数是，表示2的3次方的相反数．
故答案为；；2的3次方的相反数．
【点睛】此题考查了有理数的乘方的概念，注意和的区别，前者底数是，后者底数是，正确区分乘方运算的底数是解题的关键．
【变式1-2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有（　　）
①没有平方得的数；②是负数；③是正数；④任何一个小于1的数都大于它的平方．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查有理数的乘方，以及正负数的概念，对于①，根据一个数的平方是非负数进行判断；对于②、③，根据零的平方是零，零既不是正数也不是负数，据此分析；对于④，根据负数的平方是正数，负数小于正数，即可举例作出判断.
【详解】解：没有平方得的数，①正确；
时，，不是负数，②错误；
时，，不是正数，③错误；
，，④错误．
综上所述，正确的有1个，
故选：A．
【变式1-3】（24-25七年级上·河北唐山·期末）的结果可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了用代数式表示数，有理数幂等知识，先得出m个3相加表示为，n个2相乘表示为，然后相加即可得出答案．
【详解】解：m个3相加表示为：，n个2相乘表示为，
故的结果可表示为，
故选：D．
【题型2 有理数的乘方运算】
【例2】（24-25七年级上·山东济宁·期中）比较大小： （填或）．
【答案】<
【分析】本题考查了有理数的大小比较， 1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
先计算各数，再利用有理数大小的比较方法比较即可．
【详解】解：，，
∵，
，
．
故答案为：．
【变式2-1】（2025·福建泉州·二模）已知，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，根据非负性的性质得到，据此求出x、y的值即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式2-2】（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查有理数的乘方运算，先将化为，根据幂的乘方将原式化为，再根据同底数幂的乘法的逆运算转化为，然后根据积的乘方的逆运算转化为，即可得解．掌握相应的运算法则的逆运算是解题的关键．
【详解】解：
．
故答案为：．
【变式2-3】（24-25七年级上·广东广州·期末）利用二进制数加法运算法则计算，并把计算结果转化为十进制数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二进制数的加法运算，二进制数转化为十进制数，先根据二进制数加法运算法则求出结果，再根据二进制数转化为十进制数的运算法则计算即可求解，掌握相关运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴计算结果转化为十进制数是，
故答案为：．
【题型3 有理数乘方的逆运算】
【例3】（2025·四川广安·模拟预测）一般地，n个相同的因数a相乘记作，如．此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”，记为，则．一般地，若（且），则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为，如，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为．则满足关系式 ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数乘方，计算出，，，即可解答，数熟练计算是解题的关键．
【详解】解：，
，，，
，
故答案为：．
【变式3-1】（22-23七年级上·广东东莞·期中），由此你能算出（ ）
A．6 B．8 C． D．十分麻烦
【答案】B
【分析】先把原式变形为，从而得到，即可求解．
【详解】解：
＝1×8
＝8
故选：B．
【点睛】本题主要考查了有理数乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解题的关键．
【变式3-2】（22-23七年级上·山东青岛·阶段练习）已知，且，则的值为（　　）
A．10 B．6 C．3 D．6或者0
【答案】D
【分析】先求出a，b，c的值，然后分2种情况代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴或．
∵，
∴或．
∵，
∴当时，或当时，．
∵，
∴．
当，，时，
原式=．
当，，时，
原式=．
故选D．
【点睛】本题考查了乘方的意义，绝对值的意义，求代数式的值，分类讨论是解答本题的关键．
【变式3-3】（22-23七年级上·福建厦门·期中）若，则的值可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方的逆运算，等式的性质等知识点，根据有理数乘方的运算法则即可得解，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题关键．
【详解】∵
∴
∴
∴，
故选：D．
【题型4 乘方运算的符号规律】
【例4】（23-24七年级上·广东揭阳·期末）计算：
【答案】0
【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘方，根据有理数的乘方找到规律，计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：0．
【变式4-1】（23-24七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查有理数乘方中的符号问题，判断每个数的正负号即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，，，0中，只有0是非负数．
故选：A．
【变式4-2】（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查乘方的非负性．熟练乘方的非负性是解题的关键．
根据乘方的非负性，确定最大值即可．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∴的最大值为：；
故答案为：．
【变式4-3】（23-24七年级上·河南漯河·阶段练习）当整数为 时，；若是正整数，则 ．
【答案】 奇数 0
【分析】的奇次方为，的偶次方为；再分类讨论即可得到答案．
【详解】解：当整数为奇数时，；
当整数为奇数时，则为偶数，
∴，
当整数为偶数时，则为奇数，
；
故答案为：奇数，0
【点睛】本题考查的是负1的奇次方与偶次方，熟记乘方的含义与乘方的符号确定方法是解本题的关键．
【题型5 乘方的应用】
【例5】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）根据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果的个数．已知她一共采集到的野果数不少于75个，则她在第2根绳子上打结的可能情况有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】C
【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计数，根据图中的数学列式计算即可．
【详解】解：根据题意得，，
因此有4，5，6三种可能的情况，
故选：C．
【变式5-1】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的绳子的长度为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】此题主要考查了乘方的意义．根据乘方的意义和题意可知：第2次后剩下的绳子的长度为米，那么依此类推得到第六次后剩下的绳子的长度为米．
【详解】解：∵，
∴第2次后剩下的绳子的长度为米；
依此类推第六次后剩下的绳子的长度为米．
故选：C．
【变式5-2】（24-25七年级上·云南昆明·期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，计算机和依赖计算机的设备都使用二进制来表示数字和数据．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用角标表示二进制数，例如，就是二进制数的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，小明查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换．
以98为例：
方法一：因为
所以．
方法二：用如图的短除法算式表示：
请你根据以上材料，把转换为五进制数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了乘方的应用；仿照二进制与十进制之间的转换的方法进行计算即可求解．
【详解】解：方法一：∵
所以．
方法二
所以．
故选：C．
【变式5-3】（2024七年级上·全国·专题练习）某软件用户等级用四个标识图展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一开始是星星，个星星为级，个星星等于个月亮，个月亮等于个太阳，个太阳等于个皇冠．某用户的等级标识图为两个皇冠，则该用户的等级为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了有理数乘方的应用，根据题意列出算式，然后求解即可，正确列出运算式子是解题的关键．
【详解】解：由题意得，两个皇冠的等级是，
故选：．
【题型6 有理数的混合运算】
【例6】（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
输入 …
输出 …
那么，当输入数据是时，输出的数据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据图表找出输出数字的规律：输出的数字中，分子就是输入的数，分母是输入的数字的平方加，直接将输入数据代入即可求解，解题的关键是找到规律列出相应代数式．
【详解】解：根据图表找出输出数字的规律：输出的数字中，分子就是输入的数，分母是输入的数字的平方加，
则当输入数据是时，输出的数据是，
故选：．
【变式6-1】（24-25六年级上·山东烟台·期末）下列运算错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据各个选项中的式子，可以计算出正确的式子或者结果，本题得以解决．
【详解】解：A．，计算正确，选项不符合题意；
B．，计算正确，选项不符合题意；
C．，计算正确，选项不符合题意；
D．，计算错误，选项符合题意；
故选：D．
【变式6-2】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）用一排6个黑白圆圈来表示数，如图分别表示数，则表示的数是 ．
【答案】25
【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，黑圆圈表示0，从右到左，第一列的白圆圈表示1，第二列的白圆圈表示2，第三列的白圆圈表示，依次类推，进而列式求出表示的数即可．
【详解】解：由图可知：，
即：黑圆圈表示0，从右到左，第一列的白圆圈表示1，第二列的白圆圈表示2，第三列的白圆圈表示，
∴表示的数为：；
故答案为：25．
【变式6-3】（24-25七年级上·浙江台州·期末）对正整数n反复进行下列两种运算：①若n是偶数，就除以2；②若n是奇数，就乘以3加1．例如：正整数6经过一次操作后的结果是3，经过两次操作后的结果是10．若某正整数m经过4次操作后的结果是2，则正整数m的值是 ．
【答案】32或5/5或32
【分析】本题考查了有理数的混合运算，从最后一步向前进行计算：因为计算的结果应是奇数或偶数，所以分数不符合题意；根据题中的运算，计算的结果是奇数，应是乘以3加上1得到的，结果是偶数，则是除以2得到的，根据上述的要求来进行解答即可，解题的关键是根据题中的运算要求来进行解答．
【详解】解：第4步运算前的数：；（不符合题意）．
第3步运算前的数：；（不符合题意）．
第2步运算前的数：；（不符合题意）．
第1步运算前的数：；．
故正整数的值是32或5．
故答案为：32或5．
【题型7 有理数混合运算的实际应用】
【例7】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种待定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图是某次考试中两位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图1，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：，同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1110，111，11100，1101，转化成10进制为：14，07，28，13，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号2414072813，其中第一行编码“24”和第二行编码“14”表示区域和学校，第三行编码“07”表示班级为07班，第四行编码“28”表示考场号为28，第五行编码“13”表示座位号是13；若图2是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，则小张的准考证号为（ ）
A．2410252110 B．2010272108 C．2212272408 D．2410272108
【答案】D
【分析】本题考查了含有乘方的有理数的混合运算，理解题意，掌握有理数的混合法则是解题的关键．
根据题意，分别表示每行的二进制编码，再转换成10进制进行判定即可．
【详解】解：黑色代表1，白色代表0，
∴图2中，第一行，转换成10进制数为：，
第二行，转换成10进制数为：，
第三行，转换成10进制数为：，
第四行，转换成10进制数为：，
第五行，转换成10进制数为：，
∴小张的准考证号为，
故选：D．
【变式7-1】（24-25七年级上·四川成都·期末）某校一幢教学楼共有5层，相邻两层之间楼梯的台阶均为18级，从1层到5层参加舞蹈社团的学生人数分别为9，7，5，5，6．若在某层楼确定活动地点，能使所有参加舞蹈社团的同学到活动地点所经过的台阶数之和最小，则台阶数之和最小为 级．
【答案】756
【分析】本题考查了有理数加法的应用，理解题意是解题的关键．先分别求出每一层楼层的台阶的级数的和，然后比较即可．
【详解】解：如果舞蹈社团在1层活动，则所有参加舞蹈社团的同学到活动地点所经过的台阶数之和为（级）；
如果舞蹈社团在2层活动，则所有参加舞蹈社团的同学到活动地点所经过的台阶数之和为（级）；
如果舞蹈社团在3层活动，则所有参加舞蹈社团的同学到活动地点所经过的台阶数之和为（级）；
如果舞蹈社团在4层活动，则所有参加舞蹈社团的同学到活动地点所经过的台阶数之和为（级）；
如果舞蹈社团在5层活动，则所有参加舞蹈社团的同学到活动地点所经过的台阶数之和为（级）；
∵，
∴所有参加舞蹈社团的同学到活动地点所经过的台阶数之和最小为756级，
故答案为：756．
【变式7-2】（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）2025重庆沙坪坝全球校友半程马拉松现场氛围热烈．某学校9人组成的啦啦队在站点表演三个助威节目，候场时间为从首个节目开始至参演节目开始前的时间间隔（不考虑换场等因素），各节目参与人数及表演时长（单位：）如下表所示：
节目 甲 乙 丙
人数 3 4 2
时长 6 4 2
若节目按丙乙甲的顺序表演，则9位学生的候场时间之和是（　　）
A．6 B．20 C．26 D．44
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据节目表演顺序，计算每个节目的候场时间，再乘以对应人数求和．
【详解】解： 确定各节目候场时间：
丙作为第一个节目，候场时间为0分钟（无需等待）；
乙作为第二个节目，需等待丙表演结束，候场时间为丙的时长2分钟；
甲作为第三个节目，需等待丙和乙表演结束，候场时间为丙时长+乙时长分钟；
计算各节目候场时间之和：
丙：2人分钟；
乙：4人分钟；
甲：3人分钟；
总和；
因此，9位学生的候场时间之和为26，
故选：C．
【变式7-3】（24-25七年级上·重庆渝北·期末）正所谓：“人有人言，灯有灯语”．灯语（灯光通信）是船只之间通信的一种通用化语言，在国际上的使用十分广泛．利用灯光，以二进制的原理传递信息，可以帮助船员在较远的目视距离相互沟通．例如：“○”表示亮红灯．”“●”表示亮绿灯．两只远洋航行的船只用亮红灯和亮绿灯来进行交流，并在启航前作如图所示的约定：
根据约定的规则，下列说法正确的有（ ）
①“●○○○”表示字母H：
②若要表示26个英文字母，需要6盏灯；
③某船先后发出“●○○●●”、“●●●●”、“●○○●●”表示它遇到了危险，在求救．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，根据提供提供的信息，先得出●表示二进制中的1，○表示二进制中的0，然后根据二进制转化为十进制的方法，十进制转化为二进制的方法，逐项进行判断即可．
【详解】解：∵●表示字母A，●○表示字母B，
∴●表示二进制中的1，○表示二进制中的0，
∴“●○○○”表示二进制的数为“1000”，
∴“●○○○”表示十进制中的数为：
，
∵字母表中第8个字母为H，
∴“●○○○”表示字母H，故①正确；
∵，
，
，
，
，
∴26用二进制表示为，
∴要表示26个英文字母，需要5盏灯，故②错误；
“●○○●●”表示二进制数为10011，
二进制数10011表示为十进制数为：
，
第19个字母为S，
∴“●○○●●”表示字母S，
“●●●●”表示二进制数为1111，
二进制数1111表示为十进制数为：
，
第15个字母为O，
∴“●●●●”表示字母O；
∴某船先后发出“●○○●●”、“●●●●”、“●○○●●”表示“”，
∵“”表示求救信号，
∴某船先后发出“●○○●●”、“●●●●”、“●○○●●”表示它遇到了危险，在求救，故③正确；
综上分析可知：正确的有2个，
故选：C．
【题型8 程序流程图与有理数的计算】
【例8】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）定义一种对正整数的“”运算，①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取，如图所示；若，则第“”的运算的结果是（ ）
A．1 B．3 C．7 D．8
【答案】A
【分析】据提供的“”运算，对正整数n分情况(奇数、偶数)循环计算，由于为奇数应先进行运算，再按照新定义进行计算即可求解．本题主要考查了新定义运算，有理数的混合运算．熟练掌握“”运算法则，找到结果存在的规律，根据有理数的混合运算求出答案，是解题的关键．
【详解】解：：，
：，，即，
：，
：，即，计算结果为1，
故选：A．
【变式8-1】（24-25七年级上·辽宁丹东·期中）如图是一个“数值转换机”的示意图，当，时，输出的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了代数式求值的问题，按照数值转换机的计算顺序列出代数式，再把，代入计算即可求解．
【详解】解：由示意图可得输出的代数式为：，
当，时，
，
故答案为：．
【变式8-2】（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图是小宇用计算机设计的一个有理数运算的程序框图．若输入的数为1，则输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了程序框图与代数式求值、有理数的乘方，理解程序框图的计算过程是解题的关键．由程序框图得，输入数后的计算过程为，再判断结果是否小于，是则输出结果，否则再重复一次计算过程，据此即可解答．
【详解】解：由程序框图得，输入数后的计算过程为，再判断结果是否小于，是则输出结果，否则再重复一次计算过程．
若输入的数为1，则计算结果为，
，
需要再重复一次计算过程，
若输入的数为，则计算结果为，
，
输出的结果为．
故选：C．
【变式8-3】（24-25九年级上·重庆江北·期末）对任意正整数n，若n为偶数则除以2，若n为奇数则乘3再加1，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数，在1937年LotharCollatz提出了一个问题：如此反复这种变换，是否对于所有的正整数，最终都能变换到1呢？这就是数学中著名的“考拉兹猜想”．如果某个正整数通过上述变换能变成1，我们就把第一次变成1时所经过的变换次数称为它的路径长，例如5经过5次变成1，则路径长．下列说法：
①无论输入的正整数n是奇数还是偶数，当路径长时，总能得到连续四次变换的结果依次是，，，；
②若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值只有4个；
③若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值中最大是512，最小是13．
其中正确的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【分析】本题主要考查有理数的运算，归纳推理的应用，利用变换规则，逆向推理计算求出所有可能的取值，再判断结果即可．
【详解】解：∵对任意正整数n，若n为偶数则除以2，若n为奇数则乘3再加1，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数，
∴由新自然数求原来的数计算方法为：新自然数乘以，或新自然数减去1的差再除以3（取整数），
若输入正整数n，则最后一次计算过程为：，上一步结果为；
倒数第二次计算过程为：，上一步结果为；
倒数第三次计算过程为：，上一步结果为；
倒数第四次计算过程为：，上一步结果为；
倒数第五次计算过程为：，或，上一步结果为或；
倒数第六计算过程为：，或，上一步结果为或；
倒数第七次计算过程为：，或，或，或，上一步结果为或或或；
倒数第八次计算过程为：，或，或，或，上一步结果为或或或；
倒数第九次计算过程为：，或，或，或，或，或，上一步结果为或或或或或；
∴①无论输入的正整数n是奇数还是偶数，当路径长时，总能得到连续四次变换的结果依次是，，，，说法正确；
②若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值为或或或，只有4个，说法正确；
③若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值为或或或或或，其中最大是512，最小是12，说法错误；
∴正确的个数是2个，
故选：B．
【题型9 计算“24”点】
【例9】（24-25七年级上·四川成都·期末）24点游戏是一种益智游戏，24点是把4个整数（一般是正整数）通过加、减、乘、除或乘方等运算（可以使用括号），使最后的计算结果是的一个数学游戏（每个数字均使用1次）．写出1，2，2，3的24点游戏的一种计算式 ．
【答案】
【分析】本题主要考查有理数的混合运算．熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键．根据有理数的混合运算可进行求解．
【详解】解：．
故答案为：．
【变式9-1】（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出一个符合规则的算式： ．
【答案】或或（答案不唯一，任选一个）
【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则列式即可，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：符合规则的算式为或或，
故答案为：或或．
【变式9-2】（23-24六年级上·山东威海·期末）有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的四个自然数，将这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行有理数混合运算，使其结果等于24．现有四个有理数，请仿照“二十四点”游戏规则写出一个算式 ，使其结果等于24．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，利用混合运算的特点构建是解本题的关键．
【详解】解：∵，
∴这个算式为：，
故答案为：
【变式9-3】“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】D
【分析】根据有理数的四则混合计算法则求解即可．
【详解】解：①这四个数分别为6、-3、6、2，
∵，
∴①符合题意；
②这四个数分别为-4、-6、6、2，
∵，
∴②符合题意；
③这四个数分别为-4、-3、12、2，
∵，
∴③符合题意；
④这四个数分别为-4、-3、6、1，
∵，
∴④符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【题型10 乘方中的规律探究】
【例10】（24-25七年级上·河南商丘·期末）为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照以上推理，计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是理解清楚题中的解答方式并运用．根据题意设，则，相减即可得出答案．
【详解】解：设，
则，
因此，
所以．
故选：D．
【变式10-1】（24-25七年级下·福建漳州·期中）我们规定一个新数“”，一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，，那么 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了数字变化的规律，利用新定义的规定，从第一个数开始，每4个数的和为0，则，再利用幂的乘方与积的乘方法则运算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【变式10-2】（24-25七年级上·广东广州·期中）观察下图三行数：
，4，，16，，64，...；①
0，6，，18，，66，...；②
，2，，8，，32，...；③
取每行数的第9个数，这三个数的和为 ；
【答案】
【分析】本题考查数字的变化类，根据题目中的数据，可以发现第一行数字的变化特点，从而可以写出第n个数的式子，同理可以发现第二行的数字就是第一行对应的数字加上2，第三行数字的特点就是第一行对应的数字除以2，然后即可得到每行的第9个数字，再作和即可解答本题．
【详解】解：由题目中的数据可得，
第一行数据的第n个数是，
第二行数据的第n个数是，
第三行数据的第n个数是，
故第一行的第9个数是，第二行数据的第9个数是，第三行数据的第9个数是，
，
故答案为：．
【变式10-3】（22-23七年级上·湖北武汉·期中）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干数的和，依次写出1或0即可．如为二进制下的五位数，则十进制是二进制下的（ ）
A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数
【答案】B
【分析】根据题意，，，根据规律可知最高位应是，故可求共有位数．
【详解】解：∵，，
∴最高位应是，
故共有位数．
故选B
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，此题只需分析是几位数，所以只需估计最高位是乘以2的几次方即可分析出共有几位数，此题也可以用除以2取余的方法写出对应的二进制的数．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题2.3 有理数的乘方（举一反三讲义）
【人教版2024】
【题型1 有理数幂的概念】 2
【题型2 有理数的乘方运算】 2
【题型3 有理数乘方的逆运算】 2
【题型4 乘方运算的符号规律】 3
【题型5 乘方的应用】 3
【题型6 有理数的混合运算】 4
【题型7 有理数混合运算的实际应用】 5
【题型8 程序流程图与有理数的计算】 7
【题型9 计算“24”点】 8
【题型10 乘方中的规律探究】 9
知识点1 有理数的乘方
1. 一般地，n个相同的乘数ɑ相乘，即，记作．求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂．
2. 中，a叫作底数，n叫作指数，读作a的n次方（或a的n次幂）．
乘方运算的结果及符号的规律
知识点2 有理数的混合运算顺序
1. 先乘方，再乘除，最后加减；
2. 同级运算，从左到右进行；
3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
有理数运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算．运算顺序是先算高级，再算低级；同级运算按从左到右的顺序进行；对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的．
【题型1 有理数幂的概念】
【例1】（2024·河北沧州·模拟预测）若（，都为正整数，则m的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【变式1-1】（22-23七年级上·江西宜春·阶段练习） 的底数是 指数是 表示 ．
【变式1-2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有（　　）
①没有平方得的数；②是负数；③是正数；④任何一个小于1的数都大于它的平方．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-3】（24-25七年级上·河北唐山·期末）的结果可表示为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 有理数的乘方运算】
【例2】（24-25七年级上·山东济宁·期中）比较大小： （填或）．
【变式2-1】（2025·福建泉州·二模）已知，则的值是 ．
【变式2-2】（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算： ．
【变式2-3】（24-25七年级上·广东广州·期末）利用二进制数加法运算法则计算，并把计算结果转化为十进制数是 ．
【题型3 有理数乘方的逆运算】
【例3】（2025·四川广安·模拟预测）一般地，n个相同的因数a相乘记作，如．此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”，记为，则．一般地，若（且），则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为，如，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为．则满足关系式 ．
【变式3-1】（22-23七年级上·广东东莞·期中），由此你能算出（ ）
A．6 B．8 C． D．十分麻烦
【变式3-2】（22-23七年级上·山东青岛·阶段练习）已知，且，则的值为（　　）
A．10 B．6 C．3 D．6或者0
【变式3-3】（22-23七年级上·福建厦门·期中）若，则的值可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 乘方运算的符号规律】
【例4】（23-24七年级上·广东揭阳·期末）计算：
【变式4-1】（23-24七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式4-2】（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ．
【变式4-3】（23-24七年级上·河南漯河·阶段练习）当整数为 时，；若是正整数，则 ．
【题型5 乘方的应用】
【例5】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）根据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果的个数．已知她一共采集到的野果数不少于75个，则她在第2根绳子上打结的可能情况有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【变式5-1】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的绳子的长度为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【变式5-2】（24-25七年级上·云南昆明·期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，计算机和依赖计算机的设备都使用二进制来表示数字和数据．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用角标表示二进制数，例如，就是二进制数的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，小明查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换．
以98为例：
方法一：因为
所以．
方法二：用如图的短除法算式表示：
请你根据以上材料，把转换为五进制数是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2024七年级上·全国·专题练习）某软件用户等级用四个标识图展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一开始是星星，个星星为级，个星星等于个月亮，个月亮等于个太阳，个太阳等于个皇冠．某用户的等级标识图为两个皇冠，则该用户的等级为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 有理数的混合运算】
【例6】（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
输入 …
输出 …
那么，当输入数据是时，输出的数据是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（24-25六年级上·山东烟台·期末）下列运算错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-2】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）用一排6个黑白圆圈来表示数，如图分别表示数，则表示的数是 ．
【变式6-3】（24-25七年级上·浙江台州·期末）对正整数n反复进行下列两种运算：①若n是偶数，就除以2；②若n是奇数，就乘以3加1．例如：正整数6经过一次操作后的结果是3，经过两次操作后的结果是10．若某正整数m经过4次操作后的结果是2，则正整数m的值是 ．
【题型7 有理数混合运算的实际应用】
【例7】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种待定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图是某次考试中两位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图1，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：，同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1110，111，11100，1101，转化成10进制为：14，07，28，13，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号2414072813，其中第一行编码“24”和第二行编码“14”表示区域和学校，第三行编码“07”表示班级为07班，第四行编码“28”表示考场号为28，第五行编码“13”表示座位号是13；若图2是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，则小张的准考证号为（ ）
A．2410252110 B．2010272108 C．2212272408 D．2410272108
【变式7-1】（24-25七年级上·四川成都·期末）某校一幢教学楼共有5层，相邻两层之间楼梯的台阶均为18级，从1层到5层参加舞蹈社团的学生人数分别为9，7，5，5，6．若在某层楼确定活动地点，能使所有参加舞蹈社团的同学到活动地点所经过的台阶数之和最小，则台阶数之和最小为 级．
【变式7-2】（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）2025重庆沙坪坝全球校友半程马拉松现场氛围热烈．某学校9人组成的啦啦队在站点表演三个助威节目，候场时间为从首个节目开始至参演节目开始前的时间间隔（不考虑换场等因素），各节目参与人数及表演时长（单位：）如下表所示：
节目 甲 乙 丙
人数 3 4 2
时长 6 4 2
若节目按丙乙甲的顺序表演，则9位学生的候场时间之和是（　　）
A．6 B．20 C．26 D．44
【变式7-3】（24-25七年级上·重庆渝北·期末）正所谓：“人有人言，灯有灯语”．灯语（灯光通信）是船只之间通信的一种通用化语言，在国际上的使用十分广泛．利用灯光，以二进制的原理传递信息，可以帮助船员在较远的目视距离相互沟通．例如：“○”表示亮红灯．”“●”表示亮绿灯．两只远洋航行的船只用亮红灯和亮绿灯来进行交流，并在启航前作如图所示的约定：
根据约定的规则，下列说法正确的有（ ）
①“●○○○”表示字母H：
②若要表示26个英文字母，需要6盏灯；
③某船先后发出“●○○●●”、“●●●●”、“●○○●●”表示它遇到了危险，在求救．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【题型8 程序流程图与有理数的计算】
【例8】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）定义一种对正整数的“”运算，①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取，如图所示；若，则第“”的运算的结果是（ ）
A．1 B．3 C．7 D．8
【变式8-1】（24-25七年级上·辽宁丹东·期中）如图是一个“数值转换机”的示意图，当，时，输出的结果是 ．
【变式8-2】（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图是小宇用计算机设计的一个有理数运算的程序框图．若输入的数为1，则输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（24-25九年级上·重庆江北·期末）对任意正整数n，若n为偶数则除以2，若n为奇数则乘3再加1，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数，在1937年LotharCollatz提出了一个问题：如此反复这种变换，是否对于所有的正整数，最终都能变换到1呢？这就是数学中著名的“考拉兹猜想”．如果某个正整数通过上述变换能变成1，我们就把第一次变成1时所经过的变换次数称为它的路径长，例如5经过5次变成1，则路径长．下列说法：
①无论输入的正整数n是奇数还是偶数，当路径长时，总能得到连续四次变换的结果依次是，，，；
②若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值只有4个；
③若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值中最大是512，最小是13．
其中正确的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【题型9 计算“24”点】
【例9】（24-25七年级上·四川成都·期末）24点游戏是一种益智游戏，24点是把4个整数（一般是正整数）通过加、减、乘、除或乘方等运算（可以使用括号），使最后的计算结果是的一个数学游戏（每个数字均使用1次）．写出1，2，2，3的24点游戏的一种计算式 ．
【变式9-1】（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出一个符合规则的算式： ．
【变式9-2】（23-24六年级上·山东威海·期末）有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的四个自然数，将这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行有理数混合运算，使其结果等于24．现有四个有理数，请仿照“二十四点”游戏规则写出一个算式 ，使其结果等于24．
【变式9-3】“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【题型10 乘方中的规律探究】
【例10】（24-25七年级上·河南商丘·期末）为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照以上推理，计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】（24-25七年级下·福建漳州·期中）我们规定一个新数“”，一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，，那么 ．
【变式10-2】（24-25七年级上·广东广州·期中）观察下图三行数：
，4，，16，，64，...；①
0，6，，18，，66，...；②
，2，，8，，32，...；③
取每行数的第9个数，这三个数的和为 ；
【变式10-3】（22-23七年级上·湖北武汉·期中）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干数的和，依次写出1或0即可．如为二进制下的五位数，则十进制是二进制下的（ ）
A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑