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专题2.2 有理数的乘法与除法（举一反三讲义）
【人教版2024】
【题型1 两个有理数的乘法运算】 3
【题型2 多个有理数的乘法运算】 4
【题型3 有理数的乘法的实际应用】 6
【题型4 倒数】 8
【题型5 有理数乘法运算律】 10
【题型6 有理数的除法运算】 12
【题型7 有理数除法的应用】 14
【题型8 有理数乘除混合运算】 17
【题型9 有理数乘除中的简便运算】 19
【题型10 有理数混合运算的应用】 25
知识点1 有理数乘法法则
1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积．
2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0．
3. 有理数乘法法则也可以表示如下：
设a，b为正有理数，c为任意有理数，则
；
，；
，．
知识点2 倒数的概念与求法
1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则．
2. 倒数的求法
类型 方法
真、假分数的倒数 将分子分母交换位置
非0整数的倒数 整数作分母，1作分子
小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数
对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行
带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置
知识点3 有理数的乘法运算律
运算律 文字叙述 用字母表示
乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变
乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变
乘法分配率 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加
知识点4 多个有理数相乘的符号法则
1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是
2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0．
知识点5 多个有理数相乘的符号法则
1. 有理数除法法则
（1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即．
（2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则．
（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0．
2. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用
（1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便．
（2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算．
知识点6 多个有理数相乘的符号法则
有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果．
知识点7 多个有理数相乘的符号法则
有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算．
【题型1 两个有理数的乘法运算】
【例1】（2025·浙江杭州·三模）下列结果中，是负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了负数的概念，绝对值、相反数及有理数的乘法，掌握这些知识是关键；分别计算各选项的值，判断是否为负数即可．
【详解】解：A. ：负负得正，结果为3，是正数；
B. ：先计算绝对值，再取负号，结果为，是负数；
C. ：直接相乘，结果为12，是正数；
D. ：任何数与0相乘均为0，既不是正数也不是负数；
综上，只有选项B的结果为负数；
故选：B．
【变式1-1】（2025·山西运城·模拟预测）计算的结果是（ ）
A． B．2 C． D．15
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算是解题的关键；因此此题可根据有理数的乘法运算进行求解即可
【详解】解：；
故选：C ．
【变式1-2】（2025·吉林松原·模拟预测）若的运算结果为正数，则内的数字可以为（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算．根据有理数的乘法计算法则，即可得到答案．
【详解】解：∵的运算结果为正数，
∴内的数字为负数，故A选项符合题意；
故选：A
【变式1-3】（24-25七年级上·四川宜宾·期末）在4，，6，这四个数中，任意取两个数相乘，所得的积最大是 ．
【答案】35
【分析】本题考查有理数的乘法，有理数大小比较．关键要明确不为零的有理数相乘的法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
两个非0数相乘，同号得正，异号得负，且正数大于一切负数，所以找积最大的应从同号的两个数中寻找即可．
【详解】解：要使所得的积最大，两数字必定同号，
，
∵，
∴任意取两个数相乘，所得的积最大是35，
故答案为：35．
【题型2 多个有理数的乘法运算】
【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）下面计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查有理数的乘法，多个有理数相乘，熟练掌握多个有理数相乘计算法则是解题的关键；
根据多个有理数相乘计算法则即可求解；
【详解】解：A、，故该选项错误；
B、
故该选项错误；
C、，故该选项错误；
D、，故该选项正确；
故选：D
【变式2-1】（24-25七年级下·全国·假期作业）计算．
(1)；
(2)；
(3)；
【答案】(1)0
(2)
(3)
【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．掌握各运算法则是解题关键．
（1）任何数与0相乘都等于0，所以结果为0．
（2）利用乘法交换律先算与的积，再乘．
（3）将化为后与相乘并约分计算．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
【变式2-2】（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，，，，观察并找规律，计算的结果是（　　）
A．42 B．120 C．210 D．840
【答案】C
【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据已知等式找出规律，利用规律列出乘法算式，即可求解．
【详解】解：由已知得，
故选C．
【变式2-3】（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知x，y表示两个数，规定新运算“”及“”如下： ，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查有理数的运算，根据新定义的法则，列出算式进行计算即可．
【详解】解：原式
；
故答案为：．
【题型3 有理数的乘法的实际应用】
【例3】（2025·江苏南京·模拟预测）在我国古代数学著作《孙子算经》中，有这样一道题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？其最小正整数解记为a．又知，则a b（填“”“”或“”）．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的乘法运算，理解题意，分别由小到大进行分析，发现符合题意的最小正整数解为，即，再结合，即可作答．
【详解】解：∵三三数之剩二，
∴
，
∵五五数之剩三，
∴
∵七七数之剩二．
∴
∵最小正整数解记为a．
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【变式3-1】（24-25六年级下·江苏南京·期末）实验小学要给报告厅的小舞台铺上地垫，舞台的面积是40.8平方米，地垫的单价为19.9元/平方米，一共要准备多少元？下面符合实际需要的估算方法是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查小数乘法估算的实际应用及方法，利用面积乘每平方米的单价，计算时把小数看作与它相近的整数计算即可，注意估算的时候估大一些．
【详解】解：(元) ，
因此准备820元就够了，
符合实际需要的估算方法是选项D．
故选：D．
【变式3-2】（2025八年级下·全国·专题练习）宾馆有100间相同的客房，经过一段时间的经营，发现客房定价与客房的入住率之间有下表所示的关系，按照这个关系，要使客房的收入最高，每间客房的定价应为（　　）
每间房价（元）
入住率
A．300元 B．280元 C．260元 D．220元
【答案】C
【分析】本题考查了有理数乘法的应用，正确理解收入等于房价乘以数量乘以入住率是解题的关键．
分别计算不同房价对应的收入，比较即可．
【详解】解：当每间客房的定价为300元时，客房的收入为（元）；
当每间客房的定价为280元时，客房的收入为（元）；
当每间客房的定价为260元时，客房的收入为（元）；
当每间客房的定价为220元时，客房的收入为（元）.
所以当每间客房的定价为260元时，客房的收入最高．
故选：C．
【变式3-3】（24-25七年级下·黑龙江绥化·开学考试）某商场优惠活动宣传：两个品牌分别标有“满100减50元”和“打6折”． 请你比较以上两种优惠方案的异同（可举例说明） ．
【答案】标价整百时，满100减50元”更优惠；标价非整百时，“打6折”更优惠．
【分析】本题考查了商品销售问题中的方案选择问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，分情况进行计算，然后再确定优惠方案，即可作答．
【详解】解：如果买的商品标价是整百元的，
如标价为元，
则“满100减50元”，（元）；
“打6折”， （元）；
∵
∴此时满100减50元”更优惠；
如果买的商品标价不是整百元时，如标价为元，则有
“满100减50元”： （元）
“打6折”： （元），
∵，
∴“打6折”比较实惠，
故答案为标价整百时，满100减50元”更优惠；标价非整百时，“打6折”更优惠．
【题型4 倒数】
【例4】（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）2025的相反数的倒数是（　　）
A．2025 B． C．-2025 D．
【答案】B
【分析】本题考查相反数和倒数的概念，掌握相反数的和倒数的定义成为解题的关键．
先确定2025的相反数，再求其倒数即可．
【详解】解：2025的相反数是．
的倒数为．
∴2025的相反数的倒数是，对应选项B．
故选B．
【变式4-1】（2024·山东菏泽·二模）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了绝对值、倒数的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据绝对值、倒数的定义解答即可．
【详解】解：，
的倒数是，
故选：D．
【变式4-2】（24-25七年级上·陕西渭南·期中）请根据对话，解答下列问题．
我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是．
我告诉你：“的相反数是2，，且的绝对值是5，的倒数是．”
求式子的值．
【答案】
【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．直接利用相反数、绝对值的定义分别得出，，的值，代入原式计算即可．
【详解】解：的相反数是2，
；
，且的绝对值是5，
；
的倒数是，
．
原式
【变式4-3】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2．
(1)直接写出的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，，；
(2)3或
【分析】此题考查了有理数的混合运算，相反数、倒数，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
（1）利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各自的值即可；
（2）把各自的值代入原式计算即可求出值．
【详解】（1）解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，
∴，，；
（2）当时，原式；
当时，原式，
则原式的值为3或．
【题型5 有理数乘法运算律】
【例5】（24-25七年级下·全国·假期作业）张丽用计算器计算“”时，发现键“9”坏了，下面输入不能得到正确结果的是（ ）．
A． B． C．
【答案】B
【分析】本题考查了乘法运算的灵活应用，以及通过分解、转化等方法解决实际问题的能力，解题的关键是在避免直接使用数字“9”的情况下，等价表示．据题意，由于计算器的“9”键损坏，需将转换为不含数字9的表达式进行计算，同时验证各选项是否与原式等价．
【详解】解：选项A、，计算正确，故此选项不符合题意；
选项B、正确拆分应为，但选项B直接减去0.1，无法得到正确答案，故此选项符合题意；
选项C、根据乘法结合律，，计算正确，故此选项不符合题意；
故选：B．
【变式5-1】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）计算： ．
【答案】2025
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，简便计算的方法，逆用乘法的分配律将原式变为，再进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：2025．
【变式5-2】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算：．
【答案】
【分析】本题了考查逆用乘法分配律的运用．先把分数化为小数，再运用乘法分配律进行计算，即可作答．
【详解】解：
．
【变式5-3】（24-25七年级下·全国·假期作业）脱式计算，能简算的要简算．
①
②
③
【答案】；；
【分析】本题考查乘法交换律和结合律、拆分计算法、通过约分简化分数乘法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．①根据乘法交换律把变成，再按顺序计算；②把改写成，然后根据加法交换律，加法结合律，把变成，再按顺序计算；③根据乘法交换律把变成，再按顺序计算．
【详解】解：①
②
③
．
【题型6 有理数的除法运算】
【例6】（24-25七年级下·全国·假期作业）如果“”，那么“( )”．计算的结果是( )．
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，倒数的定义，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）因为，，与互为倒数，所以的商和的商互为倒数，而C的倒数是，由此可得答案．
（2）先将除数化成假分数，分子用相乘的形式表示，即，再把除法变成乘法求解即可．
【详解】解：（1）如果“”，那么“”；
（2）
，
故答案为：，．
【变式6-1】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）计算： ．
【答案】/
【分析】本题考查有理数的除法，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键；
根据有理数的除法法则计算即可求解；
【详解】解：；
故答案为：
【变式6-2】（24-25七年级上·广东广州·期中）如果，，那么下列成立的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数的加法、除法运算法则，熟知两种运算的法则是正确解答此题的关键．
根据有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，依此即可作出判断．
【详解】解：，
，同为正或同为负，
，
，同为负，即：，；
故选：C．
【变式6-3】（24-25七年级上·福建福州·期末）将十进制数36化为七进制数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了进位制之间的转化，解题的关键是掌握“除k取余法”．
把所给的十进制数除以7，得到商和余数，继续除以7，直到商为0，把余数倒序写下来即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【题型7 有理数除法的应用】
【例7】（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）教师发现学生平时喜欢玩洞洞乐，于是设计了一个洞洞乐游戏，游戏道具：每张A4纸上画满24个相同的圆圈，游戏规则：两人一组轮流用铅笔将圆圈戳洞，每个圆圈只戳一个洞，每人一次可戳一个或两个圆圈（不能多戳或不戳），谁将最后一个圆圈戳洞，谁就获胜．
(1)先开始的人胜，还是后开始的人胜？你有必胜的方法吗？请你写出你的方法．
(2)如果游戏规则改为一次只能戳一个或两个或三个或四个圆圈（最多四个），怎样才能必胜？请写出你的方法．
【答案】(1)后开始获胜，方法见解析
(2)先开始的人有必胜策略，方法见解析
【分析】本题考查了博弈策略，整数的除法运算及余数概念，熟练掌握整数的除法运算及余数概念是解题的关键；
（1）根据每轮两人戳洞的总数情况，得出选择控制每轮两人一共戳3个洞（一人戳1个时另一人戳2个，或者一人戳2个时另一人戳1个）．根据不管先开始的人第一次戳1个还是2个圆圈，后开始的人都可以通过相应地戳2个或者1个圆圈，使得两人第一轮一共3戳个圆圈．然后在后续的每一轮中，后开始的人继续根据先开始的人戳洞的数量，保证每轮两人一共戳3个圆圈，这样经过8轮后，后开始的人就一定能戳到最后一个圆圈获胜．
（2）根据两人一轮戳洞的数量之和可能是2到8个圆圈，同样要从24个圆圈总数出发，找到合适的每轮戳洞总数，让其能整除（或结合余数来控制局面），以确定必胜策略．分别计算除以每轮可能总数的情况发现，如果能保证每轮两人一共戳5个圆圈，经过4轮，在处理好开始的余数4个圆圈后，就能戳完所有圆圈．
【详解】（1）解：后开始的必胜，
∵每人一次可戳一个或两个圆圈，
∴两人一轮戳洞的数量之和存在三种可能情况：
若两人都戳一个圆圈，一轮共戳2个圆圈；
若一人戳一个，另一人戳两个，一轮共戳3个圆圈；
若两人都戳两个圆圈，一轮共戳4个圆圈．
通过计算分别除以每轮可能的总数情况：
（轮）；
（轮）；
（轮）．
发现24能被3整除，这意味着如果能保证每轮两人一共3戳个圆圈，经过8轮就能戳完所有圆圈，并且可以通过先后手的策略来控制局面．
具体操作如下：
先开始的人先戳洞，不管先开始的人第一次戳1个还是1个圆圈，后开始的人都可以相应地戳2个或者1个圆圈，使得两人第一轮一共戳3个圆圈．然后在后续的每一轮中，后开始的人继续根据先开始的人戳洞的数量，保证每轮两人一共3戳个圆圈．这样经过8轮后，后开始的人就一定能戳到最后一个圆圈，从而获胜．
（2）先开始的人有必胜策略．
∵游戏规则改为一次只能戳一个或两个或三个或四个圆圈（最多四个），
∴两人一轮戳洞的数量之和可能是2到8个圆圈，
∴；
；
；
；
；
；
．
发现，即如果能保证每轮两人一共戳5个圆圈，经过4轮，在处理好开始的余数4个圆圈后，就能戳完所有圆圈．
具体操作如下：
先开始的人先戳4个圆圈，此时剩下个圆圈．然后不管后开始的人戳1个、2个、3个还是4个圆圈，先开始的人在后续的每一轮中，都根据后开始的人戳洞的数量，保证每轮两人一共戳5个圆圈．这样经过4轮后，先开始的人就可以戳到最后一个圆圈，进而获胜．
【变式7-1】（24-25七年级上·湖南株洲·开学考试）据有关资料统计，株洲市年地方财政收入约亿元，在湖南省的财政收入增速排名中排第六位，株洲市年地方财政收入相比年地方财政收入约增长了，请你计算一下株洲市年地方财政收入约为多少亿元？
【答案】亿元
【分析】本题考查了有理数除法的应用，根据题意列出算式计算即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：（亿元），
答：株洲市年地方财政收入约为亿元．
【变式7-2】（24-25七年级上·山西长治·开学考试）中国铁路的发展见证了新中国的沧桑巨变，高铁已成为中国的一张名片．由我国自主研发的“复兴号”高铁的速度比“和谐号”动车组的速度快，“和谐号”动车组每小时比“复兴号”高铁少行100千米．“复兴号”与“和谐号”高铁每小时各行驶多少千米？
【答案】“和谐号”动车每小时行驶250千米，“复兴号”动车每小时行驶350千米．
【分析】本题考查有理数的混合运算．“和谐号”动车每小时行驶250千米，“复兴号”动车每小时行驶350千米．先根据和谐号”动车组每小时比“复兴号”高铁少行100千米求出“和谐号”的速度，再求“复兴号”的速度．
【详解】解：“和谐号”的速度为：（千米/小时）
“复兴号”的速度为：（千米/小时）．
答：“和谐号”动车每小时行驶250千米，“复兴号”动车每小时行驶350千米．
【变式7-3】（24-25七年级上·四川眉山·期中）中国高铁设计标准高，行驶稳定，是中国发展的一张独特而亮丽的“名片”．至2022年底，中国高铁运营里程超过4.3万千米，位居世界第一，高铁的票价是按“票价每千米乘车价钱乘车路程”的方法计算的，已知站至站的里程为2000千米，全程票价为800元，沿途各站的路程如图．李老师从站上车，购买了一张80元的票，他可能会在哪一站下车？请列式说明．

【答案】到站或到站，说明见解析
【分析】本题考查有理数运算的实际应用，先求出每千米的票价，进而求出李老师买票的费用除以单价，求出里程，进行判断即可．
【详解】

（元/千米）
（千米）
（千米）或（千米）
到站或到站都可．
【题型8 有理数乘除混合运算】
【例8】（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ．
【答案】128
【分析】本题考查程序流程图与有理数的运算，把32代入流程图，列出算式进行计算，直至最后结果，即可．
【详解】解：，
，输出；
故答案为：128．
【变式8-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知a是有理数，[a]表示不超过a的最大整数，如，，，等，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查有理数的乘除混合运算，根据新定义求出各个数，再进行乘除运算即可求解．
【详解】解：
，
故选：B．
【变式8-2】（24-25七年级上·山东济宁·期中）小丽同学做一道计算题的解题过程如下：
解：原式 …………第一步
…………第二步
…………第三步
…………第四步
根据小丽的计算过程，回答下列问题：
(1)小丽在进行第一步时，运用了乘法的______律；
(2)她在计算中出现了错误，其中你认为在第______步开始出错了；
(3)请你给出正确的解答过程．
【答案】(1)分配；
(2)二；
(3)见解析．
【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：“先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化”．
（1）根据乘法分配律可得答案；
（2）除法没有分配律，据此可得答案；
（3）先利用乘法分配律展开，然后计算括号内的减法，再计算乘除，最后计算加减即可．
【详解】（1）解：小丽在进行计算第一步时运用了乘法分配律，
故答案为：分配；
（2）解：她在第二步出错了，因为除法没有分配律，
故答案为：二；
（3）解：
．
【变式8-3】（24-25七年级上·四川成都·期中）在一个遥远的魔法世界里，有一个神秘的圆环，它被称为“五二○圆环”．圆环被九条线段均匀分成了的九个部分，每个部分里会隐藏着一个数字，如果你找出了全部的数字，那么你将被授予“五二○大王”的称号．如图所示，这九个数字中相邻的连续三个数之积均为520，则x的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了有理数乘除混合运算的应用，熟练掌握有理数的乘除法运算是解本题的关键．先求出20与26之间的数，再求出26与x之间的数，进而可求x的值．
【详解】解：∵相邻的连续三个数之积均为520，
∴20与26之间的数为：，
∴26与x之间的数为：，
∴，
∴x的值为 1．
故答案为：1．
【题型9 有理数乘除中的简便运算】
【例9】（24-25七年级上·山西临汾·期中）阅读下列材料，完成后面任务．
计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式
任务：
(1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号）
(2)在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号）
(3)请你进行简便计算：．
【答案】(1)①
(2)③
(3)
【分析】本题考查有理数的计算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键．
（1）根据有理数的混合运算法则即可判断解法的正确性；
（2）运用有理数的除法运算法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，运算是最简便的，只有解法三符合这种运算法则，
（3）参照解法③进行简便计算．
【详解】（1）解：解法①是错误的．
故答案为：①；
（2）解：在正确的解法中，解法③运用了有理数的除法的运算法则，乘法的分配律，比较简便．
故答案为：③；
（3）解：原式的倒数为：
，
故原式．
【变式9-1】（24-25六年级上·黑龙江绥化·期中）计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法．
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)4
(2)
(3)13
(4)2
【分析】本题考查有理数的混合运算．
（1）按照从左到右的运算顺序进行计算即可；
（2）化除法为乘法，然后运用乘法交换律进行计算即可；
（3）运用乘法分配律进行计算即可；
（4）先算除法，再运用减法的性质进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【变式9-2】（23-24七年级上·山东菏泽·开学考试）简便计算
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【答案】(1)
(2)
(3)1
(4)
(5)
【分析】（1）根据，根据分数的拆项公式进行简算即可；
（2）先将除法转化为乘法，再逆用乘法分配律进行计算即可；
（3）先计算括号里面的，再计算最后计算乘法即可；
（4）把原式转化为，再利用乘法分配律进行计算即可；
（5）根据先将看着一个整体，利用乘法分配律把后面乘法部分展开，再逆用乘法分配律进行计算即可．
【详解】（1）解：
（2）
（3）
（4）
（5）
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．灵活运用乘法分配律进行计算．
【变式9-3】（24-25七年级下·重庆·自主招生）计算：．
【答案】432
【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键．根据有理数乘除的运算法则即可求解．
【详解】解：
．
【题型10 有理数混合运算的应用】
【例10】（24-25七年级上·广东广州·期中）张家口市怀来县种植葡萄已有800多年的历史，其中最知名的品种之一是龙眼葡萄，它被郭沫若誉为“北国明珠”．该县质监局对某企业出售的葡萄进行了抽检，从库中任意抽出20箱样品进行检测，每箱的质量超过标准质量（标准质量为10千克）的部分记为正数，不足的部分记为负数，记录如下表：
与标准质量的差（单位：千克） 0
箱数 2 5 1 4 6 2
(1)若每箱与标准质量的差的绝对值小于或等于0.2千克的记为合格产品，则这20箱样品的合格率是多少？
(2)这批样品总质量是多少千克？
【答案】(1)
(2)总质量为202.2千克
【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键：
（1）根据题意确定求出符合题意的数量除以总数量即可；
（2）标准质量乘以总箱数加上与标准质量的差的总和即可．
【详解】（1）解：由题意得：合格的有（箱），
故合格率为：；
（2）解：
（千克）
（千克）
答：这批样品总质量为202.2千克．
【变式10-1】（24-25七年级上·湖北黄冈·期中）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数有多少个？
【答案】
【分析】本题主要考查了数字类规律探索，有理数除法的应用，有理数四则混合运算的实际应用等知识点，从题中所给的一列数中发现并总结出一般规律是解题的关键．
根据所给的一列数，发现从第1个数开始，每相邻的三个数中，前2个数为奇数，后1个数为偶数，据此即可得出答案．
【详解】解：由题意可知，在这列数中，从第1个数开始，每相邻的三个数中，前2个数为奇数，后1个数为偶数，
余，
，
在这一列数的前2024个数中，奇数的个数有1350个，
答：在这一列数的前2024个数中，奇数的个数有1350个．
【变式10-2】（2025七年级下·全国·专题练习）甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两站相对开出，第一次相遇时离A站有90千米，然后各自按原来速度继续行驶，分别到达对方出发站后立即沿原路返回．第二次相遇时离A站的距离占A、B两站间全长的．求A、B两站间的路程．
【答案】两站间的路程是200千米
【分析】本题主要考查了有理数混合运算．根据第一次相遇在距A地90千米的地方，可知甲乙每行驶一个总路程，一辆汽车就行了：（千米），第二次在全程的地方相遇，说明甲在全程的地方，据此列式计算求解即可．
【详解】解：（千米），
第二次在全程的地方相遇，说明甲在全程的地方，
270米包含甲走了1个全程和1个的全程，
则270米对应的全程百分率为，
即1个全程为（千米）．
答：两站间的路程是200千米．
【变式10-3】（2025七年级上·重庆·专题练习）“闯黄灯”已成为引发路口交通事故的主因之一．如图所示的十字路口，该路段交通信号灯红灯亮之前，会有亮黄灯的时间．某时刻，小车以的速度沿着中心线行驶到停止线时交通灯恰好变为黄灯，此时人行道的红绿灯也在后变成绿灯，行人以的速度过马路．已知马路宽，停止线到斑马线的距离，小车的尺寸为：长度，宽度．求：
(1)行人通过人行横道的时间；
(2)若车闯黄灯，是否会撞到行人；
(3)若人行道处有一长为的美团外卖摩托车以的速度横过马路，则小车速度在什么范围不会撞到摩托车．（不计摩托车宽度，保留两位小数）
【答案】(1)行人通过人行横道的时间为
(2)小车不会撞到行人；
(3)小于或大于
【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用，解决本题的关键搞清甲、乙两车相撞的临界情况，抓住时间相等，根据路程关系求出临界速度。
（1）已知路程和时间，利用求出行人通过人行横道的时间；
（2）先计算出小车穿过人行道的时间，再计算出此时行人到中心线时间，再进行比较即可；
（3）根据匀速直线运动的求出两种临界情况下小车的速度，第一种临界为摩托车车头碰到小车车尾；第二种临界为小车车头碰到摩托车车尾，根据路程关系，抓住时间相等，求出小车的临界速度．
【详解】（1）解：行人通过人行横道的时间：；
（2）解：，
，
，
，
所以，小车不会撞到行人；
（3）解：①摩托车车头碰到小车车尾时，，
所以小车的速度大于不会撞上摩托车；
②当小车的车头刚好撞上摩托车的车尾，则摩托车行驶的路程为
摩托车行驶的时间为：，
小车的车头刚好撞上摩托车的车尾的速度为：，
所以甲车的速度小于也不会撞上摩托车；
综上可知，要使小车与摩托不相撞，小车的速度范围是或．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题2.2 有理数的乘法与除法（举一反三讲义）
【人教版2024】
【题型1 两个有理数的乘法运算】 3
【题型2 多个有理数的乘法运算】 3
【题型3 有理数的乘法的实际应用】 4
【题型4 倒数】 4
【题型5 有理数乘法运算律】 5
【题型6 有理数的除法运算】 5
【题型7 有理数除法的应用】 5
【题型8 有理数乘除混合运算】 6
【题型9 有理数乘除中的简便运算】 7
【题型10 有理数混合运算的应用】 8
知识点1 有理数乘法法则
1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积．
2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0．
3. 有理数乘法法则也可以表示如下：
设a，b为正有理数，c为任意有理数，则
；
，；
，．
知识点2 倒数的概念与求法
1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则．
2. 倒数的求法
类型 方法
真、假分数的倒数 将分子分母交换位置
非0整数的倒数 整数作分母，1作分子
小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数
对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行
带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置
知识点3 有理数的乘法运算律
运算律 文字叙述 用字母表示
乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变
乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变
乘法分配率 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加
知识点4 多个有理数相乘的符号法则
1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是
2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0．
知识点5 多个有理数相乘的符号法则
1. 有理数除法法则
（1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即．
（2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则．
（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0．
2. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用
（1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便．
（2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算．
知识点6 多个有理数相乘的符号法则
有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果．
知识点7 多个有理数相乘的符号法则
有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算．
【题型1 两个有理数的乘法运算】
【例1】（2025·浙江杭州·三模）下列结果中，是负数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2025·山西运城·模拟预测）计算的结果是（ ）
A． B．2 C． D．15
【变式1-2】（2025·吉林松原·模拟预测）若的运算结果为正数，则内的数字可以为（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【变式1-3】（24-25七年级上·四川宜宾·期末）在4，，6，这四个数中，任意取两个数相乘，所得的积最大是 ．
【题型2 多个有理数的乘法运算】
【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）下面计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】（24-25七年级下·全国·假期作业）计算．
(1)；
(2)；
(3)；
【变式2-2】（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，，，，观察并找规律，计算的结果是（　　）
A．42 B．120 C．210 D．840
【变式2-3】（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知x，y表示两个数，规定新运算“”及“”如下： ，则的值为 ．
【题型3 有理数的乘法的实际应用】
【例3】（2025·江苏南京·模拟预测）在我国古代数学著作《孙子算经》中，有这样一道题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？其最小正整数解记为a．又知，则a b（填“”“”或“”）．
【变式3-1】（24-25六年级下·江苏南京·期末）实验小学要给报告厅的小舞台铺上地垫，舞台的面积是40.8平方米，地垫的单价为19.9元/平方米，一共要准备多少元？下面符合实际需要的估算方法是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2025八年级下·全国·专题练习）宾馆有100间相同的客房，经过一段时间的经营，发现客房定价与客房的入住率之间有下表所示的关系，按照这个关系，要使客房的收入最高，每间客房的定价应为（　　）
每间房价（元）
入住率
A．300元 B．280元 C．260元 D．220元
【变式3-3】（24-25七年级下·黑龙江绥化·开学考试）某商场优惠活动宣传：两个品牌分别标有“满100减50元”和“打6折”． 请你比较以上两种优惠方案的异同（可举例说明） ．
【题型4 倒数】
【例4】（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）2025的相反数的倒数是（　　）
A．2025 B． C．-2025 D．
【变式4-1】（2024·山东菏泽·二模）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（24-25七年级上·陕西渭南·期中）请根据对话，解答下列问题．
我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是．
我告诉你：“的相反数是2，，且的绝对值是5，的倒数是．”
求式子的值．
【变式4-3】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2．
(1)直接写出的值；
(2)求的值．
【题型5 有理数乘法运算律】
【例5】（24-25七年级下·全国·假期作业）张丽用计算器计算“”时，发现键“9”坏了，下面输入不能得到正确结果的是（ ）．
A． B． C．
【变式5-1】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）计算： ．
【变式5-2】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算：．
【变式5-3】（24-25七年级下·全国·假期作业）脱式计算，能简算的要简算．
①
②
③
【题型6 有理数的除法运算】
【例6】（24-25七年级下·全国·假期作业）如果“”，那么“( )”．计算的结果是( )．
【变式6-1】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）计算： ．
【变式6-2】（24-25七年级上·广东广州·期中）如果，，那么下列成立的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式6-3】（24-25七年级上·福建福州·期末）将十进制数36化为七进制数为 ．
【题型7 有理数除法的应用】
【例7】（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）教师发现学生平时喜欢玩洞洞乐，于是设计了一个洞洞乐游戏，游戏道具：每张A4纸上画满24个相同的圆圈，游戏规则：两人一组轮流用铅笔将圆圈戳洞，每个圆圈只戳一个洞，每人一次可戳一个或两个圆圈（不能多戳或不戳），谁将最后一个圆圈戳洞，谁就获胜．
(1)先开始的人胜，还是后开始的人胜？你有必胜的方法吗？请你写出你的方法．
(2)如果游戏规则改为一次只能戳一个或两个或三个或四个圆圈（最多四个），怎样才能必胜？请写出你的方法．
【变式7-1】（24-25七年级上·湖南株洲·开学考试）据有关资料统计，株洲市年地方财政收入约亿元，在湖南省的财政收入增速排名中排第六位，株洲市年地方财政收入相比年地方财政收入约增长了，请你计算一下株洲市年地方财政收入约为多少亿元？
【变式7-2】（24-25七年级上·山西长治·开学考试）中国铁路的发展见证了新中国的沧桑巨变，高铁已成为中国的一张名片．由我国自主研发的“复兴号”高铁的速度比“和谐号”动车组的速度快，“和谐号”动车组每小时比“复兴号”高铁少行100千米．“复兴号”与“和谐号”高铁每小时各行驶多少千米？
【变式7-3】（24-25七年级上·四川眉山·期中）中国高铁设计标准高，行驶稳定，是中国发展的一张独特而亮丽的“名片”．至2022年底，中国高铁运营里程超过4.3万千米，位居世界第一，高铁的票价是按“票价每千米乘车价钱乘车路程”的方法计算的，已知站至站的里程为2000千米，全程票价为800元，沿途各站的路程如图．李老师从站上车，购买了一张80元的票，他可能会在哪一站下车？请列式说明．

【题型8 有理数乘除混合运算】
【例8】（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ．
【变式8-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知a是有理数，[a]表示不超过a的最大整数，如，，，等，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
【变式8-2】（24-25七年级上·山东济宁·期中）小丽同学做一道计算题的解题过程如下：
解：原式 …………第一步
…………第二步
…………第三步
…………第四步
根据小丽的计算过程，回答下列问题：
(1)小丽在进行第一步时，运用了乘法的______律；
(2)她在计算中出现了错误，其中你认为在第______步开始出错了；
(3)请你给出正确的解答过程．
【变式8-3】（24-25七年级上·四川成都·期中）在一个遥远的魔法世界里，有一个神秘的圆环，它被称为“五二○圆环”．圆环被九条线段均匀分成了的九个部分，每个部分里会隐藏着一个数字，如果你找出了全部的数字，那么你将被授予“五二○大王”的称号．如图所示，这九个数字中相邻的连续三个数之积均为520，则x的值为 ．
【题型9 有理数乘除中的简便运算】
【例9】（24-25七年级上·山西临汾·期中）阅读下列材料，完成后面任务．
计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式
任务：
(1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号）
(2)在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号）
(3)请你进行简便计算：．
【变式9-1】（24-25六年级上·黑龙江绥化·期中）计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法．
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式9-2】（23-24七年级上·山东菏泽·开学考试）简便计算
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【变式9-3】（24-25七年级下·重庆·自主招生）计算：．
【题型10 有理数混合运算的应用】
【例10】（24-25七年级上·广东广州·期中）张家口市怀来县种植葡萄已有800多年的历史，其中最知名的品种之一是龙眼葡萄，它被郭沫若誉为“北国明珠”．该县质监局对某企业出售的葡萄进行了抽检，从库中任意抽出20箱样品进行检测，每箱的质量超过标准质量（标准质量为10千克）的部分记为正数，不足的部分记为负数，记录如下表：
与标准质量的差（单位：千克） 0
箱数 2 5 1 4 6 2
(1)若每箱与标准质量的差的绝对值小于或等于0.2千克的记为合格产品，则这20箱样品的合格率是多少？
(2)这批样品总质量是多少千克？
【变式10-1】（24-25七年级上·湖北黄冈·期中）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数有多少个？
【变式10-2】（2025七年级下·全国·专题练习）甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两站相对开出，第一次相遇时离A站有90千米，然后各自按原来速度继续行驶，分别到达对方出发站后立即沿原路返回．第二次相遇时离A站的距离占A、B两站间全长的．求A、B两站间的路程．
【变式10-3】（2025七年级上·重庆·专题练习）“闯黄灯”已成为引发路口交通事故的主因之一．如图所示的十字路口，该路段交通信号灯红灯亮之前，会有亮黄灯的时间．某时刻，小车以的速度沿着中心线行驶到停止线时交通灯恰好变为黄灯，此时人行道的红绿灯也在后变成绿灯，行人以的速度过马路．已知马路宽，停止线到斑马线的距离，小车的尺寸为：长度，宽度．求：
(1)行人通过人行横道的时间；
(2)若车闯黄灯，是否会撞到行人；
(3)若人行道处有一长为的美团外卖摩托车以的速度横过马路，则小车速度在什么范围不会撞到摩托车．（不计摩托车宽度，保留两位小数）
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