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专题21.4 一元二次方程的根与系数的关系（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 1
【题型2 利用根与系数的关系结合方程的解直接求代数式的值】 3
【题型3 利用根与系数的关系结合方程的解降次求代数式的值】 5
【题型4 利用根与系数的关系求参数的值】 8
【题型5 利用根与系数的关系求参数的取值范围】 10
【题型6 利用根与系数的关系构造一元二次方程求解】 13
【题型7 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】 15
【题型8 由已知方程根的情况判断另一个方程根的情况】 17
【题型9 根与系数的关系与几何图形的综合运用】 20
【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】 24
知识点 一元二次方程根与系数的关系
1. 由求根公式可得当时，一元二次方程的两根分别为，,则，．
例如：方程的两根为，，则，．
2. 一元二次方程根与系数的关系的应用
（1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值．
（2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值．
（3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值．
（4）与根的判别式相结合，解决一些综合题．
【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】
【例1】（24-25九年级下·山东烟台·期中）若是关于的方程的两实数根，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，分式的求值，完全平方公式的变形应用，熟练掌握的两根满足是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数关系得到，，然后将变形后整体代入求解即可．
【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式1-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知是一元二次方程的两个实数根，则 ．
【答案】
【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数之间的关系，得到，整体代入法进行计算即可．熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴；
故答案为：．
【变式1-2】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）一元二次方程的两个根分别是，，则的值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题可得，，再利用完全平方公式计算即可得解．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别是，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【变式1-3】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，，如：当时，方程的两根记为，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，由一元二次方程根与系数的关系得出，，从而得出，由此规律计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：．
【题型2 利用根与系数的关系结合方程的解直接求代数式的值】
【例2】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
【答案】4051
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
将代入原方程，再结合根与系数的关系即可解决问题．
【详解】解：∵α，β是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
则
，
故答案为：4051．
【变式2-1】（2025·四川广安·中考真题）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得：，，把整理可得：，再利用整体代入法求值即可．
【详解】解：方程的两根分别为和，
，，
，
．
故答案为：．
【变式2-2】（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）已知和是方程的两个根，则的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，根据根与系数的关系得出，，根据方程的解得，再将变形为，最后整体代入求值即可．
【详解】解：∵和是方程的两个根，
∴，，，
∴，
∴
．
故答案为：4．
【变式2-3】（2025·湖北·一模）如果m，n是一元二次方程的两个实数根，那么的值是 ．
【答案】11
【分析】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程根的定义定义、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键
先将一元二次方程化为一般形式，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到以及方程的解可得，然后对变形后代入计算即可解答．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，即的两个不相等的实数根，
∴
∴
∴
．
故答案为：11．
【题型3 利用根与系数的关系结合方程的解降次求代数式的值】
【例3】（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）已知、是方程的两个实根，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系得，，将原式变形，整体代入计算即可
【详解】解：∵、是方程的两个实根，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：．
【变式3-1】（24-25八年级下·安徽宣城·期中）已知是方程的两个实根，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根和系数的关系，同底数幂乘法的逆用，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题关键．由题意可知，，进而整理出，将其代入化简求值即可．
【详解】解：根据题意，是方程的两个实根，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式3-2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如果m，n是一元二次方程的两个根，那么多项式的值是 ．
【答案】2029
【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键．先根据根与系数的关系得出，，再利用一元二次方程解的定义得到，，从而得到，，则原式化简为，最后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根
，，，
，
，即
故答案为：2029．
【变式3-3】（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）已知，是一元二次方程的两根，求的值为
【答案】100
【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得出，，从而得出，求出，整体代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两根，
∴，，
∴，
∴，
∴
，
∴
．
故答案为：．
【题型4 利用根与系数的关系求参数的值】
【例4】（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．实数满足，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了根与系数的关系，首先根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把转换为，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得，，
经检验，是分式方程的解，
又∵方程有两个实数根，
∴，
当时，，
当时，，
∴符合条件的m的值为．
故答案为：．
【变式4-1】（24-25九年级下·江西九江·期中）已知，是关于x的方程的两个实数根，且，则m的值等于 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，再根据得到，即，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵，是关于x的方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
【变式4-2】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知方程的两根之积是两根之和的2倍，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程的根的判别式等知识，属于常考题型，熟练掌握一元二次方程的基本知识是解题关键．根据一元二次方程的根与系数的关系可得，解方程即可求出m的值，再代入原方程检验即得答案．
【详解】解：设方程的两个根分别为，，
则，，
根据题意得：，即，
解得或；
当时，原方程为，；
当时，原方程为，，舍去．
∴．
故答案为：1．
【变式4-3】（24-25九年级上·河南周口·期中）关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．根据根与系数的关系得到，，进而根据已知条件式推出，，则可得方程，解方程后根据验证结果即可．
【详解】解：∵，是关于x的方程的两个根，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【题型5 利用根与系数的关系求参数的取值范围】
【例5】（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）若关于x的方程的解中，仅有一个正数解，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的分布，根的判别式以及根与系数的关系列出不等式组，并解答求得的取值范围．本题主要考查了一元二次方程根的分布，根的判别式和根与系数的关系等知识点，解此题的关键是得到．
【详解】解：关于的方程的解中，仅有一个正数解，
，
解得．
故答案为：．
【变式5-1】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且满足，则的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．据根的情况可得，根据根与系数的关系可得，即可求出m的取值范围．
【详解】解：根据题意，，
解得，
∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
又∵，
∴
解得，
∴实数m的取值范围是：．
故答案为：．
【变式5-2】（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程根系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一元二次方程的知识解答．根据关于x的方程有两个不相等的实数根，，可以得到a的取值范围，再根据得出，利用根与系数的关系得出，，再利用分类讨论的方法求出a的取值范围，本题得以解决．
【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，，
∴，
解得，
∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
当时，解不等式得：，
∴；
当时，解不等式得：，
∴此时无解；
综上分析可知：．
故答案为：．
【变式5-3】（23-24九年级上·四川成都·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，则m的取值范围是 ，若、满足：，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；根据根与系数的关系即可得出，，结合的取值范围即可得出，再由，即可得出，解之即可得出的值．
【详解】方程有两个实数根，，
，
解得：；
原方程的两个实数根为、，
，，
，
，
，
，
，且，
整理得，，
∵，
∴，
∵，
∴解得：．
故答案为：，．
【题型6 利用根与系数的关系构造一元二次方程求解】
【例6】（24-25九年级上·湖北随州·期末）已知，且，则的值为 ．
【答案】/1.5
【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数以换元思想的应用，令，结合，则z是的根，那么，x和z为方程的两根，利用根与系数的关系即可求得．
【详解】解：令，
∵，
∴，
则，
那么，x和z为方程的两根，
∴，
则，
故答案为：．
【变式6-1】（24-25八年级下·上海·阶段练习）方程组的解是 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将方程组转化成一元二次方程求解成为解题的关键。
先根据根与系数的关系将方程组转化为一元二次方程求解即可。
【详解】解：由题意，∵，
∴，可以看作是方程的两个实数根.
又∵方程的两个实数根为或，
∴方程组的解是或.
故答案为：或.
【变式6-2】（24-25八年级下·江西宜春·阶段练习）已知实数满足，，则的值为
【答案】
【分析】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是方程的两实数根是解题的关键．根据已知判断出m，n是方程的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解．
【详解】解：∵实数， 满足等式，，
∴m，n是方程的两实数根，
∴，，
∴，
故答案为：
【变式6-3】设为互不相等的实数，且，，则的值为（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．0.5
【答案】A
【分析】把看作以上方程的两个不同的根，可得，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可
【详解】解： ，，
看作以上方程的两个不同的根，
即是方程的两根，
故，即
故选A
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，整体代入是解题的关键．
【题型7 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】
【例7】（2024八年级下·全国·专题练习）已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的负实数根
C．有两个相等的负实根 D．只有一个实数根
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，解本题的关键在熟练掌握根据一元二次方程根与系数的关系，判断出方程有两个不等的负实根．
根据三角形三边关系得到，然后利用一元二次方程根与系数的关系和根的判别式求解即可．
【详解】解：在方程中，
可得：，
∵a、b、c是的三条边的长，
∴．，即，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
又∵两根的和是，两根的积是，
∴方程有两个不等的负实根．
故选：B．
【变式7-1】（2025·江苏南京·模拟预测）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根且两根异号
C．有两个不相等的实数根且两根同号 D．没有实数根
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程根的判别式．先计算根的判别式的值得到，则，则根据根的判别式的意义得到方程有两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系得到方程的两根之积为，则可得到方程的两根异号，从而可对各选项进行判断．
【详解】解：，
方程有两个不相等的实数根，
设方程的两根分别为，，
，
方程的两根异号．
故选：B．
【变式7-2】（2022·江苏南京·二模）方程的根的情况，下列结论中正确的是( )
A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【答案】C
【分析】方程整理为一般形式，表示出根的判别式，判断解的情况，并利用根与系数关系判断即可．
【详解】解：∵，
整理，得：，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，设为，，
∵，，
∴方程有一个正根，一个负根，且正根绝对值大于负根的绝对值．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，；式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．
【变式7-3】（23-24九年级上·福建厦门·期中）一元二次方程，已知，，，则这个方程根的情况是（ ）
A．有两个正的实数根 B．没有实数根
C．有一正根一负根且正根绝对值大 D．有一正根一负根且负根绝对值大
【答案】D
【分析】先根据根的判别式判断根的情况，再根据判断根的符号情况，根据判定根的绝对值大小关系．
【详解】∵，，，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
∵，
∴两根异号，
∵，
∴负根的绝对值大，
综上，一元二次方程有一正根一负根且负根绝对值大，
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【题型8 由已知方程根的情况判断另一个方程根的情况】
【例8】（22-23八年级下·浙江杭州·阶段练习）一元二次方程；，其中，，给出以下四个结论：①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实数根；②若方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；③若m是方程M的一个根，则是方程N的一个根；④若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根必是，其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【答案】B
【分析】根据根的判别式，根的定义，计算判断即可．
【详解】∵有两个不相等的实数根，
∴，
∵的判别式为，
∴方程N也有两个不相等的实数根，
故①正确；
∵两根符号相同，
∴，
∴，
∴方程N的两根符号也相同，
故②正确；
∵m是方程 的一个根，
∴，
∵
∴是方程N的一个根；
故③正确；
设方程M和方程N相同的根为，
根据题意，得，
∴，
∵，，
∴，
解得，
故这个根是，
故④错误；
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，公共根，方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
【变式8-1】（22-23九年级上·江苏南京·期中）若关于的一元二次方程的两根分别为、，则方程 的根为 ．
【答案】 /
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系以及函数的平移解题；
【详解】解∵关于的一元二次方程的两根分别为、
∴函数与轴的交点为 ，
函数是由函数向右平移一个单位长度得到；
∴函数与轴的交点为 ，
∴关于方程的根为：
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的平移；熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
【变式8-2】（24-25九年级上·浙江台州·期末）若，是一元二次方程的两个根，则方程的解为 ．
【答案】，
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，由一元二次方程根与系数的关系可得，，将方程两边同时除以可得：，整理可得，求解即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
将方程两边同时除以可得：，
∴，
解得：，，
∴方程的解为，，
故答案为：，．
【变式8-3】关于x的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（ ）
A．p是正数，q是负数 B．
C．q是正数，p是负数 D．
【答案】D
【分析】设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．根据方程解的情况，结合根与系数的关系可得出x1 x2＝q＞0，y1 y2＝p＞0，即可判断A与C；②由方程有两个实数根结合根的判别式得出p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，利用不等式的性质以及完全平方公式得出（p﹣2）2+（q﹣2）2≥8，即可判断B与D．
【详解】解：设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．
∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，
∴x1 x2＝q＞0，y1 y2＝p＞0，
故选项A与C说法均错误，不符合题意；
∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，
∴p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，
∴（p﹣2）2+（q﹣2）2＝p2﹣4q+4+q2﹣4p+4≥8（p、q不能同时为2，否则两个方程均无实数根），
故选项B说法错误，不符合题意；选项D说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项说法的正误是解题的关键．
【题型9 根与系数的关系与几何图形的综合运用】
【例9】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知等腰的一条边为7，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则m的值是 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，当腰长为7时，是方程的一个根，当底边长为7时，则方程有两个相等的实数根，据此分别求出两种情况下m的值，再求出方程对应的根，最后根据构成三角形的条件求解即可．
【详解】解：当腰长为7时，则是方程的一个根，
∴，
解得或，
当时，由根与系数的关系可得方程的另一根为，
∴此时该等腰三角形的三边长分别为7，7，3，
∵，
∴此时能构成三角形，符合题意；
当时，由根与系数的关系可得方程的另一根为，
∴此时该等腰三角形的三边长分别为7，7，15，
∵，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
当底边长为7时，则方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
∴由根与系数的关系可得方程的根为，
∵，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
综上所述，；
故答案为：4．
【变式9-1】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，且其面积为4，则该菱形的边长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键．
设菱形的两条对角线长分别为a、b，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长．
【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b，
由题意得：，
∵菱形面积为4，
∴，解得：，
∴菱形的边长为
，
故答案为：．
【变式9-2】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根，当四边形是菱形时，其周长为 ．
【答案】
【分析】先根据菱形的性质得到，则根据根的判别式的意义得到△，根据根与系数的关系得到，然后解方程得到的值，从而得到菱形的周长．
本题考查了根与系数的关系和平行四边形和菱形的性质，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【详解】解：四边形是菱形，
，
，的长是关于的方程的两个实数根，
，，
解得，
，
即菱形的周长为．
故答案为：．
【变式9-3】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程的两根，则该直角三角形的斜边长为 ．
【答案】13或10
【分析】本题考查的是解一元二次方程，完全平方公式等知识点，掌握根的判别式是解题的关键．
根据直角三角形的直角边是整数，得到方程的根是整数，因此根的判别式为平方数，然后对一元二次方程根的判别式进行讨论求出值，可得到直角三角形斜边的长．
【详解】解：设直角三角形两直角边长为，则，
∵方程的根为整数，
∴为完全平方数，
设
整理得，
①当时，
∴
解得（舍去）；
②当时，
∴
解得，
∴直角三角形的斜边长为；
②当时，
∴
解得，
∴直角三角形的斜边长为；
综上，该直角三角形的斜边长为13或10.
故答案为：13或10.
【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】
【例10】（24-25八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的一元二次方程．
(1)判断此方程根的情况，并说明理由．
(2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和．
(3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值．
【答案】(1)此方程总有两个实数根，见解析
(2)0
(3)0
【分析】本题考查了根的判别式、方程的解得定义、根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，．
（1）由根的判别式即可知；
（2）根据韦达定理知，，由方程的两个实数根都是整数可得答案；
（3）根据方程的解得定义得、，继而知，，两式相加可得．
【详解】（1）解：此方程总有两个实数根．
理由：，
不论为何值，，
此方程总有两个实数根．
（2）解：设方程的两个根为，
则，．
此方程的两个实数根都是整数，
的值为，
符合条件的整数的值的和为0．
（3）解：是方程的两个实数根，
，，
，，
以上两式相加，可得，
即．
【变式10-1】（24-25八年级下·浙江·期中）关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围．
(2)如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
(3)若方程的两个实数根为，满足，求此时的值．
【答案】(1)
(2)
(3)4
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据，解不等式即可得出答案；
（2）求出的值为6，解方程求出，代入方程求出的值即可；
（3）由一元二次方程根与系数的关系得出，，再结合求出的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得；
（2）解：∵是符合条件的最大整数，
∴的值为6，
∴方程变形为，
解得，
∵一元二次方程与方程有一个相同的根，
∴当时，，
解得：，
∵，
∴；
当时，，
解得：，
∴的值为．
（3）解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【变式10-2】（2025·四川南充·二模）已知、是一元二次方程的两个实数根．
(1)求整数的取值；
(2)若等式成立，求整数的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系；
（1）根据方程有两个实数根，既有，求出k的取值范围，得到整数解即可；
（2）根据方程的根与系数的关系得到，，然后代入求出整数k的值．
【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：，
∴整数的为，；
（2）解：∵、是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
解得，
∴整数的值为．
【变式10-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”．
例如：，即，解得
，是“和积方程”．
材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．
(1)方程 （填是或不是）“和积方程”；
(2)若关于x的方程是“和积方程”，则_____
(3)若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值．
【答案】(1)不是
(2)或
(3)m的值为或或．
【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，理解新定义是解题的关键．
（1）根据“韦达定理”计算即可判断；
（2）根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解；
（3）利用要根的判别式求得，再根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：设方程的两个实数根为，，
∴，，
∵，
∴，
∴方程不是“和积方程”，
故答案为：不是；
（2）解：∵关于x的方程是“和积方程”， ，，
∴，
当时，解得；
当时，解得；
（3）解：∵方程有两个实数根，
∴，
∴，
∵方程是“和积方程”，
∴，
当时，
整理得，
解得（舍去）或；
当时，
整理得，
解得或；
∴m的值为或或．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题21.4 一元二次方程的根与系数的关系（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 1
【题型2 利用根与系数的关系结合方程的解直接求代数式的值】 2
【题型3 利用根与系数的关系结合方程的解降次求代数式的值】 2
【题型4 利用根与系数的关系求参数的值】 2
【题型5 利用根与系数的关系求参数的取值范围】 3
【题型6 利用根与系数的关系构造一元二次方程求解】 3
【题型7 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】 3
【题型8 由已知方程根的情况判断另一个方程根的情况】 4
【题型9 根与系数的关系与几何图形的综合运用】 4
【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】 5
知识点 一元二次方程根与系数的关系
1. 由求根公式可得当时，一元二次方程的两根分别为，,则，．
例如：方程的两根为，，则，．
2. 一元二次方程根与系数的关系的应用
（1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值．
（2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值．
（3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值．
（4）与根的判别式相结合，解决一些综合题．
【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】
【例1】（24-25九年级下·山东烟台·期中）若是关于的方程的两实数根，则的值为 ．
【变式1-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知是一元二次方程的两个实数根，则 ．
【变式1-2】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）一元二次方程的两个根分别是，，则的值为 ．
【变式1-3】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，，如：当时，方程的两根记为，，则 ．
【题型2 利用根与系数的关系结合方程的解直接求代数式的值】
【例2】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
【变式2-1】（2025·四川广安·中考真题）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为 ．
【变式2-2】（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）已知和是方程的两个根，则的值为 ．
【变式2-3】（2025·湖北·一模）如果m，n是一元二次方程的两个实数根，那么的值是 ．
【题型3 利用根与系数的关系结合方程的解降次求代数式的值】
【例3】（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）已知、是方程的两个实根，则的值是 ．
【变式3-1】（24-25八年级下·安徽宣城·期中）已知是方程的两个实根，则的值是 ．
【变式3-2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如果m，n是一元二次方程的两个根，那么多项式的值是 ．
【变式3-3】（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）已知，是一元二次方程的两根，求的值为
【题型4 利用根与系数的关系求参数的值】
【例4】（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．实数满足，则实数的值为 ．
【变式4-1】（24-25九年级下·江西九江·期中）已知，是关于x的方程的两个实数根，且，则m的值等于 ．
【变式4-2】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知方程的两根之积是两根之和的2倍，则 ．
【变式4-3】（24-25九年级上·河南周口·期中）关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为 ．
【题型5 利用根与系数的关系求参数的取值范围】
【例5】（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）若关于x的方程的解中，仅有一个正数解，则m的取值范围是 ．
【变式5-1】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且满足，则的取值范围是 ．
【变式5-2】（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围为 ．
【变式5-3】（23-24九年级上·四川成都·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，则m的取值范围是 ，若、满足：，则 ．
【题型6 利用根与系数的关系构造一元二次方程求解】
【例6】（24-25九年级上·湖北随州·期末）已知，且，则的值为 ．
【变式6-1】（24-25八年级下·上海·阶段练习）方程组的解是 ．
【变式6-2】（24-25八年级下·江西宜春·阶段练习）已知实数满足，，则的值为
【变式6-3】设为互不相等的实数，且，，则的值为（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．0.5
【题型7 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】
【例7】（2024八年级下·全国·专题练习）已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的负实数根
C．有两个相等的负实根 D．只有一个实数根
【变式7-1】（2025·江苏南京·模拟预测）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根且两根异号
C．有两个不相等的实数根且两根同号 D．没有实数根
【变式7-2】（2022·江苏南京·二模）方程的根的情况，下列结论中正确的是( )
A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【变式7-3】（23-24九年级上·福建厦门·期中）一元二次方程，已知，，，则这个方程根的情况是（ ）
A．有两个正的实数根 B．没有实数根
C．有一正根一负根且正根绝对值大 D．有一正根一负根且负根绝对值大
【题型8 由已知方程根的情况判断另一个方程根的情况】
【例8】（22-23八年级下·浙江杭州·阶段练习）一元二次方程；，其中，，给出以下四个结论：①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实数根；②若方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；③若m是方程M的一个根，则是方程N的一个根；④若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根必是，其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【变式8-1】（22-23九年级上·江苏南京·期中）若关于的一元二次方程的两根分别为、，则方程 的根为 ．
【变式8-2】（24-25九年级上·浙江台州·期末）若，是一元二次方程的两个根，则方程的解为 ．
【变式8-3】关于x的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（ ）
A．p是正数，q是负数 B．
C．q是正数，p是负数 D．
【题型9 根与系数的关系与几何图形的综合运用】
【例9】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知等腰的一条边为7，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则m的值是 ．
【变式9-1】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，且其面积为4，则该菱形的边长为 ．
【变式9-2】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根，当四边形是菱形时，其周长为 ．
【变式9-3】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程的两根，则该直角三角形的斜边长为 ．
【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】
【例10】（24-25八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的一元二次方程．
(1)判断此方程根的情况，并说明理由．
(2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和．
(3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值．
【变式10-1】（24-25八年级下·浙江·期中）关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围．
(2)如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
(3)若方程的两个实数根为，满足，求此时的值．
【变式10-2】（2025·四川南充·二模）已知、是一元二次方程的两个实数根．
(1)求整数的取值；
(2)若等式成立，求整数的值．
【变式10-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”．
例如：，即，解得
，是“和积方程”．
材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．
(1)方程 （填是或不是）“和积方程”；
(2)若关于x的方程是“和积方程”，则_____
(3)若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值．
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