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专题22.2 二次函数的图象和性质（一）（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 二次函数的图象】 2
【题型2 二次函数的性质】 4
【题型3 二次函数的图象】 4
【题型4 二次函数的性质】 6
【题型5 二次函数的图象】 6
【题型6 二次函数的性质】 7
【题型7 二次函数的图象】 8
【题型8 二次函数的性质】 9
知识点 二次函数几种特殊形式的图象和性质
1. 二次函数的图象和性质
函数形式 顶点坐标 对称轴 最值 开口、单调性
（，） y轴 ，时，； ，时， 时，抛物线开口向上； 在对称轴右侧时,y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小； 时，抛物线开口向下； 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴侧右时，y随x的增大而减小
（，） 轴 ，时，； ，时，
（，） ，时，； ，时，
（，） ，时，； ，时，
2. 二次函数 的图象的画法
（1）列表：以为中心，对称选取x值，求出对应的函数值．
（2）描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
（3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点．
（4）在画二次函数的图象时，取的点越密集，画出的图象就越精确，但取点越多计算量就越大，故一般在顶点的两侧各取2~4个点即可．在连线时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线将各个点连接起来，两端无限延伸．画抛物线的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法画出二次函数图象的一侧，再利用对称性画另一侧．
3. 几种二次函数图象间的平移规律
例如：的图象是由的图象先向上平移3个单位长度得到的图象，再向右平移5个单位长度得到的．反之，由的图象先向下平移3个单位长度得到的图象，再向左平移5个单位长度得到的图象．
【题型1 二次函数的图象】
【例1】（24-25九年级上·河南周口·期末）已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大．
(1)则的值为______；对称轴为______；
(2)已知，点在该二次函数图象上，则点在该图象上对称点的坐标为______；
(3)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______．
【变式1-2】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，若抛物线与线段有交点，则a的取值范围是
【变式1-3】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，若抛物线与直线围成的封闭图形内部有k个整点（不包括边界），则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【题型2 二次函数的性质】
【例2】（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）二次函数，若在其图象的对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则下列各点不在其图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（23-24九年级上·河北·阶段练习）当时，函数的最大值与最小值的和为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（24-25九年级上·四川泸州·阶段练习）已知的图象上有三点，，，且则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知，为抛物线上任意两点，其中，若对于，都有，则a的取值范围是 ．
【题型3 二次函数的图象】
【例3】（2025·上海静安·一模）如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 ．
【变式3-2】如图，已知抛物线y1＝﹣x2+1，直线y2＝﹣x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．例如：当x＝2时，y1＝﹣3，y2＝﹣1，y1＜y2，此时M＝﹣3．下列判断中：①当x＜0时，M＝y1；②当x＞0时，M随x的增大而增大；③使得M大于1的x值不存在；④使得M＝的值是﹣或，其中正确的个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3-3】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 二次函数的性质】
【例4】（24-25九年级上·江苏南通·期末）定义：对于函数图象上的两点，将的值称为该函数图象在段的“攀登值”，记作．已知二次函数的图象上有两点，若对于任意的均满足当时，该函数图象在段的“攀登值”始终有，则a的取值范围是 ．
【变式4-1】（22-23九年级上·山东威海·期末）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，没有最小值
C．没有最大值，有最小值 D．没有最大值，也没有最小值
【变式4-3】（2025·江苏苏州·二模）对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为 ．
【题型5 二次函数的图象】
【例5】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式5-1】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为 ．
【变式5-2】（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）二次函数，当0≤x≤3时，y的取值范围为（　　）
A．3≤y≤9 B．1≤y≤9 C．1≤y≤3 D．0≤y≤1
【变式5-3】如图，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，且与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB＝3，则点M到直线l的距离是（　　）

A． B． C． D．
【题型6 二次函数的性质】
【例6】（2025·浙江宁波·模拟预测）点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C．12 D．
【变式6-1】已知抛物线y＝（x﹣1）2经过点A（n，y1），B（n＋2，y2），若y1＜y2，则n的值可以为（ ）
A．﹣1 B．﹣0.5 C．0 D．0.5
【变式6-2】（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）已知二次函数（为常数），当时，函数的最大值为，则的值为 ．
【变式6-3】（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知直线交抛物线于点，交抛物线于点，下列结论：①若，则，②若，则，③若，则，④若，则；其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型7 二次函数的图象】
【例7】（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ）
A． B． C． D．1
【变式7-1】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．若抛物线（h、k为常数）与线段交于C、D两点，且，则k的值为 ．

【变式7-2】（24-25九年级上·河北保定·期末）已知二次函数（为常数）．当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图，这些分别是当，，，时，二次函数的图象，则它们的顶点坐标满足的函数解析式是 ．
【变式7-3】（2025·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线与轴交于点，其顶点为点，与轴交于两点（在的左侧），连接，若在抛物线上存在一点，使得，则的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
【题型8 二次函数的性质】
【例8】（2025·内蒙古赤峰·一模）已知二次函数（为常数），当自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最大值为，则的值为（ ）
A．0或4 B．2或6 C．0或6 D．2或4
【变式8-1】（24-25八年级下·北京·期中）已知，点、、都在函数的图象上，那么（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-2】（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数，当时，函数值y的最大值为4，则a的值为 ．
【变式8-3】（2025·山东临沂·一模）对于一个二次函数中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题22.2 二次函数的图象和性质（一）（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 二次函数的图象】 2
【题型2 二次函数的性质】 7
【题型3 二次函数的图象】 9
【题型4 二次函数的性质】 13
【题型5 二次函数的图象】 16
【题型6 二次函数的性质】 19
【题型7 二次函数的图象】 22
【题型8 二次函数的性质】 26
知识点 二次函数几种特殊形式的图象和性质
1. 二次函数的图象和性质
函数形式 顶点坐标 对称轴 最值 开口、单调性
（，） y轴 ，时，； ，时， 时，抛物线开口向上； 在对称轴右侧时,y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小； 时，抛物线开口向下； 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴侧右时，y随x的增大而减小
（，） 轴 ，时，； ，时，
（，） ，时，； ，时，
（，） ，时，； ，时，
2. 二次函数 的图象的画法
（1）列表：以为中心，对称选取x值，求出对应的函数值．
（2）描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
（3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点．
（4）在画二次函数的图象时，取的点越密集，画出的图象就越精确，但取点越多计算量就越大，故一般在顶点的两侧各取2~4个点即可．在连线时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线将各个点连接起来，两端无限延伸．画抛物线的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法画出二次函数图象的一侧，再利用对称性画另一侧．
3. 几种二次函数图象间的平移规律
例如：的图象是由的图象先向上平移3个单位长度得到的图象，再向右平移5个单位长度得到的．反之，由的图象先向下平移3个单位长度得到的图象，再向左平移5个单位长度得到的图象．
【题型1 二次函数的图象】
【例1】（24-25九年级上·河南周口·期末）已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的开口大小的规律和开口方向，的绝对值越大，开口越小，根据此规律判断即可．
【详解】解：∵由图像可知，开口向上，并且开口小于的开口，
∴
∵由图像可知，开口向下，并且开口小于的开口，
∴
又
∴
∴，
故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意；
故选：C．
【变式1-1】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大．
(1)则的值为______；对称轴为______；
(2)已知，点在该二次函数图象上，则点在该图象上对称点的坐标为______；
(3)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______．
【答案】(1)，轴；
(2)；
(3)画图见解析，．
【分析】（）根据二次函数的定义先求出，，然后由当时，随的增大而增大，则有，然后根据二次函数的性质即可求解；
（）据二次函数的性质即可求解；
（）根据列表，描点，连线的方法即可出图象，再由图象即可求出的取值范围；
本题考查求二次函数的定义，二次函数的性质，画二次函数图象，根据二次函数与不等式的关系结合图象求解，解题的关键是掌握二次函数的性质．
【详解】（1）解：∵是二次函数，
∴，
解得：，，
∵当时，随的增大而增大，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为，
∴对称轴为直线，即轴，
故答案为：，轴；
（2）解：∵点在该二次函数图象上，对称轴为直线，即轴，
∴点在该图象上对称点的坐标为，
故答案为：；
（3）解：列表：
如图，
根据图象可知：当时，
∴的取值范围，
故答案为：．
【变式1-2】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，若抛物线与线段有交点，则a的取值范围是
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线与线段的交点需要在之间，将，分别带入函数求出a的值，抛物线开口向上，a的绝对值越小，开口越大，即可得出结果．
【详解】解：由题意可知二次函数经过原点，想要抛物线与线段有交点，如下图：
抛物线与线段的交点需要在之间，
当抛物线经过A点时，，解得：，
当跑五项经过B点时，，解得：，
抛物线开口向上，a的绝对值越小，开口越大，
．
故答案为：
【变式1-3】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，若抛物线与直线围成的封闭图形内部有k个整点（不包括边界），则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，因式分解法解一元二次方程，求函数值等知识点，运用数形结合思想是解题的关键．
先求出抛物线与直线的交点坐标，进而确定封闭图形（不包括边界）的的取值范围为，于是可得的整数解为，，，根据函数图象分别求出当，，时的整点数，将其相加即可得出的值．
【详解】解：令，
解得：，，
抛物线与直线围成的封闭图形（不包括边界）的的取值范围为：，
的整数解为：，，，
当时，，，
满足条件的整点为一个点；
当时，，，
满足条件的整点为，两个点；
当时，，，
满足条件的整点为，两个点；
满足条件的整点共个，故，
即：的值为，
故选：．
【题型2 二次函数的性质】
【例2】（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）二次函数，若在其图象的对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则下列各点不在其图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的定义求出，再结合函数图象的对称轴左侧，y随x的增大而增大，可知，即可求出函数，再将各点代入函数逐项判断即可．
【详解】解：根据题意，是二次函数，
，
解得：，
函数图象的对称轴左侧，y随x的增大而增大，
抛物线开口方向向下，
，
，即，
当时，，故不在其图象上，在其图像上，
当时，，当时，，故，在其图象上，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，二次函数的图形和性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
【变式2-1】（23-24九年级上·河北·阶段练习）当时，函数的最大值与最小值的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向下，对称轴为直线，即轴，函数有最大值，距离对称轴越远，函数值越小，由此可解，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴是解题的关键．
【详解】解：由二次函数可知，对称轴为直线，即轴，，
∴当时，二次函数有最大值，
由，根据距离对称轴越远，函数值越小，
∴当时，有最小值，
∴当时，函数的取值范围为，
∴最大值与最小值的和为，
故选：．
【变式2-2】（24-25九年级上·四川泸州·阶段练习）已知的图象上有三点，，，且则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查二次函数的性质，熟练准确求出函数值是解题的关键．
根据函数的图象上有三点，，得到，由得，即可得到答案．
【详解】解：∵函数的图象上有三点，，，
，
，
，
，
故选：A．
【变式2-3】（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知，为抛物线上任意两点，其中，若对于，都有，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质， 由点M、N是抛物线上的点得到、，然后代入，中，结合和求出a的取值范围．根据题意列出关于a的不等式是解题的关键．
【详解】解：因为为抛物线上任意两点，
所以、，
代入，得，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，且，
∵若对于，都有，
∴，
∴或（舍去），
故答案为：．
【题型3 二次函数的图象】
【例3】（2025·上海静安·一模）如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据一次函数、的图象都经过，求出、，求出，根据二次函数的性质即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数、的图象都经过，
∴，，
解得，，
∴、，
∴，
抛物线对称轴为y轴，开口向下，顶点为；
故选：B．
【变式3-1】如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 ．
【答案】2
【分析】设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|，因点P在x轴上方，所以x2-1>0，由勾股定理求得OP=x2+1，即可求得OP-PH=2，得出答案．
【详解】解：设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|，
当点P在x轴上方时，∴x2-1>0,
∴PH=|x2-1|=x2-1，
在Rt△OHP中，由勾股定理，得
OP2=OH2+PH2=x2+(x2-1)2=(x2+1)2，
∴OP=x2+1，
∴OP-PH=（x2+1）-（x2-1）=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，利用坐标求线段长度是解题的关键．
【变式3-2】如图，已知抛物线y1＝﹣x2+1，直线y2＝﹣x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．例如：当x＝2时，y1＝﹣3，y2＝﹣1，y1＜y2，此时M＝﹣3．下列判断中：①当x＜0时，M＝y1；②当x＞0时，M随x的增大而增大；③使得M大于1的x值不存在；④使得M＝的值是﹣或，其中正确的个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先联立两函数解析式求出交点坐标，再根据M的定义结合图形，利用二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：由题意得 ，
解得 ，
所以，抛物线与直线的两交点坐标为（0，1），（1，0），
∵当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．
∴①当x＜0时，由图象可得y1＜y2，故M＝y1；故此选项正确；
②当1＞x＞0时，y1＞y2，M＝y2，直线y2＝﹣x+1中y随x的增大而减小，故M随x的增大而减小，此选项错误；
③由图象可得出：M最大值为1，故使得M大于1的x值不存在，故此选项正确；
④当﹣1＜x＜0，M＝时，即y1＝﹣x2+1＝，
解得：x1＝﹣，x2＝（不合题意舍去），
当0＜x＜1，M＝时，即y2＝﹣x+1＝，
解得：x＝，
故使得M＝的值是﹣或，此选项正确．
故正确的有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了两函数的交点的求解，二次函数的增减性，以及二次函数与x轴的交点问题，读懂题目信息并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式3-3】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数图象与二次函数图象综合判断，由正比例函数得出，从而得出二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，再判断出正比例函数与二次函数图象没有交点即可得解．
【详解】解：∵正比例函数，随的增大而增大，
∴，
∴二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，故A、C不符合题意；
联立得：，
则，
故正比例函数与二次函数图象没有交点，故D符合题意；
故选：D．
【题型4 二次函数的性质】
【例4】（24-25九年级上·江苏南通·期末）定义：对于函数图象上的两点，将的值称为该函数图象在段的“攀登值”，记作．已知二次函数的图象上有两点，若对于任意的均满足当时，该函数图象在段的“攀登值”始终有，则a的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查的是新定义的含义，二次函数的性质，根据新定义可得，可得，再结合进一步解答即可．
【详解】解：由题意可得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，而，
∴；
故答案为：
【变式4-1】（22-23九年级上·山东威海·期末）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；
根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，据此解答．
【详解】 化为顶点式解析式为：
二次函数的对称轴为直线，开口方向向上，
在对称轴的左侧时，y随x的增大而减小，
时，y随x的增大而减小，
当时，y随x的增大而减小，
实数a的取值范围是，
故选：B．
【变式4-2】已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，没有最小值
C．没有最大值，有最小值 D．没有最大值，也没有最小值
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质，表示出、的值，即可求解．
【详解】解：二次函数．
开口向上，对称轴为，
当时，随增大而增大．
．
．即是的一次函数．
，
一次函数上升趋势．
．
有最小值，没有最大值．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质．关键在于表示出的代数值，从而转化为一次函数的性质．比较综合．
【变式4-3】（2025·江苏苏州·二模）对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质.对于一次函数（ ）和二次函数（ ） ，我们要比较在取值从到时，它们各自最大值与最小值的差值情况．一次函数时，增大增大；二次函数 图象是开口向上的抛物线，对称轴是 ．我们通过分别计算两个函数在为和时的函数值，找出最大最小并求差，再令两个差相等来计算的值．本题考查一次函数和二次函数在特定取值范围内的函数值变化情况．解题关键在于准确求出两个函数在为和时的函数值，确定各自的最大最小值并求差，再根据差值相等列方程求解 ，同时要根据二次函数对称轴与、的位置关系进行分类讨论，避免漏解．
【详解】解：当时，函数值 ；当时，函数值 ．
∵，
∴，那么最大值与最小值的差为： ．
二次函数（）图象开口向上，对称轴为 ．
情况一：当，即 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ．
∵ ，
∴此时，最大值与最小值的差为： ．
令 ，
∴ ，
∵ ，
∴解得 ．
情况二：当 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ．
∵ ，此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ，等式两边同时减得到 ，
∵ ，解得 ．
情况三：当，即 时,
当时，．
当时，函数值 ；
当时，函数值 ．
当时，即，
∴，
∴
此时
∴，
解得（舍去）或（舍去），
当时，即，
∴，
∴
此时
∴（舍去）或（舍去）
综上所述， 或
故答案为：或
【题型5 二次函数的图象】
【例5】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解．
【详解】解：如图所示，若，则，
故A选项错误；
如图所示，若，则或，
故B、D选项错误；
如图所示，若，则，
故C选项正确；
故选：C．
【变式5-1】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于，由题意可得，，，由求出，即可得解．
【详解】解：分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于，
∵平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．
∴抛物线的对称轴为直线，即，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，即，
故答案为：．
【变式5-2】（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）二次函数，当0≤x≤3时，y的取值范围为（　　）
A．3≤y≤9 B．1≤y≤9 C．1≤y≤3 D．0≤y≤1
【答案】B
【分析】根据函数得到函数有最小值1，画出函数的图像，运用数形结合思想解答即可．
【详解】解：二次函数的图像如图：
所以函数有最小值1，当x=0时，y=3，当x=3时，y=9，
当0≤x≤3时，x=1在范围内，故函数值能取到最小值，故1≤y≤9．
故选：B．
【点睛】
本题考查了抛物线的顶点坐标，最值，增减性，数形结合思想，熟练掌握抛物线的性质和数形结合思是解题的关键．
【变式5-3】如图，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，且与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB＝3，则点M到直线l的距离是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数顶点坐标M为（h，0），设点M到直线l的距离为a，则有y＝（x﹣h）2＝a，求出A、B坐标即可求解．
【详解】解：∵抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，
∴函数顶点坐标M为（h，0），
设点M到直线l的距离为a，
则y＝（x﹣h）2＝a，解得：x＝h，
即A（h﹣，a），B（h+，a），
∵AB＝3，∴h+﹣（h﹣）＝3，
解得：a＝，
故选B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线上点的坐标特征、坐标与图形性质；熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
【题型6 二次函数的性质】
【例6】（2025·浙江宁波·模拟预测）点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C．12 D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．把点代入求出t的值，即可得到，然后根据m的取值范围得到最值求差解题即可．
【详解】解：，
，
解得：或 (舍去)，
，
，
∴抛物线的对称轴为直线：，
，
，
当时，有最大值，，
当时，有最小值， ，
∴函数的最大值与最小值的差为，
故选：D．
【变式6-1】已知抛物线y＝（x﹣1）2经过点A（n，y1），B（n＋2，y2），若y1＜y2，则n的值可以为（ ）
A．﹣1 B．﹣0.5 C．0 D．0.5
【答案】D
【分析】由抛物线解析式可得开口向上，对称轴为，根据函数的性质，分为三种情况进行讨论，求出的范围，即可求解．
【详解】解：由抛物线解析式y＝（x﹣1）2可得开口向上，对称轴为，
∴当时，随的增加而减小，当时，随的增加而增大
当时，在对称轴左侧，，不符合题意，
当时，在对称轴右侧，，符合题意，
当时，在对称轴两侧，y2＞y1，可得到对称轴的距离小于到对称轴的距离，即，解得
综上所得：
由此可得答案为：D
【点睛】此题考查了二次函数在对称轴两侧的增减性，熟练掌握二次函数的有关性质是解题的关键．
【变式6-2】（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）已知二次函数（为常数），当时，函数的最大值为，则的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性与二次函数的最值问题．
先判断出二次函数的图象开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分，和三种情况，分别根据二次函数的最值列式求解．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
∴若，即时，则当时，函数y取最大值，即，
解得：或（舍去），
若，即，则当时，函数y取最大值0，不符合题意；
若，即时，则当时，函数y取最大值，即，
解得：（舍去）或，
综上，h的值为-1或，
故答案为：或．
【变式6-3】（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知直线交抛物线于点，交抛物线于点，下列结论：①若，则，②若，则，③若，则，④若，则；其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、因式分解、不等式的性质，利用作差法比较的大小关系是解题的关键．由抛物线经过点可得，同理可得，利用因式分解的知识得到，再利用不等式的性质逐个分析判断即可得出结论．
【详解】解：抛物线经过点，
，
同理可得：，
，
若，则，，
，即，故①正确；
若，则，，
，即，故②不正确；
若，则，，
，即，故③正确；
若，则，而无法判断的正负性，故无法判断与的大小关系，故④不正确；
综上所述，其中正确的是①③，有2个．
故选：B．
【题型7 二次函数的图象】
【例7】（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点C作于点D，根据等边三角形的性质得出，，，，将点代入抛物线解析式，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作于点D，
∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴，
∴，，．
∵当时，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【变式7-1】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．若抛物线（h、k为常数）与线段交于C、D两点，且，则k的值为 ．

【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．先求出，设设点C的坐标为，则点D的坐标为，用含c的式子表示出h，再将代入抛物线解析式，即可得到k的值，本题得以解决．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为，，
∴，
∵抛物线（h、k为常数）与线段交于C、D两点，且，
∴，
∴设点C的坐标为，则点D的坐标为，
∴，
∴抛物线，
把点代入得，
解得，
故答案为：．
【变式7-2】（24-25九年级上·河北保定·期末）已知二次函数（为常数）．当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图，这些分别是当，，，时，二次函数的图象，则它们的顶点坐标满足的函数解析式是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的顶点，根据得到顶点坐标，再求顶点坐标满足的函数解析式即可．
【详解】解：∵顶点坐标为，
∴设，消去得，
∴它们的顶点坐标满足的函数解析式是，
故答案为：．
【变式7-3】（2025·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线与轴交于点，其顶点为点，与轴交于两点（在的左侧），连接，若在抛物线上存在一点，使得，则的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，面积问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别求出，，结合，列式代入数值计算，即可作答．
【详解】解：依题意，抛物线上存在一点，
故连接，如图所示：
∵点，
∴，
∵与轴交于两点（在的左侧），
∴令，则，
解得
∴，
∴，
∵抛物线上存在一点，使得，
∴，
则，
即，
把代入，得，
解得
观察四个选项，唯有符合题意，
故选：D．
【题型8 二次函数的性质】
【例8】（2025·内蒙古赤峰·一模）已知二次函数（为常数），当自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最大值为，则的值为（ ）
A．0或4 B．2或6 C．0或6 D．2或4
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的性质和最值．由解析式可知该函数在时取得最大值2，时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大，根据时，函数的最大值为，可分如下两种情况：①若，时，取得最大值；②若，当时，取得最大值，分别列出关于的方程求解即可．
【详解】解：∵，二次函数关于对称，在时取得最大值2，
时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大，
①若，当时，取得最大值，
可得：，
解得：或（舍）；
②若，当时，取得最大值，
可得：，
解得：或（舍）．
综上，的值为0或6，
故选：C．
【变式8-1】（24-25八年级下·北京·期中）已知，点、、都在函数的图象上，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据的范围确定的范围，根据二次函数的增减性，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，
∵，
∴，，
∴关于的对称点为：，
∵，
∴；
故选C
【变式8-2】（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数，当时，函数值y的最大值为4，则a的值为 ．
【答案】2或
【分析】本题主要考查了二次函数的最值．熟练掌握二次函数的对称性质和增减性质，是解决问题的关键．
根据二次函数的对称轴为直线，若，当时，函数y取得最大值，得；若，根据与关于对称轴对称，得当时，y随x增大而增大，得当时，y取得最大值，得．
【详解】∵二次函数，
∴对称轴为直线．
∴当时， 在范围内，当时，函数y取得最大值．
∴；
当时，
∵与关于对称轴对称，当时，y随x增大而增大，且，
∴在范围内，当时，y取得最大值．
∴．
∴a的值为2或．
故答案为：2或．
【变式8-3】（2025·山东临沂·一模）对于一个二次函数中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ．
【答案】
【分析】将抛物线化为顶点式求出对应的、的值，由得，解出再代入，即可求解．
【详解】解：抛物线，，，
，，
，
解得：或，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的性质，新定义，解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解答本题的关键．
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