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专题22.3 二次函数的图象和性质（二）（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 二次函数的图象】 3
【题型2 二次函数的性质】 7
【题型3 二次函数图象与系数的关系】 10
【题型4 二次函数图象的平移】 16
【题型5 用“一般式”求二次函数解析式】 19
【题型6 用“顶点式”求二次函数解析式】 24
【题型7 用“交点式”求二次函数解析式】 30
【题型8 求二次函数关于点或直线对称的解析式】 35
知识点1 二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的图象和性质
1. 一般式与顶点式的转化
利用配方法，可以将二次函数的一般式转化成顶点式，其中，，所以二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标为．
2. 二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的图象和性质
符号
函数图像
开口方向 向上 向下
对称轴
顶点坐标
增减性 在对称轴右侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴右侧时，y随x的增大而减小
最值 当时, 当时,
3. 二次函数的图象特征与的符号关系
代数式（决定因素） 图像特征 符号判定
a(开口方向) 抛物线开口向上
抛物线开口向下
b(对称轴位置、a的正负) 对称轴在y轴右侧，即 a、b异号
对称轴在y轴左侧，即 a、b同号
c(抛物线与y轴交点位置) 交于原点
交于y轴正半轴
交于y轴负半轴
(与x轴交点个数) 与x轴有两个交点
与x轴有一个交点
与x轴没有交点
知识点2 求二次函数的解析式
1. 待定系数法
根据已知条件的特点，选择最合适的解析式形式，再将已知点坐标代入解析式，通过解方程(组)求得未知数的值，即可得到函数解析式．
（1）一般式：
已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y的值），可设解析式为．
（2）顶点式：
已知抛物线顶点（，）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为，特殊地，若抛物线顶点在原点，则，设其解析式为．
（3）交点式：
已知抛物线与x轴的交点坐标为（，），（，），可设解析式为．
2. 平移
（1）将抛物线解析式化为顶点式，再利用“左加右减，上加下减”的规律进行平移．
（2）由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以在求平移后的抛物线解析式时，通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，利用顶点式即可求出解析式．
3. 二次函数关于点或直线对称的解析式
若已知抛物线上点的坐标，可以利用待定系数法求其解析式．若已知某抛物线解析式，求其关于某直线或某点对称的抛物线的解析式，常用结论如下：
（1）关于x轴对称的抛物线的解析式
关于x轴对称的抛物线的解析式：；
关于x轴对称的抛物线的解析式：．
（2）关于y轴对称的抛物线的解析式
关于y轴对称的抛物线的解析式：；
关于y轴对称的抛物线的解析式：．
（3）关于顶点对称的抛物线的解析式
关于顶点对称的抛物线的解析式：；
关于顶点对称的抛物线的解析式：．
【题型1 二次函数的图象】
【例1】（2025九年级下·全国·专题练习）如图是某隧道截面，由部分抛物线和矩形构成，以矩形的顶点为坐标原点，所在直线为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系，抛物线的解析式为，顶点为，且，则点的坐标为 ．

【答案】
【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握矩形的性质和二次函数的性质是解题的关键．
根据矩形的性质和抛物线的对称性求解．
【详解】由题意得：，
设，
抛物线的对称轴为：直线，
在矩形中，，
、关于对称，
，，
解得，
．
故答案为：．
【变式1-1】（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数的图象过点，，．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)补全表格，画出二次函数的图象；
x … …
y … …
(3)关于该二次函数，下列说法正确的有______．
①图象开口朝下，顶点为；
②当时，y随x增大而减小；
③当时，y的取值范围为；
④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6．
【答案】(1)
(2)见解答
(3)①④
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式、二次函数图象的画法及二次函数的性质，正确理解题意、准确计算是解题的关键．
（1）由待定系数法求出函数表达式；
（2）取点描点连线绘制函数图象即可；
（3）根据函数图象和性质逐次求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：取点补全表格为：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
如图，
（3）解：①，则图象开口朝下，由表格数据知，顶点为，故①正确，符合题意；
②抛物线的对称轴为直线，则当时，y随x增大而增大，故②错误，不符合题意；
③从图象看，当时，y的取值范围为，故③错误，不符合题意；
④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积，故④正确，符合题意；
故答案为：①④．
【变式1-2】（2024·辽宁大连·三模）如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段MN上移动．若点M、N的坐标分别为、，点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象对称轴的特点，此题难度一般．根据顶点在线段上移动，又知点、的坐标分别为、，分别求出对称轴过点和时的情况，即可判断出点坐标的最小值．
【详解】解：根据题意知，点的横坐标的最大值为3，
即可知当对称轴过点时，点的横坐标最大，
此时的点坐标为，
当可知当对称轴过点时，点的横坐标最小，此时的点坐标为，
此时点的坐标最小为，
故点的横坐标的最小值为，
故答案为：．
【变式1-3】（2025·安徽六安·三模）如图，抛物线（m为常数）与x轴交于点，与y轴负半轴交于点C，若当时，，那么关于x的一次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查一次函数与二次函数综合，掌握一次函数和二次函数的图象及性质是解题的关键．
根据题意分析出的正负，然后根据当时，，求出的正负，即可得出答案．
【详解】解：由二次函数图像可知，对称轴，
∴，
∵抛物线（m为常数）与x轴交于点，
∴点B的横坐标大于-1，小于0；
∵点关于对称，
∴点A的横坐标大于-2，小于-1．
∵当时，，
∴．
即．
∴一次函数图像经过一、二、四象限．
∴C符合题意．．
故选C．
【题型2 二次函数的性质】
【例2】（24-25九年级下·陕西西安·期中）已知二次函数的图象经过四个象限，则的值可以是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【分析】求出二次函数的顶点坐标为，对称轴为，与y轴的交点坐标为，又由开口向上可知，图象要经过四个象限，则，结合可得，由此即可得解．本题主要考查了二次函数图象的性质，利用数形结合是解题的关键．
【详解】解：，
∵，
∴开口向上，
顶点坐标为，对称轴为，与y轴交点为，
∵二次函数的图象经过四个象限，
∴，
解得，
又∵
∴，
∴的值可以是2．
故选：A
【变式2-1】（2025·浙江舟山·三模）已知点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据点在二次函数的图象上，可得：，根据点到轴的距离小于，可得：，根据平方的非负性可得：，从而可得的取值范围．
【详解】解：点在二次函数的图象上，
，
点到轴的距离小于，
，
，
，
，
．
故选：D．
【变式2-2】（24-25九年级下·安徽池州·期中）抛物线经过点．
（1）若，则该抛物线的对称轴是直线 ．
（2）若对于，都有，则的取值范围是 ．
【答案】 1
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）由题意可知抛物线过点，，利用抛物线的对称性即可求解；
（2）先求出抛物线的对称轴是直线，再分两种情况：当时；当时；分别结合二次函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）当时，，
若，则抛物线过点，，
该抛物线的对称轴是直线，
故答案为：1；
（2）抛物线经过点，，，，
，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
①当时，此时抛物线开口向上，
当时，随着的增大而增大，
对于，，都有，
，
，不合题意，舍去；
②当时，抛物线开口向下，对称轴为直线，
关于对称轴的对称点为，
对于，，都有，
，
解得，
综上，当时，都有．
故答案为：．
【变式2-3】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知抛物线（为常数，且）经过点和点，若，则的值可能是（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】B
【分析】本题考查抛物线的性质，比较自变量大小，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
先求出抛物线的对称轴为直线，根据，则当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大 ，分两种情况：当时 ， 当时，依据，求出t的范围，即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大 ，
当时 ，
∵，
∴，
当时 ，
∵，
∴
∴，
∴或，
∴的值可能是．
故选：B．
【题型3 二次函数图象与系数的关系】
【例3】（24-25九年级上·青海西宁·期中）二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，y的值随x值的增大而增大；⑤其中正确的结论有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，具有一定的综合性，运用了数形结合的思想．
根据抛物线的开口方向、对称轴和与y轴交点可知，从而易判断①②；由图知，当时，函数值为0，即有，从而易判断③；由图象易判断④；由于函数在时取得最大值，对任意的实数m，其函数值不超过函数的最大值，从而易判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，，
即，故②正确；
∵抛物线与y轴交于坐标轴正半轴，
∴，
∴，故①错误；
当时，函数值为0，即有，
∵，
∴，即，故③正确；
观察图象知，当时，随自变量的增加，函数值有增有减，故④错误；
∵函数在时取得最大值，
∴对任意的实数m，都有，
即，故⑤错误；
故选：B．
【变式3-1】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知二次函数，其对称轴为．现有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是________．
A．①②③④⑤ B．①③④⑤ C．②③④ D．①②⑤
【答案】B
【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性，最值等解答即可.
【详解】解：∵二次函数开口向上，
∴，
∵抛物线的图象与y轴的交点在负半轴上，
∴；
∵对称轴为直线，
∴,
∴,
∴,
故①正确；
∵，，
∴,，
∴，
故②错误；
∵抛物线的顶点在第四象限，
∴，
故③正确；
∵对称轴为直线，
∴,
∵，
∴，
∴，
故④正确；
∵对称轴为直线，
∴,
∴,
∴,
故⑤正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性，抛物线的顶点坐标属性，根的判别式，抛物线与各项系数的符号关系，熟练掌握性质是解题的关键.
【变式3-2】（22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）
B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数图像的开口大小与轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．
【详解】解：设，，
由图像知，，，，，，，，
∴，
∵函数的图像开口大于函数的图像开口，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴函数的图像是抛物线，开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，
A．图像开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，故此选项符合题意；
B．图像开口向上，故此选项不符合题意；
C．图像对称轴在轴的左侧，故此选项不符合题意；
D．图像开口向上，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，不等式的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．注意：二次函数的越大，图像开口越小．
【变式3-3】（2025·江西新余·模拟预测）如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③若点在该抛物线上，且，则；④．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，熟悉函数的图像和性质是解题关键．
利用二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点坐标即可求出①；令即可判断②；利用时函数值最大，即可判断③；令即可判断④．
【详解】①由图象可知：，
，故①正确；
②当时，，对称轴为直线，
∴当时，，
∴，故②正确；
③当时，y的值最大，此时，，
而当时，，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，故③正确；
④当时，，对称轴为直线
∴当时，，
∴，
∴，故④错误；
故选：C．
【题型4 二次函数图象的平移】
【例4】（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上．下列结论：①无论取何值，都有；②若点平移后的对应点为，则；③当时，线段的长随着的增大而减小．其中正确的结论为（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
求得抛物线的顶点即可判断①对；由抛物线的解析式可知将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线，即可求得平移后的对应点为的最短路程为，即可判断②对；由可知当时，，根据一次函数的性质即可判断③对．
【详解】解：抛物线开口向下，顶点为，
无论取何值，都有，故①对；
将抛物线的顶点为，抛物线开口向下，顶点为，
将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线，
点平移后的对应点为的最短路程为，故②对；
，当时，，随着的增大而减小，
当时，随着的增大，线段变短，故③对．
故选：A．
【变式4-1】（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）二次函数向上平移5个单位，向右平移3个单位后抛物线的对称轴为直线 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移是解题的关键．将二次函数化为顶点式，再根据平移的特点得到平移后的函数解析式，即可得到答案．
【详解】解：，
上平移5个单位，向右平移3个单位后抛物线为：，
故对称轴为直线．
故答案为：．
【变式4-2】（2025·福建龙岩·二模）已知二次函数，将其图象向右平移个单位，得到新的二次函数的图象，使得当时，随增大而增大；当时，随增大而减小．则实数的取值可以是（ ）
A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7.5
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换及二次函数的性质，熟知“左加右减”的平移法则及二次函数的性质是解题的关键．根据“左加右减”的平移法则，表示出平移后的函数解析式，再根据题意得出关于的不等式，据此可解决问题．
【详解】解： ∵，
∴，
∵时，随增大而增大；当时，随增大而减小，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【变式4-3】（2025·安徽亳州·三模）已知抛物线，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线．
（1）b的值为 ；
（2）点，分别在抛物线和上，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两条垂线交于点．若，则的值为 ．
【答案】 4 1
【分析】本题考查了二次函数的图象与平移，掌握这些知识是解题的关键．
（1）由得顶点为，它向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度后的顶点为，即抛物线．则可求得b的值；
（2）由（1）得c的值；由题意知，抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线，因而当点A右平移1个单位长度到点C，再向上平移3个单位长度到点B，则，故，即．
【详解】解：（1）∵，
∴抛物线的顶点为，
∴它向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度后的顶点为，
即抛物线．
即，
∴；
故答案为：4；
（2）由（1）知，，
即；
也即抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线，
∴点A右平移1个单位长度到点C，再向上平移3个单位长度到点B，则，
∴；
∵，
∴
即．
故答案为：1．
【题型5 用“一般式”求二次函数解析式】
【例5】（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 3 0 0 3 8 …
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)当时，y的取值范围为______．
【答案】(1)
(2)图象见详解
(3)
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）根据表格代值进行求解即可；
（2）根据描点、连线可进行求解；
（3）由（2）中图象，结合求函数值，求解即可．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，由表格可得：
，
解得：，
∴该二次函数的解析式为；
（2）解：由题意可得函数图象如下：
（3）解：当时，，
当时，，
当时，函数有最小值，最小值为：，
∴当时，y的取值范围为；
故答案为：．
【变式5-1】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知一个二次函数的图象过，，三点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)如何平移这个抛物线，使其顶点为坐标原点？写出这个变换过程并写出平移后所得二次函数解析式．
【答案】(1)
(2)向左平移个单位，再向上平移个单位得到
【分析】此题考查了待定系数法求出二次函数解析式和二次函数的平移，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）设二次函数的解析式为，将三个点代入求得a、b、c，即可解得；
（2）首先将配方成，然后根据二次函数的平移规律求解即可．
【详解】（1）设二次函数的解析式为，
根据题意得，
解得
∴；
（2）∵
∴顶点坐标为
∴抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位得到，顶点坐标为原点．
【变式5-2】（22-23九年级上·广西河池·期末）已知二次函数的图象经过点，和．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求出函数y随自变量的增大而减小的x的取值范围；
(3)如图，该二次函数图象的顶点为M，与y轴相交于C，连接、、．求．
【答案】(1)
(2)当时，y随x的增大而减小
(3)6
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）把二次函数解析式化为顶点式可求二次函数的开口方向和顶点坐标、利用二次函数的增减性可求得答案；
（3）如图所示，过点A作轴于D，过点M作于N，求出，，然后根据求得即可．
【详解】（1）∵二次函数的图象经过点，和
∴ ，
∴解得：
∴二次函数的解析式为；
（2）由（1）可知抛物线解析式为
∴抛物线开口向下，对称轴为
∴当时，y随x的增大而减小；
（3）如图所示，过点A作轴于D，过点M作于N，
∵
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，坐标与图形，解题的关键是掌握以上知识点．
【变式5-3】（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点．
(1)求此二次函数的解析式．
(2)当时，求二次函数的最大值和最小值．
(3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合．
①当线段的长度随的增大而减小时，的取值范围为________．
②当，线段与二次函数（）的图象有1个交点时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)最大值，最小值
(3)①；②或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析式配方，通过数形结合的方法求解．
（1）根据待定系数法求解即可得解；
（2）由，当时，取最小值为，根据，得当时，取最大值．
（3）①根据求出取值范围，②通过数形结合求解．
【详解】（1）解：将点，点代入
得
解得
此二次函数的解析式为．
（2）解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线．
当时，取最小值为．
，
当时，取最大值．
（3）解：①∵点横坐标为，点的横坐标为．
∴．
当时，，的长度随的增大而增大．
当时，，的长度随增大而减小．
满足题意，解得．
故答案为：；
② ，
，
解得．
如图，当时，线段与二次函数的图象1个交点．
如图，当时，线段与二次函数的图象1个交点．
【题型6 用“顶点式”求二次函数解析式】
【例6】（2025·河南商丘·二模）如图，抛物线过点，与轴交于点、，抛物线顶点坐标为，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求证：直线与该抛物线没有交点；
(3)设，矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求的最大值；
【答案】(1)
(2)见解析；
(3)，的最大值是20
【分析】本题主要考查了二次函数综合，矩形的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可；
（2）联立两函数解析式得到一个一元二次方程，利用判别式求解即可；
（3）根据题意可得，可证明点E和点F关于抛物线对称轴对称，则可得到，进而求出，，根据据此周长计算公式可得，据此利用二次函数的性质求出最大值即可．
【详解】（1）解：由题意可设抛物线的函数解析式为，
将点代入解析式可得，解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）证明：将直线与抛物线联立可得，
整理得；
∴，
直线与抛物线没有交点；
（3）解：由题意得，则
∵四边形是矩形，
∴，
∴点G和点D关于抛物线对称轴对称，
∴点E和点F关于抛物线对称轴对称，
由（1）可得抛物线对称轴为直线，
，
，．
，即与的函数关系式是
当时，的值最大，的最大值是20．
【变式6-1】（23-24九年级上·吉林·期中）已知二次函数图象的顶点为，且与轴的一个交点坐标是．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若二次函数图象上有两点、，直接写出函数值、的大小关系．
【答案】(1)二次函数的解析式为；
(2)．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
（1）设抛物线的解析式为，把代入求出a即可得到抛物线解析式；
（2）分别求出的值即可求解．
【详解】（1）解：二次函数图象的顶点为，
设抛物线的解析式为，
把代入，得，解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，当时，，
．
【变式6-2】（2025·新疆喀什·模拟预测）某景观公园计划修建一个人工喷泉，从与地面成一定角度的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪出水口的水平距离为米，距地面的竖直高度为米，现测得与的几组对应数据如下：
水平距离 0 1 2 3 4 5 6 …
垂直高度 …
小华根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：
(1)在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象；
(2)结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为___________米；
(3)求出关于的函数关系式；
(4)结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪出水口的水平距离米处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为___________米．（结果精确到米）（注：忽略大理石雕塑宽度等其他因素）
【答案】(1)见解析
(2)；
(3)；
(4)
【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式、画函数图象等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）找出表中所给的点在平面直角坐标系中，将各点连接成光滑的曲线即可；
（2）根据图像及表中数据即可解答；
（3）根据图像得知二次函数对称轴为，再用待定系数法代入图上一点即可解答；
（4）将代入抛物线解析式求出y的值即为本题答案．
【详解】（1）解：根据表中数据可知在图像上的点坐标分别为：，
将以上坐标在下图中找出，并连接成光滑的曲线：
（2）解：通过表中数据得知，当时水流最高，此时水流到达地面距离为米，
（3）解：设二次函数解析式为，
由（2）知，对称轴为，最高点为，
∴顶点坐标为，
∴，
∴把代入中得：
，解得：，
∴抛物线表达式为：．
（4）解：根据题意把代入中得：
米．
∴大理石雕塑的高度约为．
【变式6-3】（2025·河南周口·二模）如图， 抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点坐标为，点是抛物线上一点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当且 时：
求的取值范围；
若 ，直接写出的值．
【答案】(1)；
(2) ； 或．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）设该抛物线的解析式为，然后把代入求出的值即可；
（）由（）得抛物线的解析式为，然后根据二次函数的性质即可求解；
（）由抛物线的解析式，求出，通过 ，则，则有，然后分情况解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：∵顶点坐标为，
∴设该抛物线的解析式为，
∵与轴交于点，
∴，解得：，
∴该抛物线的解析式为，
（2）解：由（）得抛物线的解析式为，
∴当时，的最大值为，当时，的最小值为，
∴的取值范围；
由抛物线的解析式，
当时，，
∴，
∴，
∵ ，
∴，即，
∵点是抛物线上一点，
∴，
当时，
解得或（舍去），
当时，
解得或（舍去），
∴的值为或．
【题型7 用“交点式”求二次函数解析式】
【例7】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于的二次函数的图象与轴交于两点两点，且图象过点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求出该函数的最值，并说明是最大值还是最小值？
【答案】(1)
(2)最值为4，为最大值
【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握待定系数法求解二次函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数交点式，顶点式的性质，进行解答，即可．
（1）根据二次函数与轴的两个交点的坐标，设出二次函数交点式解析式，然后把点的坐标代入计算，求出的值，即可得到二次函数解析式；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式得到，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象交轴于，
∴设该二次函数的解析式为：
∵二次函数图象过点
∴将代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
即．
（2）解：∵，
∴这个函数的图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴最值为4，为最大值．
【变式7-1】（24-25九年级上·四川南充·期末）已知二次函数的图象与经过，，．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)指出它的对称轴和最值．
【答案】(1)
(2)对称轴为直线，最小值为
【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及待定系数法确定函数关系式、将一般式化为顶点式得顶点坐标等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．
（1）由题意，设二次函数表达式为，再将代入求即可得到答案；
（2）由（1）中求得表达式化为顶点式即可得到答案．
【详解】（1）解：二次函数图象经过点，，
设二次函数表达式为，
二次函数图象经过点，
，
解得，
二次函数表达式为；
（2）解：由（1）可知二次函数表达式为，
该抛物线的对称轴为直线，
∵，抛物线开口向上，
∴函数有最小值为．
【变式7-2】（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，已知抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点C，点Q是抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式：
(2)若点Q在直线下方的抛物线上，过点Q作轴于点D，交直线于点E，作于点F，当时，求点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式，线段问题等知识．
（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可．
（2）先求出，再得出，结合已知条件分别得出为等腰直角三角形，利用待定系数法求出直线的解析式，设点，则点，进而由等腰直角三角形的性质可得出，，根据得出关于x的一元二次方程，求解即可得出答案，并选择点Q在直线下方的抛物线上的点即可．
【详解】（1）解：由已知可设：，
则，得：
进而有
所以抛物线的解析式为：
（2）解：由（1）知：，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
则，
解得：
∴的解析式为：，
设点，则点，
则，
而，
∵，
即，
解得：（舍去）或，
即点；
【变式7-3】（2025·河北石家庄·一模）如图1和图2，抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于点和点，其中．抛物线，与y轴分别交于点P，N．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)如图1，当点P、N重合时，求抛物线的表达式及其顶点坐标；
(3)如图2，连接，若抛物线的顶点落在由线段及抛物线围成的封闭图形内部（不含边界），求m的取值范围．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】（1）令，则，解方程即可得解；
（2）求出点P坐标是，设抛物线的表达式为，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再由二次函数的性质即可得解；
（3）先求出抛物线的顶点坐标是，当点在抛物线上时求出 ，求出，再利用待定系数法得出直线的表达式为．当点在线段上时，求出，结合题意即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线的表达式为，
∴令，则．
解得，．
∴A点坐标是，B点坐标是；
（2）解：令，则，
∴点P坐标是．
∵抛物线与x轴交于点和点．
∴设抛物线的表达式为．
当点P，N重合时，将点代入，得，
解得．
∴抛物线的表达式为，即．
当时，．
∴抛物线的顶点坐标是；
（3）解：∵抛物线的表达式为，
∴其顶点坐标是．
当点在抛物线上时，，
解得．
令，则．
∴，
设直线的表达式为，
将，代入函数解析式可得，
解得：，
∴直线的表达式为．
当点在线段上时，，
解得．
∵抛物线的顶点落在由线段及抛物线围成的封闭图形内部（不含边界），
∴m的取值范围是．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数解析式、求一次函数解析式、二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【题型8 求二次函数关于点或直线对称的解析式】
【例8】（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）定义：关于轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：的“同轴对称抛物线”为．
(1)抛物线的顶点坐标为 ，其“同轴对称抛物线”的顶点坐标为 ；
(2)求抛物线的“同轴对称抛物线”的解析式；
(3)如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点，点的横坐标为1，过点作轴的垂线，交抛物线的“同轴对称抛物线”于点，分别作点，关于抛物线对称轴对称的点，．依次连接点，，，．当四边形为正方形时，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】此题借助二次函数考查正方形的性质，根据二次函数顶点式找顶点坐标，及新定义“同轴对称抛物线”．
（1）根据顶点式直接写出顶点坐标；
（2）根据顶点式的顶点坐标为；先化成顶点式，再求“同轴对称抛物线”的解析式；
（3）写出点B的坐标，再由对称轴求出点，然后结合正方形的性质列出方程求a．
【详解】（1）解：由知顶点坐标为，由知顶点坐标为，
故答案为：，
（2）解：，
∴顶点为，
∵关于x轴的对称点为，
∴抛物线的“同轴对称抛物线”的解析式为：；
（3）解：当时，，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线L的对称轴为直线，
∴点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，即，
解得：（舍）或．
∴．
【变式8-1】当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线，如果抛物线与抛物线关于直线的对称曲线，那么抛物线的表达式为 ．
【答案】
【分析】先把原抛物线的解析式写成顶点式，得到顶点坐标，根据对称的关系得到新抛物线的顶点坐标，从而得到新抛物线的解析式．
【详解】解：，
∴顶点坐标是，
点关于直线对称的点是，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是掌握二次函数图象的顶点式．
【变式8-2】（2024·江苏扬州·模拟预测）把二次函数的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为，若，则最小值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象关于原点的对称变化规律是解题的关键．
把函数的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为，从而可得，，再代入可得，由此即可得到答案．
【详解】解：把函数的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为，
则，，
代入得：，
，
，
则最小值是，
故答案为：．
【变式8-3】（23-24九年级上·四川绵阳·期中）如图，将抛物线：沿轴对称后，向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线，若抛物线的顶点为，点是抛物线上一点，则的面积的最小值为

【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式以及解直角三角形，根据平移的性质得出平移后的抛物线的解析式以及求得点的坐标是解答本题的关键．
首先求得平移后的解析式，进而求得顶点的坐标和点的坐标，解直角三角形求得点到直线的距离，然后根据三角形面积得到结果．
【详解】解：将抛物线：沿轴对称后，向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线：，
，
，
直线为，
要使的面积最小，则点在平行于直线，且与抛物线相切的直线上，

设平行于直线，且抛物线相切的直线为，
解，
整理得，
，
，
，
切线为，
解，得，
，
．
故答案为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题22.3 二次函数的图象和性质（二）（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 二次函数的图象】 3
【题型2 二次函数的性质】 5
【题型3 二次函数图象与系数的关系】 5
【题型4 二次函数图象的平移】 7
【题型5 用“一般式”求二次函数解析式】 8
【题型6 用“顶点式”求二次函数解析式】 9
【题型7 用“交点式”求二次函数解析式】 11
【题型8 求二次函数关于点或直线对称的解析式】 12
知识点1 二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的图象和性质
1. 一般式与顶点式的转化
利用配方法，可以将二次函数的一般式转化成顶点式，其中，，所以二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标为．
2. 二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的图象和性质
符号
函数图像
开口方向 向上 向下
对称轴
顶点坐标
增减性 在对称轴右侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴右侧时，y随x的增大而减小
最值 当时, 当时,
3. 二次函数的图象特征与的符号关系
代数式（决定因素） 图像特征 符号判定
a(开口方向) 抛物线开口向上
抛物线开口向下
b(对称轴位置、a的正负) 对称轴在y轴右侧，即 a、b异号
对称轴在y轴左侧，即 a、b同号
c(抛物线与y轴交点位置) 交于原点
交于y轴正半轴
交于y轴负半轴
(与x轴交点个数) 与x轴有两个交点
与x轴有一个交点
与x轴没有交点
知识点2 求二次函数的解析式
1. 待定系数法
根据已知条件的特点，选择最合适的解析式形式，再将已知点坐标代入解析式，通过解方程(组)求得未知数的值，即可得到函数解析式．
（1）一般式：
已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y的值），可设解析式为．
（2）顶点式：
已知抛物线顶点（，）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为，特殊地，若抛物线顶点在原点，则，设其解析式为．
（3）交点式：
已知抛物线与x轴的交点坐标为（，），（，），可设解析式为．
2. 平移
（1）将抛物线解析式化为顶点式，再利用“左加右减，上加下减”的规律进行平移．
（2）由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以在求平移后的抛物线解析式时，通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，利用顶点式即可求出解析式．
3. 二次函数关于点或直线对称的解析式
若已知抛物线上点的坐标，可以利用待定系数法求其解析式．若已知某抛物线解析式，求其关于某直线或某点对称的抛物线的解析式，常用结论如下：
（1）关于x轴对称的抛物线的解析式
关于x轴对称的抛物线的解析式：；
关于x轴对称的抛物线的解析式：．
（2）关于y轴对称的抛物线的解析式
关于y轴对称的抛物线的解析式：；
关于y轴对称的抛物线的解析式：．
（3）关于顶点对称的抛物线的解析式
关于顶点对称的抛物线的解析式：；
关于顶点对称的抛物线的解析式：．
【题型1 二次函数的图象】
【例1】（2025九年级下·全国·专题练习）如图是某隧道截面，由部分抛物线和矩形构成，以矩形的顶点为坐标原点，所在直线为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系，抛物线的解析式为，顶点为，且，则点的坐标为 ．

【变式1-1】（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数的图象过点，，．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)补全表格，画出二次函数的图象；
x … …
y … …
(3)关于该二次函数，下列说法正确的有______．
①图象开口朝下，顶点为；
②当时，y随x增大而减小；
③当时，y的取值范围为；
④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6．
【变式1-2】（2024·辽宁大连·三模）如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段MN上移动．若点M、N的坐标分别为、，点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为 ．
【变式1-3】（2025·安徽六安·三模）如图，抛物线（m为常数）与x轴交于点，与y轴负半轴交于点C，若当时，，那么关于x的一次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【题型2 二次函数的性质】
【例2】（24-25九年级下·陕西西安·期中）已知二次函数的图象经过四个象限，则的值可以是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【变式2-1】（2025·浙江舟山·三模）已知点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（24-25九年级下·安徽池州·期中）抛物线经过点．
（1）若，则该抛物线的对称轴是直线 ．
（2）若对于，都有，则的取值范围是 ．
【变式2-3】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知抛物线（为常数，且）经过点和点，若，则的值可能是（ ）
A． B． C．1 D．4
【题型3 二次函数图象与系数的关系】
【例3】（24-25九年级上·青海西宁·期中）二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，y的值随x值的增大而增大；⑤其中正确的结论有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3-1】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知二次函数，其对称轴为．现有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是________．
A．①②③④⑤ B．①③④⑤ C．②③④ D．①②⑤
【变式3-2】（22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）
B．
C． D．
【变式3-3】（2025·江西新余·模拟预测）如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③若点在该抛物线上，且，则；④．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型4 二次函数图象的平移】
【例4】（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上．下列结论：①无论取何值，都有；②若点平移后的对应点为，则；③当时，线段的长随着的增大而减小．其中正确的结论为（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【变式4-1】（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）二次函数向上平移5个单位，向右平移3个单位后抛物线的对称轴为直线 ．
【变式4-2】（2025·福建龙岩·二模）已知二次函数，将其图象向右平移个单位，得到新的二次函数的图象，使得当时，随增大而增大；当时，随增大而减小．则实数的取值可以是（ ）
A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7.5
【变式4-3】（2025·安徽亳州·三模）已知抛物线，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线．
（1）b的值为 ；
（2）点，分别在抛物线和上，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两条垂线交于点．若，则的值为 ．
【题型5 用“一般式”求二次函数解析式】
【例5】（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 3 0 0 3 8 …
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)当时，y的取值范围为______．
【变式5-1】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知一个二次函数的图象过，，三点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)如何平移这个抛物线，使其顶点为坐标原点？写出这个变换过程并写出平移后所得二次函数解析式．
【变式5-2】（22-23九年级上·广西河池·期末）已知二次函数的图象经过点，和．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求出函数y随自变量的增大而减小的x的取值范围；
(3)如图，该二次函数图象的顶点为M，与y轴相交于C，连接、、．求．
【变式5-3】（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点．
(1)求此二次函数的解析式．
(2)当时，求二次函数的最大值和最小值．
(3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合．
①当线段的长度随的增大而减小时，的取值范围为________．
②当，线段与二次函数（）的图象有1个交点时，直接写出的取值范围．
【题型6 用“顶点式”求二次函数解析式】
【例6】（2025·河南商丘·二模）如图，抛物线过点，与轴交于点、，抛物线顶点坐标为，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求证：直线与该抛物线没有交点；
(3)设，矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求的最大值；
【变式6-1】（23-24九年级上·吉林·期中）已知二次函数图象的顶点为，且与轴的一个交点坐标是．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若二次函数图象上有两点、，直接写出函数值、的大小关系．
【变式6-2】（2025·新疆喀什·模拟预测）某景观公园计划修建一个人工喷泉，从与地面成一定角度的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪出水口的水平距离为米，距地面的竖直高度为米，现测得与的几组对应数据如下：
水平距离 0 1 2 3 4 5 6 …
垂直高度 …
小华根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：
(1)在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象；
(2)结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为___________米；
(3)求出关于的函数关系式；
(4)结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪出水口的水平距离米处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为___________米．（结果精确到米）（注：忽略大理石雕塑宽度等其他因素）
【变式6-3】（2025·河南周口·二模）如图， 抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点坐标为，点是抛物线上一点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当且 时：
求的取值范围；
若 ，直接写出的值．
【题型7 用“交点式”求二次函数解析式】
【例7】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于的二次函数的图象与轴交于两点两点，且图象过点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求出该函数的最值，并说明是最大值还是最小值？
【变式7-1】（24-25九年级上·四川南充·期末）已知二次函数的图象与经过，，．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)指出它的对称轴和最值．
【变式7-2】（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，已知抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点C，点Q是抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式：
(2)若点Q在直线下方的抛物线上，过点Q作轴于点D，交直线于点E，作于点F，当时，求点Q的坐标．
【变式7-3】（2025·河北石家庄·一模）如图1和图2，抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于点和点，其中．抛物线，与y轴分别交于点P，N．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)如图1，当点P、N重合时，求抛物线的表达式及其顶点坐标；
(3)如图2，连接，若抛物线的顶点落在由线段及抛物线围成的封闭图形内部（不含边界），求m的取值范围．
【题型8 求二次函数关于点或直线对称的解析式】
【例8】（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）定义：关于轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：的“同轴对称抛物线”为．
(1)抛物线的顶点坐标为 ，其“同轴对称抛物线”的顶点坐标为 ；
(2)求抛物线的“同轴对称抛物线”的解析式；
(3)如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点，点的横坐标为1，过点作轴的垂线，交抛物线的“同轴对称抛物线”于点，分别作点，关于抛物线对称轴对称的点，．依次连接点，，，．当四边形为正方形时，求的值．
【变式8-1】当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线，如果抛物线与抛物线关于直线的对称曲线，那么抛物线的表达式为 ．
【变式8-2】（2024·江苏扬州·模拟预测）把二次函数的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为，若，则最小值是 ．
【变式8-3】（23-24九年级上·四川绵阳·期中）如图，将抛物线：沿轴对称后，向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线，若抛物线的顶点为，点是抛物线上一点，则的面积的最小值为

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