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专题22.4 二次函数与一元二次方程（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 抛物线与x轴的交点】 3
【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】 6
【题型3 求x轴与抛物线的截线长】 9
【题型4 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】 14
【题型5 利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】 17
【题型6 利用不等式求自变量或函数值的取值范围】 20
【题型7 根据两函数交点确定不等式的解集】 25
【题型8 抛物线与x轴交点上的四点问题】 29
知识点1 二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程是二次函数的函数值时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标．
（1）若抛物线与x轴两交点的横坐标分别为，，则，为一元二次方程的两个根．
（2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系：
知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤
（1）画出二次函数的图象；
（2）确定二次函数的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间；
（3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地方．
通过列表求近似根的具体过程：
在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根，比如x由取到时，对应y的值出现，或，，那么，中必有一个是近似根，比较与的大小，若，则说明是近似根；反之，则说明是近似根．从图象上观察，（，）离x轴越近，y值越接近0，而时x的值就是方程的确切根．
知识点3 二次函数与一元二次不等式的关系
利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤:
（1）将一元二次不等式化为的形式；
（2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算的值；
（3）作出不等式对应的二次函数的草图；
（4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零．
以为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表：
二次函数 的图像
一元二次方程 的根 ， 没有实数根
不等式 的解集 的一切实数 全体实数
不等式 的解集 无解 无解
【题型1 抛物线与x轴的交点】
【例1】（24-25九年级下·全国·期中）已知二次函数（a为常数且）．
(1)当函数图象经过，求该二次函数的表达式．
(2)若，判断该二次函数图象与x轴的交点个数并证明．
(3)若该函数图象上有两点，其中，若，．求证：．
【答案】(1)
(2)该二次函数图象与x轴无交点，见解析
(3)见解析
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可．
（2）令，可得，则方程无实数解，即该二次函数图象与x轴无交点．
（3）由题意得，，则可得，即可得．
【详解】（1）解：将代入，
得，
解得，
∴该二次函数的表达式为．
（2）解：该二次函数图象与x轴无交点．
证明：令，
∵，
∴，
∴方程无实数解，
∴该二次函数图象与x轴无交点．
（3）证明：∵该函数图象上有两点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
【变式1-1】（24-25九年级下·全国·期中）若抛物线与x轴只有一个公共点，则a的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，理解函数与方程的关系是解题的关键．根据二次函数与一元二次方程的关系列方程求解．
【详解】解：由题意得：关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：9．
【变式1-2】（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知二次函数为常数的图象与轴有交点，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．
根据图象与x轴有交点，得出判别式，从而解得，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，可得，从而得出选项．
【详解】解：∵二次函数（为常数）的图象与x轴有交点，
∴，
解得：，
∵抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，当时，y随x的增大而增大，
∴，
∴
∴m的取值范围是，
故选：A．
【变式1-3】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）二次函数（a为常数，）．
(1)若该二次函数图象关于直线对称，求a的值；
(2)若该二次函数图象上点，满足，求a的范围；
(3)若该二次函数图象上两个不同的点，满足，求的取值范围
【答案】(1)；
(2)；
(3) ．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，掌握对称轴公式以及函数图象的性质是解题的关键．
（1）根据二次函数的对称轴为直线即可求出；
（2）将点，代入二次函数解析式，表示出，根据，即可求解；
（3）将点，代入二次函数解析式，结合，表示出求解即可．
【详解】（1）解：二次函数的对称轴为直线，
∴，
解得：；
（2）解：∵点，在二次函数图象上，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：点，在二次函数图象上，
∴，，
∵，
∴，
代入得 ，
∴
，
∵，，
∴．
【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】
【例2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④点，在抛物线上，且，当时，；⑤函数的最大值大于．其中正确结论的个数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，熟练运用数形结合的方法解决问题．根据二次函数的对称性，开口方向等来判断结论①②，根据二次函数与一元二次方程的关系来判断结论③，根据函数的增减性，函数值判断结论④⑤即可．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
，
，即，故①正确；
抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点的横坐标在2和3之间，
抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间，
∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误；
∵抛物线图象与轴交点的纵坐标是2，
，
，
，
令，得，
或，
，
，
∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确；
抛物线的开口向下，
抛物线上的点距离对称轴越远y值越小，距离对称轴越近y值越大，
，
，
，
，
，
点到对称轴的距离是，点到对称轴的距离是，
，故④正确；
如图，当时，，
，
，
，
当时，，
函数的最大值大于，故⑤正确，
综上所述，正确的结论有：①③④⑤，共4个，
故选：B．
【变式2-1】（24-25八年级下·福建福州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是，且二次函数的对称轴是直线，则此方程的另一个根为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，以及抛物线的对称性，明确抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称是解题的关键．
根据抛物线的对称性，可知的图像与x轴的两个交点关于直线对称，两交点的横坐标即为方程的两根，根据对称性建立关系式即可求解．
【详解】解：设方程的另一根为，
∵二次函数的对称轴是直线，
∴，即，
解得，，
∴另一根为，
故答案为：．
【变式2-2】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解为 ．
【答案】，
【分析】本题考查抛物线与一次函数的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标．
【详解】解：由图象可知，关于x的方程的解，就是抛物线与直线的两个交点坐标分别为，的横坐标，
即，．
故答案为：，．
【变式2-3】（2025·山东青岛·模拟预测）若二次函数与x轴交于和，关于x的一元二次方程的两个根分别是和，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系，根据二次函数的性质求得，，得到，，则方程可转化为，根据根与系数的关系，，再将整理得到，代入数据计算即可求解．
【详解】解：二次函数与x轴交于和，
∴，，
∴，，
∴一元二次方程为，
即，
∵关于x的一元二次方程的两个根分别是和，
∴，，
∴，
故答案为：．
【题型3 求x轴与抛物线的截线长】
【例3】（2025·浙江·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当时，
①求抛物线的顶点坐标．
②将抛物线向下平移个单位，若平移后的抛物线过点，且与轴两交点之间的距离为6，求的值．
(2)已知点，在抛物线上，且，求的取值范围．
【答案】(1)①；②，
(2)
【分析】本题考查二次函数图象性质，二次函数图象平移，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数图象性质，二次函数图象平移规律“上加下减”是解题的关键．
（1）①把代入，得，即可得出顶点坐标；
②根据平移规律得平移后抛物线解析式为，把代入，求得，则，设平移后的抛物线与轴两交点横坐标为，，则，，又，即可得出，解之即可求解．
（2）把，代入，得，根据，求得；把代入，得，根据和，求得，进而即可求解．
【详解】（1）解：①∵，
∴
∴抛物线的顶点坐标为，
②∵将抛物线向下平移个单位，
∴平移后抛物线解析式为，
把代入，得，
∴
∴
设平移后的抛物线与轴两交点横坐标为，，
则，，
∴
∴
∵平移后的抛物线与轴两交点之间的距离为6，
∴
∴
∴
解得：
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
∴．
（2）解：把，代入，得
，
∵，
∴，
∴，
把代入，得
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式3-1】（2025·浙江宁波·模拟预测）设二次函数 的图像与一次函数 的图像交于点 ，若函数 的图像与 轴仅有一个交点，则 的值是（ ）
A．6 B．8 C． D．7
【答案】A
【分析】此题主要考查了抛物线与轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：函数与轴的交点为，．
首先根据一次函数 的图像交于点 ，可得，然后根据函数的图象与轴仅有一个交点，可得函数与轴的交点为，进而可得，再结合求解即可．
【详解】解：一次函数的图象经过点，
，解得：，
当时，，，
当时，，
∵函数 的图像与 轴仅有一个交点，
的图象与轴的交点为，
∴
又∵，
∴
，
∴，解得：
∴，
故选：A．
【变式3-2】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若抛物线与轴交于点，，且，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，二次函数与一元二次方程的关系，完全平方公式及配方法，熟练掌握这些性质和方法是解题的关键．
（1）直接利用一元二次方程的根的判别式，结合配方法进行判别即可；
（2）令，得：，利用根的判别式，结合完全平方公式及配方法得出关于的式子，再利用二次函数与一元二次方程的关系，得出，即可得出关于的等式，求解即可．
【详解】（1）解：∵
，
该方程总有两个实数根；
（2）解：令，得：，
∴，，
∴，
∵抛物线与轴交于点，，且，
∴，
∴，
化简为：，
解得：或．
【变式3-3】（2025·安徽合肥·一模）已知，是抛物线上的两个不同点．
(1)若，两点都在直线上，求线段的长；
(2)若抛物线关于轴对称，直线过坐标原点，求的值；
(3)若点，在抛物线对称轴的左侧，，为整数，且，证明：为正值．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据题意得到直线平行于轴，令，求出，然后代入求解即可；
（2）首先求出，然后分两种情况：当直线落在轴上时，可得，
当直线不在轴上，然后联立求出，设，求出，，然后代入求解即可；
（3）首先得到，根据求出，然后结合即可证明．
【详解】（1）解：∵直线平行于轴，
∴令，即，
解得，
∴线段的长度为．
（2）解：∵抛物线关于轴对称，
∴
∴抛物线
若直线落在轴上，
∴当时，即
解得
∴
∴；
若直线不在轴上，
设直线的解析式为，联立方程，
得，
解得．
不妨设，
∴，，
∴．
（3）证明：
∵，且，为整数，
∴，即
∴，
又，
∴为正值．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系等知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
【题型4 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】
【例4】（2025·广西崇左·三模）如图是二次函数 的图象，图象上有两点分别为，，则关于x的方程 的一个根可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了抛物线和x轴交点，理解抛物线和一元二次方程的关系是解答关键．
观察函数图象可得的点对应的横坐标在和之间，进而求解．
【详解】解：从函数图象看，的点对应的横坐标在和之间，
而在和之间被选项中的数为，
∴的方程的一个根可能为．
故选：D．
【变式4-1】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的解的范围是 ．（两相邻整数之间）
… 0 1 …
… 1 2 1 …
【答案】或
【分析】本题考查图像法求一元二次方程的解，解题的关键是理解函数和方程的关系．据此解答即可．
【详解】解：∵，，
∴根据函数的连续性可得在之间，存在一个数，使得，
∵和的函数值相等，
∴对称轴为：，
∴根据对称性可得：在之间，也存在一个数，使得，
∴一元二次方程的解的范围是或，
故答案为：或．
【变式4-2】（24-25九年级上·河南周口·期中）小明用探索方程（、、为常数）的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根，则方程的另一个近似根（精确到）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，由二次函数的对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点为，对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，
∴方程的另一个近似根为，
故选：．
【变式4-3】在实际问题中往往需要求得方程的近似解，这个时候，我们通常利用函数的图象来完成．如，求方程x2﹣2x﹣2＝0的实数根的近似解，观察函数y＝x2﹣2x﹣2的图象，发现，当自变量为2时，函数值小于0（点（2，﹣2）在x轴下方），当自变量为3时，函数值大于0（点（3，1）在x轴上方）．因为抛物线y＝x2﹣2x﹣2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y＝x2﹣2x﹣2在2＜x＜3这一段经过x轴，也就是说，当x取2、3之间的某个值时，函数值为0，即方程x2﹣2x﹣2＝0在2、3之间有根．进一步，我们取2和3的平均数2.5，计算可知，对应的数值为﹣0.75，与自变量为3的函数值异号，所以这个根在2.5与3之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于3﹣2.5＝0.5．重复以上操作，随着操作次数增加，根的近似值越来越接近真实值．用以上方法求得方程x2﹣2x﹣2＝0的小于0的解，并且使得所求的近似解与真实值的差不超过0.3，该近似解为
【答案】﹣0.75
【分析】观察函数y＝x2 2x 2的图象，发现，当自变量为0时，函数值小于0，当自变量为 1时，函数值大于0，求得 1和0的平均数 0.5，对应的数值为 0.75，与自变量为 1的函数值异号，再求 1和 0.5的平均数 0.75，对应的数值为0.0625，即可求得这个根在 0.75与 0.5之间任意一个数作为近似解，由 0.5 （ 0.75）＝0.25＜0.3，即可求得近似值．
【详解】解：观察函数y＝x2﹣2x﹣2的图象，发现，当自变量为0时，函数值小于0，当自变量为﹣1时，函数值大于0，因为抛物线y＝x2﹣2x﹣2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y＝x2﹣2x﹣2在﹣1＜x＜0这一段经过x轴，也就是说，当x取﹣1、0之间的某个值时，函数值为0，即方程x2﹣2x﹣2＝0在﹣1、0之间有根．
我们取﹣1和0的平均数﹣0.5，计算可知，对应的数值为﹣0.75，与自变量为﹣1的函数值异号，所以这个根在﹣1与﹣0.5之间，取﹣1和﹣0.5的平均数﹣0.75，计算可知，对应的数值为0.0625，与自变量为﹣0.5的函数值异号，所以这个根在﹣0.75与﹣0.5之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于﹣0.5﹣（﹣0.75）＝0.25＜0.3，该近似解为﹣0.75，
故答案为﹣0.75．
【点睛】本题考查的是根据图象求一元二次方程的解，读懂函数图象，从中获取正确的信息是解题的关键．
【题型5 利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】
【例5】（24-25九年级上·重庆·期末）二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据对称轴为直线，可求出当时，或，再结合图象即可求解，掌握二次函数的性质，利用数形结合求不等式的解集是解题的关键．
【详解】解：由图象可知，二次函数的对称轴为直线，
当时，或，
∴通过图象可知：不等式的解集是或，
故答案为：或．
【变式5-1】（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案．
【详解】观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或，
故选：D．
【变式5-2】（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）二次函数的图象如图，根据图象解答下列问题：
(1)直接写出方程的两个根；
(2)直接写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围；
(3)直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
【详解】（1）解：由图象看，
∵二次函数与x轴交于点，
∴方程的两个根是，；
（2）解：从图象看，
当时，y随x的增大而增大；
（3）解：从图象看，
∵当或时，二次函数的图象在x轴
∴不等式的解集是：或．
【变式5-3】（2025·广东清远·一模）抛物线如图所示，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，下列结论：①；②；③对于任意实数，都有；④当时，．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象与不等式的关系等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键．
根据图象开口向上可知，与轴的交点在原点上方可知，据此可判断①；因为抛物线与轴交于，对称轴为直线，所以另一交点为，则、两式相减可得，可判断②；抛物线顶点坐标为，开口向下，则为最大值，对于任意实数，都有，据此可判断③；由图象可得当时，，据此可判定④．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，
∴，
∵与轴的交点在原点上方可，
∴，
∴，即①正确；
∵抛物线与轴交于，对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一交点为，
∴当时，；当时，，
∴两式相减可得，即②正确；
∵抛物线顶点坐标为，开口向下，
∴为最大值，
∴对于任意实数，都有，即③错误；
④由图象可得，当时，，即④正确．
综上，正确的有3个．
故选C．
【题型6 利用不等式求自变量或函数值的取值范围】
【例6】（2025·安徽安庆·模拟预测）抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4．
(1)求的值；
(2)已知为抛物线上一点，为抛物线上一点．
（i）若仅存在一个正数，使得，求的最大值；
（ii）若，且当时，总有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）分别求出抛物线与抛物线的顶点坐标，建立关于n的方程求解即可；
（2）（i）由（1）得，根据题意得到，即，由仅存在一个正数，使得，则关于的一元二次方程，有两个相等的正数根，求出，，得到，即可解答；（ii）根据题意求出，
，由，得到，求出，即可解答．
【详解】（1）解：∵，，
∴抛物线顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4，
∴，即；
（2）解：（i）由（1）知，
∴抛物线，
∵为抛物线上一点，
∴，
∵，即，
∴，即，
∵仅存在一个正数，使得，
∴关于的一元二次方程，有两个相等的正数根，
∴，即，
解得：，
当时，，解得：（舍去，不符合题意）；
当时，，解得：（符合题意）；
∴，
∴，
∵为抛物线上一点，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值；
（ii）∵，，且为抛物线上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【变式6-1】（2025·福建宁德·二模）已知二次函数，当时，函数值；当时，．若点，都在函数上，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意得到二次函数的对称轴为直线，再由当时，函数值；当时，，可得，且抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1，然后分两种情况：若点，均在对称轴的右侧，若点，均在对称轴的两侧，结合二次函数的性质解答即可．
【详解】解：根据题意得：二次函数的对称轴为直线，
∴横坐标为5关于对称轴的对称点的横坐标为1，
∵当时，函数值；当时，，
∴，且抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
若点，均在对称轴的右侧，
此时，
∵抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1，
∴当时，，
∴，即，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
∴抛物线与y轴的交点为，
∴点关于对称轴的对称点为，
∵，
∴，
即，
此时；
若点，均在对称轴的两侧，则
，
即；
综上所述，的取值范围是．
故答案为：
【变式6-2】（2025·黑龙江大庆·二模）已知二次函数，经过点．当时，x的取值范围为或．则如下四个值中有可能为m的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，二次函数的性质，根据题意可得当时，或，且函数开口向上，即，则可求出对称轴为直线，则可得到，把代入解析式得到，据此求出m的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵当时，x的取值范围为或，
∴当时，或，且函数开口向上，即，
∴，为抛物线上的点，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
当时，，解得，
将代入解析式得，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述，m的可能取值为1，
故选：A．
【变式6-3】（2025·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于点、，且，点是该抛物线上位于，两点之间的动点．
(1)当，时，求抛物线的解析式；
(2)在（）的条件下，当面积最大时，求点的坐标；
(3)设抛物线顶点的横坐标为，当，且时，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)详见解析
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与图形的面积，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）利用待定系数法求出解析式即可；
（）过点作轴交直线于点，设点，则，则，再通过二次函数的性质即可求解；
（）将，代入得，，故有，则，又，所以，从而求证．
【详解】（1）解：当时，，时，，
∴将，代入得
，解得，
∴；
（2）解：过点作轴交直线于点，
设点，则，
∴，
∵
，
∴当时，有最大值，
∴；
（3）解：当，，且，
将，代入得：
，，
得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即．
【题型7 根据两函数交点确定不等式的解集】
【例7】（24-25九年级上·北京密云·期末）已知抛物线经过两点，．
(1)求b，c值；
(2)当时，函数的函数值总大于函数的函数值，且函数的函数值总小于函数的函数值，直接写出满足题意的n的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一次函数交点问题；
（1）利用待定系数法即可求得；
（2）依据题意，求得函数以及函数的图象过界点时的的值，可以判断得解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过两点，．
∴
∴
（2）抛物线上，当时，，当时，；
函数的图象上，当，时，；
函数的图象上，当，时，
∵时，函数的函数值总大于函数的函数值，且函数的函数值总小于函数的函数值．
∴．
【变式7-1】（24-25九年级下·广东广州·期中）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合．观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方，即可求解．
【详解】解：观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方，
∴不等式的解集为，
即不等式的解集为．
故选：C．
【变式7-2】（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】本题二次函数的图象与性质、二次函数与不等式、二次函数图象与x轴的交点问题，理解并灵活运用相关知识是解答的关键．先构造差函数，再根据二次函数图象与性质，以及对应图象与x轴的交点问题求解即可．
【详解】解：设函数，
要使，只需恒成立，
当即时，函数是一次函数，显然不恒成立，
当即时，二次函数y的图象开口向下，
∴不恒成立，故选项C、D不符合题意；
∴只需，且恒成立，
当时，满足，但b值不确定，当b很大时，可能大于0，故选项A不符合题意；
当时，满足，，
∴恒成立，故选项B符合题意，
故选：B．
【变式7-3】（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）定义：若函数和函数的图象关于直线对称，则称函数和关于直线互为“和睦函数”，函数和的图象交点叫做“和睦点”．
例如：函数关于直线的“和睦函数”为，“和睦点”为．下列说法不正确的序号为 ．
①函数关于直线的“和睦函数”为，“和睦点”坐标为；
②函数关于直线的“和睦点”的纵坐标为，当时，则的取值范围是；
③函数关于直线的“和睦点”纵坐标d满足：，m的取值范围是或
④已知，，函数关于直线的“和睦函数”为，将函数与的图象组成的图形记为，若与线段只有2个公共点，则的取值范围是．
【答案】②④/④②
【分析】本题主要考查了二次函数顶点式、二次函数点的坐标特征、二次函数交点问题等内容，利用数形结合是解题的关键．①根据“友好函数”的定义即可求解，②，再根据的取值范围即可得到的范围，③根据题意得出，解不等式，即可求解；④当过“和睦点”时，为临界点情况，当过的顶点时，此时与线段只有个公共点，找出临界值代入求解即可．
【详解】解：①，
顶点，它关于直线 的对称点为，
“和睦函数”为，
两个函数图象关于直线 对称，
其交点必在直线 上，将代入中，，
“和睦点”坐标为；故①正确；
②由题意得，
，
关于的函数图象是一条抛物线，开口向上，顶点为，
当 时，有最小值，
当 时，，当 时，，
；故②错误；
③依题意可得
∵，
∴
∴或
解得：或，故③正确
④如图，
当过“和睦点”时，为临界点情况，
当时，，
即，
解得：
则当时，与线段只有个公共点；
当过的顶点时，此时与线段只有个公共点，
当时，，
即，
解得：；
综上，的取值范围为：或，故④错误，
故答案为：②④．
【题型8 抛物线与x轴交点上的四点问题】
【例8】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知抛物线，抛物线与x轴交于，两点(mA． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，设，而，即函数向下平移3个单位得到函数y，通过画出函数大致图象即可求解．
【详解】解：设，则、是函数和x轴的交点的横坐标，
而，
即函数向下平移3个单位得到函数y，
则两个函数的图象如图所示（省略了y轴），
从图象看，，
故选：B．
【变式8-1】（2024·浙江杭州·二模）已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别，，而的两根为，则、、M、N的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，依题意画出函数和的图象草图，根据二次函数的图象可直接求解．
【详解】解：依题意，画出函的图象，如图所示．
函数图象为抛物线，开口向下，与x轴两个交点的横坐标分别为，
方程的两根是抛物线与直线的两个交点．
由，可知对称轴左侧交点横坐标为M，右侧为N．
由图象可知，，
故选：C．
【变式8-2】（2024·江西赣州·二模）在平面坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．现将此抛物线向上平移，平移后的抛物线与轴交于，两点，且，下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】本题考查抛物线与轴交点问题，解答涉及交点与对称轴的关系，会用数形结合思想是解题的关键．因为抛物线开口向下，所以抛物线向上平移，对称轴不变，与轴的两交点距离变长解答即可．
【详解】解：抛物线与轴相交于，两点，
抛物线的对称轴为直线，
将此抛物线向上平移，平移后的抛物线与轴相交于，两点，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线向上平移对称轴不变，
，
即，
抛物线开口向下，
将此抛物线向上平移，平移后的抛物线与轴两交点间距离会变长，
，
故选：C．
【变式8-3】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点，抛物线与轴交于C、D两点，其中．若，则n的值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，根据题意用表示出，列出关于的方程是解题的关键．先求出抛物线与轴的交点，抛物线与轴的交点，然后根据，得出，列出关于的方程，解方程即可．
【详解】解：把代入得：，
解得：，，
把代入得：，
解得：，，
，
，
，即，
，
令，则，
解得：，，
当时，，解得：，
，
不符合题意，舍去；
当时，，解得：，
，
符合题意；
综上分析可知，的值为3，
故答案为：3．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题22.4 二次函数与一元二次方程（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 抛物线与x轴的交点】 3
【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】 3
【题型3 求x轴与抛物线的截线长】 4
【题型4 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】 5
【题型5 利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】 6
【题型6 利用不等式求自变量或函数值的取值范围】 7
【题型7 根据两函数交点确定不等式的解集】 8
【题型8 抛物线与x轴交点上的四点问题】 8
知识点1 二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程是二次函数的函数值时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标．
（1）若抛物线与x轴两交点的横坐标分别为，，则，为一元二次方程的两个根．
（2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系：
知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤
（1）画出二次函数的图象；
（2）确定二次函数的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间；
（3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地方．
通过列表求近似根的具体过程：
在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根，比如x由取到时，对应y的值出现，或，，那么，中必有一个是近似根，比较与的大小，若，则说明是近似根；反之，则说明是近似根．从图象上观察，（，）离x轴越近，y值越接近0，而时x的值就是方程的确切根．
知识点3 二次函数与一元二次不等式的关系
利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤:
（1）将一元二次不等式化为的形式；
（2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算的值；
（3）作出不等式对应的二次函数的草图；
（4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零．
以为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表：
二次函数 的图像
一元二次方程 的根 ， 没有实数根
不等式 的解集 的一切实数 全体实数
不等式 的解集 无解 无解
【题型1 抛物线与x轴的交点】
【例1】（24-25九年级下·全国·期中）已知二次函数（a为常数且）．
(1)当函数图象经过，求该二次函数的表达式．
(2)若，判断该二次函数图象与x轴的交点个数并证明．
(3)若该函数图象上有两点，其中，若，．求证：．
【变式1-1】（24-25九年级下·全国·期中）若抛物线与x轴只有一个公共点，则a的值为 ．
【变式1-2】（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知二次函数为常数的图象与轴有交点，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）二次函数（a为常数，）．
(1)若该二次函数图象关于直线对称，求a的值；
(2)若该二次函数图象上点，满足，求a的范围；
(3)若该二次函数图象上两个不同的点，满足，求的取值范围
【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】
【例2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④点，在抛物线上，且，当时，；⑤函数的最大值大于．其中正确结论的个数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【变式2-1】（24-25八年级下·福建福州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是，且二次函数的对称轴是直线，则此方程的另一个根为 ．
【变式2-2】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解为 ．
【变式2-3】（2025·山东青岛·模拟预测）若二次函数与x轴交于和，关于x的一元二次方程的两个根分别是和，则 ．
【题型3 求x轴与抛物线的截线长】
【例3】（2025·浙江·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当时，
①求抛物线的顶点坐标．
②将抛物线向下平移个单位，若平移后的抛物线过点，且与轴两交点之间的距离为6，求的值．
(2)已知点，在抛物线上，且，求的取值范围．
【变式3-1】（2025·浙江宁波·模拟预测）设二次函数 的图像与一次函数 的图像交于点 ，若函数 的图像与 轴仅有一个交点，则 的值是（ ）
A．6 B．8 C． D．7
【变式3-2】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若抛物线与轴交于点，，且，求的值．
【变式3-3】（2025·安徽合肥·一模）已知，是抛物线上的两个不同点．
(1)若，两点都在直线上，求线段的长；
(2)若抛物线关于轴对称，直线过坐标原点，求的值；
(3)若点，在抛物线对称轴的左侧，，为整数，且，证明：为正值．
【题型4 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】
【例4】（2025·广西崇左·三模）如图是二次函数 的图象，图象上有两点分别为，，则关于x的方程 的一个根可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的解的范围是 ．（两相邻整数之间）
… 0 1 …
… 1 2 1 …
【变式4-2】（24-25九年级上·河南周口·期中）小明用探索方程（、、为常数）的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根，则方程的另一个近似根（精确到）为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】在实际问题中往往需要求得方程的近似解，这个时候，我们通常利用函数的图象来完成．如，求方程x2﹣2x﹣2＝0的实数根的近似解，观察函数y＝x2﹣2x﹣2的图象，发现，当自变量为2时，函数值小于0（点（2，﹣2）在x轴下方），当自变量为3时，函数值大于0（点（3，1）在x轴上方）．因为抛物线y＝x2﹣2x﹣2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y＝x2﹣2x﹣2在2＜x＜3这一段经过x轴，也就是说，当x取2、3之间的某个值时，函数值为0，即方程x2﹣2x﹣2＝0在2、3之间有根．进一步，我们取2和3的平均数2.5，计算可知，对应的数值为﹣0.75，与自变量为3的函数值异号，所以这个根在2.5与3之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于3﹣2.5＝0.5．重复以上操作，随着操作次数增加，根的近似值越来越接近真实值．用以上方法求得方程x2﹣2x﹣2＝0的小于0的解，并且使得所求的近似解与真实值的差不超过0.3，该近似解为
【题型5 利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】
【例5】（24-25九年级上·重庆·期末）二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 ．
【变式5-1】（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【变式5-2】（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）二次函数的图象如图，根据图象解答下列问题：
(1)直接写出方程的两个根；
(2)直接写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围；
(3)直接写出关于x的不等式的解集．
【变式5-3】（2025·广东清远·一模）抛物线如图所示，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，下列结论：①；②；③对于任意实数，都有；④当时，．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型6 利用不等式求自变量或函数值的取值范围】
【例6】（2025·安徽安庆·模拟预测）抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4．
(1)求的值；
(2)已知为抛物线上一点，为抛物线上一点．
（i）若仅存在一个正数，使得，求的最大值；
（ii）若，且当时，总有，求的取值范围．
【变式6-1】（2025·福建宁德·二模）已知二次函数，当时，函数值；当时，．若点，都在函数上，且，则的取值范围是 ．
【变式6-2】（2025·黑龙江大庆·二模）已知二次函数，经过点．当时，x的取值范围为或．则如下四个值中有可能为m的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式6-3】（2025·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于点、，且，点是该抛物线上位于，两点之间的动点．
(1)当，时，求抛物线的解析式；
(2)在（）的条件下，当面积最大时，求点的坐标；
(3)设抛物线顶点的横坐标为，当，且时，求证：．
【题型7 根据两函数交点确定不等式的解集】
【例7】（24-25九年级上·北京密云·期末）已知抛物线经过两点，．
(1)求b，c值；
(2)当时，函数的函数值总大于函数的函数值，且函数的函数值总小于函数的函数值，直接写出满足题意的n的取值范围．
【变式7-1】（24-25九年级下·广东广州·期中）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．或
【变式7-2】（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式7-3】（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）定义：若函数和函数的图象关于直线对称，则称函数和关于直线互为“和睦函数”，函数和的图象交点叫做“和睦点”．
例如：函数关于直线的“和睦函数”为，“和睦点”为．下列说法不正确的序号为 ．
①函数关于直线的“和睦函数”为，“和睦点”坐标为；
②函数关于直线的“和睦点”的纵坐标为，当时，则的取值范围是；
③函数关于直线的“和睦点”纵坐标d满足：，m的取值范围是或
④已知，，函数关于直线的“和睦函数”为，将函数与的图象组成的图形记为，若与线段只有2个公共点，则的取值范围是．
【题型8 抛物线与x轴交点上的四点问题】
【例8】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知抛物线，抛物线与x轴交于，两点(mA． B．
C． D．
【变式8-1】（2024·浙江杭州·二模）已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别，，而的两根为，则、、M、N的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-2】（2024·江西赣州·二模）在平面坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．现将此抛物线向上平移，平移后的抛物线与轴交于，两点，且，下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式8-3】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点，抛物线与轴交于C、D两点，其中．若，则n的值为 ．
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