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专题24.2 垂直于弦的直径（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 利用垂径定理判断正误】 2
【题型2 利用垂径定理求角度】 4
【题型3 利用垂径定理求线段长度】 8
【题型4 利用垂径定理求面积】 12
【题型5 利用垂径定理求坐标】 15
【题型6 利用垂径定理求平行弦问题】 20
【题型7 利用垂径定理求同心圆问题】 24
【题型8 利用垂径定理求整点个数】 28
【题型9 垂径定理的实际应用】 32
【题型10 利用垂径定求最值】 36
1. 圆的对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．
2. 垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
3. 垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
由垂径定理以及推论可知，如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称“知二推三”．
【题型1 利用垂径定理判断正误】
【例1】如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ）
A．AE＝OE B．CE＝DE C．OE＝CE D．∠AOC＝60°
【答案】B
【分析】根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧求解．
【详解】解：∵直径AB⊥弦CD
∴CE＝DE
故选B.
【点睛】本题考查垂径定理，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握垂径定理，即可完成．
【变式1-1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）下列命题正确的是（ ）
A．平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦
B．垂直于弦的直线平分弦
C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧
D．平分弦的直径必平分弦所对的两条弧
【答案】A
【分析】本题考查了命题与定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定理和垂径定理的推论进行判断即可．
【详解】解：A、平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦，符合题意；
B、垂直于弦的直径平分弦，故原说法错误，不符合题意；
C、平分弦的直径必平分弦所对的两条弧，故原说法错误，不符合题意；
D、平分弦不是直径的直径必平分弦所对的两条弧，故原说法错误，不符合题意；
故选：A．
【变式1-2】（2025·河南新乡·三模）如图，、在上，连接，，．的平分线交于点，交于点，连接．下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】该题考查了垂径定理，根据垂径定理解答即可．
【详解】解：∵的平分线交于点，是半径，
∴，，，，故A、B、D正确；
选项C不能证明，
故选：C．
【变式1-3】如图，AB为半圆O的直径，AC，AD都是弦，且AC平分∠BAD，则下列各式正确的是（ ）
A．AB+AD＝2AC B．AB+AD＜2AC
C．AC＝AB AD D．AC＜AB AD
【答案】B
【分析】过点O作OM⊥AD于点M，交AC于点N，连接OC，根据垂径定理及三角形三边的关系求解判断即可．
【详解】解：过点O作OM⊥AD于点M，交AC于点N，连接OC，如图所示：
则∠OMA＝90°，AM＝DM，
∴AN＞AM＝AD，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴ADOC，
∴∠OMA＝∠CON＝90°，
∴CN＞OC＝AB，
∴AB+AD＜2（CN+AN）＝2AC，
故选：B．
【点睛】此题考查了垂径定理，熟记垂径定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
【题型2 利用垂径定理求角度】
【例2】已知⊙O的半径为2，弦长分别为和，则的度数为（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据圆的轴对称性知有两种情况：两弦在圆心的一侧和两弦在圆心的两侧，再根据垂径定理，含30度角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：过点O作于E，于D，
分类讨论：当两弦在圆心的同一侧，如图，

∴，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴；
当两弦在圆心的两侧，如图，

∴，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
的度数为或．
故选C．
【点睛】本题考查垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质．利用分类讨论的思想并正确的画出图形和作出辅助线是解题关键．
【变式2-1】如图，是的直径，是的弦，且，，则的度数为（　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查圆的性质及应用，解题的关键是掌握垂径定理及推论．
证明，利用三角形内角和定理求解．
【详解】解：∵是直径，，
，
，
，
故选：D．
【变式2-2】（24-25九年级下·湖南娄底·期中）如图，是的弦，半径，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质．连接，利用全等三角形的性质证明是等边三角形即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，设交于K．

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故选：C．
【变式2-3】如图，已知的两弦相交于，且点为的中点，若，则的度数为 ．
【答案】/58度
【分析】本题主要考查运用垂径定理求值，连接交于点F，则由垂径定理得，由得，再根据直角三角形两锐角互余可求值．
【详解】解：连接交于点F，如图，
∵点A为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
即，
故答案为：．
【题型3 利用垂径定理求线段长度】
【例3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，经过点，交y轴于点A，若，弦长为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．20
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，关键是熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
过P点作于H点，根据垂径定理得，然后利用P点坐标得到，从而得到．
【详解】解：过P点作于H点，如图，
则，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【变式3-1】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，于点，，，则最长的弦长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，先利用垂径定理和勾股定理求出的长，再求圆的直径即可．
【详解】在中，，
∴，
在中，，
∴的直径为，
即最长的弦长是．
故选：D．
【变式3-2】（2025·湖南长沙·三模）如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】通过连接，利用垂径定理、平行线性质和等腰三角形性质，推导出与的关系来求解．
【详解】解：连接，
，
∴， ．，
，
．
又，
．
∴是等边三角形，
∴
，是等边三角形，
．
故选： ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、平行线的性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定及性质，熟练掌握垂径定理和利用角度、边的关系推导线段间的数量关系是解题的关键．
【变式3-3】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，已知点A，C，D在上，点B在内，和均为直角，，，，则的半径为（ ）

A．5 B． C． D．
【答案】C
【分析】过点O作于点E，延长，二线交于点F，得到四边形是矩形，设则，连接，利用勾股定理解答即可．
【详解】解：过点O作于点E，延长，二线交于点F，
∵和均为直角，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∵，，，
∴，，，
设则，
连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，矩形的判定和性质，圆的性质，勾股定理，解方程，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
【题型4 利用垂径定理求面积】
【例4】如图，在半径为1的中有三条弦，它们所对的圆心角分别为，，，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是 ．

【答案】
【分析】如图，连接，作于，则，，是等边三角形，是等腰直角三角形，，，，由，可知该三角形是以为直角边的直角三角形，然后求面积即可．
【详解】解：如图，连接，作于，

∴，
∴，
∴是等边三角形，是等腰直角三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴三条弦组成的三角形的三条边的长为1，，，
∵，
∴该三角形是以为直角边的直角三角形，
∴面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理，勾股定理逆定理等知识．正确求解线段长度是解题的关键．
【变式4-1】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆的基本性质、垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理是解题的关键．由垂径定理可得，再根据圆的性质可得，再根据勾股定理列方程求得，即，最后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵是的直径，弦于点，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∴，
∴的面积是．
故选：A．
【变式4-2】（2025·湖北·二模）如图，已知矩形的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径上．若，则矩形的面积等于（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
【答案】D
【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、垂径定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键．连接，过于H，则，可证明四边形是矩形得，则，再利用勾股定理求得，进而利用矩形性质求解即可．
【详解】解：连接，过于H，则，，
∵矩形的顶点B，C在半径为5的半圆O上，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，则，
在中，，
∴矩形的面积等于，
故选：D．
【变式4-3】已知的三个顶点都在圆O上，点O到的距离为3，且，则的面积= ．
【答案】或8
【分析】本题考查了垂径定理以及等腰三角形的性质，据此得，，且在上，结合勾股定理以及分类讨论思想即可作答．
【详解】解：如图所示：连接交于点D

因为，
所以，，且在上
因为点O到的距离为3，
所以，
当点在劣弧上时，
则，
，
所以的面积，
当点在优弧上时，即为点，
则，
那么，
所以的面积，
综上：的面积为或8，
故答案为：或8．
【题型5 利用垂径定理求坐标】
【例5】（2025·江西南昌·一模）如图，点，，半径为的经过点，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查矩形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理及其应用是解题的关键．连接，过点作于点，轴于点，可得四边形是矩形，得出，，利用，，可得，，，利用垂径定理可得，则可得，利用勾股定理可得，即可得．
【详解】解：如图，连接，过点作于点，轴于点，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的半径为，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【变式5-1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为的经过点，，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形，垂径定理，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线．过点作于点，连接，根据垂径定理得到，由，，可得，，，推出，再根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
的坐标为，
故答案为：．
【变式5-2】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为，函数的图象被截得的弦的长为，则的值是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及圆的性质，垂径定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，求得点的坐标是解题的关键．
作轴于点，交于点，作于点，连接，由于，，得到点的坐标为，则，为等腰直角三角形，根据垂径定理得到，根据勾股定理得到，则，即可得到答案．
【详解】解：如图，作轴于点，交于点，作于点，连接，
的圆心坐标是，
，
把代入得，
点的坐标为，
，
为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【变式5-3】（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴，轴上，以为弦的与轴相切，若点的坐标为，则圆心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理及正方形的性质．过点M作于D，连接．设的半径为R，因为四边形为正方形，顶点A，C在坐标轴上，以边为弦的与x轴相切，点A的坐标为，所以，，在中，利用勾股定理即可得到关于R的方程，解之即可．
【详解】解：过点M作于D，交于点E．连接，设的半径为R．
∵以边为弦的与x轴相切，，
∴，
∴是直径的一部分；
∵四边形为正方形，顶点A，C在坐标轴上，点A的坐标为，
∴，；
∴（垂径定理）；
在中，
根据勾股定理可得，
∴，
解得：．
∴．
故选：A．
【题型6 利用垂径定理求平行弦问题】
【例6】在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
【答案】D
【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为，可知，，，在中，由勾股定理得，解得的值，在中，由勾股定理得，解得的值，计算即可；②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算即可．
【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为
由题意知，，
在中，由勾股定理得
在中，由勾股定理得
∴
②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接
由题意知，，
在中，由勾股定理得
在中，由勾股定理得
∴
∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；
故选D．
【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑．
【变式6-1】如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD =_____．
【答案】
【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算．
【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，
则EH=FH=EF=2，
∵GB=5，
∴OF=OB=，
在△OHF中，勾股定理，得
OH=，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形OADH也是矩形，
∴AD=OH=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．
【变式6-2】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是 ．
【答案】7或17
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当的圆心O位于、之间时，当的圆心O不在两平行弦、之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O到和的距离，据此可得答案．
【详解】解：如图，当的圆心O位于、之间时，作于点E，并延长，交于F点．分别连接、．
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴和之间的距离为17；
如图所示，当的圆心O不在两平行弦、之间（即弦、在圆心O的同侧）时，
同理可得：，
∴，
∴和之间的距离为7；
综上所述，和之间的距离为7或17．
故答案为：7或17．
【变式6-3】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（ ）
嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．”
淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．”
A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确
C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误
【答案】A
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，圆的基本性质，，当点B与点M重合时，连接，可证明是等边三角形，据此求出的度数，进一步可求出的度数；过点O作于D，连接，利用垂径定理和勾股定理求出的长即可求出当与弦平行时，点B到的距离，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，当点B与点M重合时，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴；
同理可得当点B与点N重合时，，故嘉嘉的说法正确；
如图所示，过点O作于D，连接，
∴，
∴，
∵，
∴点B到的距离为，故淇淇说法错误，
故选：A．
【题型7 利用垂径定理求同心圆问题】
【例7】 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm
【答案】134
【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答．
【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32，
∵OE⊥AB，
∴AE=EB=100cm，
在RT△OAE中，
在RT△OCE中，，
则
解得：r=134．
故答案为：134．
【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
【变式7-1】如图，两个圆都以点O为圆心．
求证：．
【答案】过点O作于E，根据垂径定理可得，，即可得到结果．
【详解】过点O作OE⊥AB于E，
在小⊙O中，∵OE⊥CD，∴EC=ED．
在大⊙O中，∵OE⊥AB，∴EA=EB．
∴AC=BD．
【点睛】解答本题的关键是熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．
【变式7-2】如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ．
【答案】16
【分析】过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD，根据面积之间的关系得出S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD，从而得出S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大，过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD，利用三角形的面积公式即可求出S△AOD的最大值，从而求出结论．
【详解】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD
∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD，
∴OM=AP
根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点，
∴S矩形APND=S矩形ABCD
∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长
∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD
∴S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大
过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号）
∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4
故S△AOD的最大值为4
∴S矩形ABCD的最大值为4÷=16
故答案为：16．
【点睛】此题考查的是垂径定理、各图形面积的关系和三角形面积的最值问题，掌握垂径定理、利用边的关系推导面积关系和垂线段最短是解决此题的关键．
【变式7-3】高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病．
（1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依次类推，请问：到第四天，共有多少只鸡得了禽流感病？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染？
（2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米
【答案】(1)6;(2).
【分析】（1）根据题目的叙述，第一天的数是1，第二天是11，第三天是111，因而第几天就是有几个；
（2）过点O作OE⊥CD交CD于E，连接OC、OA，在Rt△OCE中，就可以求出OE，在Rt△OAE中求出AE，进而求出AC，进而求出．
【详解】解：（1）由题意可知，到第4天得禽流感病鸡数为1+10+100+1000=1111，
到第5天得禽流感病鸡数为10000+1111=11111
到第6天得禽流感病鸡数为100000+11111=111111＞80000
所以，到第6天所有鸡都会被感染；
（2）过点O作OE⊥CD交CD于E，连接OC、OA．
∵OA=5，OC=3，CD=4，
∴CE=2．
在Rt△OCE中，AE= ，
∴AC=AE-CE= ，
∵AC=BD，
∴AC+BD=．
答：这条公路在该免疫区内有（）千米．
【题型8 利用垂径定理求整点个数】
【例8】如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是 ，⊙C上的整数点有 个．
【答案】 3 12
【分析】过C作直径UL∥x轴，连接AC，根据垂径定理求出AO=BO=4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可．
【详解】解：过C作直径UL∥x轴，
连接CA，则AC=×10=5，
∵MN过圆心C，MN⊥AB，AB=8，
∴AO=BO=4，∠AOC=90°，
由勾股定理得：CO= =3，
∴ON=5-3=2，OM=5+3=8，
即A（-4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，-2），
同理还有弦QR=AB=8，弦WE=TS=6，且WE、TS、QR都平行于x轴，
Q（-4，6），R（4，6），W（-3，7），E（3，7），T（-3，-1），S（3，-1），U（-5，3），L（5，3），
即共12个点，
故答案为：3；12．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理和坐标与图形的性质，能找出符合条件的所有点是解此题的关键．
【变式8-1】如图，已知的半径为10，的一条弦，若内的一点P恰好在上，则线段的长度为整数的值有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，过点O作于点，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，求出的范围，计算即可．
【详解】解：如图，连接，过点O作于点，
则，
由勾股定理得：，
则，
∴线段的长度为整数的值有6、7、8、9共4个，
故选：C．
【变式8-2】如图，直径为的内有一点，且，则经过点的所有弦中长度为整数的有 条．

【答案】4
【分析】过点的弦有无数条，求出最长的弦和最短的弦，再判断长度为整数的弦的条数即可．
【详解】过点作直径，作弦，

则是过点的最长的弦，是过点的最短的弦，
∴长度为整数的弦长还有9，
∵过点且长度为9的弦有2条，
∴经过点的所有弦中长度为整数的有4条．
故答案是4．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，知道直径是圆中最长的弦，过点与圆垂直的弦是最短的弦是解题的关键．
【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点，直线与交于B、C两点，则弦的长为整数的有 条．
【答案】4
【分析】根据直线必过点，求出最短的弦是过点且与该圆直径垂直的弦，最长弦是圆的直径，得出弦的取值范围，再根据弦的长为整数，即可得出答案．
【详解】解：当时，
∴直线必过点，
最短的弦是过点且与该圆直径垂直的弦，最长弦是是直径，
当弦最短时，
连接，，
则，
点的坐标是，
，
以原点为圆心的圆过点，
圆的半径为13，
，
，
，
的长的最小值为24；
当弦最长时，则，
∴
∵弦的长为整数
∴或25或 26（其中是25的有两条），
∴弦的长为整数的有4条，
故答案为：4．
【点睛】此题考查的是垂径定理，一次函数图象，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出最短、最长时的值．
【题型9 垂径定理的实际应用】
【例9】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（ ）
A．4cm B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答．
【详解】解：连接，
由题意得：，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
∴截面圆中弦的长为．
故选：C．
【变式9-1】我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年．其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，为的直径，弦于点E，寸，寸（注：1尺寸），则可得直径的长为 尺．”
【答案】1
【分析】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，根据垂径定理得出的长，设半径为r寸，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
，
由垂径定理知，点E是的中点，
寸，
设半径为r寸，则寸
在中，由勾股定理得，，
∴，
解得：，
，
即圆的直径为寸，即为1尺．
故答案为：1．
【变式9-2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图①是小聪帮妈妈做的一个锅盖架，图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为， ，锅盖直径为，则锅盖最低点到的距离是 cm．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
设圆的圆心为，连接，交于点，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】解：如图，设圆的圆心为，连接，交于点，
根据题意得，，
，
，
，
，
锅盖最低点到的距离是 ，
故答案为：．
【变式9-3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）沈括在《梦溪笔谈》中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，主要思路是局部以直代曲，进行近似计算．如图，是以为圆心、为半径的圆弧，是弦的中点，是的中点，则长度的近似值．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，由是弦的中点，根据垂径定理得到，；由是的中点，根据垂径定理得到；根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，得到点O，C，D三点共线，设，则，后根据勾股定理得到，求得的大小，代入公式计算即可．
本题考查了垂径定理及其推论，勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵点是弦的中点，
∴，；
∵是的中点，
∴；
根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，得到点O，C，D三点共线，
设，则，
∴，
解得；
∴，
∴，
故选：A．
【题型10 利用垂径定理求最值】
【例10】如图，已知⊙O的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，BP=1，CD是⊙O的一条弦，CD=6，以PC，PD为相邻两边作平行四边形PCED，当C，D点在圆周上运动时，线段PE长的最小值是 ．
【答案】4
【分析】连接OC，设CD与PE交于点K，连接OK，根据平行四边形的性质结合垂径定理求出OK的长，在三角形PKO中，根据三角形的三边关系得到线段PK的取值范围，再由，得到结果．
【详解】解：如图，连接OC，设CD与PE交于点K，连接OK，
∵四边形PCED是平行四边形，
∴，，
∴根据垂径定理
在中，，，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴线段PE的最小值是4．
故答案是：4．
【点睛】本题考查线段最值问题，解题的关键是掌握平行四边形的性质和圆的垂径定理，再利用三角形三边的数量关系求出线段的取值范围从而得到最小值．
【变式10-1】如图，在⊙O中，AD为直径，弦BC⊥AD于点H，连接OB，已知OB＝2cm，∠OBC＝30°，动点E在直径AD上从D向A以1cm/s的速度做匀速运动，运动时间为ts，当∠OBE＝30°时，t的值为 ．
【答案】1或4/4或1
【分析】分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，当点与点重合时，
，，，
，
，
，
如图，当点和点重合时，连接，
，，
，
，
，
综上所述：或4，
故答案为：1或4．
【点睛】本题考查了垂径定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是利用分类讨论思想解决问题．
【变式10-2】如图，在中，直径，弦，点是的中点，过点作于点，若点、在上运动（点、与点、不重合），则的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】B
【分析】延长CF交于T，连接DT，利用三角形的中位线定理证明，当DT是直径时，EF的值最大．
【详解】如图所示，延长CF交于T，连接DT，
∵AB是直径，AB⊥CT，
∴CF=FT，
∵DE=EC，
∴，
当DT是直径时，EF的值最大，
此时，EF最大值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理，三角形的中位线定理等，根据中点构造中位线进行转换是解题关键．
【变式10-3】（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与轴交于两点，点为上一动点，于点，则点在上运动过程中，线段的长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，含角直角三角形，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键.
连接，作，连接，由可知，点在以为直径的圆上移动，当点在的延长线上时，的长最小，根据含角直角三角形及勾股定理求出，，即可得到答案.
【详解】如图，连接，过点作于点，连接．
，
．
在中，
，，
，，
，，．
，
．
，
，
，．
，
，
点在以为直径的上运动，
．
当点在的延长线上时，的长最小，最小值为．
故选：B．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题24.2 垂直于弦的直径（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 利用垂径定理判断正误】 2
【题型2 利用垂径定理求角度】 3
【题型3 利用垂径定理求线段长度】 4
【题型4 利用垂径定理求面积】 5
【题型5 利用垂径定理求坐标】 6
【题型6 利用垂径定理求平行弦问题】 7
【题型7 利用垂径定理求同心圆问题】 8
【题型8 利用垂径定理求整点个数】 9
【题型9 垂径定理的实际应用】 10
【题型10 利用垂径定求最值】 11
知识点 垂直于弦的直径
1. 圆的对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．
2. 垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
3. 垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
由垂径定理以及推论可知，如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称“知二推三”．
【题型1 利用垂径定理判断正误】
【例1】如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ）
A．AE＝OE B．CE＝DE C．OE＝CE D．∠AOC＝60°
【变式1-1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）下列命题正确的是（ ）
A．平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦
B．垂直于弦的直线平分弦
C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧
D．平分弦的直径必平分弦所对的两条弧
【变式1-2】（2025·河南新乡·三模）如图，、在上，连接，，．的平分线交于点，交于点，连接．下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【变式1-3】如图，AB为半圆O的直径，AC，AD都是弦，且AC平分∠BAD，则下列各式正确的是（ ）
A．AB+AD＝2AC B．AB+AD＜2AC
C．AC＝AB AD D．AC＜AB AD
【题型2 利用垂径定理求角度】
【例2】已知⊙O的半径为2，弦长分别为和，则的度数为（　　）
A． B． C．或 D．或
【变式2-1】如图，是的直径，是的弦，且，，则的度数为（　）

A． B． C． D．
【变式2-2】（24-25九年级下·湖南娄底·期中）如图，是的弦，半径，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【变式2-3】如图，已知的两弦相交于，且点为的中点，若，则的度数为 ．
【题型3 利用垂径定理求线段长度】
【例3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，经过点，交y轴于点A，若，弦长为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．20
【变式3-1】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，于点，，，则最长的弦长是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2025·湖南长沙·三模）如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
【变式3-3】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，已知点A，C，D在上，点B在内，和均为直角，，，，则的半径为（ ）

A．5 B． C． D．
【题型4 利用垂径定理求面积】
【例4】如图，在半径为1的中有三条弦，它们所对的圆心角分别为，，，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是 ．

【变式4-1】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2025·湖北·二模）如图，已知矩形的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径上．若，则矩形的面积等于（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
【变式4-3】已知的三个顶点都在圆O上，点O到的距离为3，且，则的面积= ．
【题型5 利用垂径定理求坐标】
【例5】（2025·江西南昌·一模）如图，点，，半径为的经过点，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为的经过点，，则点的坐标为 ．
【变式5-2】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为，函数的图象被截得的弦的长为，则的值是 ．
【变式5-3】（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴，轴上，以为弦的与轴相切，若点的坐标为，则圆心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 利用垂径定理求平行弦问题】
【例6】在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
【变式6-1】如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD =_____．
【变式6-2】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是 ．
【变式6-3】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（ ）
嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．”
淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．”
A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确
C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误
【题型7 利用垂径定理求同心圆问题】
【例7】 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm
【变式7-1】如图，两个圆都以点O为圆心．
求证：．
【变式7-2】如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ．
【变式7-3】高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病．
（1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依次类推，请问：到第四天，共有多少只鸡得了禽流感病？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染？
（2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米
【题型8 利用垂径定理求整点个数】
【例8】如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是 ，⊙C上的整数点有 个．
【变式8-1】如图，已知的半径为10，的一条弦，若内的一点P恰好在上，则线段的长度为整数的值有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式8-2】如图，直径为的内有一点，且，则经过点的所有弦中长度为整数的有 条．

【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点，直线与交于B、C两点，则弦的长为整数的有 条．
【题型9 垂径定理的实际应用】
【例9】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（ ）
A．4cm B． C． D．
【变式9-1】我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年．其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，为的直径，弦于点E，寸，寸（注：1尺寸），则可得直径的长为 尺．”
【变式9-2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图①是小聪帮妈妈做的一个锅盖架，图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为， ，锅盖直径为，则锅盖最低点到的距离是 cm．
【变式9-3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）沈括在《梦溪笔谈》中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，主要思路是局部以直代曲，进行近似计算．如图，是以为圆心、为半径的圆弧，是弦的中点，是的中点，则长度的近似值．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【题型10 利用垂径定理求最值】
【例10】如图，已知⊙O的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，BP=1，CD是⊙O的一条弦，CD=6，以PC，PD为相邻两边作平行四边形PCED，当C，D点在圆周上运动时，线段PE长的最小值是 ．
【变式10-1】如图，在⊙O中，AD为直径，弦BC⊥AD于点H，连接OB，已知OB＝2cm，∠OBC＝30°，动点E在直径AD上从D向A以1cm/s的速度做匀速运动，运动时间为ts，当∠OBE＝30°时，t的值为 ．
【变式10-2】如图，在中，直径，弦，点是的中点，过点作于点，若点、在上运动（点、与点、不重合），则的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．6
【变式10-3】（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与轴交于两点，点为上一动点，于点，则点在上运动过程中，线段的长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
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