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专题24.3 弧、弦、圆心角（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 圆的对称性】 2
【题型2 由圆心角、弧、弦之间的关系判断结论正误】 4
【题型3 由圆心角、弧、弦之间的关系求长度】 7
【题型4 由圆心角、弧、弦之间的关系求角度】 11
【题型5 由圆心角、弧、弦之间的关系求弧度】 14
【题型6 由圆心角、弧、弦之间的关系求面积】 17
【题型7 由圆心角、弧、弦之间的关系求周长】 22
【题型8 由圆心角、弧、弦之间的关系证明】 26
知识点1 圆的对称性
1. 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．
2. 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴．
3. 圆的旋转对称性
将圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都能与原来的图形重合，所以圆是特殊的中心对称图形，圆心是对称中心．
知识点2 弧、弦、圆心角
1. 圆心角及其所对的弧、弦的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．
由圆心角、弦、弧的关系及推论可知，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（同为优弧或劣弧）、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量都分别相等，简称“知一推二”．
2. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等．
【题型1 圆的对称性】
【例1】如图，正方形的四个顶点在直径为的大圆圆周上，四条边与小圆都相切，，过圆心，且，则图中阴影部分的面积是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由于圆是中心对称图形，则阴影部分的面积等于大圆的四分之一，即可求解．
【详解】解：由于圆是中心对称图形，则阴影部分的面积等于大圆的四分之一．
故阴影部分的面积．
故选：．
【点睛】本题利用了圆是中心对称图形，圆面积公式求解．
【变式1-1】下列说法不正确的是（ ）
A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合
C．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D．圆的每一条直径都是它的对称轴
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，此说法正确，故A不合题意；
B．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合，说法正确，故B不合题意；
C．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个，说法正确，故C不合题意；
D．圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，原说法错误，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
【变式1-2】下图中，每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】圆心是圆中两条不平行的弦的垂直平分线的交点，因此看图中弦的垂直平分线是否为网格线便可求解．
【详解】解：观察图形，根据圆的轴对称性，可知是正确的，故选D．
【点睛】本题考查了圆心的确定方法，网格内的图形问题须充分利用格线互相垂直的特点．
【变式1-3】在⊙O中有两个三角形：和，点A，B，C，D依次在⊙O上，如图所示．若这两个三角形关于过点O的直线l成轴对称，则点B关于直线l的对称点是 ．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的性质求解即可．
【详解】解：和关于过点O的直线l成轴对称，如图所示，
∴点B关于直线l的对称点是点C，
故答案为：C．
【点睛】题目主要考查轴对称图形的性质，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键．
【题型2 由圆心角、弧、弦之间的关系判断结论正误】
【例2】如图，在⊙O中，是直径，点C，D，E在圆上，，，，．以下结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】连接、，由，得到，所以①错误；由是直径，得到，利用勾股定理求出的长，进而可判断，，故②③正确，由得到，所以④正确．
【详解】解：连接、，如图，
，，
，即，
而，
，
，所以①错误；
∵是直径，
，
，
，
，所以②正确；
，所以③正确；
，
，所以④正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查同弧或等弧所对的弦相等，解题的关键是弧长与弦长的相互转化．
【变式2-1】下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧 B．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等
C．优弧一定比劣弧长 D．在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等
【答案】D
【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可．
【详解】A项，在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故原说法错误，本项不符合题意；
B项，在同圆或等圆中，弦所对的弧有优弧或劣弧，两弧不一定相等，故原说法错误，本项不符合题意；
C项，在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长，故原说法错误，本项不符合题意；
D项，在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等，说法正确，本项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系．
【变式2-2】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，如图，取的中点E，连接，．证明，再利用三角形的三边关系解决问题．
【详解】解：如图，取的中点E，连接，，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【变式2-3】如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在同圆中，根据圆心角、弧和弦之间的关系即可判断．
【详解】解：在⊙O中，
∵
∴，
故A、C选项正确，不符合题意；
∵，OA=OD，OB=OC
∴
∴
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴
∴OE=OF
故B选项正确，不符合题意．
故选D
【点睛】本题考查圆的对称性，理解同圆中圆心角、弧和弦之间的关系是解题的关键．
【题型3 由圆心角、弧、弦之间的关系求长度】
【例3】（2025·安徽合肥·二模）如图，圆中两条弦相交于点E，其中两条劣弧的度数分别为，圆O的半径为5，，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，
连接，可得，可得是等边三角形，，进入得出，再根据含直角三角形得性质得，然后根据勾股定理求出，则答案可得．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴．
在中，，
∴．
根据勾股定理，得，
∴．
故答案为：．
【变式3-1】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质与判定．如图，连接、．根据圆心角、弧、弦的关系证得是等边三角形，则的半径长为；即可求解．
【详解】解：如图，连接、．
是的直径，四边形内接于，若，
，
．
又，
是等边三角形，
，
的直径为
故答案为：．
【变式3-2】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图所示，在扇形中，，半径，点F在上，且．点C、D分别在线段、上，，E为的中点，连接．在滑动过程中（长度始终保持不变），当取最小值时，的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查弧与圆心角的关系，线段最小值问题，等边三角形的判定及性质，解题的关键是明确当，，共线时，的值最小，此时．
连接，，结合题意得，再求出当，，共线时，的值最小，此时，得为等边三角形，即可求解．
【详解】解：如图，连接，，
，，
，
∵E为的中点，
，
，
，
当，，共线时，的值最小，如图，
此时，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，则，
故答案为：．
【变式3-3】如图，点在半径长为4的上，点分别是弦，弦的中点，连接，若弧的度数为，弧的度数为，则的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形中位线定理以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角，连接，作于点，根据已知得，可得，，所以，再根据是的中位线，即可得出答案．
【详解】解：连接，作于点，
∵弧的度数为，弧的度数为，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点分别是弦，弦的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：．
【题型4 由圆心角、弧、弦之间的关系求角度】
【例4】如图，经过五边形的四个顶点，若，所对的圆心角的度数为 ．
【答案】40
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．连接，如图，利用等腰三角形的性质得，则根据三角形内角和定理得到，则，于是得到的度数为．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
即所对的圆心角的度数为，
故答案为：40．
【变式4-1】（24-25九年级上·贵州黔西·阶段练习）如图，，已知是的直径，，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，由可得，即得，再根据邻补角的性质即可求解，掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：．
【变式4-2】（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且，若，则弧的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了弦与圆心角的关系，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质；取的中点，连接，根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，进而根据弦与圆心角的关系，即可求解．
【详解】解：如图所示，取的中点，连接，
∵，，
∴；
∵，
∴，
∴，
即弧的度数为；
故答案为：．
【变式4-3】（2025·云南楚雄·三模）如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查圆心角与弧的关系，圆心角与圆周角的关系．连接，由点是劣弧的中点得，故，再由得到即可．
【详解】解：如图，连接，
点是劣弧的中点，
，
，
，
，
∵，
∴．
故选：C．
【题型5 由圆心角、弧、弦之间的关系求弧度】
【例5】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）在半径为1的⊙O中，弦的长为1，则弦所对弧的度数 ．
【答案】或
【分析】本题考查了圆中弧、弦、圆心角的关系，由题意得是等边三角形，据此即可求解
【详解】解：如图所示：
由题意得：，
∴是等边三角形，
∴
∴弦所对优弧的度数为，所对劣弧的度数为，
故答案为：或
【变式5-1】如图，已知是的直径， ，，那么弧度数等于 ．
【答案】/54度
【分析】本题主要考了圆心角、弧、弦的关系．注意掌握数形结合思想的应用．
根据圆心角与弧的关系可求得的度数，从而即可求解．
【详解】∵
∴，
∴，
∴，
∴弧度数等于．
故答案为：．
【变式5-2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交于C、D．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，弧与圆心角的关系 ，先由三角形内角和定理得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，则，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的度数是；
故选：A．
【变式5-3】如图，已知是的两条直径，且，过点作交于点，则弧的度数为 ．

【答案】/80度
【分析】本题考查平行线的性质，圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理等知识点，
连接，根据平行线的性质求出，根据圆周角定理求出，再求出的度数，即可求出本题答案．
【详解】解：连接，

∵，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴的度数是，
∵是的两条直径，
∴的度数是，
∴的度数是，
故答案为：．
【题型6 由圆心角、弧、弦之间的关系求面积】
【例6】如图，A，B是上的点，，C是的中点， 若的半径为2，则四边形ACBO的面积为（　　）
A． B．2 C．4 D．
【答案】D
【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到，易得和都是等边三角形，即可解决问题．
【详解】解：连，如图，
是的中点，，
，
又，
和都是等边三角形，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
【变式6-1】如图，点，，，都在上，圆的半径为，且，，则该（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、 弧、 弦之间的关系，勾股定理．连接, 求出，求出是圆的直径，根据勾股定理求出，根据计算是解题的关键．
【详解】解：连接,

，
，，
，
即是圆的直径，
，
∵圆的半径为，
，
，
由勾股定理得：
，
∴，
故选:A．
【变式6-2】如图，点A，B，C在上，顺次连结，，，且，，
(1)求的度数；
(2)若的半径为3．求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了圆中弧、弦、角的关系，垂径定理以及勾股定理等知识点，掌握相关结论即可．
（1）根据 即可求解；
（2）求出的度数可得，过点作交于点连接，分别求出即可求解．
【详解】（1）解：，
，
．
（2）解：，
，
，
如图，过点作交于点连接，
则过，
由（1）可得．
∴，
∵的半径为3，
∴，
∴，
∴
【变式6-3】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在中，为的中点，于点，于点
(1)求证：．
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据弧、圆心角的关系得平分．进而利用角平分线的性质定理即可得证．
（2）连接由，得 ．进而得．利用度直角三角形的性质得，进而根据勾股定理得，从而即可求得．同理，可得，于是即可得解．
【详解】（1）证明：如图，连接
为的中点，
，
，
平分．
又，，
．
（2）解：如图，连接
由（1）得，
，
．
∵，
∴，
．
，
在中，，
，
．
同理，可得，
．
【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，角平分线的性质定理，勾股定理，30度直角三角形的性质及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系，角平分线的性质定理及勾股定理是解题的关键．
【题型7 由圆心角、弧、弦之间的关系求周长】
【例7】如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是( )

A． B． C． D．a，b大小无法比较
【答案】A
【分析】连接，依题意得，，的周长为，四边形的周长为，故，根据的三边关系即可得解．
【详解】连接，

∵点是的八等分点，即
∴，
∴
又∵的周长为，
四边形的周长为，
∴
在中有
∴
故选A．
【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键．
【变式7-1】如图，已知⊙O的半径等于2cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且，则四边形ABCD的周长等于（　　）
A．8cm B．10cm C．12cm D．16cm
【答案】B
【分析】连接OD、OC，根据圆心角、弧、弦间的关系证得△AOD是等边三角形，然后由可得=2cm，于是可以求出结果．
【详解】解：如图,连接OD、OC．
，
∠AOD=∠DOC=∠COB，；
∠AOD+∠DOC+∠COB=180°，
∠AOD=∠DOC=∠COB=60°；
OA=OD，
△AOD是等边三角形，⊙O的半径等于2cm，
AD=OD=OA=2cm；
，
AD=CD=BC=OA=2cm；
四边形ABCD的周长为:AD+CD+BC+AB=cm;
故选：B．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦间的关系与等边三角形的判定与性质．在同圆中，等弧所对的圆心角相等．
【变式7-2】如图所示，A、B是半径为2的上的两点，若，点C是弧的中点，则四边形的周长为 ．
【答案】8
【分析】通过等弧所对的圆心角相等和，得到和都是等边三角形，再求出四边形的周长．
【详解】解：∵C是的中点，
∴，而，
∴，
∵，
∴和都是等边三角形，
∴， 所以四边形的周长等于8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是等弧所对的圆心角相等；等边三角形的判定和性质，熟练的运用等弧所对的圆心角相等是解本题的关键．
【变式7-3】如图，在扇形中，，，C为的中点，为上一点，且，连接，，在绕点旋转的过程中，当取最小值时，的周长为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查圆中最值问题，等边三角形的判定以及勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
判断出在的旋转过程中，三点共线时，最短，得出是等边三角形，由勾股定理求出，即可解决问题．
【详解】解：∵，
，
∵为的中点，
，
在绕点旋转的过程中，当三点共线时，的值最小，如图，
，
，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∵为的中点，
∴，
由勾股定理得，，
∴的周长，
故答案为：．
【题型8 由圆心角、弧、弦之间的关系证明】
【例8】（24-25九年级下·广东茂名·阶段练习）如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，求出，根据得出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式8-1】如图，在中，半径，分别交弦于点E，F，且．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析
【分析】本题考查圆心角、弦、弧的关系，全等三角形的判定和性质，连接半径构造全等三角形是解题的关键
（1）连接、，证明三角形全等即可；
（2）只要证明即可；
【详解】（1）证明：连接、，如图示，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴．
【变式8-2】如图所示，以的顶点A为圆心，为半径作圆，分别交，于点E，F，延长交于G．
(1)求证：；
(2)若劣弧所对圆心角的度数为，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，弧与圆心角的关系等知识点的应用，关键是求出．
（1）要证明，则要证明，由等边对等角以及平行四边形性质即可证明；
（2）根据劣弧所对圆心角的度数为，得到，于是得到，根据平行四边形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，连接，

为圆心，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，，
，
；
（2）∵劣弧所对圆心角的度数为，
，
，
四边形为平行四边形，
，
．
【变式8-3】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，点是优弧的中点，分别是上的点，且，弦分别过点．
(1)求证：；
(2)和的长度相等吗？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)和的长度相等，理由见解析
【分析】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
（1）连接，只要证明即可解决问题；
（2）欲证明，只要证明即可；
【详解】（1）证明：连接．
点是优弧的中点，
，
，
，，
，，
，
．
（2）解：和的长度相等，理由如下，
分别连接，，
，
，，
，
，，
，
，，
，
．
和的长度相等．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题24.3 弧、弦、圆心角（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 圆的对称性】 2
【题型2 由圆心角、弧、弦之间的关系判断结论正误】 3
【题型3 由圆心角、弧、弦之间的关系求长度】 4
【题型4 由圆心角、弧、弦之间的关系求角度】 5
【题型5 由圆心角、弧、弦之间的关系求弧度】 6
【题型6 由圆心角、弧、弦之间的关系求面积】 6
【题型7 由圆心角、弧、弦之间的关系求周长】 8
【题型8 由圆心角、弧、弦之间的关系证明】 9
知识点1 圆的对称性
1. 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．
2. 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴．
3. 圆的旋转对称性
将圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都能与原来的图形重合，所以圆是特殊的中心对称图形，圆心是对称中心．
知识点2 弧、弦、圆心角
1. 圆心角及其所对的弧、弦的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．
由圆心角、弦、弧的关系及推论可知，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（同为优弧或劣弧）、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量都分别相等，简称“知一推二”．
2. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等．
【题型1 圆的对称性】
【例1】如图，正方形的四个顶点在直径为的大圆圆周上，四条边与小圆都相切，，过圆心，且，则图中阴影部分的面积是( )
A． B． C． D．
【变式1-1】下列说法不正确的是（ ）
A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合
C．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D．圆的每一条直径都是它的对称轴
【变式1-2】下图中，每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是( )
A. B. C. D.
【变式1-3】在⊙O中有两个三角形：和，点A，B，C，D依次在⊙O上，如图所示．若这两个三角形关于过点O的直线l成轴对称，则点B关于直线l的对称点是 ．
【题型2 由圆心角、弧、弦之间的关系判断结论正误】
【例2】如图，在⊙O中，是直径，点C，D，E在圆上，，，，．以下结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式2-1】下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧 B．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等
C．优弧一定比劣弧长 D．在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等
【变式2-2】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【变式2-3】如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【题型3 由圆心角、弧、弦之间的关系求长度】
【例3】（2025·安徽合肥·二模）如图，圆中两条弦相交于点E，其中两条劣弧的度数分别为，圆O的半径为5，，则的长为 ．
【变式3-1】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为 ．
【变式3-2】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图所示，在扇形中，，半径，点F在上，且．点C、D分别在线段、上，，E为的中点，连接．在滑动过程中（长度始终保持不变），当取最小值时，的长为 ．
【变式3-3】如图，点在半径长为4的上，点分别是弦，弦的中点，连接，若弧的度数为，弧的度数为，则的长度为 ．
【题型4 由圆心角、弧、弦之间的关系求角度】
【例4】如图，经过五边形的四个顶点，若，所对的圆心角的度数为 ．
【变式4-1】（24-25九年级上·贵州黔西·阶段练习）如图，，已知是的直径，，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且，若，则弧的度数为 ．
【变式4-3】（2025·云南楚雄·三模）如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【题型5 由圆心角、弧、弦之间的关系求弧度】
【例5】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）在半径为1的⊙O中，弦的长为1，则弦所对弧的度数 ．
【变式5-1】如图，已知是的直径， ，，那么弧度数等于 ．
【变式5-2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交于C、D．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】如图，已知是的两条直径，且，过点作交于点，则弧的度数为 ．

【题型6 由圆心角、弧、弦之间的关系求面积】
【例6】如图，A，B是上的点，，C是的中点， 若的半径为2，则四边形ACBO的面积为（　　）
A． B．2 C．4 D．
【变式6-1】如图，点，，，都在上，圆的半径为，且，，则该（ ）

A． B． C． D．
【变式6-2】如图，点A，B，C在上，顺次连结，，，且，，
(1)求的度数；
(2)若的半径为3．求的面积．
【变式6-3】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在中，为的中点，于点，于点
(1)求证：．
(2)若，，求四边形的面积．
【题型7 由圆心角、弧、弦之间的关系求周长】
【例7】如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是( )

A． B． C． D．a，b大小无法比较
【变式7-1】如图，已知⊙O的半径等于2cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且，则四边形ABCD的周长等于（　　）
A．8cm B．10cm C．12cm D．16cm
【变式7-2】如图所示，A、B是半径为2的上的两点，若，点C是弧的中点，则四边形的周长为 ．
【变式7-3】如图，在扇形中，，，C为的中点，为上一点，且，连接，，在绕点旋转的过程中，当取最小值时，的周长为 ．
【题型8 由圆心角、弧、弦之间的关系证明】
【例8】（24-25九年级下·广东茂名·阶段练习）如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：．
【变式8-1】如图，在中，半径，分别交弦于点E，F，且．求证：
(1)；
(2)．
【变式8-2】如图所示，以的顶点A为圆心，为半径作圆，分别交，于点E，F，延长交于G．
(1)求证：；
(2)若劣弧所对圆心角的度数为，求的度数．
【变式8-3】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，点是优弧的中点，分别是上的点，且，弦分别过点．
(1)求证：；
(2)和的长度相等吗？请说明理由．
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