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专题24.4 圆周角（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 圆周角的概念】 2
【题型2 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半】 4
【题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等】 7
【题型4 直径所对的圆周角是直角】 10
【题型5 90°的圆周角所对的弦是直径】 14
【题型6 圆内接四边形对角互补】 18
【题型7 圆周角定理的实际应用】 21
【题型8 圆周角定理与三角板的综合运用】 25
【题型9 利用圆周角定理解决格点中的求值问题】 28
知识点1 圆周角
圆周角的定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
圆周角定理
（1）圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半．如图，=．
（2）同弧或等弧所对的圆周角相等．如图， =．
（3）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
如上图，AB是直径 = =90°；=90° AB是直径．
圆周角与圆心角的区别
圆心角 圆周角
区别 顶点在圆心 顶点在圆上
在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的 在同圆中，一条弧所对的圆心角有无数个
联系 两边都与圆相交
知识点2 圆内接四边形
圆内接四边形的定义
如果一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆．
圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补；
拓展：圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角．
【题型1 圆周角的概念】
【例1】如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角的定义，顶点在圆周上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角，由此即可得出答案，熟练掌握圆周角的定义是解此题的关键．
【详解】解：由图可得：和符合圆周角的定义，顶点不在圆周上，的一边和圆不想交，
故图中的圆周角有和，共个，
故选：B．
【变式1-1】下列各图中，为圆周角的是（　　）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了圆周角定义．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义．
根据由圆周角的定义逐项判定即可．
【详解】解：A、的边不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意；
B、的边、都不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意；
C、的顶点没在圆上，所以不是圆周角，故此选项不符合题意；
D、符合圆周角定义，是圆周角，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式1-2】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键 ．直接运用圆周角的定义进行判断即可.
【详解】解：弧所对的圆周角是：或，
故选：B．
【变式1-3】如图，A，B，C，D，E是⊙O上的五个点，则图中共有 个圆周角，分别是 ．
【答案】 6 ∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，∠CED，∠BDE
【分析】根据圆周角的定义进行判断即可.
【详解】根据题意可知图中共有6个圆周角，分别是∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，∠CED，∠BDE.
故答案为6；∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，∠CED，∠BDE.
【点睛】本题考查圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
【题型2 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半】
【例2】（24-25九年级上·四川自贡·期末）如图，是的外接圆，已知于点，，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查圆周角定理，三线合一，连接，得到，三线合一结合圆周角定理，得到，即可．
【详解】解：连接，则：，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
【变式2-1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，点内接于，连结、．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，由圆周角定理可得的度数，再根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
故选；B．
【变式2-2】（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）如图，BC为的弦，点A，D在上，，，，则的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查垂径定理及圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理．
根据可得，，圆周角定理可得，进而得到，因此，在中，根据勾股定理构造方程，即可求出的长．
【详解】解：设与交于点，
∵，，
∴，，
∴，
∴在中，
∴，
∵在中，，
∴，
解得，
故答案为：2．
【变式2-3】（24-25九年级上·天津·期末）如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题重点考查正多边形和圆、正多边形的中心角的定义、圆周角定理等知识，连接、，则，由圆周角定理得，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接、，
∵正五边形内接于，
∴，
∵P为上一点，
∴，
故选：B．
【题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等】
【例3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，弦相交于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，解题的关键是掌握圆周角定理．先根据同弧所对的圆周角相等得到，再根据三角形外角等于与其不相邻的两个内角度数之和可解得所求．
【详解】解：，
，
，
．
故选：A．
【变式3-1】（2025·陕西西安·三模）如图，内接于，点D为劣弧上一点，连接，若，，则的度数为 °．
【答案】40
【分析】此题考查了圆周角定理，等弧所对的圆心角相等，等腰三角形的性质等知识，掌握以上知识点是解题的关键．
由，可得到，再结合，可得到劣弧所对的圆心角与的度数相等，则．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴劣弧所对的圆心角与的度数相等，
则．
故答案为：40．
【变式3-2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，内接于，为的直径，且于点，连接．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，三角形的内角和与外角定理，解题的关键是掌握垂径定理和圆周角定理．根据垂径定理得，，得到，推出，根据三角形的外角定理求出，再根据三角形的内角和定理求出，即可求解．
【详解】解： 为的直径，且于点，
，，
，
，即，
，
设与交于点G，
，
，
，
，
，
故选：A．
【变式3-3】（2025·江苏南京·二模）如图，是的直径，弦，点在上．若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识．连接，，，根据圆周角定理可得：，，推出，结合，可求出，进而得到，最后根据垂径定理即可求解．
【详解】解：连接，，，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
是的直径，弦，
，
，
，
即的度数为，
故答案为：．
【题型4 直径所对的圆周角是直角】
【例4】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在以点为圆心的半圆中，是直径，，连接，交于点，连接交于点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接，证明是等腰直角三角形，得到，勾股定理得到，即可得出结论．
【详解】解：连接，如下图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，即为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【变式4-1】（2025·四川南充·二模）如图，是的直径，点，是上位于直径两侧的点，连接，，且，则 度．
【答案】45
【分析】本题考查了圆周角定理，由圆周角定理得出，再根据得出，进而即可求出答案．
【详解】解：连接，
是的直径，
，
又 ，
，
，
故答案为：45．
【变式4-2】（2025九年级下·北京·学业考试）如图，是的直径，是的弦，D为上一点，过点D作，交于点E，交于点F，，连接．若，则的长为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，由垂径定理得到，则设，则，由勾股定理可得，解方程可求出，求出，则由勾股定理可得，即，解之即可得到答案．
【详解】解；，是的直径，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∵是的直径，
．
，
∴在中，由勾股定理得，即，
或（舍去），
故答案为：6．
【变式4-3】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，，若，，则弦的长等于（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理．作直径，连接，先利用等角的补角相等得到，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到，再利用勾股定理，继而求得答案．
【详解】解：∵半径为5的，
∴，
作直径，连接，如图，
则，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【题型5 90°的圆周角所对的弦是直径】
【例5】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，是的直径，是的弦，，，若点D在上，且，则长为 ．
【答案】1或2
【分析】本题考查了圆周角定理，含度的直角三角形的性质，度的圆周角所对的弦是直径，运用分类讨论思想是解题的关键．分两种情况：当点D在上时；当点D在上时；然后分别进行计算即可解答．
【详解】解：分两种情况：
当点D在上时，如图：
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴；
当点D在上时，如图：
∵，，
∴，
∴是的直径，
∴；
综上所述：或2，
故答案为：1或2．
【变式5-1】如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接交半圆于点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角的定理，掌握圆周角定理是解本题的关键．
根据，以点为圆心的半圆的直径和重合，可知点在以点为圆上，由，得 ，根据同弧所对的圆周角相等即可求解．
【详解】解：∵，以点为圆心的半圆的直径和重合，
∴点在以点为圆心的圆上，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第一象限，过原点，且与轴、轴交于点A，，点A的坐标为，的直径为10．则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】连接AB，根据90°的圆周角所对的弦是直径可知，AB是直径；再根据勾股定理求出OB的长，可得出答案．
【详解】连接AB,
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
∴AB=10．
又∵∠AOB=90°，点A的坐标为，
∴，，
∴，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的定理是90°的圆周角所对的弦是直径，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
【变式5-3】（2025·湖北咸宁·模拟预测）如图，内接于，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点在上，连接．则四边形的面积（ ）
A．只与的长有关 B．只与的长有关
C．只与的长有关 D．只与的长有关
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形与圆的综合，掌握角所对的边为圆的直径，几何图形面积的计算方法是关键．连接，过点作于点，作点作于点，得到是直径，，四边形的面积为，结合计算得到，是直径，是定值，的面积与的乘积有关，或与的长有关，当点的位置变换，即线段的长改变，则的长改变，随之改变，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，作点作于点，
∵将绕点逆时针旋转得到，点的对应点在上，
∴，，
∴是直径，，
∴四边形的面积为，
∵，
∴点重合，
∴，
∴，
∵是直径，是定值，
∴的值是定值，
∵是直径，且，
∴，
∴，
∴的面积与的乘积有关，或与的长有关，
∴当点的位置变换，即线段的长改变，则的长改变，随之改变，
∴四边形的面积改变，
∴四边形的面积只与的长有关，
故选：B ．
【题型6 圆内接四边形对角互补】
【例6】（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）如图，四边形内接于，，，，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
根据四边形内接于，得到；根据，得到，利用平行线的性质得到，再运用三角形内角和定理解答即可．
【详解】解：∵四边形内接于，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选：C.
【变式6-1】（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）如图，是正方形的外接圆，点为上任意一点，连接，，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了正方形的性质，圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
如图所示，连接，首先求出，然后得到是四边形的外接圆，然后根据圆内接四边形的性质求解即可．
【详解】如图所示，连接
∵四边形是正方形
∴，
∴
∵是正方形的外接圆，点为上任意一点，
∴是四边形的外接圆，
∴．
故答案为：．
【变式6-2】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，内接于，点在上，连接、、，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要利用垂径定理、圆周角定理和圆内接四边形的性质来求解的度数．
利用垂径定理得出，再利用圆周角定理计算的度数，最后利用圆内接四边形的性质计算的度数．
【详解】解：在上取一点，连接，
∵是的半径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【变式6-3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，将沿着弦折叠，点，分别在优弧和劣弧上，若，则 ．
【答案】115
【分析】作出弧所对的圆周角，结合根据内接四边形对角互补求出即可．本题考查了折叠的对称性、圆的内接四边形互补，圆周角定理等知识点．作出弧所对的圆周角是解题关键．
【详解】解：作出弧所对的圆周角，
∵，
∴，
∵⊙O沿弦折叠，
∴
故答案为：115
【题型7 圆周角定理的实际应用】
【例7】（2025·陕西西安·模拟预测）筒车作为我国古代伟大的水利灌溉发明，在水利发展史上意义非凡．图②是从正面看到的一个筒车（图①）的形状示意图，筒车与水面分别交于点，，连接，，点在的延长线上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角等知识．连接，由邻补角的性质求得，利用圆周角定理求得，，据此求解作答即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：A．
【变式7-1】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．
【答案】4
【分析】本题考查了圆周角定理的应用：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，熟记相关结论即可．先画图，得出，再进一步求解即可．
【详解】解：如图所示：记与的交点为，连接，
∴
∵
∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台
故答案为：
【变式7-2】（2025·陕西铜川·模拟预测）司南（如图1）是我国古代辨别方向用的一种仪器，是指南针的始祖．司南的中间为一圆形，如图2，圆心为O，根据八个方位将八等分（图2中的点为八个等分点），连接、、，与的延长线交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆的基本性质，连接，，，，由正八边形得，由由对称性可知是的直径，由圆的基本性质得，即可求解；掌握正多边形与圆，圆的基本性质是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，，，，
点、、、、、、、是的八等分点，
，
，
由对称性可知，是的直径，
，
．
故选：C．
【变式7-3】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中广泛使用．如图，筒车的半径为2m，筒车上均匀设置了12个盛水筒，其中A，B，C是相邻的三个盛水筒，在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速运动．通过观察，当A离开水面时，C恰好开始进入水中，每个盛水筒经过水流用时3秒，离开水面6秒后水开始倒出，为使接水槽能够尽可能多地接到水，则接水槽距离水面的最大高度是（ ）
A． B． C．2m D．3m
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理的应用，勾股定理的应用．作出图形，求得是等边三角形，证明在同一直线上，利用圆周角定理和勾股定理即可求解．
【详解】解：接水槽距离水面的最大高度是指盛水筒离开水面开始倒水的位置，如图，
直线表示接水槽距离水面的最大高度的位置，即盛水筒A恰好转到的位置倒水，
直线表示水面，筒车的圆心为，则，
由题意得，
∴，
∴是等边三角形，，
∵每个盛水筒经过水流用时3秒，离开水面6秒后水开始倒出，
∴，
∴，
∵，
∴点在同一直线上，
∴为直径且，
∴，
∴，
∴接水槽距离水面的最大高度是，
故选：B．
【题型8 圆周角定理与三角板的综合运用】
【例8】如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点P与点C重合，射线从处出发绕点B沿逆时针方向以每秒2度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第13秒时，点E在量角器上对应的读数是 度．
【答案】52
【分析】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；连接，由题意易得，点B在以为直径的圆上，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴点B在以为直径的圆上，
由题意可知，
∴，
∵量角器0刻度线的端点P与点C重合，
∴点E在量角器上对应的读数是52度；
故答案为：52．
【变式8-1】如图所示，活动课中顺顺将直角三角板角的顶点P落在上，两边分别交于点A，B．他发现量出的长，就可求的半径，当时，的半径为（ ）

A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接、，利用圆周角定理可得，得出是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，连接、，

，
，
又，
是等腰直角三角形，
∴，
，
的半径为．
故选：D．
【变式8-2】如图，含角的直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点和点在量角器的半圆上，若点在量角器上对应的读数是，则的度数是 ；

【答案】/35度
【分析】连接，由题意可知，，由圆周角定理得到，得到，即可得到答案．
【详解】解：连接，
由题意可知，，
∴，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】此题考查了圆周角定理，熟练掌握定理内容是解题的关键．
【变式8-3】如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于，两点，若的直径为，则弦的长为 ．
【答案】
【分析】连接并延长交于点，连接，根据同弧所对的圆周角相等得出，，再由含度角的直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：连接并延长交于点，连接，
，
．
是的直径， ，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是同弧所对的圆周角相等，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
【题型9 利用圆周角定理解决格点中的求值问题】
【例9】如图，在6×6的正方形网格图形中，每个小正方形的边长为1，M、N分别是上的格点．若点P是这个网格图形中的格点，连接，则满足的点P有（　　）个
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】先根据等腰直角三角形的两个锐角等于，构造出一个P点，再画出的外接圆，这个外接圆与网格交点为格点的都符合题意．
【详解】解：如图，在边上取点，使，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
作的外接圆交网格于，
根据圆周角定理，得，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等，解答时需要一定的空间想象能力，模型意识．
【变式9-1】如图，网格图中的每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D为格点，设经过图中格点A、B、C三点的圆弧与交于E，则AE的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定和性质、圆周角定理和，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．连接，根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定可得是等腰直角三角形，再根据圆周角定理和弧长的计算公式进行求解即可．
【详解】如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴是圆的直径，
∴，
∴．
【变式9-2】（24-25九年级上·天津西青·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点A，B均在格点上．
（1）线段的长为 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点M，使，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 5 图见解析 ，理由见解析
【分析】本题主要考查网格与勾股定理，直径或半圆所对圆周角为直角，等圆或同圆中，等弧所对圆周角相等，掌握勾股定理，圆的基础知识是解题的关键．
（1）根据网格与勾股定理即可求解；
（2）根据直径或半圆所对圆周角为直角，等圆或同圆中，等弧所对圆周角相等，直角三角形两锐角互余的方法作图即可．
【详解】解：（1），
故答案为：5；
（2）如图所示，作直径交于点，连接并延长交于点，连接，
∵直径交于点，
∴点为圆心，
∴为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点即为所求点的位置．
【变式9-3】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上．
（1）线段的长等于 ；
（2）以为直径作半圆，在半圆上找一点，满足；在上找一点，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，并简要说明它们的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 见解析
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，圆的基本性质，复杂的作图，
（1）利用勾股定理可得答案；
（2）取格点，连接并延长交半圆于点；取格点，连接并延长，与的延长线交于点，连接交于点，连接，并延长交于点，即可得图．
【详解】（1）解：在中，；
故答案为：．
（2）解：如图所示，
如图，取格点，即半圆的圆心，连接并延长交半圆于点，，，点即为所作点；
取格点，连接并延长，与的延长线交于点，连接交于点，连接，并延长交于点， ，，，，，，点即为所求．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题24.4 圆周角（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 圆周角的概念】 2
【题型2 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半】 3
【题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等】 4
【题型4 直径所对的圆周角是直角】 5
【题型5 90°的圆周角所对的弦是直径】 6
【题型6 圆内接四边形对角互补】 7
【题型7 圆周角定理的实际应用】 8
【题型8 圆周角定理与三角板的综合运用】 9
【题型9 利用圆周角定理解决格点中的求值问题】 10
知识点1 圆周角
圆周角的定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
圆周角定理
（1）圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半．如图，=．
（2）同弧或等弧所对的圆周角相等．如图， =．
（3）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
如上图，AB是直径 = =90°；=90° AB是直径．
圆周角与圆心角的区别
圆心角 圆周角
区别 顶点在圆心 顶点在圆上
在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的 在同圆中，一条弧所对的圆心角有无数个
联系 两边都与圆相交
知识点2 圆内接四边形
圆内接四边形的定义
如果一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆．
圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补；
拓展：圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角．
【题型1 圆周角的概念】
【例1】如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】下列各图中，为圆周角的是（　　）
A．B． C． D．
【变式1-2】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】如图，A，B，C，D，E是⊙O上的五个点，则图中共有 个圆周角，分别是 ．
【题型2 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半】
【例2】（24-25九年级上·四川自贡·期末）如图，是的外接圆，已知于点，，则的度数为 ．
【变式2-1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，点内接于，连结、．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）如图，BC为的弦，点A，D在上，，，，则的长为 ．
【变式2-3】（24-25九年级上·天津·期末）如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等】
【例3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，弦相交于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2025·陕西西安·三模）如图，内接于，点D为劣弧上一点，连接，若，，则的度数为 °．
【变式3-2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，内接于，为的直径，且于点，连接．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2025·江苏南京·二模）如图，是的直径，弦，点在上．若，则的度数为 ．
【题型4 直径所对的圆周角是直角】
【例4】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在以点为圆心的半圆中，是直径，，连接，交于点，连接交于点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2025·四川南充·二模）如图，是的直径，点，是上位于直径两侧的点，连接，，且，则 度．
【变式4-2】（2025九年级下·北京·学业考试）如图，是的直径，是的弦，D为上一点，过点D作，交于点E，交于点F，，连接．若，则的长为 ．
【变式4-3】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，，若，，则弦的长等于（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
【题型5 90°的圆周角所对的弦是直径】
【例5】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，是的直径，是的弦，，，若点D在上，且，则长为 ．
【变式5-1】如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接交半圆于点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第一象限，过原点，且与轴、轴交于点A，，点A的坐标为，的直径为10．则点的坐标为 ．
【变式5-3】（2025·湖北咸宁·模拟预测）如图，内接于，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点在上，连接．则四边形的面积（ ）
A．只与的长有关 B．只与的长有关
C．只与的长有关 D．只与的长有关
【题型6 圆内接四边形对角互补】
【例6】（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）如图，四边形内接于，，，，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）如图，是正方形的外接圆，点为上任意一点，连接，，则 ．
【变式6-2】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，内接于，点在上，连接、、，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，将沿着弦折叠，点，分别在优弧和劣弧上，若，则 ．
【题型7 圆周角定理的实际应用】
【例7】（2025·陕西西安·模拟预测）筒车作为我国古代伟大的水利灌溉发明，在水利发展史上意义非凡．图②是从正面看到的一个筒车（图①）的形状示意图，筒车与水面分别交于点，，连接，，点在的延长线上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．
【变式7-2】（2025·陕西铜川·模拟预测）司南（如图1）是我国古代辨别方向用的一种仪器，是指南针的始祖．司南的中间为一圆形，如图2，圆心为O，根据八个方位将八等分（图2中的点为八个等分点），连接、、，与的延长线交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中广泛使用．如图，筒车的半径为2m，筒车上均匀设置了12个盛水筒，其中A，B，C是相邻的三个盛水筒，在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速运动．通过观察，当A离开水面时，C恰好开始进入水中，每个盛水筒经过水流用时3秒，离开水面6秒后水开始倒出，为使接水槽能够尽可能多地接到水，则接水槽距离水面的最大高度是（ ）
A． B． C．2m D．3m
【题型8 圆周角定理与三角板的综合运用】
【例8】如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点P与点C重合，射线从处出发绕点B沿逆时针方向以每秒2度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第13秒时，点E在量角器上对应的读数是 度．
【变式8-1】如图所示，活动课中顺顺将直角三角板角的顶点P落在上，两边分别交于点A，B．他发现量出的长，就可求的半径，当时，的半径为（ ）

A． B． C．4 D．
【变式8-2】如图，含角的直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点和点在量角器的半圆上，若点在量角器上对应的读数是，则的度数是 ；

【变式8-3】如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于，两点，若的直径为，则弦的长为 ．
【题型9 利用圆周角定理解决格点中的求值问题】
【例9】如图，在6×6的正方形网格图形中，每个小正方形的边长为1，M、N分别是上的格点．若点P是这个网格图形中的格点，连接，则满足的点P有（　　）个
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式9-1】如图，网格图中的每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D为格点，设经过图中格点A、B、C三点的圆弧与交于E，则AE的长为 ．
【变式9-2】（24-25九年级上·天津西青·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点A，B均在格点上．
（1）线段的长为 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点M，使，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【变式9-3】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上．
（1）线段的长等于 ；
（2）以为直径作半圆，在半圆上找一点，满足；在上找一点，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，并简要说明它们的位置是如何找到的（不要求证明） ．
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