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专题24.5 点和圆的位置关系（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 点和圆的位置关系】 3
【题型2 判断确定圆的条件】 6
【题型3 确定圆心（尺规作图）】 8
【题型4 求能确定的圆的个数】 12
【题型5 画圆（尺规作图）】 15
【题型6 三角形的外接圆】 20
【题型7 求三角形外心坐标】 26
【题型8 求三角形外接圆的半径】 29
【题型9 最小覆盖圆】 34
【题型10 反证法】 38
知识点1 点与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为
知识点2 三角形的外接圆
圆的确定
不在同一条直线上的三点确定一个圆.
经过不在同一条直线上的三个点（A，B，C）作圆的一般步骤：
如图，（1）连接AB，BC；
（2）分别作AB，BC的垂直平分线EF，HG，交于点O；
（3）以交点O为圆心，以交点到三点中任意一点的距离为半径作圆，⊙O即为所求．
2. 三角形的外接圆
（1）经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
（2）三角形的外心，是外接圆的圆心，是三角形三条边的垂直平分线的交点．
（3）三角形的外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径．
（4）三角形的外心的位置
类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
图示
位置 外心在三角形内部 外心是斜边的中点 外心在三角形外部
知识点3 反证法
1. 概念：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
2. 常见的矛盾类型
（1）与所学定义、定理以及基本事实相矛盾；
（2）与已知条件相矛盾；
（3）自相矛盾．
3. 用反证法证明命题的一般步骤
【题型1 点和圆的位置关系】
【例1】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（ ）
A．都不在 B．只有 C．只有 D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，点与圆的位置关系，根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质得，以点为圆心，长为半径画圆，再根据图形即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴为直角三角形，，
取中点，连接，则，
以点为圆心，长为半径画圆，如图所示：
由图可知，点都在内，
∴这三栋楼中在该基站覆盖范围内，
故选：．
【变式1-1】（2025·上海黄浦·二模）已知点在半径为5的内，那么点到圆心的距离不可能是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】D
【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，掌握点P到圆心的距离，当时，点P在圆内是解题的关键．
根据点与圆的位置关系解答即可．
【详解】解：∵点P在半径为5的内，
∴，
∴点P到圆心O的距离不可能是6．
故选：D．
【变式1-2】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，，，若以为圆心，为半径画，请根据下列条件，求半径的值或取值范围．
(1)与斜边有1个公共交点；
(2)与斜边有2个公共交点；
(3)与斜边没有公共交点．
【答案】(1)或；
(2)
(3)或
【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．
（1）过点作于点，再分圆与相切时；点在圆内部，点在圆上或圆外时，根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解；
（2）要使圆与斜边有两个交点，则应满足直线和圆相交，且半径不大于．要保证相交，只需求得相切时，圆心到斜边的距离，即斜边上的高即可；
（3）根据与斜边没有公共交点可知或点在的内部，据此可得出结论．
【详解】（1）解：如图，过点C作，
，，，
，
．
当圆与相切时，即；
当点在圆内部，点在圆上或圆外时，此时，即．
或；
（2），
以为圆心，为半径所作的圆与斜边有两个交点，则圆的半径应大于，小于或等于，
的取值范围是；
（3）与斜边没有公共交点，
或点在的内部，
或．
【变式1-3】已知矩形中，，以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，则r的取值范围为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了点与圆的位置关系以及矩形的性质，勾股定理，由于根据点与圆的位置关系得到注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外； 当时，点在圆上，当时，点在圆内．
【详解】解：如图：连接,

∵矩形中，
∵以点B为圆心作圆，与边有唯一公共点，
∴的半径r的取值范围是：，
故选：D．
【题型2 判断确定圆的条件】
【例2】（2025·福建厦门·二模）如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（ ）
A．经过点，，，只能作一个圆
B．经过点，，，只能作一个圆
C．经过点，以的长为半径只能作一个圆
D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆
【答案】B
【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．根据确定圆的条件，逐项分析即可判断．
【详解】解：A、经过点，，，不能作圆，故本选项说法错误，不符合题意；
B、经过点，，，只能作一个圆，说法正确，符合题意；
C、经过点，以的长为半径能作无数个圆，故本选项说法错误，不符合题意；
D、经过点，，以的长为半径能作两个圆，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
【变式2-1】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】本题考查了确定圆的条件，根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得，解题的关键是熟练掌握圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，只要有一段弧，即可确定圆心和半径，
∴小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是，
故选：B．
【变式2-2】平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（　　）
A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4
【答案】C
【分析】根据四个点在平面上不同的位置确定有四种情况，分别讨论构成圆的个数即可得到答案.
【详解】如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆．
故选：C．
【点睛】此题考查点构成圆的个数，点的位置关系，正确分析点的位置关系是解题的关键.
【变式2-3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】考查了确定圆的条件及一次函数图象与点的关系，解题的关键是了解“不在同一直线上的三点确定一个圆”，难度不大．利用待定系数法求出直线的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，由于在直线上，可知答案．
【详解】解：设直线的解析式为，
，
解得，
，
A、当，，故不在直线上，根据不在同一直线三点确定一个圆得与，可以确定一个圆，故本选项不符合题意；
B、当，，同理，故本选项不符合题意；
C、当，，故在直线上，故不能确定一个圆，故本选项符合题意；
D、，，同理，故本选项不符合题意．
故选：C．
【题型3 确定圆心（尺规作图）】
【例3】将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查确定圆的圆心，由题意可知，，，取的中点，连接，，，由勾股定理可得，可知点为、、三点所作圆的圆心，进而可得答案．
【详解】解：由题意可知，，，
取的中点，则，，
连接，，，
由勾股定理可得：，，
∴，
即：点为、、三点所作圆的圆心，
则该圆的半径为，
故答案为：．
【变式3-1】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．则⊙O的半径为 ．
【答案】5
【分析】如图，设交于．解直角三角形求出，再在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：如图，设交于．半径为，
，平分，
，，
，
在中，则有，
解得，
故答案为：5．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式3-2】（24-25九年级上·河南许昌·期中）如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D．
(1)求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)已知：，．求（1）中所作圆的半径．
【答案】(1)见解析
(2)此残片所在圆的半径为10．
【分析】本题考查圆的垂径定理，勾股定理，熟练掌握通过垂径定理找圆心，通过勾股定理构造方程求边长是解题的关键．
（1）由于是弦的垂直平分线，则圆心在直线上，因此连接，圆心在的垂直平分线上，故作的垂直平分线，交于点O，则点O就是所求的圆心；
（2）连接，设半径为x，即，则，根据是的垂直平分线，得到，，因此在中，根据勾股定理构造方程，即可求出x的值，即为此残片所在圆的半径．
【详解】（1）解：如图，点O为所求的圆心．
（2）解：连接，

设半径为x，即，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
，
∴在中，，
即，
解得：，
∴此残片所在圆的半径为10．
【变式3-3】（24-25九年级上·福建福州·期中）“七巧板”是我国古代劳动人民的发明，被誉为“东方魔方”．小洁同学用一个边长为的正方形纸片制作出如图①的七巧板，并拼出如图②的轴对称图形．过该图形的A，B，C三个顶点作圆，则这个圆的半径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了七巧板，正方形的性质，确定圆的条件以及三角形的外接圆与外心，垂直平分交于点，为圆心，连接，先求得，，利用垂径定理求得的长，在中，由勾股定理求解即可，解题的关键是作出适当的辅助线，构造直角三角形．
【详解】解：如图，垂直平分交于点，为圆心，连接，
∵将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，
∴，，
∴，
设该圆的半径长是，则，，
在中，由勾股定理得，
解得，
∴该圆的半径长是，
故选：C．
【题型4 求能确定的圆的个数】
【例4】已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出( )．
A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆
【答案】C
【分析】根据过不共线三点可作一个圆，找出不共线三点的组数即可．
【详解】解：过其中的三点作圆，最多能作出10个，即分别过点ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE的圆．
故选C．
【点睛】本题考查三点共圆问题，掌握查确定圆的个数方法是解题关键．
【变式4-1】如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作 个．
【答案】3
【分析】根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”确定圆的个数即可．
【详解】过A、B、M；A、C、M；B、C、M共能确定3个圆，
故答案为3．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，注：过三点作圆，分两种情况：①三点共线；②三点不共线．
【变式4-2】已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上．
（1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？
（2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？
（3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？
【答案】（1）1个；（2）0个；（3）无数个．
【分析】（1）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点，据此可得答案；
（2）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点；
（3）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心．
【详解】解：（1）如图1，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点，
∴当直线l与直线AB不垂直时，只能作1个圆；
（2）如图2，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点，
∴当直线l与直线AB垂直但不经过AB的中点时，不能作圆；
（3）如图3，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心，
∴当直线l是线段AB的垂直平分线时，能作无数个圆．
【点睛】本题主要考查确定圆的条件，不在同一直线上的三点确定一个圆．即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
【变式4-3】请你在如图所示的12×12的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过169个格点中的 个格点．
【答案】16
【分析】以一个小正方形的中心为圆心．记圆心坐标为（0.5，0.5），取半径为，画图即可解答.
【详解】解：以一个小正方形的中心为圆心．记圆心坐标为（0.5，0.5），取半径为，此圆经过（6，2），（5，4），（4，5），（2，6），（﹣1，6），（﹣3，5），（﹣4，4），（﹣5，2），（﹣5，﹣1），（﹣4，﹣3），（﹣3，﹣4），（﹣1，5），（2，﹣5），（4，﹣4），（5，﹣3），（6，﹣1），共16个格点．
故答案为16
【点睛】本题考查圆的半径，并且在解答是要注意半径与数轴的关系.
【题型5 画圆（尺规作图）】
【例5】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知锐角中，．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线；作的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，的直径为10，则 ．（如需画草图，请使用图2）
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】（1）利用尺规作出的角平分线，作线段的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作即可．
（2）连接，设射线交于E．利用勾股定理求出，，再利用勾股定理求出，可得结论．
【详解】（1）解：如图，射线，即为所求．
（2）解：连接，设射线交于E．
∵，平分，，
∴，，又，
∴，
∴，
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，作角平分线，线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆等知识，解题的关键是正确作出图形，利用勾股定理解决问题．
【变式5-1】求作：，使它经过点B和点C，并且圆心O在的平分线上．
【答案】图见解析
【分析】此题主要考查了尺规作图，圆的基本性质，熟练掌握常见尺规作图是解题的关键．
作圆，即需要先确定其圆心，先作的角平分线，再作线段的垂直平分线相交于点，即点为圆心．
【详解】解：如图，即为所求．
（1）作出的角平分线，
（2）作出线段的垂直平分线交于， ，
（3）即以点为圆心，为半径，作圆，如下图所示：
【变式5-2】（2025·甘肃定西·模拟预测）有趣的倍圆问题：根据圆的面积公式，圆面积扩大的倍数是半径扩大倍数的平方，也就是半径扩大2倍，面积会扩大4倍．
应用：如图，校园里有个圆形花坛，记为，为美化校园，准备春季改造，想把该花坛的面积扩大成原来面积的8倍，但原来花坛在新花坛的内部，请你根据他们的设计的步骤，完成下面的作图题：（按如下步骤完成，保留作图痕迹）
①在中作直径，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在直径上方交于点C，作射线；
②延长直径，在延长线上截取，同样在射线上截取，连接；
③以点O为圆心，的长为半径画圆，大为所求作的花坛．
【答案】见解析
【分析】此题考查了尺规作垂线，尺规作圆，根据题目中的作图方法求解即可．
【详解】如图所示，大为所求作的花坛．
【变式5-3】（2025·江苏扬州·三模）尺规作图：（保留作图痕迹即可）
(1)请在图①中作菱形，使得点E在上，点F在上；（保留作图痕迹即可）
(2)请在图②中以矩形的边为边作菱形，使得点在上；（保留作图痕迹即可）
(3)请在图③中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等．（写出必要的文字说明）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图 复杂作图、菱形的判定、矩形的性质、垂直平分线的性质，理解题意、灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）连接，作的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接，，则四边形为所求；
（2）以点D为圆心，的长为半径画弧，交为点E，再分别以点E、点A为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点F，连接、、，则四边形为所求；
（3）作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得，以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E，再作，作直线，分别交于点、，即可求解．
【详解】（1）解：如图，菱形为所求．
证明如下：∵是的垂直平分线，
∴，，
设与的交点为O，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）如图，菱形即为所求．
证明如下：由作图可得，
∴四边形是菱形．
（3）解：如图，
①作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得；
②以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E；
③作，作直线，分别交于点、．
∴点、即为所求．
证明如下：设与交于点G，
∵，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
由作图可知，
∴，，
由作图可知，
∴，
∴，
∴．
【题型6 三角形的外接圆】
【例6】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知是圆内接等腰三角形，它的底边长是8，若圆的半径是5，则的面积是（ ）
A．32或16 B．32或8 C．8或16 D．24或32
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的外接圆，等腰三角形的性质和勾股定理等知识的综合应用，分类讨论是解答本题的关键；已知是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，若过A作底边的垂线，则所在直线必过圆心O；在中，由勾股定理可求出的长，进而可求出的面积，需注意本题的分锐角和钝角三角形两种情况．
【详解】解：如图①，过A作于D，则必过点O，连接，
在中，，
由勾股定理得：，则，
；
如图②，
同（1）可求得，则，
，
综上，的面积是32或8，
故选：B．
【变式6-1】如图，三角形ABC是⊙O的内接三角形，BO与AC相交于点D，设∠ABC＝m∠ABD﹣45°，∠ADB＝n∠ABD+45°，则m、n的等量关系为 ．
【答案】m＝n+2．
【分析】连接OA、OC，如下图所示，得到∠OAB＝∠ABD＝∠1，∠OCA＝∠OAC＝∠2，∠DBC＝∠OCB＝∠3，进而得到∠1+∠3＝m∠1﹣45°，2∠3+∠2＝n∠1+45°由此即可解出m和n的关系．
【详解】解：设∠ABD＝∠1，∠OAC＝∠2，∠OCB＝∠3，
∵△ABC内接于⊙O，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OAB＝∠ABD＝∠1，∠OCA＝∠OAC＝∠2，∠DBC＝∠OCB＝∠3，
∵∠ABC＝m∠ABD﹣45°，
∴∠1+∠3＝m∠1﹣45°①，
∵∠ADB＝n∠ABD+45°，
∴2∠3+∠2＝n∠1+45°②，
∵∠ABC+∠BCA+∠CAB=180°，
即2∠1+2∠2+2∠3＝180°，
∴∠1+∠2+∠3=90°，
∴由②得∠3＝n∠1+∠1﹣45°＝（n+1）∠1﹣45°③，
把③代入①得：∠1+（n+1）∠1﹣45°＝m∠1﹣45°，
∴（n+2）∠1＝m∠1，
即m＝n+2．
故答案为：m＝n+2．
【点睛】本题借助圆内半径相等得到等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握圆的对称性等基本性质是解决本题的关键．
【变式6-2】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期中）半径为6的是锐角三角形的外接圆，，连接，，延长交弦于点D，若是直角三角形，则弦的长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质；正确的作出图形是解题的关键．如图1，当时，可得是等边三角形，解直角可求解；如图2，当，推出是等腰直角三角形，解可求解．
【详解】解：如图1，当时，
即，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图2，当，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
综上所述：若是直角三角形，则弦的长为或，
故答案为：或．
【变式6-3】数学活动课上，九（1）班同学在研究（）和等腰（）的外接圆时，有以下发现：
小明说“当时，这两个三角形的外接圆是等圆”；
小刚说“当，时，这两个三角形的外接圆是等圆”．
你认为说法正确的是（ ）
A．小明对小刚不对 B．小刚对小明不对
C．小明小刚都对 D．小明小刚都不对
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形外接圆的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、三角形三边关系，记外接圆圆心为（如图1），外接圆圆心为（如图2），设，则，，证明，，再证明，即可判断小明的说法，画出图形，利用三角形三边关系即可判断小刚的说法，得到答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，
，
记外接圆圆心为（如图1），外接圆圆心为（如图2），
设，则，
为等腰三角形，
在底边的垂直平分线上，
由等腰三角形的三线合一可得：平分，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，故小明说法正确，
如图，当，时，由三角形三边关系可得：，故小刚说法错误，
故选：A．
【题型7 求三角形外心坐标】
【例7】（24-25九年级上·河南洛阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过原点三点，则下列说法中错误的是（ ）
A．这条圆弧所在圆的半径为 B．这条圆弧所在圆的圆心为
C．点在这条圆弧所在圆上 D．点在这条圆弧所在圆上
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的外接圆、点和圆的位置关系、勾股定理等内容,熟练掌握相关知识是解题的关键．
根据点与圆的位置关系，确定圆的条件及勾股定理计算解答即可．
【详解】解：如图，连接，作的垂直平分线，垂足分别为，相交于点，
则点为圆弧所在圆的圆心，
,
，
，
故选项B正确，
连接，
，
这条圆弧所在圆的半径为，
故选项A正确，
连接，
，
点在这条圆弧所在圆上，
故选项C正确，
，
，
，
点在这条圆弧所在圆外，
故选项D错误，
故选： D．
【变式7-1】（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在由小正方形组成的网格图中建立一个平面直角坐标系，一条圆弧经过格点，，．圆心为，则的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查垂径定理，点的坐标，通过作图，确定圆心的位置是解题的关键．
找到，的垂直平分线的交点即为圆心，再求其坐标即可．
【详解】解：如图，连接，分别作，的垂直平分线交于点，
由图可得点坐标为，
故答案为：；
【变式7-2】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，则的外心坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是三角形是外接圆与外心，掌握圆周角定理、直角三角形外心的定义是解题的关键．
根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A，点B的坐标，再根据直角三角形外心是斜边的中点解答即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，当时，，解得：，
∴直线于x轴的交点A的坐标为，于y轴的交点B的坐标为，
∵，
∴为直角三角形，
∴的外心为斜边的中点，即，
故答案为：．
【变式7-3】如图，，，，，则外心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，取格点，，，，且直线是线段的垂直平分线，四边形是正方形，则可得，的交点为为的外心，再分别求解，的解析式即可得到答案．
【详解】解：如图，取格点，，，，则直线是线段的垂直平分线，四边形是正方形，
∴直线是线段的垂直平分线，
记，的交点为，则为的外心，
∵，，，
∴直线为，，，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为，
当时，，
∴，即的外心坐标为：．
故选C．
【点睛】本题考查的是坐标与图形，正方形的性质，三角形的外心的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握“三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点”是解本题的关键．
【题型8 求三角形外接圆的半径】
【例8】如图所示，的三个顶点的坐标分别为、、，则外接圆半径的长为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】三角形的外心是三边垂直平分线的交点，设的外心为M，由B，C的坐标可知M必在直线上，由图可知线段的垂直平分线经过点，由此可得，过点M作于点D，连接，由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：设的外心为M，
、，
M必在直线上，
由图可知，线段的垂直平分线经过点，
，
如图，过点M作于点D，连接，
中，，，
由勾股定理得：，
即外接圆半径的长为．
故选D．
【点睛】本题考查求三角形外接圆的半径，能够根据网格和三角形顶点坐标判断出外心的位置是解题的关键．
【变式8-1】把一条长2m的铁丝折成顶角为的等腰三角形，那么这个三角形外接圆的半径为 m．
【答案】
【分析】设等腰的外接圆圆心为O，连接，交于点D，则，，故，再求证是等边三角形，得，则，设，则，再由勾股定理即可求解．
【详解】如图，设等腰的外接圆圆心为O，连接，交于点D，
则，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
由题意得：，
解得：，
即这个三角形的外接圆半径为：
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形外接圆、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及勾股定理等知识，熟练掌握知识点是解题关键．
【变式8-2】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在中，，，，点D，E，F分别是，，的中点，则的外接圆半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形的中位线定理，在中，利用勾股定理可得，然后利用三角形的中位线定理可得：，，，从而利用平行线的性质可得，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【详解】如图：
∵，，，
∴，
∵点E，F分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵点D，E分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵点D，F分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴外接圆半径，
故答案为：．
【变式8-3】如图，在中，，点为上一点，，则的外接圆半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先作辅助线，再根据三角形外接圆的性质以及垂径定理可以得到、、三者之间的关系，最后利用勾股定理求出外接圆的半径．
【详解】解：如图所示
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∵，
∴，
∴在与中
∴
∴
∴
∴作，垂足为
则
∴过外接圆圆心，设圆心为，连接
∵，
∴
∵，
∴
∴，
∴设，则
∴在中
即
∴
∴外接圆的半径为：
故选
【点睛】本题考查的是三角形外接圆的性质，等腰三角形的性质：等边对等角，全等三角形性质和判定等相关知识点，利用三角形外接圆的性质做出辅助线是解题的关键．
【题型9 最小覆盖圆】
【例9】我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．
（1）请分别作出下图中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）．
【答案】(1)见解析;(2) 锐角三角形（和直角三角形）的最小覆盖圆是其外接圆；钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆
【分析】第一个三角形是锐角三角形，那么它的最小覆盖圆应该是三角形ABC的外接圆；
第二个三角形是钝角三角形，那么它的最小覆盖圆应该是以BC为直径的圆．
【详解】解：（1）如图；
（2）锐角三角形（和直角三角形）的最小覆盖圆是其外接圆；钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆；
【点睛】本题结合三角形外接圆的性质作图，关键要懂得何为最小覆盖圆．知道若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆．
【变式9-1】如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形的外接圆，勾股定理．根据题意可得能够完全覆盖这个三角形的最小圆为外接圆，圆心位于和的垂直平分线的交点处，求出，即可求解．
【详解】解：如图，均为网格的对角线长，，故点为外接圆的圆心，则为半径，

故能完全覆盖该三角形的最小圆面的半径是．
故答案为：．
【变式9-2】△ABC中，AB = AC = 10 cm，BC = 16 cm，若要剪一张圆形纸片盖住这个三角形，则圆形纸片的最小半径为 cm．
【答案】
【分析】若要剪一张圆形纸片盖住这个三角形，则圆形纸片的最小半径为该三角形外接圆的半径，如下图所示，设该圆的圆心为O，连接AO并延长交BC于D，连接OB，根据题意即可求出BD，利用勾股定理即可求出AD，设圆O的半径为r，利用勾股定理列出方程即可求出结论．
【详解】解：若要剪一张圆形纸片盖住这个三角形，则圆形纸片的最小半径为该三角形外接圆的半径，如下图所示，设该圆的圆心为O，连接AO并延长交BC于D，连接OB
∵AB = AC = 10 cm，BC = 16 cm，O为ABC外接圆的圆心
∴AD垂直平分BC，
∴BD=BC=8
在RtABD中，AD=
设圆O的半径为r，则OA=OB=r，OD=AD－OA=6-r
在RtOBD中，OB2=OD2＋BD2
即r2=（6-r）2＋82
解得：r=
即圆形纸片的最小半径为cm
故答案为：．
【点睛】此题考查的是三角形外接圆的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，掌握三角形外接圆的性质、等腰三角形的性质和勾股定理是解决此题的关键．
【变式9-3】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，平面直角坐标系中有一个．
(1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心O，并写出圆心坐标是______；
(2)判断点与的位置关系，说明理由；
(3)最小覆盖圆的半径为______．
【答案】(1)，图见解析
(2)点在圆外
(3)
【分析】（1）分别作边的垂直平分线，交点即为圆心O；
（2）用勾股定理分别求出，，比较即可；
（3）取中点P，连接，最小覆盖圆的半径为的长，用勾股定理求解即可．
【详解】（1）
分别作边的垂直平分线，相交于点
（2）∵，
∴
由图可得：
∴
∴
∴点在圆外；
（3）取中点P，连接，
最小覆盖圆的半径为的长，
∴
【点睛】本题考查勾股定理，点与圆的位置关系，三角形的外接圆等，灵活运用所学知识是关键．
【题型10 反证法】
【例10】（24-25八年级上·福建泉州·期末）阅读正文并解答下列问题：
如图，已知在中，，求证：．
证明：假设，
①若，则在上取点D，连接，使．
∵，
∴；
在上取点E，使，则，
即：，
∴．
这与已知相矛盾，
∴假设不成立；
②若，
…
综上，．
(1)上述证明过程采用的方法是_________（填写：“A”或“B”）；
A．直接证明法； B．反证法．
(2)请你补充②中所缺失的部分．
【答案】(1)B
(2)见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，反证法：
（1）根据证明过程即可得到答案；
（2）根据等角对等边可得，这与已知相矛盾，据此可得结论．
【详解】（1）解：由证明过程可知，上述证明过程采用的方法是反证法，
故选：B；
（2）证明：若，
∴，这与已知相矛盾，
综上，．
【变式10-1】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角不小于”时，应先假设这个三角形中（ ）
A．内角都不小于 B．锐角都不大于
C．内角都小于 D．锐角都大于
【答案】C
【分析】本题考查反证法的应用，反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，即假设其反面成立，原命题为“在三角形中，至少有一个内角不小于”，其反面应为“在三角形，中所有内角都小于”。
【详解】解：原命题“在三角形中，至少有一个内角不小于”的否定是“在三角形中，所有内角都小于”，因此应先假设这个三角形中内角都小于．
故选：C．
【变式10-2】（24-25八年级下·山西运城·期中）用反证法证明命题：“如果，那么”．如图，若假设b与c相交于点P，则需要推出的矛盾为（ ）
A．两点确定一条直线
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．同位角相等，两直线平行
【答案】C
【分析】本题考查的是反证法，平行线的性质与判定，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．利用反证法若假设b与c相交于点P，可得过直线外一点，有两条直线和与直线平行，与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾，即可得到答案．
【详解】解：命题：“如果，那么”．
若假设b与c相交于点P，
，即过直线外一点，有两条直线和与直线平行，
则与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾，
故选：C．
【变式10-3】证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度．
【答案】见解析
【分析】当条件较少，无法直接证明时，可用反证法证明；先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．
【详解】证明：假设在一个三角形中没有一个角小于或等于60°，即都大于60°；
那么，这个三角形的三个内角之和就会大于180°；
这与定理“三角形的三个内角之和等于180°”相矛盾，原命题正确．
【点睛】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题24.5 点和圆的位置关系（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 点和圆的位置关系】 3
【题型2 判断确定圆的条件】 3
【题型3 确定圆心（尺规作图）】 4
【题型4 求能确定的圆的个数】 6
【题型5 画圆（尺规作图）】 6
【题型6 三角形的外接圆】 7
【题型7 求三角形外心坐标】 8
【题型8 求三角形外接圆的半径】 9
【题型9 最小覆盖圆】 10
【题型10 反证法】 11
知识点1 点与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为
知识点2 三角形的外接圆
圆的确定
不在同一条直线上的三点确定一个圆.
经过不在同一条直线上的三个点（A，B，C）作圆的一般步骤：
如图，（1）连接AB，BC；
（2）分别作AB，BC的垂直平分线EF，HG，交于点O；
（3）以交点O为圆心，以交点到三点中任意一点的距离为半径作圆，⊙O即为所求．
2. 三角形的外接圆
（1）经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
（2）三角形的外心，是外接圆的圆心，是三角形三条边的垂直平分线的交点．
（3）三角形的外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径．
（4）三角形的外心的位置
类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
图示
位置 外心在三角形内部 外心是斜边的中点 外心在三角形外部
知识点3 反证法
1. 概念：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
2. 常见的矛盾类型
（1）与所学定义、定理以及基本事实相矛盾；
（2）与已知条件相矛盾；
（3）自相矛盾．
3. 用反证法证明命题的一般步骤
【题型1 点和圆的位置关系】
【例1】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（ ）
A．都不在 B．只有 C．只有 D．
【变式1-1】（2025·上海黄浦·二模）已知点在半径为5的内，那么点到圆心的距离不可能是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【变式1-2】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，，，若以为圆心，为半径画，请根据下列条件，求半径的值或取值范围．
(1)与斜边有1个公共交点；
(2)与斜边有2个公共交点；
(3)与斜边没有公共交点．
【变式1-3】已知矩形中，，以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，则r的取值范围为（ ）

A． B． C． D．
【题型2 判断确定圆的条件】
【例2】（2025·福建厦门·二模）如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（ ）
A．经过点，，，只能作一个圆
B．经过点，，，只能作一个圆
C．经过点，以的长为半径只能作一个圆
D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆
【变式2-1】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【变式2-2】平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（　　）
A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4
【变式2-3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是（ ）
A． B． C． D．
【题型3 确定圆心（尺规作图）】
【例3】将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ．
【变式3-1】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．则⊙O的半径为 ．
【变式3-2】（24-25九年级上·河南许昌·期中）如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D．
(1)求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)已知：，．求（1）中所作圆的半径．
【变式3-3】（24-25九年级上·福建福州·期中）“七巧板”是我国古代劳动人民的发明，被誉为“东方魔方”．小洁同学用一个边长为的正方形纸片制作出如图①的七巧板，并拼出如图②的轴对称图形．过该图形的A，B，C三个顶点作圆，则这个圆的半径长为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 求能确定的圆的个数】
【例4】已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出( )．
A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆
【变式4-1】如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作 个．
【变式4-2】已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上．
（1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？
（2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？
（3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？
【变式4-3】请你在如图所示的12×12的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过169个格点中的 个格点．
【题型5 画圆（尺规作图）】
【例5】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知锐角中，．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线；作的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，的直径为10，则 ．（如需画草图，请使用图2）
【变式5-1】求作：，使它经过点B和点C，并且圆心O在的平分线上．
【变式5-2】（2025·甘肃定西·模拟预测）有趣的倍圆问题：根据圆的面积公式，圆面积扩大的倍数是半径扩大倍数的平方，也就是半径扩大2倍，面积会扩大4倍．
应用：如图，校园里有个圆形花坛，记为，为美化校园，准备春季改造，想把该花坛的面积扩大成原来面积的8倍，但原来花坛在新花坛的内部，请你根据他们的设计的步骤，完成下面的作图题：（按如下步骤完成，保留作图痕迹）
①在中作直径，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在直径上方交于点C，作射线；
②延长直径，在延长线上截取，同样在射线上截取，连接；
③以点O为圆心，的长为半径画圆，大为所求作的花坛．
【变式5-3】（2025·江苏扬州·三模）尺规作图：（保留作图痕迹即可）
(1)请在图①中作菱形，使得点E在上，点F在上；（保留作图痕迹即可）
(2)请在图②中以矩形的边为边作菱形，使得点在上；（保留作图痕迹即可）
(3)请在图③中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等．（写出必要的文字说明）
【题型6 三角形的外接圆】
【例6】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知是圆内接等腰三角形，它的底边长是8，若圆的半径是5，则的面积是（ ）
A．32或16 B．32或8 C．8或16 D．24或32
【变式6-1】如图，三角形ABC是⊙O的内接三角形，BO与AC相交于点D，设∠ABC＝m∠ABD﹣45°，∠ADB＝n∠ABD+45°，则m、n的等量关系为 ．
【变式6-2】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期中）半径为6的是锐角三角形的外接圆，，连接，，延长交弦于点D，若是直角三角形，则弦的长为 ．
【变式6-3】数学活动课上，九（1）班同学在研究（）和等腰（）的外接圆时，有以下发现：
小明说“当时，这两个三角形的外接圆是等圆”；
小刚说“当，时，这两个三角形的外接圆是等圆”．
你认为说法正确的是（ ）
A．小明对小刚不对 B．小刚对小明不对
C．小明小刚都对 D．小明小刚都不对
【题型7 求三角形外心坐标】
【例7】（24-25九年级上·河南洛阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过原点三点，则下列说法中错误的是（ ）
A．这条圆弧所在圆的半径为 B．这条圆弧所在圆的圆心为
C．点在这条圆弧所在圆上 D．点在这条圆弧所在圆上
【变式7-1】（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在由小正方形组成的网格图中建立一个平面直角坐标系，一条圆弧经过格点，，．圆心为，则的坐标是 ．
【变式7-2】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，则的外心坐标是 ．
【变式7-3】如图，，，，，则外心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【题型8 求三角形外接圆的半径】
【例8】如图所示，的三个顶点的坐标分别为、、，则外接圆半径的长为（ ）.
A． B． C． D．
【变式8-1】把一条长2m的铁丝折成顶角为的等腰三角形，那么这个三角形外接圆的半径为 m．
【变式8-2】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在中，，，，点D，E，F分别是，，的中点，则的外接圆半径为 ．
【变式8-3】如图，在中，，点为上一点，，则的外接圆半径为（ ）
A． B． C． D．
【题型9 最小覆盖圆】
【例9】我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．
（1）请分别作出下图中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）．
【变式9-1】如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ．
【变式9-2】△ABC中，AB = AC = 10 cm，BC = 16 cm，若要剪一张圆形纸片盖住这个三角形，则圆形纸片的最小半径为 cm．
【变式9-3】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，平面直角坐标系中有一个．
(1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心O，并写出圆心坐标是______；
(2)判断点与的位置关系，说明理由；
(3)最小覆盖圆的半径为______．
【题型10 反证法】
【例10】（24-25八年级上·福建泉州·期末）阅读正文并解答下列问题：
如图，已知在中，，求证：．
证明：假设，
①若，则在上取点D，连接，使．
∵，
∴；
在上取点E，使，则，
即：，
∴．
这与已知相矛盾，
∴假设不成立；
②若，
…
综上，．
(1)上述证明过程采用的方法是_________（填写：“A”或“B”）；
A．直接证明法； B．反证法．
(2)请你补充②中所缺失的部分．
【变式10-1】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角不小于”时，应先假设这个三角形中（ ）
A．内角都不小于 B．锐角都不大于
C．内角都小于 D．锐角都大于
【变式10-2】（24-25八年级下·山西运城·期中）用反证法证明命题：“如果，那么”．如图，若假设b与c相交于点P，则需要推出的矛盾为（ ）
A．两点确定一条直线
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．同位角相等，两直线平行
【变式10-3】证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度．
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