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第二十二章 二次函数·拔尖卷
【人教版】
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如果函数是二次函数，那么m的值一定是（ ）
A．0 B．3 C．0或3 D．1或2
2．（3分）（24-25八年级下·福建福州·期末）已知二次函数，若对于范围内的任意自变量，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
4．（3分）（24-25九年级下·安徽淮北·期中）已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，将二次函数的图象向右平移个单位，图象经过点，在平移后的图象上，当时，函数的最小值为，则n的值是（ ）
A．或 B．或 C．1 D．
5．（3分）（24-25九年级下·河南驻马店·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点，都在轴上，平行于轴的直线与两条抛物线相交于，，，四点，若，，，则的长度为（ ）
A．4 B． C．3 D．
6．（3分）（2024·陕西咸阳·一模）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象过点，且与轴有两个交点，则该二次函数图象的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ）

A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值
C．当时， D．当时，
8．（3分）（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，与轴交于点，直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是（ ）
A．18 B．20 C．36 D．24
9．（3分）（2025·河南驻马店·三模）如图，在边长为的正方形中，动点P从点A出发沿A→B的方向以1 cm/s的速度运动；同时，动点Q从点D出发沿D→C→B的方向以的速度运动．当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动．设的面积为y（），运动时间为x（），下列能大致反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
B．
C． D．
10．（3分）（24-25九年级上·广东惠州·期中）抛物线的对称轴为直线，其部分图象交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，如图所示，则下列结论：
①；
②；
③（m为任意实数）；
④点，，是该抛物线上的点，且．
其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24九年级上·浙江·期中）二次函数的函数值自变量之间的部分对应值如表：此函数图象的开口方向是 (填“向上”或“向下”)；当时， ．
12．（3分）（2025·山东临沂·二模）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是 ．
13．（3分）（2025·安徽滁州·三模）已知抛物线 的对称轴为直线．
（1）的值为 ．
（2）若抛物线 向下平移个单位长度后，在范围内与轴只有一个交点，则的取值范围是 ．
14．（3分）（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，一古桥的桥洞可近似看成抛物线型，其解析式为，现要对这座古桥进行加固，须临时安装一些垂直于地面的支撑杆，要求相邻支撑杆之间的距离为，但最边缘的支撑杆到桥洞底部的的距离可以不大于，即图中，，则最多可安装支撑杆 条．

15．（3分）（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，点是正方形的边上的一个动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，面积的最小值为 ．
16．（3分）（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）二次函数为常数，且经过，一次函数经过，一次函数经过．已知，，其中为整数，则的值为 ．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线，设该抛物线的对称轴为．
(1)若，求该抛物线的对称轴；
(2)已知，抛物线上，若对于，，都有，求的取值范围．
18．（6分）（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：经过，与y轴交于点B，连接，．
(1)求a的值及点B的坐标；
(2)将抛物线L平移得到抛物线，设平移后点A，B的对应点分别为，若平移后抛物线的顶点落在x轴上，且，求平移后抛物线的表达式．
19．小朋在学习过程中遇到一个函数．
下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：
(1)观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是全体实数，并且y有______值（填“最大”或“最小”），这个值是______；
(2)进一步研究，当时，y与x的几组对应值如下表：
x 0 1 2 3 4 …
y 0 2 1 0 2 …
结合上表，画出当时，函数的图像；
(3)结合（1）（2）的分析，解决问题：
若关于x的方程有一个实数根为2，则该方程其它的实数根约为______（结果保留小数点后一位）．
20．（8分）（2025·海南海口·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与x轴的另一个交点为点C，其顶点D的横坐标为1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求四边形的面积；
(3)若直线与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得有最大值，并求出最大值；
(4)当时，二次函数的最大值与最小值的差为9，求n的取值范围．
21．（10分）（2025·福建龙岩·模拟预测）已知二次函数（，为常数，）．
(1)求证：若该函数的图象与轴一定有两个不同的交点；
(2)若，，该函数图象经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，求的取值范围．
(3)若该二次函数满足：当时，总有随的增大而减小，且图象经过点，求的最大值．
22．（10分）（24-25八年级下·广西南宁·期末）综合与实践
项目式学习：安全用电，防患未然
项目背景 近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升．据悉，约的火灾都在充电时发生．某校八年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．
素材1 调查分析：图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2是其喷射截面示意图，在中，米，喷嘴O到地面的距离米．
素材2 模型构建：由于干粉灭火器只能扑灭明火，不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头，如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线． 学校的停车棚左侧靠墙建造，如图4，其截面示意图为矩形，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 已知消防喷淋头的出水口M到墙面的水平距离为2米，到地面高度为米，即米，米，水喷射到墙面D处，且米．
素材3 问题解决：已知车棚宽度为8米，电动车的电池距离地面高度为米．创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池．
任务解决
任务1 （1）求图2中地面有效保护直径的长度；
任务2 （2）求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； （3）按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径为多少米？
任务3 （4）喷淋头N距离喷淋头M至少为多少米？
23．（12分）（2025·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是x轴下方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标为m．
(1)请直接写出b，c的值；
(2)如图，当时，求m的值；
(3)过点P作y轴的平行线交于点M，点N在上，且，的长记为l．
①求l关于m的函数解析式；
②当l取某一个值时，是否存在三个符合条件的点P，其中两个点的横坐标之差为1？若存在，求出此时l的值；若不存在，请说明理由．
24．（12分）（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，与轴交于点，点关于抛物线对称轴的对称点是点，且点的横坐标与纵坐标相等．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)直线与抛物线交于点，与线段交于点（不与点、重合），那么的值是否随的变化而变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，试说明如何变化；
(3)上下平移该抛物线，如果新抛物线上存在点，轴上存在点，使得四边形是菱形，求新抛物线的表达式．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第二十二章 二次函数·拔尖卷
【人教版】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如果函数是二次函数，那么m的值一定是（ ）
A．0 B．3 C．0或3 D．1或2
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的定义、一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的定义是解题关键．先根据二次函数的定义可得，且，再解一元二次方程即可得．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴，且，
解得或（舍去），
故选：A．
2．（3分）（24-25八年级下·福建福州·期末）已知二次函数，若对于范围内的任意自变量，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由，可得抛物线的对称轴是直线，又抛物线开口向上，故当时，y随x的增大而增大，又对于范围内的任意自变量x，都有，从而，再结合，进而可以得解．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴是直线．
又抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大．
又∵对于范围内的任意自变量x，都有，
∴，
∴，
又，
∴，
故选：D．
3．（3分）（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的综合判断，熟练掌握一次函数及二次函数的图象与性质是解题的关键．分别对各选项中二次函数的开口方向、对称轴及一次函数所经过的象限进行分析，即可判断答案．
【详解】A、二次函数的图象开口向上，，则一次函数的图象经过一、三、四象限，故选项A错误；
对于B，C，D，由一次函数的图象可得，则二次函数的图象应开口向上，对称轴是，应在y轴右侧，故B选项正确，C，D选项错误．
故选B．
4．（3分）（24-25九年级下·安徽淮北·期中）已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，将二次函数的图象向右平移个单位，图象经过点，在平移后的图象上，当时，函数的最小值为，则n的值是（ ）
A．或 B．或 C．1 D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数的平移及最值问题．首先确定平移后的函数解析式，再根据二次函数的性质得到最小值的位置，进而求解n的值即可．
【详解】解：原二次函数顶点为，设解析式为，
代入点得，即，
向右平移个单位后，解析式为，
代入点得方程，
解得，
∴平移后函数为，对称轴为直线，顶点坐标为，
解方程，得或，
∵当时，函数的最小值为，
∴必须包含或，且不跨越对称轴（否则最小值在顶点处为），
∴或，
解得或，
故选：A．
5．（3分）（24-25九年级下·河南驻马店·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点，都在轴上，平行于轴的直线与两条抛物线相交于，，，四点，若，，，则的长度为（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查中点坐标公式，熟练掌握中点公式是解题的关键．设的长度为，则，，，，求出，，即可得到答案．
【详解】解：设平行于轴的直线与轴交于点．
设的长度为，则，，，．
由中点公式可得，．
．
故选：D．
6．（3分）（2024·陕西咸阳·一模）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象过点，且与轴有两个交点，则该二次函数图象的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质，先把点A坐标代入解析式，求出或，再根据二次函数与轴有两个交点可求出，则，据此求出二次函数解析式，并化为顶点式求出顶点坐标即可．
【详解】解：∵二次函数（为常数）的图象过点，
∴，
解得或，
∵二次函数与轴有两个交点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为，
∴该二次函数图象的顶点坐标为，
故选：C．
7．（3分）（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ）

A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值
C．当时， D．当时，
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项．
【详解】解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意；
B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意；
C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意；
D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意．
故选B．
8．（3分）（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，与轴交于点，直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是（ ）
A．18 B．20 C．36 D．24
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的平移问题，根据平移得出二次函数关系式，是解题的关键．先求出的坐标，得出抛物线向右每次平移的距离为4，根据二次函数为零时两个根的关系即可解答．
【详解】解：将代入抛物线，
得或，即，
故抛物线向右每次平移距离为4，
设，，，，，的横坐标分别为，，，，，，
，同时在抛物线和直线上，
即，的横坐标为的根，
，
，
，
直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和．
故选C．
9．（3分）（2025·河南驻马店·三模）如图，在边长为的正方形中，动点P从点A出发沿A→B的方向以1 cm/s的速度运动；同时，动点Q从点D出发沿D→C→B的方向以的速度运动．当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动．设的面积为y（），运动时间为x（），下列能大致反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与二次函数，正方形的性质，动点问题，正确作出图形是解题的关键。
根据点Q所在正方形的不同边上，分类讨论，逐一计算，即可解答。
【详解】解：①当点Q在上时，如图
有，，
∴（）．
此时y与x之间的函数为一次函数．
②当点Q在上时，如图
有，，
∴，
∴（）．
此时y与x之间的函数为二次函数．
综上所述，符合当时，图像为一次函数；时，图像为二次函数，只有B选项．
故选B．
10．（3分）（24-25九年级上·广东惠州·期中）抛物线的对称轴为直线，其部分图象交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，如图所示，则下列结论：
①；
②；
③（m为任意实数）；
④点，，是该抛物线上的点，且．
其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】本题考查图象与二次函数系数之间的关系．由抛物线的图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知与0的关系，可判断①；根据对称轴推理a、b关系，可判断②；根据当时，抛物线有最大值，即得出对于任意实数m均有，可判断③；根据抛物线的递增情况，判断函数值的大小，可判断④．
【详解】解：①图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知，正确；
②抛物线的对称轴为直线，即，
∴，正确；
③图象开口向下，对称轴为直线，
∴时，有最大值，对于任意实数m均有，即，正确；
④∵在抛物线上的对称点为，
∵，
∴，错误；
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24九年级上·浙江·期中）二次函数的函数值自变量之间的部分对应值如表：此函数图象的开口方向是 (填“向上”或“向下”)；当时， ．
【答案】 向上
【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并理解是关键．依据题意，根据抛物线的对称性，、时的函数值相等，然后列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，、时的函数值都是相等，
此函数图象的对称轴为直线，即直线．
又当时，随的增大而减小，
抛物线开口向上．
抛物线的对称轴是直线，
当时与当时的函数值相等．
当时，，
当时，．
故答案为：向上，．
12．（3分）（2025·山东临沂·二模）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，
先配方可得抛物线的性质，再根据题意得，求出解集即可．
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线开口向上，对称轴是，当时，有最小值，离对称轴越远函数值越大．
∵，当时，函数取最大值，当时，函数取最小值，
∴，
解得．
故答案为：．
13．（3分）（2025·安徽滁州·三模）已知抛物线 的对称轴为直线．
（1）的值为 ．
（2）若抛物线 向下平移个单位长度后，在范围内与轴只有一个交点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由题意可知，求出的值即可；
（）由题意可知平移后函数解析式为，然后通过二次函数的平移，二次函数的性质即可求解．
【详解】（）由题意可知，
解得，
故答案为：；
（）由题意可知平移后函数解析式为，
当顶点在轴上时，，
解得，即需向上平移个单位长度，不符合条件；
由于抛物线关于对称，
∴抛物线在内对称，
若存在交点，始终有两个交点，若只有一个交点，则抛物线与轴交点只能在，
故当时，，解得，
当时，，解得，
∴的取值范围是，
故答案为：．
14．（3分）（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，一古桥的桥洞可近似看成抛物线型，其解析式为，现要对这座古桥进行加固，须临时安装一些垂直于地面的支撑杆，要求相邻支撑杆之间的距离为，但最边缘的支撑杆到桥洞底部的的距离可以不大于，即图中，，则最多可安装支撑杆 条．

【答案】14
【分析】本题考查二次函数的应用，关键是利用数形结合的思想解答．
令，求出的值，然后结合实际情况得出结论．
【详解】解：令，则，
解得或，
∴，
∵相邻支撑杆之间的距离为，，，
∴在轴右侧，共7条，
同理在轴左侧最多安装7条，
∴最多可安装支撑杆14条，
故答案为：14．
15．（3分）（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，点是正方形的边上的一个动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，面积的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次函数的应用、正方形性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题关键，过点F作交延长线于点H，先证，设，用含a的式子表示，再根据二次函数性质求最值即可．
【详解】解：过点F作交延长线于点H，
，
在正方形中，，
，
，
四边形是直角梯形，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
面积的最小值为，
故答案为：．
16．（3分）（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）二次函数为常数，且经过，一次函数经过，一次函数经过．已知，，其中为整数，则的值为 ．
【答案】或5/5或
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合．根据二次函数对称轴的性质，一次函数与坐标轴的交点坐标列式计算即可．
【详解】解∶∵二次函数为常数，且经过，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵一次函数经过，一次函数经过．
∴，
当时，
，，
∴，，
∵，，为整数，
∴ ，
此时；
当时，，，
，，
∴，，
∵，，为整数，
∴ ，
此时；
故答案为：或5
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线，设该抛物线的对称轴为．
(1)若，求该抛物线的对称轴；
(2)已知，抛物线上，若对于，，都有，求的取值范围．
【答案】(1)直线
(2)
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
（1）把代入，再将函数解析式化成顶点式，即可求解；
（2）根据题意，得抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为，由抛物线的性质得当时，y 随x增大而增大，当时，y 随x增大而减小，再根据，，则当点A在点B左侧时，则，当点A在点B右侧时，则．然后分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴抛物线的对称轴为直线．
（2）解：∵
∴抛物线的开口向上，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，
∵，，
当点在点左侧时，即，
∴，
当点在点右侧时，即，
∴．
①当，即时，此时点在对称轴右侧或顶点处，
当点在点左侧时，即，
由图象知，恒成立，
即时符合题意；
当点在点右侧时，即，
则，
∵关于对称轴的对称点，
此时要使，应有：，
化简得：，
又∵，
∴应有，
即；
综上，；
②当，即时，此时点在对称轴左侧，
当点在点左侧时，即，
则，
∵关于对称轴的对称点，
此时要使，应有：，
化简得：，
又∵，
∴，
即；
当点在点右侧时，即，
由图象知，恒成立，
∴；
综上：；
由①②得，．
18．（6分）（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：经过，与y轴交于点B，连接，．
(1)求a的值及点B的坐标；
(2)将抛物线L平移得到抛物线，设平移后点A，B的对应点分别为，若平移后抛物线的顶点落在x轴上，且，求平移后抛物线的表达式．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意，将点代入抛物线中，则可得的值，进而可得抛物线的表达式为，然后令，则，进而可得的坐标；
（2）依据题意，由（1）抛物线的表达式为，可得抛物线的顶点坐标为，又平移后抛物线的顶点落在轴上，故抛物线向下平移了4个单位，则可设平移后抛物线的表达式为，结合，可得点的纵坐标均为，故点的横坐标为，点的横坐标为，从而，又，则，求出后即可判断得解．
【详解】（1）解：由题意，将点代入抛物线中，
，
，
∴抛物线的表达式为，
∴令，则，
∴；
（2）由题意，∵抛物线的表达式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵平移后抛物线的顶点落在轴上，
∴抛物线向下平移了4个单位，
∴可设平移后抛物线的表达式为，
，
∴点，的纵坐标均为，
∴点的横坐标为，点的横坐标为，
，
又∵，
，
∴或，
∴平移后抛物线的表达式为或．
19．（8分）小朋在学习过程中遇到一个函数．
下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：
(1)观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是全体实数，并且y有______值（填“最大”或“最小”），这个值是______；
(2)进一步研究，当时，y与x的几组对应值如下表：
x 0 1 2 3 4 …
y 0 2 1 0 2 …
结合上表，画出当时，函数的图像；
(3)结合（1）（2）的分析，解决问题：
若关于x的方程有一个实数根为2，则该方程其它的实数根约为______（结果保留小数点后一位）．
【答案】(1)最小；0
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据解析式 ，即可求解；
（2）根据描点法画函数图像；
（3）根据图像法求解即可，作经过点的直线，与的另一个交点的横坐标即为方程的解
【详解】（1）解：∵ ，
∴y有最小值，这个值是0；
故答案为：最小；0
（2）根据列表，描点连线，如图，
（3）依题意，有一个实数根为2，
则过点
的解即为与的交点的横坐标，
且过点
如图，作过点的直线，与交于点
根据函数图像的交点可知点的横坐标约为
则该方程其它的实数根约为
故答案为：
【点睛】本题考查了绝对值与平方的非负性，根据列表描点连线画函数图像，根据函数图像的交点求方程的解，数形结合是解题的关键．
20．（8分）（2025·海南海口·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与x轴的另一个交点为点C，其顶点D的横坐标为1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求四边形的面积；
(3)若直线与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得有最大值，并求出最大值；
(4)当时，二次函数的最大值与最小值的差为9，求n的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)时，最大值为
(4)
【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）根据顶点横坐标为1可得对称轴为直线，据此利用对称轴计算公式结合待定系数法求解即可；
（2）求出C、D的坐标，连接，根据列式求解即可；
（3）求出的长，进而求出的长，再利用二次函数的性质求解即可；
（4）分，，，三种情况根据二次函数的增减性，表示出对应情形下函数的最大值和最小值，结合最大值与最小值的差为9讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和，且顶点横坐标为1，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为．
（2）解：令，则，解得，，
∴，
当时，，
∴，
如图所示，连接，
∵，，，
∴．
（3）解：当时，，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为．
（4）解：∵对称轴为直线，
∴抛物线上横坐标为的点关于直线的对称点的横坐标为4，
①当时，
当时，最大值为，
当时，最小值为，
∴，解得（舍）．
②当时，
当时，最大值为4，当时，最小值为，
∴，
∴；
③当时，
当时，最大值为4，当时，最小值为，
∴，
∴（舍），（舍）
综上所述，n的取值范围为．
21．（10分）（2025·福建龙岩·模拟预测）已知二次函数（，为常数，）．
(1)求证：若该函数的图象与轴一定有两个不同的交点；
(2)若，，该函数图象经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，求的取值范围．
(3)若该二次函数满足：当时，总有随的增大而减小，且图象经过点，求的最大值．
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与轴交点，二次函数的最值，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由，，即可求解；
（）若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则应用数形结合和分类讨论，得到当时，，可求解得； 时，，可求解得无解集；从而得出；
（）通过数形结合和分类讨论，得到当时，总有随的增大而减小，则，；由该抛物线经过点得到；从而得到，即是关于的二次函数，进而用二次函数的图像与性质求解的最大值．
【详解】（1）证明：∵，，
∴该函数图象与轴一定有两个不同的交点；
（2）解：∵，，
∴，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∵，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，
∴点在点的左侧时，
∴，
解得，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴；
当点在点的右侧时，即，解得且，无解集，
∴点在点的右侧，不成立，
综上可得的取值范围为；
（3）解：由抛物线的对称轴为直线，
当，即时，抛物线的开口向上，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，总是存在有随的增大而增大，结论不成立；
当，即时，抛物线开口向下，
∴当时，随增大而减小，
∵当时，总有随的增大而减小，
∴抛物线的对称轴不在轴右侧，即，
∴，，
∵抛物线过点，
∴，即，
∴，即是的二次函数，其图象为一条抛物线，这条抛物线的开口向下，对称轴为直线
∴当时，随的增大而减小，
∵，
∴当时，的最大值为，
∴当仅当，时，的最大值是．
22．（10分）（24-25八年级下·广西南宁·期末）综合与实践
项目式学习：安全用电，防患未然
项目背景 近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升．据悉，约的火灾都在充电时发生．某校八年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．
素材1 调查分析：图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2是其喷射截面示意图，在中，米，喷嘴O到地面的距离米．
素材2 模型构建：由于干粉灭火器只能扑灭明火，不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头，如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线． 学校的停车棚左侧靠墙建造，如图4，其截面示意图为矩形，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 已知消防喷淋头的出水口M到墙面的水平距离为2米，到地面高度为米，即米，米，水喷射到墙面D处，且米．
素材3 问题解决：已知车棚宽度为8米，电动车的电池距离地面高度为米．创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池．
任务解决
任务1 （1）求图2中地面有效保护直径的长度；
任务2 （2）求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； （3）按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径为多少米？
任务3 （4）喷淋头N距离喷淋头M至少为多少米？
【答案】（1）；（2）；（3）米；（4）米
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，勾股定理，三线合一定理，熟知相关知识是解题的关键．
（1）由三线合一定理可得，利用勾股定理求出的长即可得到答案；
（2）由题意得，点M的坐标为，，据此把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可；
（3）根据（2）所求，求出当函数值为0时的自变量的值即可得到答案；
（4）根据题意可得点N在点M右侧，设二者相距t米，则喷淋头N的水柱外层所在抛物线的函数解析式为，求出当抛物线恰好经过时，t的值即可得到答案．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
在中，由勾股定理得米，
∴米，
∴图2中地面有效保护直径的长度为；
（2）由题意得，点M的坐标为，，
设该水柱外层所在抛物线的函数解析式为，
把代入中得：，解得，
∴该水柱外层所在抛物线的函数解析式为；
（3）在中，当时，解得或，
∴，
∴米，
∴喷淋头M的地面有效保护直径为米；
（4）设喷淋头N在喷淋头M的右侧，且二者相距t米，
则喷淋头N的水柱外层所在抛物线的函数解析式为，
当抛物线恰好经过时，
则，
解得或（舍去），
∴喷淋头N距离喷淋头M至少为米．
23．（12分）（2025·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是x轴下方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标为m．
(1)请直接写出b，c的值；
(2)如图，当时，求m的值；
(3)过点P作y轴的平行线交于点M，点N在上，且，的长记为l．
①求l关于m的函数解析式；
②当l取某一个值时，是否存在三个符合条件的点P，其中两个点的横坐标之差为1？若存在，求出此时l的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)
(3)①，②存在，
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，平行线的性质是解题的关键．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）在上截取，连接，在中，，求出，再由，得到，直线与抛物线的交点即为所求；
（3）①由题意可知的中点纵坐标与N点纵坐标相同，求出，则；
②设其中两个点的横坐标分别为s，t，且，则，根据求出，即可求l的值．
【详解】（1）解：将A、B代入，
∴，
解得；
（2）由（1）可得，
在上截取，连接，
∵，
∴，
在中，，
解得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∴直线BP的解析式为，
当时，解得或，
∴；
（3）①∵，轴，
∴的中点纵坐标与N点纵坐标相同，
直线BC的解析式为，
∵，
∴，
∴的中点坐标为，
∴，
∴；
②存在三个符合条件的点P，其中两个点的横坐标之差为1，理由如下：
设其中两个点的横坐标分别为s，t，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
24．（12分）（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，与轴交于点，点关于抛物线对称轴的对称点是点，且点的横坐标与纵坐标相等．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)直线与抛物线交于点，与线段交于点（不与点、重合），那么的值是否随的变化而变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，试说明如何变化；
(3)上下平移该抛物线，如果新抛物线上存在点，轴上存在点，使得四边形是菱形，求新抛物线的表达式．
【答案】(1)；
(2)的值不变，且，理由见解析
(3)新抛物线的解析式为或．
【分析】（1）由题意求得，，再利用待定系数法求解即可；
（2）的值不变，且，先求得直线的解析式为，求得，，再用表示出，和的长，代入求解即可；
（3）设平移后的解析式为，再设，，由四边形是菱形，则其对角线和相互平分，且，利用中点坐标公式和两点之间的距离公式列式计算即可求解．
【详解】（1）解：对于，
当时，，
∴，
∵点关于抛物线对称轴的对称点是点，
∴，又点的横坐标与纵坐标相等，
∴，
∴，
将代入得，
整理得，
∴或，
当时，，，此时和重合，不符合题意；
∴，
∵抛物线经过点，
∴，即，
解得，
∴，，
∴该抛物线的表达式为；
（2）解：的值不变，且，理由如下，
如图，
∵直线与与线段交于点（不与点、重合），
∴，
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：设平移后的解析式为，
∵点在上，点在轴上，
∴设，，
∵四边形是菱形，
∴其对角线和相互平分，且，
∵，，
∴的中点为，
的中点为，
∴，，
解得，
将代入，
并整理得，
∴，
由两点之间的距离公式得，
，
∵，
∴，
∴，即，
当时，，
则，
∴，
∴；
当时，
，
则，
∴，
∴；
综上，新抛物线的解析式为或．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、轴对称的性质、平行四边形的性质及中点坐标公式、解一元二次方程，熟练掌握轴对称的性质、二次函数的图象与性质、平行四边形的性质是解题的关键．
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