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第二十二章 二次函数（举一反三讲义）全章题型归纳
【人教版】
【培优篇】 7
【题型1 二次函数与一次函数的图象综合判断】 7
【题型2 二次函数的图象与系数之间的关系】 9
【题型3 根据二次函数的性质求字母取值范围】 10
【题型4 二次函数与几何变换】 11
【题型5 二次函数与方程、不等式之间的关系】 11
【拔尖篇】 12
【题型6 利用二次函数的性质求最值】 12
【题型7 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围】 13
【题型8 利用二次函数的性质比较大小】 13
【题型9 二次函数与一次函数图象的综合应用】 14
【题型10 二次函数的应用】 16
【题型11 二次函数中的存在性问题】 18
知识点1 二次函数的概念
一般地，形如（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中，是自变量，二次函数的二次项系数、一次项系数分别是a,b，常数项是c .自变量的取值范围是全体实数.
二次函数必须同时满足三个条件：（1）函数解析式为整式；（2）化简后自变量的最高次数是2；（3)二次项系数不为0.
二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义.
知识点2 列二次函数关系式
1.理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；
2.分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；
3.列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式.
知识点3 二次函数几种特殊形式的图象和性质
1. 二次函数的图象和性质
函数形式 顶点坐标 对称轴 最值 开口、单调性
（，） y轴 ，时，； ，时， 时，抛物线开口向上； 在对称轴右侧时,y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小； 时，抛物线开口向下； 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴侧右时，y随x的增大而减小
（，） 轴 ，时，； ，时，
（，） ，时，； ，时，
（，） ，时，； ，时，
2. 二次函数 的图象的画法
（1）列表：以为中心，对称选取x值，求出对应的函数值．
（2）描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
（3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点．
（4）在画二次函数的图象时，取的点越密集，画出的图象就越精确，但取点越多计算量就越大，故一般在顶点的两侧各取2~4个点即可．在连线时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线将各个点连接起来，两端无限延伸．画抛物线的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法画出二次函数图象的一侧，再利用对称性画另一侧．
3. 几种二次函数图象间的平移规律
例如：的图象是由的图象先向上平移3个单位长度得到的图象，再向右平移5个单位长度得到的．反之，由的图象先向下平移3个单位长度得到的图象，再向左平移5个单位长度得到的图象．
知识点4 二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的图象和性质
1. 一般式与顶点式的转化
利用配方法，可以将二次函数的一般式转化成顶点式，其中，，所以二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标为．
2. 二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的图象和性质
符号
函数图像
开口方向 向上 向下
对称轴
顶点坐标
增减性 在对称轴右侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴右侧时，y随x的增大而减小
最值 当时, 当时,
3. 二次函数的图象特征与的符号关系
代数式（决定因素） 图像特征 符号判定
a(开口方向) 抛物线开口向上
抛物线开口向下
b(对称轴位置、a的正负) 对称轴在y轴右侧，即 a、b异号
对称轴在y轴左侧，即 a、b同号
c(抛物线与y轴交点位置) 交于原点
交于y轴正半轴
交于y轴负半轴
(与x轴交点个数) 与x轴有两个交点
与x轴有一个交点
与x轴没有交点
知识点5 求二次函数的解析式
1. 待定系数法
根据已知条件的特点，选择最合适的解析式形式，再将已知点坐标代入解析式，通过解方程(组)求得未知数的值，即可得到函数解析式．
（1）一般式：
已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y的值），可设解析式为．
（2）顶点式：
已知抛物线顶点（，）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为，特殊地，若抛物线顶点在原点，则，设其解析式为．
（3）交点式：
已知抛物线与x轴的交点坐标为（，），（，），可设解析式为．
2. 平移
（1）将抛物线解析式化为顶点式，再利用“左加右减，上加下减”的规律进行平移．
（2）由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以在求平移后的抛物线解析式时，通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，利用顶点式即可求出解析式．
3. 二次函数关于点或直线对称的解析式
若已知抛物线上点的坐标，可以利用待定系数法求其解析式．若已知某抛物线解析式，求其关于某直线或某点对称的抛物线的解析式，常用结论如下：
（1）关于x轴对称的抛物线的解析式
关于x轴对称的抛物线的解析式：；
关于x轴对称的抛物线的解析式：．
（2）关于y轴对称的抛物线的解析式
关于y轴对称的抛物线的解析式：；
关于y轴对称的抛物线的解析式：．
（3）关于顶点对称的抛物线的解析式
关于顶点对称的抛物线的解析式：；
关于顶点对称的抛物线的解析式：．
知识点6 二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程是二次函数的函数值时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标．
（1）若抛物线与x轴两交点的横坐标分别为，，则，为一元二次方程的两个根．
（2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系：
（示意图） （示意图） 一元二次方程根的情况
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
无实数根
知识点7 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤
（1）画出二次函数的图象；
（2）确定二次函数的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间；
（3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地方．
通过列表求近似根的具体过程：
在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根，比如x由取到时，对应y的值出现，或，，那么，中必有一个是近似根，比较与的大小，若，则说明是近似根；反之，则说明是近似根．从图象上观察，（，）离x轴越近，y值越接近0，而时x的值就是方程的确切根．
知识点8 二次函数与一元二次不等式的关系
利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤
（1）将一元二次不等式化为的形式；
（2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算的值；
（3）作出不等式对应的二次函数的草图；
（4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零．
以为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表：
二次函数 的图像
一元二次方程 的根 ， 没有实数根
不等式 的解集 的一切实数 全体实数
不等式 的解集 无解 无解
知识点9 利用二次函数解决实际问题
1. 一般步骤
(1)审题意；(2)设未知量；(3)列关系式；(4)解答实际问题；(5)验证
结果是否符合实际．
2. 求二次函数最值
将解析式写成的形式，当时，y有最大（小）值k；若对二次函数
使用配方法，则当时，y有最大（小）值．
3. 实际问题与二次函数的联系转化
【培优篇】
【题型1 二次函数与一次函数的图象综合判断】
【例1】（2025·江西宜春·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（24-25八年级下·福建福州·期末）已知二次函数的图象如图，则一次函数的大致图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2025·安徽合肥·二模）已知同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数图象如图所示，则函数图象可能是（ ）
A．B． C． D．
【变式1-3】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 二次函数的图象与系数之间的关系】
【例2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）二次函数图象的一部分如图所示，给出下列命题：①；②；③；④（为任意实数）；⑤．其中正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2-1】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）二次函数（，，是常数，）的图象如图所示，对称轴为直线，则下列判断中，错误的是（ ）
A．
B．若点，在该抛物线上，且在轴的下方，则
C．一定有两个不相等的实数根
D．（为实数）
【变式2-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③方程的两根和为1；④若，则，⑤点，在抛物线上，且当时，；其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2-3】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，其对称轴为直线，则下列说法：①；②；③抛物线一定经过点﹔④关于x的方程有两个不相等的实数根；⑤若 （其中）是抛物线上的两点，且，则．正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【题型3 根据二次函数的性质求字母取值范围】
【例3】（2025·福建漳州·二模）已知抛物线与直线只有一个交点P，且点P在第一象限，若，则m的值可能是（ ）
A． B． C．3 D．4
【变式3-1】若二次函数的图象的顶点在第一象限，且经过点(0，1)和(-1，0)，则的值的变化范围是(　　)
A． B． C． D．
【变式3-2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线上有且只有三个点到轴的距离等于，点在抛物线上，且点到轴的距离小于．
（1） ．
（2）的取值范围是 ．
【变式3-3】（2025·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线．当时，t的值为 ；点在抛物线上，若，则的取值范围为 ．
【题型4 二次函数与几何变换】
【例4】（24-25九年级下·广东梅州·期中）如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O、；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于；…如此进行下去，直至得到，若顶点在上，则m的值是（ ）
A．4048 B．4049 C．4050 D．4051
【变式4-1】将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）把二次函数向上平移个单位长度（），如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么应满足条件 ．
【变式4-3】规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 ．
【题型5 二次函数与方程、不等式之间的关系】
【例5】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）抛物线的对称轴为直线，与直线交于点，，则满足不等式组的整数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式5-1】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】已知二次函数，当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2025·辽宁丹东·二模）抛物线与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为，请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线；②抛物线与y轴交点坐标为；③；④若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是；⑤不等式的解作为函数的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确的序号是 ．
【拔尖篇】
【题型6 利用二次函数的性质求最值】
【例6】（2025·安徽淮北·三模）抛物线经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为．
（1）a的值为 ．
（2）若P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q在一次函数的图象上．当时，的最大值是 ．
【变式6-1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）定义：，若函数，则该函数的最小值为 ．
【变式6-2】（2025·安徽六安·一模）已知抛物线（）．
（1）若抛物线经过点，则该抛物线的对称轴为 ；
（2）若抛物线的对称轴为直线，点，在抛物线上，则的最大值为 ．
【变式6-3】（2025·安徽合肥·一模）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标一半的点，则把该函数称为“半值函数”，该点称为“半值点”．例如：“半值函数”，其“半值点”为．
（1）函数的图象上的“半值点”是 ．
（2）若关于x的函数的图象上存在唯一的“半值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为 ．
【题型7 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围】
【例7】（24-25八年级上·江西景德镇·期末）已知关于的二次函数，其中为实数，当－2≤≤1时，的最小值为4，满足条件的m的值为 或 ；
【变式7-1】（2025九年级下·浙江·专题练习）当时，若二次函数的最大值为2，则n的值为 ．
【变式7-2】（2025·江苏无锡·模拟预测）定义：平面内任意两点，，称为这两点之间的曼哈顿距离．若，，则 ．若点为抛物线上的动点，点为直线上的动点，并且抛物线与直线没有交点，的最小值为1，则的值为 ．
【变式7-3】（2025·广西·一模）已知抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值的差为2，则的值是 ．
【题型8 利用二次函数的性质比较大小】
【例8】（2025·福建福州·二模）已知抛物线上有三点，，．若，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】二次函数的图像经过，，三点，且，，则，，的大小关系是( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式8-2】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）已知抛物线（a、b、c为常数，且）是由抛物线向右平移m个单位得到，若点都在抛物线上，则之间的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-3】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）将方程的两根记为、，方程的两根记为、，则、、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【题型9 二次函数与一次函数图象的综合应用】
【例9】（2025·江苏盐城·三模）已知二次函数的图像为C．
(1)用m表示图像C的顶点坐标；
(2)证明：当时，图像C与x轴有两个交点；
(3)记一次函数（m是常数，，）的图像为线段，若图像C与线段（包含端点A、B）恰有一个公共点，直接写出m的取值范围．
【变式9-1】（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，以A为顶点的抛物线交直线：于另一点B，过点B作平行于x轴的直线，交该抛物线于另一点C．
(1)当，时，求该抛物线与y轴的交点坐标．
(2)嘉嘉说：k与m满足一次函数，请帮助嘉嘉求出a和b的值．
(3)若．
①求该抛物线的函数表达式；
②在直线下方的抛物线上，是否存在一点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式9-2】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知二次函数的图象经过点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求当时，y的最大值与最小值的差；
(3)一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是a和b，且，求m的取值范围．
【变式9-3】（2025·广东汕尾·二模）【问题背景】
抛物线的图象与x轴交于点，B，顶点为C，与y轴交于点D，与一次函数的图象交于点A，E．
【构建联系】
（1）填空：______，______，点E的坐标为______．
（2）如图1，点P为x轴上方抛物线上一点，连接，，当时，求点P的坐标．
【深入探究】
（3）如图2，在（2）的条件下，将点B沿的方向平移个单位长度，得到点．若将线段沿的方向平移，得到线段，则在平移过程中，点P，M，N能否构成等腰三角形？若能，请直接写出点N的坐标；若不能，请说明理由．
【题型10 二次函数的应用】
【例10】（24-25九年级上·河南周口·期末）如果将运动员的身体看作一点，那么运动员在跳水过程中的运动轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，在起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系．
(1)在平时训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表：
水平距离 3 3.5 4 4.5
竖直高度 10 11.25 10 6.25
根据上述数据，求y关于x的函数表达式．
(2)在（1）的这次跳水动作中，结合以下两个信息，回答问题．
信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B时距水面的高度为，从到达最高点B开始计，则她到水面的距离与时间之间满足．
信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，运动员甲能否成功完成此动作？
【变式10-1】（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）．
(1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本；
(2)求当a为何值时，每天的利润W最大．
【变式10-2】（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出．
信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，．
信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下：
（秒） 0 …
（米） 0 4 6 …
(1)求与的函数关系式；
(2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？
(3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）．
【变式10-3】（2025·江西宜春·模拟预测）秋水广场，位于江西省南昌市红谷滩新区的赣江之滨，紧邻行政中心广场是一座集休闲、娱乐，观光于一体的大型城市公共空间．它因紧邻赣江，设计巧妙地融入了水元素，尤其是其拥有的亚洲最大的音乐喷泉群（图1）而闻名遐迩，成为南昌市标志性的旅游景点之一．
某一个泉眼从点O向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，在泉眼中心竖直放置一根水管，在水管的顶端A安装一个喷水头，喷出的抛物线形水柱在与泉眼中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离泉眼中心，如图2，以水平地面为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
(1)求水管的长度，
(2)若在第一象限的泉眼中竖直放置一盏高为的景观射灯，且景观射灯的顶端E恰好碰到水柱．
①求景观射灯与之间的水平距离，
②现计划降低水管高度，使落水点恰好在点F处，已知水管下降后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，则水管要降低多少？
【题型11 二次函数中的存在性问题】
【例11】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式和顶点的坐标；
(2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由．
【变式11-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)M是抛物线上一点，过点M作y轴的平行线交直线于点N，是否存在以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式11-2】（2025·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段 的最大值及此时点的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式11-3】（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点．
(1)求点的坐标；
(2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标；
(3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第二十二章 二次函数（举一反三讲义）全章题型归纳
【人教版】
【培优篇】 8
【题型1 二次函数与一次函数的图象综合判断】 8
【题型2 二次函数的图象与系数之间的关系】 11
【题型3 根据二次函数的性质求字母取值范围】 17
【题型4 二次函数与几何变换】 21
【题型5 二次函数与方程、不等式之间的关系】 24
【拔尖篇】 27
【题型6 利用二次函数的性质求最值】 27
【题型7 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围】 30
【题型8 利用二次函数的性质比较大小】 34
【题型9 二次函数与一次函数图象的综合应用】 37
【题型10 二次函数的应用】 47
【题型11 二次函数中的存在性问题】 53
知识点1 二次函数的概念
一般地，形如（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中，是自变量，二次函数的二次项系数、一次项系数分别是a,b，常数项是c .自变量的取值范围是全体实数.
二次函数必须同时满足三个条件：（1）函数解析式为整式；（2）化简后自变量的最高次数是2；（3)二次项系数不为0.
二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义.
知识点2 列二次函数关系式
1.理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；
2.分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；
3.列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式.
知识点3 二次函数几种特殊形式的图象和性质
1. 二次函数的图象和性质
函数形式 顶点坐标 对称轴 最值 开口、单调性
（，） y轴 ，时，； ，时， 时，抛物线开口向上； 在对称轴右侧时,y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小； 时，抛物线开口向下； 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴侧右时，y随x的增大而减小
（，） 轴 ，时，； ，时，
（，） ，时，； ，时，
（，） ，时，； ，时，
2. 二次函数 的图象的画法
（1）列表：以为中心，对称选取x值，求出对应的函数值．
（2）描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
（3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点．
（4）在画二次函数的图象时，取的点越密集，画出的图象就越精确，但取点越多计算量就越大，故一般在顶点的两侧各取2~4个点即可．在连线时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线将各个点连接起来，两端无限延伸．画抛物线的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法画出二次函数图象的一侧，再利用对称性画另一侧．
3. 几种二次函数图象间的平移规律
例如：的图象是由的图象先向上平移3个单位长度得到的图象，再向右平移5个单位长度得到的．反之，由的图象先向下平移3个单位长度得到的图象，再向左平移5个单位长度得到的图象．
知识点4 二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的图象和性质
1. 一般式与顶点式的转化
利用配方法，可以将二次函数的一般式转化成顶点式，其中，，所以二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标为．
2. 二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的图象和性质
符号
函数图像
开口方向 向上 向下
对称轴
顶点坐标
增减性 在对称轴右侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴右侧时，y随x的增大而减小
最值 当时, 当时,
3. 二次函数的图象特征与的符号关系
代数式（决定因素） 图像特征 符号判定
a(开口方向) 抛物线开口向上
抛物线开口向下
b(对称轴位置、a的正负) 对称轴在y轴右侧，即 a、b异号
对称轴在y轴左侧，即 a、b同号
c(抛物线与y轴交点位置) 交于原点
交于y轴正半轴
交于y轴负半轴
(与x轴交点个数) 与x轴有两个交点
与x轴有一个交点
与x轴没有交点
知识点5 求二次函数的解析式
1. 待定系数法
根据已知条件的特点，选择最合适的解析式形式，再将已知点坐标代入解析式，通过解方程(组)求得未知数的值，即可得到函数解析式．
（1）一般式：
已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y的值），可设解析式为．
（2）顶点式：
已知抛物线顶点（，）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为，特殊地，若抛物线顶点在原点，则，设其解析式为．
（3）交点式：
已知抛物线与x轴的交点坐标为（，），（，），可设解析式为．
2. 平移
（1）将抛物线解析式化为顶点式，再利用“左加右减，上加下减”的规律进行平移．
（2）由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以在求平移后的抛物线解析式时，通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，利用顶点式即可求出解析式．
3. 二次函数关于点或直线对称的解析式
若已知抛物线上点的坐标，可以利用待定系数法求其解析式．若已知某抛物线解析式，求其关于某直线或某点对称的抛物线的解析式，常用结论如下：
（1）关于x轴对称的抛物线的解析式
关于x轴对称的抛物线的解析式：；
关于x轴对称的抛物线的解析式：．
（2）关于y轴对称的抛物线的解析式
关于y轴对称的抛物线的解析式：；
关于y轴对称的抛物线的解析式：．
（3）关于顶点对称的抛物线的解析式
关于顶点对称的抛物线的解析式：；
关于顶点对称的抛物线的解析式：．
知识点6 二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程是二次函数的函数值时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标．
（1）若抛物线与x轴两交点的横坐标分别为，，则，为一元二次方程的两个根．
（2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系：
（示意图） （示意图） 一元二次方程根的情况
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
无实数根
知识点7 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤
（1）画出二次函数的图象；
（2）确定二次函数的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间；
（3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地方．
通过列表求近似根的具体过程：
在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根，比如x由取到时，对应y的值出现，或，，那么，中必有一个是近似根，比较与的大小，若，则说明是近似根；反之，则说明是近似根．从图象上观察，（，）离x轴越近，y值越接近0，而时x的值就是方程的确切根．
知识点8 二次函数与一元二次不等式的关系
利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤
（1）将一元二次不等式化为的形式；
（2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算的值；
（3）作出不等式对应的二次函数的草图；
（4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零．
以为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表：
二次函数 的图像
一元二次方程 的根 ， 没有实数根
不等式 的解集 的一切实数 全体实数
不等式 的解集 无解 无解
知识点9 利用二次函数解决实际问题
1. 一般步骤
(1)审题意；(2)设未知量；(3)列关系式；(4)解答实际问题；(5)验证
结果是否符合实际．
2. 求二次函数最值
将解析式写成的形式，当时，y有最大（小）值k；若对二次函数
使用配方法，则当时，y有最大（小）值．
3. 实际问题与二次函数的联系转化
【培优篇】
【题型1 二次函数与一次函数的图象综合判断】
【例1】（2025·江西宜春·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据a、b的正负不同，则函数与函数的图象所在的象限也不同，针对a、b进行分类讨论，从而可以选出正确选项．
【详解】解：若，，则经过一、二、三象限，开口向上，对称轴为，在y轴右侧，故A正确、C错误；
若，，则经过二、三、四象限，开口向下，对称轴为，在y轴右侧，故B、D错误；
故选：A．
【变式1-1】（24-25八年级下·福建福州·期末）已知二次函数的图象如图，则一次函数的大致图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，由二次函数图象得出a，b，c的大小是解题的关键．
先求出，，再判断一次函数图象即可．
【详解】∵二次函数图象开口向上，
∴；
∵对称轴在轴右侧，
∴，
∴；
∵与轴交点在负半轴，
∴．
对于一次函数，，，，故，
∴一次函数图象过二、三、四象限．
故选：D．
【变式1-2】（2025·安徽合肥·二模）已知同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数图象如图所示，则函数图象可能是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象及一次函数的性质，根据所给二次函数解析式可知，二次函数的图象过定点，据此可解决问题．
【详解】解：因为二次函数解析式为，
所以当时，，
则此二次函数的图象过定点，
显然只有D选项符合题意．
故选：D．
【变式1-3】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查在同一个坐标系中判断一次函数与抛物线图象是否正确，先从各选项中一次函数图象得到的符号，进而判定同一坐标系下二次函数图象是否正确即可得到答案，数形结合，熟记一次函数及二次函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：从一次函数的图象开始：
A、由图可知，一次函数中，，
对于二次函数，由可知，抛物线开口向下；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象一致，
故A图象正确，符合题意；
B、由图可知，一次函数中，，
对于二次函数，由可知，抛物线开口向上；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象不一致，
故B图象错误，不符合题意；
C、由图可知，一次函数中，，
对于二次函数，由可知，抛物线开口向上；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴右侧，与选项图象不一致，
故C图象错误，不符合题意；
D、由图可知，一次函数中，，
对于二次函数，由可知，抛物线开口向下；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象不一致，
故D图象错误，不符合题意；
故选：A．
【题型2 二次函数的图象与系数之间的关系】
【例2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）二次函数图象的一部分如图所示，给出下列命题：①；②；③；④（为任意实数）；⑤．其中正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据抛物线的开口方向、对称轴、与x轴的交点情况以及二次函数的性质判断即可．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
∵抛物线交于y轴的负半轴，
∴，
∴，①说法正确；
∵，
∴，②说法错误；
∵抛物线与x轴交于，
∴，
∴，③说法正确；
∵抛物线的对称轴是直线，且开口向上，
∴函数最小值为，
∴，
∴，④说法正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴，⑤说法正确；
综上所述，正确的有①③④⑤．
故选：D．
【变式2-1】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）二次函数（，，是常数，）的图象如图所示，对称轴为直线，则下列判断中，错误的是（ ）
A．
B．若点，在该抛物线上，且在轴的下方，则
C．一定有两个不相等的实数根
D．（为实数）
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键；根据二次函数图象来判断各项系数的正负，可判断选项A；根据可知点和都在对称轴左侧，且点A离对称轴距离远，即，故B正确；将一元二次方程的解转为二次函数与直线的交点问题，即可判断Ｃ；由抛物线开口向下，顶点坐标为，即得出，即有，即，故D错误．
【详解】解：由图象知，时，，
．
对称轴为直线，
∴，
∴，
，即，故A正确；
∵图象开口向下，与y轴交点位于x轴上方，
∴，，
∴，
∴点和都在对称轴左侧，且点A离对称轴距离远．
该抛物线上的点在对称轴的左边离对称轴距离越远，点的纵坐标越小，
，故B正确；
根据图象可知，当时，抛物线与的图象有两个交点，
有两个不相等的实数根，故C正确；
抛物线开口向下，顶点坐标为，
，
，即，故D错误．
故选：D．
【变式2-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③方程的两根和为1；④若，则，⑤点，在抛物线上，且当时，；其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②由根与系数的关系可得出，由代入即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④． ⑤当点和关于对称轴对称时，解得m，若点A和点B向左移动时结合对称轴左侧的递减性，以及即可得到m的取值范围．
【详解】解：①函数图象开口方向向上，
；
对称轴在轴右侧，
、异号，
，
∵抛物线与轴交点在轴负半轴，
，
，故①错误；
②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，
时，，
，
，
，
，
∵，
，故②正确；
③设方程的两根为和，
∴，
，
∴，故③错误．
④，
∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得，
，
，
，
，
，
，
故④正确；
⑤点，在抛物线上，
当时，，解得，
∵，
∴，则⑤正确；
故选：C．
【变式2-3】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，其对称轴为直线，则下列说法：①；②；③抛物线一定经过点﹔④关于x的方程有两个不相等的实数根；⑤若 （其中）是抛物线上的两点，且，则．正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数的图象开口方向，与y轴交于点B及对称轴可判断①与②；③根据二次函数图象的开口方向、经过及对称轴可得出，，可得，可将化为，再代入二次函数解析式中验证即可判定；④利用一元二次方程根的判别式进行判断即可，⑤根据，分情况讨论即可判断．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，与y轴交于点B，
∴，
又∵二次函数的图象与x轴交于点，其对称轴为，
∴，
∴，
①∵，
∴，
∴，故结论①正确；
②∵，
∴，
∴，故结论②正确，
∴，
③当时，，
∴抛物线一定经过点，即抛物线一定经过点，故结论③正确；
∵，
∴可化为：，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
即关于x的方程有两个不相等的实数根，故结论④正确．
⑤∵抛物线二次函数的图象开口向下，其对称轴为，
∴当时，y的值随值的增大而增大；
当时，y的值随值的增大而减小，
∵，，
当时，
此时，此时，
当时，满足，
此时，，
当时，不满足舍去，故⑤正确，
综上所述，正确结论的个数是5个．
故选：D．
【题型3 根据二次函数的性质求字母取值范围】
【例3】（2025·福建漳州·二模）已知抛物线与直线只有一个交点P，且点P在第一象限，若，则m的值可能是（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查抛物线与直线的交点问题，掌握二次方程判别式、函数图像的位置关系以及代数式的最值是解题的关键．
联立抛物线与直线方程，利用判别式求唯一交点条件，结合点在第一象限的坐标条件，推导与的关系，代入求值范围．
【详解】∵抛物线与直线只有一个交点
∴方程只有一个解
∴，交点的横坐标，纵坐标，
∴
∵，
∴
∵点在第一象限
∴点横坐标，纵坐标
∴
∴
∴
代入得：
∴
把代入得：
时有最小值是，时随的增大而增大
且时
，，，中只有在范围内
的值可能是
故选：．
【变式3-1】若二次函数的图象的顶点在第一象限，且经过点(0，1)和(-1，0)，则的值的变化范围是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】代入两点的坐标可得 ， ，所以 ，由抛物线的顶点在第一象限可得 且 ，可得 ，再根据、，可得S的变化范围．
【详解】将点(0，1)代入中
可得
将点(-1，0)代入中
可得
∴
∵二次函数图象的顶点在第一象限
∴对称轴 且
∴
∵，
∴
∴
故答案为：A．
【点睛】本题考查了二次函数的系数问题，掌握二次函数的性质以及各系数间的关系是解题的关键．
【变式3-2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线上有且只有三个点到轴的距离等于，点在抛物线上，且点到轴的距离小于．
（1） ．
（2）的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，二次函数顶点式，进行解答，即可．
（1）根据抛物线上有且只有三个点到的距离等于，则为抛物线顶点到的距离，把抛物线化为顶点式，即可；
（2）根据题意，则设点到轴的距离等于，即，得到，分类讨论：或时，确定的取值范围，即可．
【详解】解（1）∵抛物线上有且只有三个点到的距离等于，
∴为抛物线顶点到轴的距离，
∵，
∴抛物线的顶点位，
∴抛物线顶点到轴的距离为，
∴；
（2）设点到轴的距离为
∴
∴
当时，将代入
∴；
当，把代入
∴
∵点到轴的距离小于
∴
∴
∵时，
∴当时，；当时，
∴当时，的取值范围为
故答案为：（1）；（2）．
【变式3-3】（2025·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线．当时，t的值为 ；点在抛物线上，若，则的取值范围为 ．
【答案】 2
【分析】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据数形结合求解．
将及点，代入抛物线，解得，即可得到t的值；根据确定对称轴的取值范围，进而可确定的取值范围．
【详解】解：将点，代入抛物线，得
，
解得，
∴；
∵，
∴抛物线开口向上，
∵，
∴，
解得，
∴，即，
当时，；
当时，，
∴的取值范围是．
故答案为：2，．
【题型4 二次函数与几何变换】
【例4】（24-25九年级下·广东梅州·期中）如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O、；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于；…如此进行下去，直至得到，若顶点在上，则m的值是（ ）
A．4048 B．4049 C．4050 D．4051
【答案】B
【分析】本题是坐标规律题，考查了二次函数的应用，旋转的性质，解题关键是得出抛物线顶点坐标的规律．先求出抛物线与轴的交点，再根据旋转的性质，得出，，从而得出顶点坐标的规律：当为奇数时，的顶点坐标为，当为偶数时，的顶点坐标为，即可求解．
【详解】解：令，则，
解得：，，
，，
，
由旋转的性质可知，，
，，
抛物线与轴的交点坐标分别为，，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
抛物线的顶点坐标为，
同理可得抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为……
观察发现，当为奇数时，的顶点坐标为，当为偶数时，的顶点坐标为，
当时，的顶点坐标为，
，
故选：B．
【变式4-1】将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式，再因为关于x轴对称的两个抛物线，自变量x的取值相同，函数值y互为相反数，由此可直接得出抛物线的解析式．
【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线：，即抛物线：;
由于抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为：.
故选：A．
【点睛】主要考查了函数图象的平移、对称，要求熟练掌握平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式以及关于x轴对称的两个抛物线，自变量x的取值相同，函数值y互为相反数．
【变式4-2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）把二次函数向上平移个单位长度（），如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么应满足条件 ．
【答案】且
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换．先写出平移后的抛物线解析式为，根据题意平移后所得抛物线与x轴有两个公共点，且不经过原点，则根据根的判别式的意义得到且，然后解不等式组得到k的取值范围．
【详解】解：∵二次函数向上平移k个单位长度，
∴平移后的抛物线解析式为，
∵平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，
∴平移后所得抛物线与x轴有两个公共点，且不经过原点，
∴且，
解得且，
∴k的取值范围为且．
故答案为：且．
【变式4-3】规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 ．
【答案】或
【分析】分两种情况，根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得．
【详解】解：函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，
函数（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，
当k=0时，函数解析为，它的“Y函数”解析式为，它们的图象与x轴只有一个交点，
当时，此函数是二次函数，
它们的图象与x轴都只有一个交点，
它们的顶点分别在x轴上，
，得，
故k+1=0，解得k=-1，
故原函数的解析式为，
故它的“Y函数”解析式为，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了新定义，二次函数图象与x轴的交点问题，坐标与图形变换-轴对称，求一次函数及二次函数的解析式，理解题意和采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
【题型5 二次函数与方程、不等式之间的关系】
【例5】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）抛物线的对称轴为直线，与直线交于点，，则满足不等式组的整数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数的对称性可知二次函数与x轴的另一个交点坐标为，然后根据图象可知当时，x的取值范围为，然后问题可求解．
【详解】解：设二次函数与x轴的另一个交点坐标为，则由抛物线的对称轴为直线，与直线交于点，，可知：
，
∴，即二次函数与x轴的另一个交点坐标为，
由图象可知：当时，x的取值范围为，
∴满足不等式组的整数只有3一个；
故选：A．
【变式5-1】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据抛物线的对称性，求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围即可．
【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为：，
∴对称轴为直线，
由图象可知，抛物线与轴负半轴的交点的横坐标的范围为：，
∴抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围为；
∴一元二次方程的正数解的范围是；
故选:D．
【变式5-2】已知二次函数，当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求得顶点坐标，得出最小值，然后求出x=-3、x=0时y的值，就可顶点y的取值范围．
【详解】=，
∵1>0，
∴图象开口向上，当x=-1时，y有最小值-5，
当x=-3时，y=-1；当x=0时，y=-4，
∴当时，的取值范围是，
故选：C．
【点睛】此题考查二次函数的最值，二次函数的性质，已知自变量求函数值，解题中注意函数图象的对称轴在取值范围中，即函数存在最值，不要忽略．
【变式5-3】（2025·辽宁丹东·二模）抛物线与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为，请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线；②抛物线与y轴交点坐标为；③；④若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是；⑤不等式的解作为函数的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．
根据二次函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：①抛物线的对称轴为直线，故①正确；
②当时，，即抛物线与y轴交点坐标为，故②错误；
③ 把A点坐标代入抛物线解析式，整理得∶
再代入，整理得：
由已知抛物线与x轴有两个交点，则：
，整理得∶，即，
∵开口向上，
∴ ，
∴，
解得：，
而抛物线与轴负半轴相交，
∴，
解得：，
∴，故③正确；
④由抛物线的对称性，B点的坐标为，
当抛物线经过A点时，此时抛物线与线段有两个公共点，
当抛物线经过B点时，
∵其与线段恰有一个公共点，
∴，故④正确；
⑤∵，
∴，
即不等式的解作为函数的自变量的取值时，对应的函数值大于，故⑤错误；
故答案为：①③④．
【拔尖篇】
【题型6 利用二次函数的性质求最值】
【例6】（2025·安徽淮北·三模）抛物线经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为．
（1）a的值为 ．
（2）若P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q在一次函数的图象上．当时，的最大值是 ．
【答案】 1
【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，正确求出二次函数解析式是解题的关键。
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求联立两函数解析式，求出两函数的交点坐标，设，，由函数图象可得，当时，在的上方，则，据此求解即可．
【详解】解：（1）把代入中，得，解得．
故答案为：1．
（2）由（1）得抛物线的表达式为，
联立，解得，，
抛物线与直线的交点坐标为，．
设，，由函数图象可得，当时，在的上方，
当时，，
当时，PQ的最大值是．
故答案为：．
【变式6-1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）定义：，若函数，则该函数的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象和性质．分两种情况讨论：当，即时，当，即或时，并结合一次函数和二次函数的图象和性质解答，即可．
【详解】解：设，，
∵时，，
解得：，，
分两种情况讨论：
当，即时，，
∵，随的增大而减少，
∴当时，该函数的值最小，最小值为；
②当，即或时，，
∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∵，
∴当时，该函数的值最小，最小值为；
综上所述，该函数的最小值为．
故答案为：．
【变式6-2】（2025·安徽六安·一模）已知抛物线（）．
（1）若抛物线经过点，则该抛物线的对称轴为 ；
（2）若抛物线的对称轴为直线，点，在抛物线上，则的最大值为 ．
【答案】 直线 18
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．
（1），将代入，得到a与b的关系，根据对称轴为即可求解；
（2）根据对称轴为直线得到，得到．将和分别代入，得到，，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）由题知，将代入得：，则，所以抛物线的对称轴为直线；
（2）因为抛物线的对称轴为直线，所以，则，
所以抛物线的表达式可表示为．
将和分别代入抛物线的表达式得：
，，
所以，
因为，所以，即，
所以的最大值为18．
故答案为：直线，18．
【变式6-3】（2025·安徽合肥·一模）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标一半的点，则把该函数称为“半值函数”，该点称为“半值点”．例如：“半值函数”，其“半值点”为．
（1）函数的图象上的“半值点”是 ．
（2）若关于x的函数的图象上存在唯一的“半值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为 ．
【答案】 和 0或
【分析】本题主要考查二次函数与反比例的函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键；
（1）设函数的图象上的“半值点”的坐标是，则可求出，然后问题可求解；
（2）由题意易得，则有，然后可分当时，当时，当时，进而根据二次函数的最值问题可进行求解．
【详解】解：（1）设函数的图象上的“半值点”的坐标是，则有：
，
解得：，
∴函数的图象上的“半值点”的坐标是和，
故答案为和；
（2）由题意得：，
整理得：，
∴，即，
此时可看作是n与m成二次函数关系，
即当时，n有最小值，
∵，
∴当时，则n的最小值为0，即，符合题意；
当时，此时n随m的增大而增大，
∴当时，n有最小值k，即，（此时方程无解）；
当时，此时n随m的增大而减小，
∴当时，n有最小值k，即，
解得：（不符合题意，舍去），
综上所述：k的值为0或；
故答案为0或．
【题型7 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围】
【例7】（24-25八年级上·江西景德镇·期末）已知关于的二次函数，其中为实数，当－2≤≤1时，的最小值为4，满足条件的m的值为 或 ；
【答案】
【分析】本题考查二次函数的最值，二次函数的性质，正确理解二次函数的性质是本题解题的关键．
由题求得抛物线的对称轴为直线，分类讨论，，，根据函数的增减性，即可得出答案．
【详解】解：原式变形为，
对称轴为，
二次函数当时，有最小值为4，
①当时，
当时，有最小值为4，
，
解得：,(舍去)，
②当时，
当，有最小值为，
化简整理得，
解得：（舍去），（舍去），
③当时，
当，有最小值为，
化简整理得，
解得：（舍去），
满足条件的m的值为或．
故答案为：；．
【变式7-1】（2025九年级下·浙江·专题练习）当时，若二次函数的最大值为2，则n的值为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．依据题意，由，可得抛物线开口向上，当时，y取最小值为，从而抛物线上的点离对称轴越远函数值越大，则当时或当时，y取最大值，进而分当时，y取最大值，此时，即和当时，y取最大值，此时，即，分别进行计算可以得解．
【详解】解：由题意，∵，
∴抛物线开口向上，当时，y取最小值为．
∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越大．
∴当时或当时，y取最大值．
①当时，y取最大值，此时，即．
又∵此时y最大值为，
∴（不合题意，舍去）或．
②当时，y取最大值，此时，即．
又∵此时y最大值为，
∴或（不合题意，舍去）．
综上，或．
故答案为：或．
【变式7-2】（2025·江苏无锡·模拟预测）定义：平面内任意两点，，称为这两点之间的曼哈顿距离．若，，则 ．若点为抛物线上的动点，点为直线上的动点，并且抛物线与直线没有交点，的最小值为1，则的值为 ．
【答案】 8
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内的两点之间的距离，二次函数的极值，二次函数与一次函数的交点问题，
先根据定义解答①；再根据两个图象没有交点求出b的取值范围，然后说明当A，B两点的横坐标相等时，即时，取最小值1，接下来根据二次函数的性质讨论最小值，并求出答案．
【详解】解：根据题意，得；
∵抛物线与直线没有交点，
∴一元二次方程没有实数根，
即，
解得．
设点，
∴．
∵抛物线与直线没有交点，且的最小值是1，
∴当A，B两点的横坐标相等时，即时，取最小值1，
∴．
当时，，
解得或（舍去）．
所以．
故答案为：8；．
【变式7-3】（2025·广西·一模）已知抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值的差为2，则的值是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了二次函效的性质、二次函数的最值，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．根据题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法即可求解．
【详解】解：，
抛物线对称轴为：直线，顶点坐标为．
，
抛物线开口向下．
当时，；
当时，．
①当，即时，如图1．
当时，，
当时，，
，
解得，（不合题意，舍去）；
②当，即时，如图2．
当时，，
当时，，
，
解得，（不合题意，舍去）；
③当，即时，如图3．
当时，最大值，
当时，，
，
解得（不合题意，舍去）．
综上所述，的值为或．
【题型8 利用二次函数的性质比较大小】
【例8】（2025·福建福州·二模）已知抛物线上有三点，，．若，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、解一元一次不等式组、整式的加减的应用，由题意可得，，，结合，求出，从而即可得出，，计算出，，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵抛物线上有三点，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
故选：B．
【变式8-1】二次函数的图像经过，，三点，且，，则，，的大小关系是( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的增减性，对称轴和开口方向的问题，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．由题可知，对称轴为，进而分两种情况讨论：①；②，根据抛物线的增减性得出结论．
【详解】解：对称轴为，
当时，
，，，
与互为相反数，
，故A，B不正确，不符合题意；
同理当时，，故D不正确，不符合题意．
故选：C．
【变式8-2】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）已知抛物线（a、b、c为常数，且）是由抛物线向右平移m个单位得到，若点都在抛物线上，则之间的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的平移、二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．利用二次函数的平移规律可知，抛物线向右平移m个单位得到，结合题意得到，，，解得，，得出抛物线的图象开口向上，对称轴为，再比较点到抛物线对称轴的距离，即可得出之间的大小关系．
【详解】解：，
∴抛物线向右平移m个单位得到，
∴抛物线的解析式为，
∴，，，
∴，，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的图象开口向上，对称轴为，
∵点都在抛物线上，，，，且，
∴．
故选：A．
【变式8-3】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）将方程的两根记为、，方程的两根记为、，则、、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数和一元二次方程的关系以及数形结合的方法是解题的关键．
分别设 ，，两个方程的根即为两个二次函数与直线 的交点，画出图像，即可求解．
【详解】解：设 ，，
将两个函数画在同一个直角坐标系中，如图：
∵方程的两根记为、，方程的两根记为、，
∴由图可知： ．
故选C．
【题型9 二次函数与一次函数图象的综合应用】
【例9】（2025·江苏盐城·三模）已知二次函数的图像为C．
(1)用m表示图像C的顶点坐标；
(2)证明：当时，图像C与x轴有两个交点；
(3)记一次函数（m是常数，，）的图像为线段，若图像C与线段（包含端点A、B）恰有一个公共点，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)或或
【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质、二次函数的图像与性质，解决本题的关键是根据根据一次函数与二次函数的性质确定函数图像的交点．
（1）把二次函数的解析式化成顶点坐标式，即可得到图像的顶点坐标为；
（2）当时，可得：，利用一元二次方程根与系数的关系可证当时，图像与轴有两个交点；
（3）根据一次函数的解析式可知点的坐标为，点的坐标为，根据图像与线段恰有一个公共点，分或以及直线与二次函数联立有且只有一个交点三种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：整理，
可得：，
图像的顶点坐标为；
（2）解：当时，
可得：，
，
整理得：，
当时，，
方程有两个不相等的实数根，
图像与轴有两个交点；
（3）解：一次函数（是常数，，）的图像为线段，
当时，，当时，，
∴点的坐标为，点的坐标为．
①当时，
依题意，图像与线段恰有一个公共点，
如图，
当时，，
解得：或，
当时，，
解得：，
∴；
②当时，
，
解得：；
③当一次函数与二次函数联立方程，得，
一元二次方程有且只有两个相等实数根时：
整理得，
，
解得，此时，交点横坐标分别为或（不在x取值范围舍去）；
综上所述，或或时，图像与线段恰有一个公共点．
【变式9-1】（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，以A为顶点的抛物线交直线：于另一点B，过点B作平行于x轴的直线，交该抛物线于另一点C．
(1)当，时，求该抛物线与y轴的交点坐标．
(2)嘉嘉说：k与m满足一次函数，请帮助嘉嘉求出a和b的值．
(3)若．
①求该抛物线的函数表达式；
②在直线下方的抛物线上，是否存在一点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)①；②点P的坐标为或或或
【分析】（1）由题意可得抛物线的解析式为，求出当时的的值即可得解；
（2）由抛物线解析式得出，将代入得出，即可得解；
（3）①由题意可得抛物线的对称轴为直线，求出，再将、代入抛物线解析式计算即可得解；②由①可得：，，，根据并结合题意得出或，分别求解即可．
【详解】（1）解：当，时，抛物线的解析式为，
当时，，此时该抛物线与y轴的交点坐标为；
（2）解：∵A为顶点的抛物线，
∴，
将代入得：，
即，
∵k与m满足一次函数，
∴，；
（3）解：①∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
在中，当时，，即，
将、代入抛物线解析式可得：，
解得：或，
当时，，故不符合题意，舍去；
当时，，
∴抛物线的解析式为；
②由①可得：，，，
∵，，
∴，
∴，
∵点P在直线下方的抛物线上，
∴或，
当时，，解得：或，此时或；
当时，，解得：或，此时或；
综上所述，点P的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【变式9-2】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知二次函数的图象经过点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求当时，y的最大值与最小值的差；
(3)一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是a和b，且，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系等知识．解题的关键是熟记二次函数图象的性质．
（1）利用待定系数法将点代入解析式中解方程组即可；
（2）根据（1）中函数关系式得到对称轴，从而知在中，当时，y有最大值，当时，y有最小值，求之相减即可；
（3）根据两函数相交可得出x与m的函数关系式，根据有两个交点可得出，根据根与系数的关系可得出的值，然后根据，整理得出m的取值范围．
【详解】（1）解：∵的图象过点，
，
；
（2）解：由（1）得，二次函数对称轴为，开口向上，
∴当时，的最大值为，
y的最小值为，
∴的最大值与最小值的差为；
（3）解：由题意及（1）得，
整理得，
即，
∵一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，
，
化简得，
即，
解得，
∴为方程的两个解，
又∵，
，
即，
，
综上所述，m的取值范围为．
【变式9-3】（2025·广东汕尾·二模）【问题背景】
抛物线的图象与x轴交于点，B，顶点为C，与y轴交于点D，与一次函数的图象交于点A，E．
【构建联系】
（1）填空：______，______，点E的坐标为______．
（2）如图1，点P为x轴上方抛物线上一点，连接，，当时，求点P的坐标．
【深入探究】
（3）如图2，在（2）的条件下，将点B沿的方向平移个单位长度，得到点．若将线段沿的方向平移，得到线段，则在平移过程中，点P，M，N能否构成等腰三角形？若能，请直接写出点N的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）；3；
（2）
（3）能，点N的坐标为或
【分析】（1）根据待定系数法即可求出b、c的值，联立方程组，解方程组即可求出点E的坐标；
（2）过点P作轴，交于Q，设，则，，根据，得，解方程即可求解；
（3）过作轴于H，过C作轴于G，证明，得出，，则，根据待定系数法求出直线解析式，则，故线段沿的方向平移就是将线段沿的方向平移，设且，则，然后分；；三种情况讨论，根据两点间距离公式构建关于x的方程求解即可．
【详解】解：（1）把代入，得，
解得，
∴，
把代入，得，
解得，
∴，
联立方程组，
解得或（舍去），
∴，
故答案为：，2，；
（2）过点P作轴，交于Q，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得，
当时，，此时点P在x轴上，不符合题意，舍去，
当时，，符合题意，
∴；
（3）令，解得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
过作轴于H，过C作轴于G，
∵点B沿的方向平移个单位长度，得到点，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式，
又直线解析式为，
∴，
∴线段沿的方向平移就是将线段沿的方向平移，
∵平移，
∴
设且，则，
当时，，
解得（不符合题意，舍去）；
当时，，
解得，（不符合题意，舍去），
∴，，
∴；
当时，，
解得，（不符合题意，舍去），
∴，，
∴；
综上，N的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，全等三角形的判定与性质，平移的性质，二次函数的图象与系数的关系，求一次函数解析式，已知两点坐标求两点距离，解一元二次方程，解二元一次方程组等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
【题型10 二次函数的应用】
【例10】（24-25九年级上·河南周口·期末）如果将运动员的身体看作一点，那么运动员在跳水过程中的运动轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，在起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系．
(1)在平时训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表：
水平距离 3 3.5 4 4.5
竖直高度 10 11.25 10 6.25
根据上述数据，求y关于x的函数表达式．
(2)在（1）的这次跳水动作中，结合以下两个信息，回答问题．
信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B时距水面的高度为，从到达最高点B开始计，则她到水面的距离与时间之间满足．
信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，运动员甲能否成功完成此动作？
【答案】(1)
(2)运动员甲不能成功完成此动作
【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式．
（1）待定系数法求出解析式，即可；
（2）先求出，再求出时的h值，进行判断即可．
【详解】（1）解：由表格可知，图象过点，，，
∴，
∴设函数表达式为，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：3.5，；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∵，
即运动员甲在水面上无法完成此动作，
∴运动员甲不能成功完成此动作．
【变式10-1】（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）．
(1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本；
(2)求当a为何值时，每天的利润W最大．
【答案】(1)每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元
(2)
【分析】本题考查了二次函数，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元，根据“2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元”建立二元一次方程组并求解；
（2）先根据利润公式求出关于的函数表达式，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元，
由题意得：，
解得：，
答：每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元；
（2）解：由题意得，，
∵，对称轴为直线，且a为整数，
∴当时，取最大值，
答：当时，每天的利润W最大．
【变式10-2】（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出．
信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，．
信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下：
（秒） 0 …
（米） 0 4 6 …
(1)求与的函数关系式；
(2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？
(3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）．
【答案】(1)
(2)网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米
(3)
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）代入点，得到二元一次方程组求解即可；
（2）先求出球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为，再由二次函数的性质求解；
（3）先求出击球点位置为，再将代入，求出，根据时，，得到不等式，再解一元一次不等式即可．
【详解】（1）解：∵图象经过点，，
，
解得：，
∴与的函数关系式为；
（2）解：由表格可知，
∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：，
代入得：，
解得：，
∴，
对于，，
∴开口向下，
∵对称轴为：直线
∴当时，，
此时，
解得：，
∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米；
（3）解：由题意得，当时，，
∴，
∴击球点位置为，
将代入，
则，
∴，
∴，
∵时，，
∴，
解得：，
故答案为：．
【变式10-3】（2025·江西宜春·模拟预测）秋水广场，位于江西省南昌市红谷滩新区的赣江之滨，紧邻行政中心广场是一座集休闲、娱乐，观光于一体的大型城市公共空间．它因紧邻赣江，设计巧妙地融入了水元素，尤其是其拥有的亚洲最大的音乐喷泉群（图1）而闻名遐迩，成为南昌市标志性的旅游景点之一．
某一个泉眼从点O向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，在泉眼中心竖直放置一根水管，在水管的顶端A安装一个喷水头，喷出的抛物线形水柱在与泉眼中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离泉眼中心，如图2，以水平地面为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
(1)求水管的长度，
(2)若在第一象限的泉眼中竖直放置一盏高为的景观射灯，且景观射灯的顶端E恰好碰到水柱．
①求景观射灯与之间的水平距离，
②现计划降低水管高度，使落水点恰好在点F处，已知水管下降后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，则水管要降低多少？
【答案】(1)水管的长度为
(2)①景观射灯与之间的水平距离为；②水管要下降
【分析】该题考查了二次函数的应用．
（1）用待定系数法求出抛物线的表达式，令求出y值，即可求解；
（2）①把代入解析式，即可求解；
②求出降低水管后的水柱所在抛物线的解析式，然后代入求出y值，然后求出解答即可．
【详解】（1）解：由题意得抛物线顶点N的坐标为，点B的坐标为，
∴设第一象限抛物线的解析式为．
把点代入，得，
解得，
∴第一象限抛物线的解析式为．
∵当时，，
∴．
答：水管的长度为．
（2）解：①当时，，
，
，
解得（不合题意，舍去）．
答：景观射灯与间的水平距离为．
②设降低水管后，水柱所在的抛物线的解析式为，
∵经过点，
∴，
解得，
∴．
当时，，
∴，
答：水管要下降．
【题型11 二次函数中的存在性问题】
【例11】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式和顶点的坐标；
(2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)点的坐标为或，当点的坐标为时，原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可
（2）设，分三种情况讨论：①以为对角线时，由，求出m的值，再由中点坐标公式，求得，则平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；②以为对角线时，点P在x轴上，则，从而求得，则平移的方向为向左平移1个单位长度；③以为对角线时，矩形不存在
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，点的平移性质是解题的关键
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，．
将，代入，
得解得
抛物线的表达式为，
，
顶点的坐标为；
（2）存在．
如图，设．
①以为对角线．
此时，，，
，
即，解得．
，为矩形的对角线，由中点坐标公式，得，
平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度．
②以为对角线．
，点在轴上， ，则，
平移的方向为向左平移1个单位长度．
③以为对角线时，矩形不存在．
综上所述，点的坐标为或，当点的坐标为时，
原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；
当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度．
【变式11-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)M是抛物线上一点，过点M作y轴的平行线交直线于点N，是否存在以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在．当点M的坐标为或时，以为顶点的四边形是平行四边形
【分析】本题考查了二次函数与平行四边形的存在性问题，涉及待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，平行四边形的性质等知识点．
（1）运用待定系数法即可求解；
（2）设点，求出直线的函数表达式为，由平行四边形可得，用代数式表示，再由建立一元二次方程求解．
【详解】（1）解：抛物线过点，
，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：存在．设点，
，
，
设直线，
∴
解得：
∴直线的函数表达式为，
轴，如答案图所示，
，
，
∴要使以为顶点的四边形是平行四边形，只需使即可，
当点M在第一、二，三象限时，，
解得：；
当时，；
当时，，
；
当点M在第四象限时，，此时m无实数解．
综上所述，当点M的坐标为或时，以为顶点的四边形是平行四边形．
【变式11-2】（2025·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段 的最大值及此时点的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为；
(2)有最大值，此时；
(3)存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，点的坐标为或或或．
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，二次函数的最值问题，解方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）利用待定系数法即可求解；
（）求出解析式为，设，则，则，然后利用二次函数的性质即可求解；
（）设，则有，，，分当时，当时，当时三种情况，再通过解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，
设抛物线的表达式为，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图，
设解析式为且过，，
∴，解得：，
∴解析式为，
∵是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴，
∴设，则，
∴，
∴当时，有最大值，
此时；
（3）解：存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，理由，
如图，
∵抛物线的表达式为，
∴对称轴为直线，
∵点在对称轴上，
∴设，
∵，，
∴，，，
当时，
∴，
解得，
∴，
当时，
∴，
解得，
∴或；
当时，
∴，
解得，
∴；
综上：点的坐标为或或或．
【变式11-3】（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点．
(1)求点的坐标；
(2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标；
(3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，顶点坐标为；
(3)，
【分析】（1）如图，作轴于点，证明出，得到，，进而求解即可；
（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式为，即可得到顶点坐标为；
（3）如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于，同（1）可证，求出点坐标为，点坐标为．然后分别代入抛物线验证即可．
【详解】（1）如图，作轴于点，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
又∵
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴点坐标为；
（2）∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为
∴顶点坐标为；
（3）在抛物线上存在点、，使四边形是正方形．
如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于，
同（1）可证，
∴，，
∴点坐标为，点坐标为．
由（2）抛物线，
当时，；当时，．
∴、在抛物线上．
故在抛物线上存在点、，使四边形是正方形．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数和四边形综合，全等三角形的性质和判定，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
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