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第二十一章 一元二次方程·培优卷
【人教版】
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级下·山东泰安·期中）下列方程一定是关于的一元二次方程的是
A． B．
C． D．
2．（3分）（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为（ ）
A．0 B． C．4 D．
3．（3分）（24-25八年级下·浙江温州·期末）已知关于的方程与的解完全相同，则常数的值为（　　）
A． B． C．1 D．4
4．（3分）（24-25八年级下·山东威海·期末）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
5．（3分）（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．2029 B．2028 C．2027 D．2026
6．（3分）（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）某校“研学”活动小组在一次野外实践中，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（24-25九年级上·河北石家庄·期中）有一个正数a，a与1的和乘以a与1的差仍得a，则（ ）
A． B． C． D．或
8．（3分）（24-25九年级上·宁夏银川·期末）观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（ ）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44
A． B． C． D．
9．（3分）（24-25九年级下·江西·期末）满足方程的所有正整数解有：（ ）
A．一组 B．二组 C．三组 D．四组
10．（3分）（2025·福建三明·一模）已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25九年级上·广东佛山·期末）写出一个以为根的一元二次方程： ．
12．（3分）（24-25九年级上·广东梅州·期中）把方程配方成为 ．
13．（3分）（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值 ．
14．（3分）（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的方程的解为，则关于的方程的解为 ．
15．（3分）（24-25八年级下·安徽六安·期末）对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为 ．
16．（3分）（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，，动点P从点C出发，以2的速度沿方向运动；同时动点Q从点B出发，以1的速度沿方向运动．则运动 秒后 P、Q两点相距25．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级下·山东泰安·期末）解下列方程：
(1)；
(2)．
18．（6分）（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知：平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根，
(1)试说明：无论m取何值方程总有两个实数根．
(2)若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？
19．（8分）（24-25八年级下·山东济南·期末）商场销售一批衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件．
(1)若商场平均每天要盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？
(2)要使商场平均每天盈利1400元，可能吗？请说明理由．
20．（8分）（24-25九年级上·江苏扬州·期中）定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“同步方程”．例如，方程是“同步方程”．
(1)下列方程是“同步方程”的是________（填序号）；
①，②，③；
(2)若方程是“同步方程”，求的值；
(3)若方程为“同步方程”，直接写出满足的数量关系．
21．（10分）（24-25六年级下·山东威海·期末）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单．
例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：．请借助整体思想完成：
(1)___________；
(2)，求___________；
(3)已知，求
22．（10分）（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)当m为何值时，该方程有两个实数根？
(2)若边长为的菱形的两条对角线的长分别为该方程两根的2倍，求m的值．
23．（12分）（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
(1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米；
(2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽；
(3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由．
24．（12分）（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
①用配方法分解因式：
解：原式
②利用配方法求最小值：求最小值．
解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是．
【应用】根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：________=（x- ）2；
（2）将变形为的形式，并求出的最小值；
【探究】若，（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第二十一章 一元二次方程·培优卷
【人教版】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级下·山东泰安·期中）下列方程一定是关于的一元二次方程的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的识别，根据一元二次方程的定义（整式方程，且未知数的最高次数为2，二次项系数不为0），逐一分析选项即可．
【详解】A．：是整式方程，仅含未知数x，且最高次数为2，二次项系数为1（非零），符合定义．
B．：含分式，属于分式方程，非整式方程，不符合定义．
C．：未限定，当时方程变为一次方程，不一定是二次方程．
D．：含根号和绝对值（），属于根式方程，非整式方程，不符合定义．
故选A．
2．（3分）（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为（ ）
A．0 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化简为一般式，再将一次项的系数为0且二次项系数不为0，求解即可．
【详解】解：，
一元二次方程不含一次项，
，，
，，
解得，
故选：D．
3．（3分）（24-25八年级下·浙江温州·期末）已知关于的方程与的解完全相同，则常数的值为（　　）
A． B． C．1 D．4
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的解，根据两个方程解完全相同，确定根的和与积相等，进而求解参数．
【详解】解：方程的解为和，
方程的解为（需），
因为两方程解完全相同，故根的和与积相等：
∴，
解得：，
，
代入得：，
解得，
故选：B．
4．（3分）（24-25八年级下·山东威海·期末）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据一元二次方程的定义和根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，解得：，
∴且，
故选：．
5．（3分）（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．2029 B．2028 C．2027 D．2026
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的根，根与系数的关系．由是方程的一个实数根，可得．由根与系数的关系，可得．代入即可求解．
【详解】解： 是方程的一个实数根，
，
．
是方程的两个实数根，
．
，
故选A．
6．（3分）（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）某校“研学”活动小组在一次野外实践中，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是57，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），．
故选：B．
7．（3分）（24-25九年级上·河北石家庄·期中）有一个正数a，a与1的和乘以a与1的差仍得a，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】本题考查解一元二次方程，根据题意列出方程求解即可
【详解】解：依题意得：，
整理得：，
解得：（舍去）
故选：B
8．（3分）（24-25九年级上·宁夏银川·期末）观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（ ）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的解．
利用表格中的数据得到时，，时，；于是可判断一元二次方程的一个解在与之间，更接近，故可得解．
【详解】解：∵时，，时，；
∴一元二次方程的一个解为，更接近，
∴方程的一个近似解是．
故选：C．
9．（3分）（24-25九年级下·江西·期末）满足方程的所有正整数解有：（ ）
A．一组 B．二组 C．三组 D．四组
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式的应用，二元一次方程的正整数解，将原方程变形为关于x的一元二次方程，通过求根公式和判别式分析可能的正整数解，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：原方程变形为：
将其视为关于x的一元二次方程，判别式为：
，
∵方程有正整数解，
即判别式为非负完全平方数，
即，且y为正整数，
解得y的可能取值为,,,：
当时，则，
此时，不是正整数，不符合题意，故舍去；
当时，则，
此时，
∴ （舍去），
即方程组的正整数解为 ；
当时，则，
此时，不是正整数，不符合题意，故舍去；
当时，则，
此时，
∴ ，
即方程组的正整数解为 或 ；
综上，共有三组正整数解，
故选：C
10．（3分）（2025·福建三明·一模）已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，三角形三边关系的应用，先解方程得到一个解为，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根，且，再进一步解答即可．
【详解】解：∵，
∴或，
当时，则，
当时，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根，
∴，，，
解得：，
∵方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，
∴，
∴，
∴，
解得：，
综上：，
故选：C
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25九年级上·广东佛山·期末）写出一个以为根的一元二次方程： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解成为解题的关键．
以为根写一个一元二次方程即可．
【详解】解：以为根写一个一元二次方程可以为：．
故答案为：（答案不唯一）．
12．（3分）（24-25九年级上·广东梅州·期中）把方程配方成为 ．
【答案】
【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先将方程变形为，再方程两边同加上4，利用完全平方公式变形即可得．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
13．（3分）（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，根据根与系数的关系可得，则，解方程可得或，再利用判别式求出k的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个根，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得或，
，
∴，
∴，
故答案为：1．
14．（3分）（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的方程的解为，则关于的方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握将进行换元转化为已知方程形式是解题的关键．把关于的方程中的看成一个整体，利用已知方程的解来求解．
【详解】解：令，则方程可化为．
关于的方程的解为，，
在中，，．
即或．
当时，；当时，．
故答案为：， ．
15．（3分）（24-25八年级下·安徽六安·期末）对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义的含义是解本题的关键．
分两种情况：当时，当时，根据新定义列方程，求解即可．
【详解】解：∵，
∴当时，
，
即，
解得：，，
当时，
，
即，
解得：（舍去），，
综上，实数x的值为或0或1．
故答案为：或0或1．
16．（3分）（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，，动点P从点C出发，以2的速度沿方向运动；同时动点Q从点B出发，以1的速度沿方向运动．则运动 秒后 P、Q两点相距25．
【答案】10
【分析】本题考查了动点问题、勾股定理及解一元二次方程，根据题意用时间准确表示出，的长并找到等量关系是解题的关键．设运动时间为x秒，则，，根据图形知，根据勾股定理列出方程，解出即可．
【详解】解：设运动x秒后P、Q两点相距25，
则，，
由题意，得，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去，
故答案为：
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级下·山东泰安·期末）解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)，．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程的常用方法有：直接开方法、配方法、公式法、分解因式法．
利用完全平方公式分解因式，可得：，从而可得方程的解为；
用十字相乘法分解因式，可得：，因为两个数的乘积为，所以这两个因数中致少有一个为，可得：或，分别解这两个一元一次方程即可得到一元二次方程的解．
【详解】（1）解：，
分解因式可得：，
解得：；
（2）解：，
分解因式可得：，
或，
解得：，．
18．（6分）（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知：平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根，
(1)试说明：无论m取何值方程总有两个实数根．
(2)若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的相关知识，平行四边形的性质．
（1）根据根的判别式证明即可；
（2）先由的长为2求出，进而可知原方程为，根据根与系数的关系求出、的和，即可求出平行四边形的周长.
【详解】（1）证明：∵，
∴无论m取何值方程总有两个实数根；
（2）解：∵、的长是关于x的方程的两个实数根，的长为2，
∴，
解得：，
即，
∴、的和，
∵平行四边形，
∴，，
∴平行四边形的周长．
19．（8分）（24-25八年级下·山东济南·期末）商场销售一批衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件．
(1)若商场平均每天要盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？
(2)要使商场平均每天盈利1400元，可能吗？请说明理由．
【答案】(1)15元
(2)不可能；理由见解析
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用和根的判别式，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利每天销售的利润是解题关键．
（1）利用衬衣每件盈利平均每天售出的件数每天销售这种衬衣利润，列出方程解答即可．
（2）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以．
【详解】（1）解：设每件衬衫应降价x元．
根据题意，得：，
整理，得：，
解得，
答：每件衬衫应降价15元．
（2）解：不可能．理由如下：
设每件衬衫应降价x元，
，
整理得，
，方程无实数根．
商场平均每天不可能盈利1400元．
20．（8分）（24-25九年级上·江苏扬州·期中）定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“同步方程”．例如，方程是“同步方程”．
(1)下列方程是“同步方程”的是________（填序号）；
①，②，③；
(2)若方程是“同步方程”，求的值；
(3)若方程为“同步方程”，直接写出满足的数量关系．
【答案】(1)①②
(2)或
(3)
【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根与系数的关系的应用，熟练掌握新定义，正确应用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据新定义同步方程的概念，逐一验证三个方程，得到结果；
（2）根据同步方程的定义，结合一元二次方程根与系数的关系，得到，从而得到a的值；
（3）根据同步方程的定义，结合一元二次方程根与系数的关系，得到结果．
【详解】（1）解：①∵，
∴，
∴，
∴是“同步方程”；
②∵，
∴，
∴，
∴是“同步方程”；
③∵，
∴，
∴，
∴，
∴不是“同步方程”，
故答案为：①②；
（2）解：∵是“同步方程”，
∴，
∴，
∴当时，，
当时，，
故或；
（3）解：∵为“同步方程”，
∴，，
∴，
∴．
21．（10分）（24-25六年级下·山东威海·期末）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单．
例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：．请借助整体思想完成：
(1)___________；
(2)，求___________；
(3)已知，求
【答案】(1)
(2)9
(3)
【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，解高次方程和一元二次方程的方法，学会整体代入思想是解题的关键．
（1）把看成一个整体，利用平方差公式和完全平方公式计算即可；
（2）把看成一个整体，利用平方差公式计算解方程即可；
（3）把看成一个整体，利用完全平方公式计算解方程即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
，
，
，
；
（3）解：令，
原方程变形为：，
，
，
，
，
．
22．（10分）（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)当m为何值时，该方程有两个实数根？
(2)若边长为的菱形的两条对角线的长分别为该方程两根的2倍，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，菱形的性质，勾股定理的应用；
（1）根据，再建立不等式求解即可；
（2）设方程的两根分别为、，由根与系数的关系得：，结合菱形的边长为，两条对角线的长为，满足，即：，再建立方程求解并检验即可．
【详解】（1）解：方程有两个实数根，
，
解之得：．
当时，方程有两个实数根；
（2）解：设方程的两根分别为、，
由根与系数的关系得：，
由题意可知：菱形的边长为，两条对角线的长为，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴其半对角线长与边长构成直角三角形，
∴，
即，
，
解之得：或．
，，
，，
当时，，．
当时，，
不合题意，舍去，
又由（1）知：，
．
23．（12分）（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
(1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米；
(2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽；
(3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)宽为5米，长为米
(3)不能，理由见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）由题意列出代数式即可．
（2）根据花圃的面积刚好为平方米，结合题意可列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
（3）设花圃的一边长为米，则 ，根据花圃的面积为平方米，列出一元二次方程，然后由根的判别式，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽长为米，
∴另一边的长为米，
故答案为：；
（2）解：∵花圃的面积刚好为平方米，
∴，
化简得：，
解得：，，
∵墙的最大可用长度为米，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意；
答：此时花圃的长与宽边分别为米和5米；
（3）解：建成花圃的面积不可能为平方米，理由如下：
设花圃的一边长为米，
则 ，
根据题意可得：，
整理得：，
∵，
∴方程无解，
∴建成花圃的面积不可能为平方米．
24．（12分）（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
①用配方法分解因式：
解：原式
②利用配方法求最小值：求最小值．
解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是．
【应用】根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：________=（x- ）2；
（2）将变形为的形式，并求出的最小值；
【探究】若，（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由．
【答案】【应用】（1）36，6；（2），最小值【探究】，见解析
【分析】本题考查配方及其应用，掌握完全平方公式的结构特征是求解本题的关键．
（1）根据完全平方公式的特征求解．
（2）先配方，再求最小值．
探究：作差后配方比较大小．
【详解】应用：（1）∵
故答案为：36，6．
（2）
∵，
∴当时，原式有最小值．
【探究】因为，，
；
因为，
所以，
所以，
即．
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