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第二十一章 一元二次方程（举一反三讲义）全章题型归纳
【人教版】
【培优篇】 7
【题型1 一元二次方程的相关概念】 7
【题型2 一元二次方程的一般解法】 8
【题型3 配方法的应用】 11
【题型4 根的判别式与一元二次方程根的情况】 15
【题型5 根的判别式与根与系数关系的综合】 17
【题型6 一元二次方程的实际应用】 21
【拔尖篇】 25
【题型7 利用根与系数的关系求值】 25
【题型8 利用一元二次方程的根求取值范围】 27
【题型9 一元二次方程解决动点问题】 31
【题型10 一元二次方程与几何图形】 36
知识点1 一元二次方程的定义
1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做一元二次方程.
2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2.
例如：=2，，，，均不是一元二次方程.
知识点2 一元二次方程的一般形式
1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项.
2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号.
3.一元二次方程的特殊形式.
（1)当b=0时，得()；
（2)当c=0时，得()；
（3)当b=0且c=0时,得().
知识点3 一元二次方程的解（根）
1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，().
知识点4 直接开平方法解一元二次方程
1. 非负数a的算术平方根为，平方根为．
例如：144的算术平方根为，平方根为．
2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法．
例如，解得．
一般地，对于方程p．
方程有两个不等的实数根，
方程有两个相等的实数根
方程无实数根
3. 直接降次解一元二次方程的步骤
(1)将方程化为p或的形式；
（2)直接开平方化为两个一元一次方程；
（3)解两个一元一次方程得到原方程的解．
知识点5 配方法解一元二次方程
1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．
2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例)
一般步骤 方法 实例
一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边
二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数
三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即
四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方
五解 得出两个根 移项，合并同类项 ，
归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根．
3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则．
知识点6 一元二次方程根的判别式
1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定．
一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即．
2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况
（1）一元二次方程有两个不相等的实数根；
（2）一元二次方程有两个相等的实数根；
（3）一元二次方程无实数根．
3. 应用
（1）不解方程判断一元二次方程根的情况；
（2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围．
知识点7 公式法解一元二次方程
1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．
方程有两个不相等的实数根
方程有两个相等的实数根
方程无实数根
2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤
（1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值；
（2）求出的值；
（3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根．
知识点8 因式分解法解一元二次方程
1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式
3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤
一移 使方程的右边为0
二分 将方程的左边因式分解
三化 将方程化为两个一元一次方程
四解 写出方程的两个解
知识点9 一元二次方程根与系数的关系
1. 由求根公式可得当时，一元二次方程的两根分别为，,则，．
例如：方程的两根为，，则，．
2. 一元二次方程根与系数的关系的应用
（1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值．
（2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值．
（3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值．
（4）与根的判别式相结合，解决一些综合题．
知识点10 实际问题中常见的数量关系及表示方法
1. 平均增长（降低）率问题
设增长（降低）的基数为a，每次的平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n次后的数量为b，则增长率公式为，降低率公式为．
2. 销售利润问题
（1）利润=售价－进价；
（2）利润率=；
（3）售价=进价；
（4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出．
3. 几何问题
（1）面积公式：，，，；
说明：①a，b分别为长方形的长、宽；
②a为正方形的边长；
③r为圆的半径；
④a为三角形的一边长，h为边长为a的边上的高．
（2）体积公式：，，，．
说明：①a，b，h分别为长方体的长、宽、高；
②a为正方体的棱长；
③R为圆柱底面圆的半径，h为圆柱的高；
④R为圆锥底面圆的半径，h为圆锥的高．
4. 传播问题
传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=二轮传染后被传染的总数．
5. 计数问题
若参赛队伍数为n，则单循环赛中每队比赛场数为场，比赛总场数为场.双循环赛中每队比赛场数为2场，比赛总场数为场．
数字问题
两位数 十位数字 个位数字
三位数 百位数字 十位数字 个位数字
7. 存款利息问题
本息和=本金+利息；利息=本金利率存期．
8. 工程（行程）问题
工作总量=工作效率×工作时间；路程=速度×时间．
9. 动点问题
解决几何图形中的动点问题，通常是在点的运动变化中，列出相关线段的代数式，再利用面积公式、勾股定理等列出一元二次方程解决．
知识点2 列一元二次方程解应用题的一般步骤
可简单地分为审、设、列、解、验、答六个步骤．
（1）审：认真审题，分析题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系；
（2）设：用字母（如x）表示题目中的一个未知量；
（3）列：根据等量关系，列出所需的代数式，进而列出方程；
（4）解：解方程，求出未知数的值；
（5）验：检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去；
（6）答：写出答案（包括单位名称)．
【培优篇】
【题型1 一元二次方程的相关概念】
【例1】（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知a是方程的解，则代数式的值为 ．
【答案】2024
【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意可得，整理得到，再整体代入代数式进行计算即可．
【详解】解：∵a是方程的解，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2024．
【变式1-1】（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）下列是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．根据一元二次方程的定义，找出是一元二次方程的选项即可．
【详解】解：A、该选项的方程含有分式，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、该选项有一个未知数且最高次数为2，是一元二次方程，故该选项符合题意；
C、该选项的方程是一元一次方程，故该选项不符合题意；
D、该选项有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意．
故选：B．
【变式1-2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．将一元二次方程化为一般式，求出二次项系数，一次项系数，常数项即可．
【详解】解：将一元二次方程变形为：，
此时二次项系数为，一次项系数为，常数项为．
故答案为：D．
【变式1-3】（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此求解即可．
【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，
∴且，则且，
∴，
故答案为：．
【题型2 一元二次方程的一般解法】
【例2】（24-25八年级下·山东威海·期中）已知实数满足方程，则的值是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了解一元二次方程，令，则原式为，解方程即可解答，注意方程无实数根的情况是解题的关键．
【详解】解：令，
则原式为，
解得，
当时，，方程有实数根，
当时，，方程没有实数根，
，
故答案为：3．
【变式2-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解下列方程
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤．
（1）利用开平方根法即可求解；
（2）利用因式分解法即可求解；
（3）利用十字相乘法即可求解；
（4）利用求根公式即可求解．
【详解】（1）解：
∴，；
（2）解：
∴，；
（3）解：
∴，；
（4）解：
∵，
，
∴，．
【变式2-2】（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）关于的方程，下列四种不同解法中，完全正确的是（　　）
①两边同时除以得.
②化简整理得，∵，，，，∴.
③整理得，配方得，∴，∴，∴，.
④移项得：，∴或，∴，.
A．① B．② C．④ D．③④
【答案】C
【分析】本题考查了解二元一次方程-因式分解法，直接开方法，公式法，以及配方法，根据解一元二次方程的方法逐一判断即可．
【详解】解：A．①不符合解一元二次方程的方法，故①错误；
B．不是，故②错误；
C．配方时，等式两边应该加4，故③错误；
D．，
，
，
∴或，
∴，．故④正确．
故选：C．
【变式2-3】（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，在长方形中，以点为圆心，为半径作弧与交于点，以点为圆心，为半径作弧与交于点．设，则方程的一个正根是（　　）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
【答案】A
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，勾股定理，矩形的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键．
先算出方程的正根为，再根据题意用、表示出的长，即可解答．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
∵，
方程的一个正根是，
四边形是长方形，
，，
在中，，，
由勾股定理得：，
由作图过程知，，
，
方程的一个正根是的长，
故选：A．
【题型3 配方法的应用】
【例3】（24-25七年级下·广西桂林·阶段练习）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法：
因为，所以当时，的最小值是
所以
所以当时，的值最小，最小值是
所以的最小值是
依据上述方法，解决下列问题：
(1)当______时，有最小值是______；
(2)多项式有最______填“大”或“小”值，并求出该多项式的最值；
(3)已知的三边长都是正整数，且满足，求当时，的周长．
【答案】(1)，
(2)大，最值为
(3)
【分析】（）根据题例解答方法解答即可；
（）把多项式转化为，进而由得，即得到，即可求解；
（）由得，即得，，进而求出三角形的周长即可；
本题考查了配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵对于任意实数都有，
∴当时，的最小值是，
∴，
当时，有最小值是，
故答案为：；；
（2）解：
，
∵对于任意实数都有，
，
，
当时，多项式有最大值，最大值为，
故答案为：大；
（3）解：，
，
，
∴，，
，，
，
的周长．
【变式3-1】（2025·安徽六安·一模）已知为实数，且，则之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，配方法的应用．先根据已知等式求出，，再利用完全平方公式判断出，，由此即可得出答案．
【详解】解：∵，
解得，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【变式3-2】（2025·安徽池州·模拟预测）已知实数a，b满足，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了不等式的性质及配方法的应用，解决本题的关键是熟练掌握不等式的性质及配方法的应用，由可得，可得可得出， 即对所有成立．将代入得：可得， 再判断即可．
【详解】解：由可得，
，
，
，
即对所有成立．
将代入得：
，
，
，
即对所有成立．
故选：．
【变式3-3】（2025·浙江湖州·一模）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式，（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示：
二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法
（说明：a，b，m，n，，均为常数）
有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个x的值，使代数式的值为0，则；④若，则c的值不可能是．其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①④/④①
【分析】本题主要考查配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法，熟练掌握配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次排除答案．
【详解】解：∵，
，
，
，
∴，
①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；故正确；
②∵，
∴，
解得：，
∴；故错误；
③由题意可知：当时，方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴；故错误；
④当，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，所以c的值不可能是，说法正确；
综上所述：正确的结论有①④；
故答案为①④．
【题型4 根的判别式与一元二次方程根的情况】
【例4】（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根．
【答案】(1)见解析
(2)，方程的另一个根为
【分析】本题围绕一元二次方程展开，（1）通过根的判别式证明方程根的情况；（2）利用根的定义和方程求解（或韦达定理）得出和另一根，核心是对一元二次方程根的相关知识（判别式、根的定义、韦达定理 ）．
（1） 根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解．
（2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路．
【详解】（1）证明：由题意得：，
则：，
无论取何值，，则，
不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：将代入方程可得，解得，
当时，原方程为，解得：，
即方程的另一个根为．
【变式4-1】（24-25八年级下·陕西铜川·阶段练习）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据方程的系数结合根的判别式，可得出，解之即可得出的值．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故选：D．
【变式4-2】（2025·河南焦作·二模）定义运算：，例如，则不解方程，判断方程的根的情况是 ．
【答案】有两个不等实数根
【分析】本题考查新定义，解一元二次方程，理解新定义的运算，得出方程是解题的关键．
先利用新定义得到，再把方程化为一般式，进而判断判别式的符号，求解即可．
【详解】解：∵，
，
即，
∵
∴
∴方程有两个不等实数根，
故答案为：有两个不等实数根．
【变式4-3】（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（　　）
A．只有①② B．只有①②④ C．只有②③④ D．只有②③
【答案】B
【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解．利用根的判别式，方程的解使方程成立，逐一进行判断即可．
【详解】解：若，则方程有一个根为，则；故①正确；
若方程有两个不相等的实根，则：，
则：的判别式为，
∴方程必有两个不相等的实根；故②正确；
若是方程的一个根，则，
当时，，故③错误；
若是一元二次方程的根，则：，
∴，
∴；故④正确；
故选B．
【题型5 根的判别式与根与系数关系的综合】
【例5】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程．
（1）该方程根的情况是 （填“两个相等实根”、“两个不相等实根”或“无实根”）；
（2）当时，相应的一元二次方程的两个根分别记为，则的值为 ．
【答案】 两个不相等实根
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等．熟记相关结论是解题关键．
（1）根据根的判别式即可进行判断；
（2）根据根与系数的关系，，可得：，进一步可寻找的规律，即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴故该方程有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两个根为：，
则，，
∴，
∴
∴
故答案为．
【变式5-1】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则（）
A．或1 B．1 C．3或 D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式．
根据一元二次方程根与系数的关系得到，解得，，结合根的判别式作答即可．
【详解】解：由根与系数关系可得，，
代入得，
即
解得：，
∵原方程有实数根，
∴，
解得
因此不满足，舍去，
综上，，
故选：B．
【变式5-2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）关于x的方程有两个不相等的实根，，若，则的最大值是（ ）
A．1 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据根与系数的关系得到，根据得到，推出，根据推出，代入，推出的最大值是6．
此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌两根之和与两根之积与系数的关系，解方程组，运用配方法求最值．
【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实根、，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值6．
故选：C．
【变式5-3】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）对于关于x的代数式，若存在实数m，使得当时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”．
(1)关于x的代数式的不动值是 ．
(2)判断关于x的代数式是否有不动值，若有，请求出代数式的不动值；若没有，则说明理由．
(3)已知关于x的代数式．
①若此代数式仅有一个不动值，求a的值；
②若此代数式有两个不动值，且两个不动值的差为2，直接写出正整数a的值．
【答案】(1)3或
(2)关于代数式没有不动值；
(3)①；②正整数a的值为3．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系．
（1）根据题意可得，解方程即可得到答案；
（2）根据可得只需要判断出方程是否有解即可；
（3）①根据题意可得关于的一元二次方程有两个相等的实数根，据此利用判别式求解即可；
②根据题意可得方程，设的两根为和，
由根与系数的关系得，，由题意得，据此求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，则，
∴，
∴或，
解得或，
∴关于的代数式的不动值是3或；
故答案为：3或；
（2）解：关于代数式没有不动值，理由如下：
当时，则，
∴，
∴原方程无解，
∴不成立，
∴关于代数式没有不动值；
（3）解：①∵关于的代数式仅有一个不动值，
∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
整理得
解得；
②由题意得，则，
设的两根为和，
∴，，
由题意得，
∴，即，
∴，
整理得，
解得或，
∴正整数a的值为3．
【题型6 一元二次方程的实际应用】
【例6】（24-25九年级下·重庆石柱·期中）一家工厂为了生产某种特殊材料，决定从供应商处购买甲、乙两种化工原料．已知每桶甲化工原料比每桶乙化工原料贵4元，工厂第一次花费800元采购甲化工原料和240元采购乙化工原料，发现甲化工原料的桶数是乙化工原料桶数的2倍．
(1)求每桶甲化工原料与乙化工原料的售价分别为多少元．
(2)已知供应商每桶甲化工原料的进价是元，每桶乙化工原料的进价是元，甲、乙售价不变．为了扩大生产，工厂决定再次购买这两种化工原料，且第二次购买甲化工原料的数量比第一次购买的数量少，购买的乙化工原料的数量是第一次的3倍．若供应商第二次共获利368元，求的值．
【答案】(1)每桶甲化工原料的售价为10元，每桶乙化工原料的售价为6元
(2)a的值为6
【分析】本题主要考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系，列出正确的分式方程和一元二次方程是解题的关键．
（1）设每桶甲化工原料的售价为x元，则每桶乙化工原料的售价为元，根据花费800元采购甲化工原料的桶数是花费240元采购乙化工原料桶数的2倍．列出分式方程，求解并检验即可得到答案；
（2）先求出第一次购买甲、乙化工原料的桶数，根据供应商第二次共获利368元，列出一元二次方程，解方程选取符合实际的值，即可得到答案．
【详解】（1）解：设每桶甲化工原料的售价为x元，则每桶乙化工原料的售价为元，
根据题意：
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
则（元），
答：每桶甲化工原料的售价为10元，每桶乙化工原料的售价为6元；
（2）解：第一次购买甲化工原料（桶），第一次购买乙化工原料（桶），
由题意得，，
整理得：，
解得：或（舍去，不符合题意），
答：a的值为．
【变式6-1】如果不防范，病毒的传播速度往往很快，有一种病毒人感染后，经过两轮传播，共有人感染．
(1)平均每人每轮感染多少人？
(2)第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度减少到原来的，这样第三轮传播后感染的人数只是第二轮传播后感染人数的倍，求的值．
【答案】(1)人
(2)
【分析】（1）设平均每人每轮感染人，开始是个人，则第一轮感染人，第二轮感染人，根据经过两轮传播，共有人感染，得出关于的方程，解方程即可得出结果；
（2）由第二轮传播后，病毒的传播力度减少到原来的可知，第三轮的传染人数为，根据第三轮传播后感染的人数只是第二轮传播后感染人数的倍列出关于的方程求解即可．
【详解】（1）.解：设平均每人每轮感染人，
根据题意得，，
解得，（舍去），
答：平均每人每轮感染人；
（2）依题意得：，
解得，
答：的值为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，读懂题意找出等量关系列方程求解是解答本题的关键．
【变式6-2】2025年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元．
(1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？
(2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降元（），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？
【答案】(1)原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵
(2)物业管理公司实际购买两种树共56棵
【分析】（1）设原计划购买小叶榕棵，则购买香樟棵，根据题意列出方程即可得出答案．
（2）根据给出的条件先列出小叶榕与香樟的单价表达式分别为元每棵，元每棵，再列出实际购买棵树的表达式，得到 方程式求出满足条件的值，即可得出答案．
【详解】（1）设原计划购买小叶榕棵，则购买香樟棵，
根据题意，可得，
解得，．
答：原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵．
（2）根据题意，可得 ，
整理得，，
解得：，，
∵，∴，
∴购买了39棵小叶榕，17棵香樟，
答：物业管理公司实际购买两种树共56棵．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用和一元二次方程应用的问题，熟练掌握题中的等量关系列出正确的方程解决本题的关键．
【变式6-3】月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值．
【答案】(1)甲开车的平均速度是千米/小时，步行的平均速度是千米/小时；
(2)．
【分析】（）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，根据甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时．列出分式方程，解方程即可；
（）根据乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米．列出一元二次方程，解之取其正值即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程．
【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲开车的平均速度是千米小时，步行的平均速度是千米小时；
（2）由（）可知，甲开车的时间为小时，则乙开车的时间为小时，
由题意可知，乙开车的速度为千米小时，乙步行的速度为千米小时，
由题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
答：的值为．
【拔尖篇】
【题型7 利用根与系数的关系求值】
【例7】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如果m，n是一元二次方程的两个根，那么多项式的值是 ．
【答案】2029
【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键．先根据根与系数的关系得出，，再利用一元二次方程解的定义得到，，从而得到，，则原式化简为，最后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根
，，，
，
，即
故答案为：2029．
【变式7-1】（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）若m、n是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系；
首先把m、n代入方程，可得，，再根据一元二次方程根与系数的关系，可得，求出，用整体代入法计算即可．
【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，，
，，
，
∴
，
故答案为：．
【变式7-2】已知互不相等的三个实数a、b、c满足，，求的值 ．
【答案】﹣2
【分析】将已知的两等式去分母得到关系式a2+3a+c=0和b2+3b+c=0，把a、b看成方程x2+3x+c=0的两根，由根与系数的关系得到a+b=﹣3，ab=c，所求式子变形后，把a+b=﹣3，ab=c代入，即可求出值．
【详解】由=﹣a﹣3得：a2+3a+c=0①；
由=﹣b﹣3得： b2+3b+c=0②；
∵a≠b，∴a、b可以看成方程x2+3x+c=0的两根，∴a+b=﹣3，ab=c；
∴+﹣=====﹣2．
故答案为﹣2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及分式的加减运算，灵活变换已知等式是解答本题的关键．
【变式7-3】（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知为互不相等的实数，且，，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．2
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．由题意可求出，，即说明m和n可以看作方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，．
∵为互不相等的实数，
∴m和n可以看作方程的两个根，
∴，
∴．
故选A．
【题型8 利用一元二次方程的根求取值范围】
【例8】若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ．
【答案】或/或
【分析】本题主要考查了方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
分、两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式求解即可．
【详解】解：当时，．
当时，可得，解得：，符合题意；
当时，可得，解得：，不符合题意；
当时， ，则
∴．
∵关于x的方程的所有根都是比1小的正实数，
∴，解得：，，解得：，即．
综上可得，实数m的取值范围是或．
故答案为：或．
【变式8-1】（2025·福建三明·一模）已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，三角形三边关系的应用，先解方程得到一个解为，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根，且，再进一步解答即可．
【详解】解：∵，
∴或，
当时，则，
当时，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根，
∴，，，
解得：，
∵方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，
∴，
∴，
∴，
解得：，
综上：，
故选：C
【变式8-2】已知关于的一元二次方程有两个根，，且满足．记，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，不等式的性质，由根和系数的关系可得，，，得到，由可得，即得到，即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．
【详解】解：由根和系数的关系可得，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
【变式8-3】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）关于的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则的取值范围为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解．熟练掌握是解决本题的关键．
当，解得；当，有或，分别解不等式组即可得出答案．
【详解】解：当一元二次方程有两个相等的实数根，且在的范围内时，
则，
解得：，
此时，
∴，
解得：，
∴，
当一元二次方程有两个不相等的实数根，且只有一个在的范围内时，
，
解得：，或，
当时，，
∵，
设，则不在的范围内，
∴，
解得，
当时，原方程为：，解得，，，两个根都在的范围内，不符合题意；
当时，原方程为：，解得，，，不在的范围内，符合题意；
因此，
当时，，
∵，
∴不在的范围内，
∴，
解得无解，
∴的取值范围为或，
故答案为：或．
【题型9 一元二次方程解决动点问题】
【例9】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从点出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当时，（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，由题意得，，则，由勾股定理得到，则，则由勾股定理可得，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∴，
在中，，，，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或，
故选：C．
【变式9-1】如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动，问：
(1)经过多长时间，长为？
(2)经过多长时间，面积等于矩形面积的？
【答案】(1)经过2秒或秒；
(2)经过1秒或2秒．
【分析】（1）设经过x秒，MN长为，先求出时间的范围，再利用矩形性质得出，，根据勾股定理得到，再用x表示出 ，，代入，得到关于x的一元二次方程求解；
（2） 设经t秒，面积等于矩形面积的，先用t表示出，，再利用三角形面积公式列出一元二次方程求解．
【详解】（1）解：设经过x秒，长为，
∵当点M到达点B时，两点同时停止运动，
∴，
∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴，
∴，
∵动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，
∴经过x秒，，，
∴，
∴，，
答：经过2秒或秒，长为；
（2）设经t秒，面积等于矩形面积的，
∴，，
∵当点M到达点B时，两点同时停止运动，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
答：经过1秒或2秒，面积等于矩形面积的．
【点睛】本题考查了矩形的性质，四边形的动点问题，勾股定理，一元二次方程的解法，解题关键是利用字母表示出待求三角形的边长．
【变式9-2】（24-25八年级下·广西百色·期中）如图，在中，，，点E从A点出发，沿射线运动，速度为，点F从点C出发，沿线段运动，速度为，连接．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 s后，的面积恰为．
【答案】4或6
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握含30度的直角三角形性质，三角形面积公式，是解题关键．
设经过t秒后的面积恰为，过点F作于点D，求出，结合，根据三角形的面积公式列出方程求解．
【详解】解：设经过时间为，过点F作于点D，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或，
即经过或后，的面积恰为．
故答案为：4或6．
【变式9-3】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在矩形中，，，点，同时从点出发，点以的速度沿方向运动，点以的速度沿的方向运动．当其中一点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为，的面积为，矩形的面积为，当时，的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质、含角的直角三角形的性质、动点问题的分类讨论以及一元二次方程的应用，解题的关键是分阶段确定点Q的运动位置，通过作高表示三角形的高，建立面积表达式后结合面积关系列方程求解．
先根据矩形边长和求出的长及矩形面积确定运动总时间范围；分点Q在上和在上两种情况，分别过动点作高，利用直角三角形性质表示出的高；根据三角形面积公式得出的表达式，结合列方程，求解后检验解是否在对应时间区间内，舍去不符合题意的解．
【详解】，，
，
，当点到达点．即时、点停止运动．
如图1、当点在上运动时，，，
过点作于点M．
解得（舍去）．
如图2，当点在上运动时，2．；
过点作于点N．
解得
∴均不符合题意，舍去．
综上所述，当时，．
故答案为．
【题型10 一元二次方程与几何图形】
【例10】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在矩形中，是边上一点，且，连接，将绕点逆时针旋转至点与点重合时停止，且点的对应点恰好落在上，连接并延长交于点，连接交于点．已知，则 ．
【答案】
【分析】根据矩形的性质和旋转的性质证明，得到，设，则，在中，由勾股定理列出方程，即可求解．
【详解】解：由题意，得，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：（负值舍去）；
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质和判定、等边对等角、全等三角形的性质和判定、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【变式10-1】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，菱形的边长为5，点在边上，连结，过点作于点，，将菱形分割成三部分后，恰好可以拼成一个直角三角形，若，则线段的长度为 ．
【答案】
【分析】由题意可得，连接，过点分别作，，垂足为点，设，，由，得到，那么有三线合一可得，则，在中，由勾股定理建立方程求出，则，可得四边形为矩形，则由双勾股定理可得，继而建立方程求出，即可求解．
【详解】解：由题意得可得，连接，过点分别作，，垂足为点，
设，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：或（舍）
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程，等腰三角形的性质等知识点，难度较大，正确构造辅助线是解题的关键．
【变式10-2】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，点E，F分别在边，上，，把沿折叠，点A恰好落在边上的点G处，连接，，延长交的延长线于点H，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】延长交的延长线于点，过点作于，则，证明，可得 ，由折叠可得，从而求得，再由勾股定理求出，设，由勾股定理列方程可求出．
【详解】解：延长交的延长线于点，过点作于，
则，如图：
∵四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由折叠可得，
，
，
，
，
∴四边形是矩形，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．
【变式10-3】（24-25八年级下·广西梧州·期末）【方法回顾】（1）如图1，过正方形的顶点作一条直线交边于点，于点，于点．我们运用全等和正方形等知识进行推理可以知道，线段，，之间的数量关系是____________________；
【问题解决】（2）如图2，菱形的边长为，过点且垂直于的直线交边于点，过作，与直线交于点，点是上一点，且，求的长；
【思维拓展】（3）如图3，在正方形中，点在所在直线的上方，，连接，，若的面积与的面积之差为，则_____．（用含的式子表示）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）可证得，从而得出，，进一步得出结果；
（2）可证得，从而，，设，则，在根据勾股定理得出方程，进一步得出结果；
（3）作，交的延长线于E，作，交的延长线于F，根据（1）得，，，设，根据的面积与的面积之差为m得出，从而，，，最后利用勾股定理进而得出结果．
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，，
∵，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴，（舍去），
∴；
（3）如图，作，交的延长线于E，作，交的延长线于F，
由（1）得，，，
设，
∵的面积与的面积之差为m，
∴，
∵，
∴，即
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第二十一章 一元二次方程（举一反三讲义）全章题型归纳
【人教版】
【培优篇】 7
【题型1 一元二次方程的相关概念】 7
【题型2 一元二次方程的一般解法】 7
【题型3 配方法的应用】 8
【题型4 根的判别式与一元二次方程根的情况】 9
【题型5 根的判别式与根与系数关系的综合】 9
【题型6 一元二次方程的实际应用】 10
【拔尖篇】 11
【题型7 利用根与系数的关系求值】 11
【题型8 利用一元二次方程的根求取值范围】 12
【题型9 一元二次方程解决动点问题】 12
【题型10 一元二次方程与几何图形】 13
知识点1 一元二次方程的定义
1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做一元二次方程.
2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2.
例如：=2，，，，均不是一元二次方程.
知识点2 一元二次方程的一般形式
1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项.
2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号.
3.一元二次方程的特殊形式.
（1)当b=0时，得()；
（2)当c=0时，得()；
（3)当b=0且c=0时,得().
知识点3 一元二次方程的解（根）
1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，().
知识点4 直接开平方法解一元二次方程
1. 非负数a的算术平方根为，平方根为．
例如：144的算术平方根为，平方根为．
2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法．
例如，解得．
一般地，对于方程p．
方程有两个不等的实数根，
方程有两个相等的实数根
方程无实数根
3. 直接降次解一元二次方程的步骤
(1)将方程化为p或的形式；
（2)直接开平方化为两个一元一次方程；
（3)解两个一元一次方程得到原方程的解．
知识点5 配方法解一元二次方程
1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．
2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例)
一般步骤 方法 实例
一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边
二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数
三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即
四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方
五解 得出两个根 移项，合并同类项 ，
归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根．
3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则．
知识点6 一元二次方程根的判别式
1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定．
一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即．
2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况
（1）一元二次方程有两个不相等的实数根；
（2）一元二次方程有两个相等的实数根；
（3）一元二次方程无实数根．
3. 应用
（1）不解方程判断一元二次方程根的情况；
（2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围．
知识点7 公式法解一元二次方程
1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．
方程有两个不相等的实数根
方程有两个相等的实数根
方程无实数根
2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤
（1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值；
（2）求出的值；
（3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根．
知识点8 因式分解法解一元二次方程
1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式
3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤
一移 使方程的右边为0
二分 将方程的左边因式分解
三化 将方程化为两个一元一次方程
四解 写出方程的两个解
知识点9 一元二次方程根与系数的关系
1. 由求根公式可得当时，一元二次方程的两根分别为，,则，．
例如：方程的两根为，，则，．
2. 一元二次方程根与系数的关系的应用
（1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值．
（2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值．
（3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值．
（4）与根的判别式相结合，解决一些综合题．
知识点10 实际问题中常见的数量关系及表示方法
1. 平均增长（降低）率问题
设增长（降低）的基数为a，每次的平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n次后的数量为b，则增长率公式为，降低率公式为．
2. 销售利润问题
（1）利润=售价－进价；
（2）利润率=；
（3）售价=进价；
（4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出．
3. 几何问题
（1）面积公式：，，，；
说明：①a，b分别为长方形的长、宽；
②a为正方形的边长；
③r为圆的半径；
④a为三角形的一边长，h为边长为a的边上的高．
（2）体积公式：，，，．
说明：①a，b，h分别为长方体的长、宽、高；
②a为正方体的棱长；
③R为圆柱底面圆的半径，h为圆柱的高；
④R为圆锥底面圆的半径，h为圆锥的高．
4. 传播问题
传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=二轮传染后被传染的总数．
5. 计数问题
若参赛队伍数为n，则单循环赛中每队比赛场数为场，比赛总场数为场.双循环赛中每队比赛场数为2场，比赛总场数为场．
数字问题
两位数 十位数字 个位数字
三位数 百位数字 十位数字 个位数字
7. 存款利息问题
本息和=本金+利息；利息=本金利率存期．
8. 工程（行程）问题
工作总量=工作效率×工作时间；路程=速度×时间．
9. 动点问题
解决几何图形中的动点问题，通常是在点的运动变化中，列出相关线段的代数式，再利用面积公式、勾股定理等列出一元二次方程解决．
知识点2 列一元二次方程解应用题的一般步骤
可简单地分为审、设、列、解、验、答六个步骤．
（1）审：认真审题，分析题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系；
（2）设：用字母（如x）表示题目中的一个未知量；
（3）列：根据等量关系，列出所需的代数式，进而列出方程；
（4）解：解方程，求出未知数的值；
（5）验：检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去；
（6）答：写出答案（包括单位名称)．
【培优篇】
【题型1 一元二次方程的相关概念】
【例1】（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知a是方程的解，则代数式的值为 ．
【变式1-1】（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）下列是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式1-3】（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则 ．
【题型2 一元二次方程的一般解法】
【例2】（24-25八年级下·山东威海·期中）已知实数满足方程，则的值是 ．
【变式2-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解下列方程
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式2-2】（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）关于的方程，下列四种不同解法中，完全正确的是（　　）
①两边同时除以得.
②化简整理得，∵，，，，∴.
③整理得，配方得，∴，∴，∴，.
④移项得：，∴或，∴，.
A．① B．② C．④ D．③④
【变式2-3】（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，在长方形中，以点为圆心，为半径作弧与交于点，以点为圆心，为半径作弧与交于点．设，则方程的一个正根是（　　）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
【题型3 配方法的应用】
【例3】（24-25七年级下·广西桂林·阶段练习）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法：
因为，所以当时，的最小值是
所以
所以当时，的值最小，最小值是
所以的最小值是
依据上述方法，解决下列问题：
(1)当______时，有最小值是______；
(2)多项式有最______填“大”或“小”值，并求出该多项式的最值；
(3)已知的三边长都是正整数，且满足，求当时，的周长．
【变式3-1】（2025·安徽六安·一模）已知为实数，且，则之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2025·安徽池州·模拟预测）已知实数a，b满足，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2025·浙江湖州·一模）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式，（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示：
二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法
（说明：a，b，m，n，，均为常数）
有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个x的值，使代数式的值为0，则；④若，则c的值不可能是．其中所有正确结论的序号是 ．
【题型4 根的判别式与一元二次方程根的情况】
【例4】（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根．
【变式4-1】（24-25八年级下·陕西铜川·阶段练习）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．3
【变式4-2】（2025·河南焦作·二模）定义运算：，例如，则不解方程，判断方程的根的情况是 ．
【变式4-3】（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（　　）
A．只有①② B．只有①②④ C．只有②③④ D．只有②③
【题型5 根的判别式与根与系数关系的综合】
【例5】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程．
（1）该方程根的情况是 （填“两个相等实根”、“两个不相等实根”或“无实根”）；
（2）当时，相应的一元二次方程的两个根分别记为，则的值为 ．
【变式5-1】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则（）
A．或1 B．1 C．3或 D．
【变式5-2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）关于x的方程有两个不相等的实根，，若，则的最大值是（ ）
A．1 B．4 C．6 D．8
【变式5-3】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）对于关于x的代数式，若存在实数m，使得当时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”．
(1)关于x的代数式的不动值是 ．
(2)判断关于x的代数式是否有不动值，若有，请求出代数式的不动值；若没有，则说明理由．
(3)已知关于x的代数式．
①若此代数式仅有一个不动值，求a的值；
②若此代数式有两个不动值，且两个不动值的差为2，直接写出正整数a的值．
【题型6 一元二次方程的实际应用】
【例6】（24-25九年级下·重庆石柱·期中）一家工厂为了生产某种特殊材料，决定从供应商处购买甲、乙两种化工原料．已知每桶甲化工原料比每桶乙化工原料贵4元，工厂第一次花费800元采购甲化工原料和240元采购乙化工原料，发现甲化工原料的桶数是乙化工原料桶数的2倍．
(1)求每桶甲化工原料与乙化工原料的售价分别为多少元．
(2)已知供应商每桶甲化工原料的进价是元，每桶乙化工原料的进价是元，甲、乙售价不变．为了扩大生产，工厂决定再次购买这两种化工原料，且第二次购买甲化工原料的数量比第一次购买的数量少，购买的乙化工原料的数量是第一次的3倍．若供应商第二次共获利368元，求的值．
【变式6-1】如果不防范，病毒的传播速度往往很快，有一种病毒人感染后，经过两轮传播，共有人感染．
(1)平均每人每轮感染多少人？
(2)第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度减少到原来的，这样第三轮传播后感染的人数只是第二轮传播后感染人数的倍，求的值．
【变式6-2】2025年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元．
(1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？
(2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降元（），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？
【变式6-3】月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值．
【拔尖篇】
【题型7 利用根与系数的关系求值】
【例7】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如果m，n是一元二次方程的两个根，那么多项式的值是 ．
【变式7-1】（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）若m、n是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
【变式7-2】已知互不相等的三个实数a、b、c满足，，求的值 ．
【变式7-3】（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知为互不相等的实数，且，，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．2
【题型8 利用一元二次方程的根求取值范围】
【例8】若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ．
【变式8-1】（2025·福建三明·一模）已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-2】已知关于的一元二次方程有两个根，，且满足．记，则的取值范围是 ．
【变式8-3】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）关于的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则的取值范围为 ．
【题型9 一元二次方程解决动点问题】
【例9】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从点出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当时，（ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式9-1】如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动，问：
(1)经过多长时间，长为？
(2)经过多长时间，面积等于矩形面积的？
【变式9-2】（24-25八年级下·广西百色·期中）如图，在中，，，点E从A点出发，沿射线运动，速度为，点F从点C出发，沿线段运动，速度为，连接．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 s后，的面积恰为．
【变式9-3】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在矩形中，，，点，同时从点出发，点以的速度沿方向运动，点以的速度沿的方向运动．当其中一点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为，的面积为，矩形的面积为，当时，的值为 ．
【题型10 一元二次方程与几何图形】
【例10】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在矩形中，是边上一点，且，连接，将绕点逆时针旋转至点与点重合时停止，且点的对应点恰好落在上，连接并延长交于点，连接交于点．已知，则 ．
【变式10-1】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，菱形的边长为5，点在边上，连结，过点作于点，，将菱形分割成三部分后，恰好可以拼成一个直角三角形，若，则线段的长度为 ．
【变式10-2】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，点E，F分别在边，上，，把沿折叠，点A恰好落在边上的点G处，连接，，延长交的延长线于点H，若，则的长为 ．
【变式10-3】（24-25八年级下·广西梧州·期末）【方法回顾】（1）如图1，过正方形的顶点作一条直线交边于点，于点，于点．我们运用全等和正方形等知识进行推理可以知道，线段，，之间的数量关系是____________________；
【问题解决】（2）如图2，菱形的边长为，过点且垂直于的直线交边于点，过作，与直线交于点，点是上一点，且，求的长；
【思维拓展】（3）如图3，在正方形中，点在所在直线的上方，，连接，，若的面积与的面积之差为，则_____．（用含的式子表示）
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