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专题02 根与系数的关系关联根的判别式 （举一反三专项训练）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共40题，其中选择题10题，填空题10题，解答题20题． 题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加深学生对根与系数的关系与根的判别式的理解！
1．（2025·河北邯郸·三模）嘉嘉在求解关于的一元二次方程时，抄错了值的正负号，解出的一个根为，则下列结论说法正确的是（ ）
结论一：原方程有两个不相等的实数根；
结论二：原方程的两根之和．
A．结论一正确、结论二不正确 B．结论一不正确、结论二正确
C．结论一正确、结论二正确 D．结论一不正确、结论二不正确
【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程解的含义，根的判别式，根与系数的关系，根据嘉嘉抄错k的正负号后得到错误方程，代入已知根求出错误k值，进而确定原方程的系数，计算判别式判断结论一，利用根与系数关系验证结论二.
【详解】解：嘉嘉抄错后的方程为，代入根得：
，
解得：，
因此，原方程为，
∴，故原方程有两个不相等的实数根，结论一正确；
根据根与系数关系，两根之和为，但结论二写为，符号错误，故结论二不正确；
综上，结论一正确、结论二不正确，
故选A
2．（24-25九年级下·河北衡水·阶段练习）已知，是关于的方程的两个根，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，根据判别式判断根的情况，根据根与系数的关系，判断两根的符号，即可得出结论．
【详解】解： ，
，
方程有两个不相等的实数根，
是关于的方程的两个根，
；故A正确，B错误；
，故选项C错误；
异号或其中一个的值为，
的值可能大于 0 ，可能等于 0 ，也有可能小于 0 ，故D错误；
故选：A．
3．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则（）
A．或1 B．1 C．3或 D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式．
根据一元二次方程根与系数的关系得到，解得，，结合根的判别式作答即可．
【详解】解：由根与系数关系可得，，
代入得，
即
解得：，
∵原方程有实数根，
∴，
解得
因此不满足，舍去，
综上，，
故选：B．
4．（2025·河北邢台·三模）如图，点A，C在不完整的数轴上，对应的数分别为a，c，原点与点A，C均不重合．若，则方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．两根之和为
【答案】B
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、一元二次方程根的判别式、绝对值的意义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据，得到为负数，为正数，进而得到，结合两根之和为即可得到正确答案．
【详解】解：根据题意可知，，
，，
为负数，为正数，
，异号，
，
，
方程有两个不相等的实数根，两根之和为，
故选：B．
5．（2025·河北邯郸·二模）定义一种运算：，如：．若，则所有满足条件的实数的和为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据定义可得，即，再利用判别式可证明原方程有两个不相等的实数根，则由根与系数的关系可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵
∴原方程有两个不相等的实数根，
∴．
故选：B．
6．（2025·河北邯郸·二模）已知是关于x的方程的一个解，该方程的另一个解为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程解的判别式，一元二次方程的解与系数的关系．分别根据一元二次方程的解，一元二次方程解的判别式，一元二次方程的解与系数的关系逐项判断即可．
【详解】解：是方程的解，
，
，故A错误；
由题意得，该方程有两个实数根，
，
∴，故B错误；
的两个解为，，
，
，故C正确，D错误．
故选：C．
7．（24-25八年级下·陕西西安·期末）若方程的两根之积为，则的值是（ ）
A．-1 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，判别式，掌握知识点是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系，方程的两根之积等于常数项除以二次项系数．结合题目条件建立方程求解，并验证判别式是否非负．
【详解】解：对于方程 ，设其两根为 和 ，根据根与系数的关系，根的积为 ．
题目给出根的积为 ，因此有：
解得：
验证判别式：
当 时，，方程有实根，符合条件．
故选B．
8．（2025·贵州贵阳·模拟预测）若方程的两根分别为，，且，则m的取值范围为（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系；
先根据一元二次方程根的判别式的意义求出，再利用根与系数的关系得出，结合已知条件即可求出m的取值范围．
【详解】解：将方程整理为，
∴，
解得：，
根据根与系数的关系可得：，
∵，
∴，
∴，
综上，m的取值范围为，
故选：D．
9．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且满足，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系．根据方程满足，可得是方程的根，再由方程有两个相等的实数根，结合根与系数的关系解答即可．
【详解】解：∵方程满足，
∴是方程的根，
∴成立，不成立，故A选项符合题意；C选项不符合题意；
∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，，
∴，B，D选项不符合题意；
故选：A．
10．（2025·广东广州·一模）若关于的方程有两个实数根，且两根之和不小于，则代数式化简的结果是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二次根式化简，解题的关键在于正确掌握相关知识．
根据一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，建立不等式推出的取值范围，再结合完全平方公式变形，以及二次根式性质，绝对值性质化简求解，即可解题．
【详解】解：关于的方程有两个实数根，
，
两根之和不小于，
，
解得，
综上，
， ，
，
故选：D．
11．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一定二次方程，有两个实数根．设则的最大值为
【答案】
【分析】题考查了根的判别式和根与系数的关系，一次函数的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．根据题意得出，，解得：，将，代入函数关系式，根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】解：∵关于的一定二次方程，有两个实数根．
∴，
解得：
∴
∵，随的增大而增大，
∴当时，取得最大值为
故答案为：．
12．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则a的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式等知识点，灵活运用一元二次方程的相关知识成为解题的关键．
根据一元二次方程的定义和根与系数的关系得到：，解得或，然后再运用根的判别式验证即可．
【详解】解：设方程的两根为，
∵关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，
∴，解得：或，
当时，原方程变形为，该方程无实数根；
当时，原方程变形为，，故该方程有两个不等实数根，符合题意．
故答案为：．
13．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）实数a，b，c满足．
（1）当时，则 ；
（2）实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是根据式子特点，构造一元二次方程：
（1）把代入两个式子，进行求解即可；
（2）根据，得到，得到为一元二次方程的两个根，根据根的判别式，列出不等式求出的范围即可．
【详解】解：（1）把代入，得：
，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴可以看作是一元二次方程的两个根，
∴，
解得：；
故答案为：．
14．（24-25九年级下·江苏苏州·自主招生）已知是一元二次方程的两个根，且，求整数 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，先根据，，求出，得到整数或，再验证满足的值即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，且，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴整数或，
当时，，方程有两等根，不合题意；
当时，，方程有两不等根，符合题意；
故答案为：．
15．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根．若分别是一个菱形的两条对角线，菱形的面积是2，则k的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，由关于x的一元一次方程有两个实数根，得到，由分别是一个菱形的两条对角线，菱形的面积是2，，联立求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∵分别是一个菱形的两条对角线，菱形的面积是2，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴关于x的一元二次方程为，
，
∴k的值为，
故答案为：．
16．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程．
（1）该方程根的情况是 （填“两个相等实根”、“两个不相等实根”或“无实根”）；
（2）当时，相应的一元二次方程的两个根分别记为，则的值为 ．
【答案】 两个不相等实根
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等．熟记相关结论是解题关键．
（1）根据根的判别式即可进行判断；
（2）根据根与系数的关系，，可得：，进一步可寻找的规律，即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴故该方程有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两个根为：，
则，，
∴，
∴
∴
故答案为．
17．（2024·北京东城·二模）若关于的一元二次方程的两个实数根的差等于2，则实数的值是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，设方程的两个根为，，由题意得：，，，再利用完全平方公式的变形得出，求出的值，再利用判别式检验即可得出答案．
【详解】解：设方程的两个根为，，
由题意得：，，，
，
，
解得：或，
当时，，符合题意；
当时，，符合题意，
综上所述，实数的值是或，
故答案为：或．
18．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期中）若关于x的一元二次方程各项系数满足，则此方程的根的情况：①必有两个不相等的实数根；②当时，有两个相等的实数根；③当a，c同号时，方程有两个正的实数根；④当a，b同号时，方程有两个异号实数根．其中结论正确的序号是 ．
【答案】②③④
【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系．①②通过根的判别式进行判断，③④结合根与系数的关系得结论．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程各项系数满足，
∴，
∴
．
当时，，方程有两个相等的实数根，故①错②正确；
当a，c同号时，方程两根的积为，两根的和为．
∴方程有两个正的实数根，故③正确；
当a，b同号时，两根的和为，两根的积为
∴方程有两个异号实数根，故④正确．
∴正确的结论是②③④，
故答案为：②③④．
19．（2024·江西南昌·二模）已知，为关于的方程的两个实数根，若，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根及根的判别式，先根据题意可知，求出k的取值范围，再根据一元二次方程的根及根与系数的关系代入等式，求出答案即可．
【详解】根据题意可知，
即，
解得．
∵，是方程的根，
∴，．
∵，
则，
解得．
故答案为：．
20．（2024·北京门头沟·一模）已知一元二次方程，有两个根，两根之和为正数，两根之积是负数，写出一组符合条件的a、b的值 ．
【答案】，（答案不唯一）
【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的两个根为，，则两根分别与方程系数之间有如下关系：，．
根据得到，两根之和为正数，两根之积是负数可知，，找出一组符合题意的数即可．
【详解】解：一元二次方程有两个根，
，
，
两根之和为正数，两根之积是负数，
∴，，
，
令，．
故答案为：，（答案不唯一）．
21．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+(3a-1)x+2a2-1=0的两个实数根，使得(3x1-x2)(x1-3x2)=-80成立，求其实数a的可能值
【答案】a=-.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=-(3a-1)，x1 x2=2a2-1，根据(3x1- x2)(x1-3 x2)=-80，可得关于a的方程，即可求出a的值，利用判别式检验即可得答案.
【详解】∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2+(3a-1)x+2a2-1=0的两个实数根，a=1，b=(3a-1)，c=2a2-1，
∴x1+x2=-=-(3a-1)，x1 x2==2a2-1，
∵(3x1-x2)(x1-3x2)=-80，
∴3x12-10x1x2+3x22=-80，即3(x1+x2)2-16x1x2=-80，
∴3[-(3a-1)]2-16(2a2-1)=-80，
∴5a2+18a-99=0，
∴a=3或-，
当a=3时，方程x2+(3a-1)x+2a2-1=0的△＜0，
∴不合题意，舍去
∴a=-
【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法
22．已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)试求的取值范围；
(2)若，求的值；
(3)若此方程的两个实数根为，，且满足，试求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的方程，解之即可得出的值；
（3）由（2）可知：，，根据，可得，即由，可得，进而可得，则有，即，问题得解．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：；
（2）∵方程的两个实数根为，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
解得：或者，
∵根据（1）有，
即；
（3）由（2）可知：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵根据（1）有，
即．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，灵活运用完全平方公式的变形是解题的关键．
23．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论为何值，该方程都有实数根；
(2)当时，已知是关于的一元二次方程的两个根，不解方程求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式及根与系数的关系．
（1）证明根的判别式，可得结论；
（2）将代入方程，根据根与系数的关系得到，再代入代数式求值．
【详解】（1），
无论k为何值，，即，
关于x的一元二次方程都有实数根；
（2）当时，原方程为，则，
．
24．（2025·四川南充·一模）关于的方程为，其中为实数．
(1)判断方程根的情况，并说明理由．
(2)当原方程的两根满足时，求的值．
【答案】(1)方程总有两个不相等的实数根．理由见解析
(2)或
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系，解一元二次方程，熟知一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键．
（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）利用根与系数的关系得到，再根据已知条件得到关于k的方程，解方程即可．
【详解】（1）方程总有两个不相等的实数根．
理由：
原方程为一元二次方程．
方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：由根系关系，得．
，
．
配方，得．
整理，得
解得，或．
25．（24-25八年级下·山东威海·期末）关于的方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数之和等于0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，且
(2)不存在实数，使方程的两个实数根的倒数之和等于0
【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系：当一元二次方程有两个不相等的实数根；当一元二次方程有两个相等的实数根；当一元二次方程无实数根；一元二次方程根与系数的关系：．熟记一元二次方程根的情况与判别式关系、根与系数的关系，得出方程求解是解决问题的关键．
（1）由题意可得，且，解不等式即可得到答案；
（2）由一元二次方程根与系数的关系得到，代入解方程，再由（1）中，且判断即可得到答案．
【详解】（1）解：关于的方程有两个不相等的实数根，
，且，
解得，且；
（2）解：不存在实数，使方程的两个实数根的倒数之和等于0，
理由如下：
设关于的方程的两个不相等的实数根为，，
则，
方程的两个实数根的倒数之和等于0，
，
则，
解得，
由（1）知，，且，
不存在实数，使方程的两个实数根的倒数之和等于0．
26．（24-25八年级下·安徽池州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
(1)求a的取值范围；
(2)若，求a的值．
【答案】(1)
(2)a的值为
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若是方程的两个根，则有，，掌握该知识点是解答本题的关键．
（1）根据方程有两个不相等的实数根，可知方程的判别式大于0，据此列不等式即可求解；
（2）根据根与系数的关系得出，，再利用，得到，然后解关于a的方程，最后利用a的取值范围确定a的值．
【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
∴；
（2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴．
27．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）已知，是方程的两个实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据方程有实数根得到，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；
（2）由题得，，得到，推出当时，有最小值，最小值为，即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得方程的，
，
，
实数的取值范围是；
（2）解： ，是方程的两个实数根，
，，
，
，，
当时，有最小值，最小值为，
的最小值为．
28．（24-25九年级下·全国·假期作业）关于的一元二次方程的有两个实数根为，．
(1)求的取值范围；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)8
【分析】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式及绝对值，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键．
（1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
（2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
【详解】（1）解：因为关于的一元二次方程的有两个实数根，
所以，且，
解得，
所以的取值范围是．
（2）解：因为关于的一元二次方程的两个实数根为，，
所以．
又因为，
所以，
则，
所以，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
所以的值为8．
29．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的一元二次方程．
(1)判断此方程根的情况，并说明理由．
(2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和．
(3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值．
【答案】(1)此方程总有两个实数根，见解析
(2)0
(3)0
【分析】本题考查了根的判别式、方程的解得定义、根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，．
（1）由根的判别式即可知；
（2）根据韦达定理知，，由方程的两个实数根都是整数可得答案；
（3）根据方程的解得定义得、，继而知，，两式相加可得．
【详解】（1）解：此方程总有两个实数根．
理由：，
不论为何值，，
此方程总有两个实数根．
（2）解：设方程的两个根为，
则，．
此方程的两个实数根都是整数，
的值为，
符合条件的整数的值的和为0．
（3）解：是方程的两个实数根，
，，
，，
以上两式相加，可得，
即．
30．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根．
(1)当时，求及m的值．
(2)求证：．
【答案】(1)，；
(2)详见解析．
【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键．
（）把代入方程求出，然后再解一元二次方程即可；
（）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：把代入方程得，
∴ ，
∴，即，
解方程得，，，
故，；
（2）证明：方程可化为，
∵，
∴原方程有两个不相同实数根，
由根与系数的关系得，，
∵，
∵，
∴．
31．（2025·四川南充·二模）已知、是一元二次方程的两个实数根．
(1)求整数的取值；
(2)若等式成立，求整数的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系；
（1）根据方程有两个实数根，既有，求出k的取值范围，得到整数解即可；
（2）根据方程的根与系数的关系得到，，然后代入求出整数k的值．
【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：，
∴整数的为，；
（2）解：∵、是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
解得，
∴整数的值为．
32．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程．
(1)若该方程有一个根是，求的值．
(2)若该方程有两个实数根，求的取值范围．
(3)若该方程的两个实数根，满足，求的值．
【答案】(1)，；
(2)的取值范围是；
(3)的值为．
【分析】此题考查了一元二次方程的解， 一元二次方程，一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点的应用及正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键．
（）把代入方程得，然后解一元二次方程即可；
（）由题意得，然后解不等式即可；
（）由题意可得，，则，解得，， 再通过即可求出的值．
【详解】（1）解：∵该方程有一个根是，
∴，
∴，
解得，；
（2）解：∵该方程有两个实数根，
∴，
解得．
即的取值范围是；
（3）解：∵该方程的两个实数根，，
∴，，
∴，
化简得，
解得，，
由（）可知，，
所以的值为．
33．（24-25九年级下·福建福州·期中）已知关于x的方程．
(1)若方程有两个相等的实数根，求p的值．
(2)若方程的两个实数根分别为与，若都为正整数，求证为偶数．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题关键．
（1）根据一元二次方程根的判别式等于0求解即可得；
（2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，再判断出都为偶数，由此即可得证．
【详解】（1）解：∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴这个方程根的判别式，
∴．
（2）证明：∵关于的方程的两个实数根分别为与，
∴，
∵都为正整数，
∴和都是奇数，
∴都为偶数，
∴为偶数．
34．（24-25八年级下·浙江·期中）关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围．
(2)如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
(3)若方程的两个实数根为，满足，求此时的值．
【答案】(1)
(2)
(3)4
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据，解不等式即可得出答案；
（2）求出的值为6，解方程求出，代入方程求出的值即可；
（3）由一元二次方程根与系数的关系得出，，再结合求出的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得；
（2）解：∵是符合条件的最大整数，
∴的值为6，
∴方程变形为，
解得，
∵一元二次方程与方程有一个相同的根，
∴当时，，
解得：，
∵，
∴；
当时，，
解得：，
∴的值为．
（3）解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
35．（2025·福建三明·一模）已知实数、、，且满足，．
(1)求证：的值是定值；
(2)若，同号，求的取值范围；
(3)当、同号时，设，求的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，掌握一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据题意可得，，为关于的方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系即可求解；
（2）由（1）的一元二次方程根与系数的关系得，由，同号，解得：，再根据方程有两个不相等的实数根得到，解得，由此即可求解；
（3）由（1）、（2）得，，得出，确定，然后结合（2）中结果确定取值范围即可．
【详解】（1）证明：，，
，为关于的方程的两个不相等的实数根，
由根与系数的关系得，，
的值为定值．
（2）解：由（1）得，
，同号，
，
解得：，
又，
，
．
（3）由（1）、（2）得，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，即．
36．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）阅读理解：
材料1：如果实数m，n满足 ，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m，n看作是此方程的两个不相等的实数根．
材料2：关于x的一元二次方程 ，当时，该方程的正根称为黄金分割数．黄金分割数广泛应用于建筑、艺术、设计、经济等多个领域．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)已知实数a，b满足：，且，则 ．
(2)求黄金分割数；
(3)已知实数m，n，t，满足：，且，求的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
(3)
【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程．
（1）根据题意，得到实数，是方程 的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可；
（2）利用公式法解一元二次方程，取正根即可；
（3）根据根与系数的关系，，是方程的解，进而得到，再根据根与系数的关系和根的判别式求出的范围，即可．
【详解】（1）解：实数，满足：，，
，是方程的根，
，，
；
（2）解：一元二次方程的正根称为黄金分割数，
解方程，
，
∴黄金分割数为；
（3）解：实数、、满足：，
，是方程的解，
，，
，
，，
解得，
，
．
37．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）已知关于x的方程有两个实数根、．
(1)求的取值范围；
(2)是否存在正数的值使等式成立，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在
【分析】本题主要考查根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据题意得到，进行计算即可；
（2）根据根与系数的关系得到，代入进行计算即可．
【详解】（1）解：关于x的方程有两个实数根、，
，
解得；
（2）解：由题意可得：，
，
，
故，
即，
解得（均舍去）
故不存在．
38．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）阅读下面材料：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的一元二次方程有两个实数根分别为，，那么由求根公式可推出，．已知关于的方程有两个实根，，请根据上述结论，解决下面问题：
(1)当方程的一个根时，求方程的另一个根；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数之间的关系是解题的关键：
（1）把代入方程求出的值，再解方程求出的值即可；
（2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，列出方程进行求解即可；
（3）根据一元二次方程根与系数的关系，进行求解即可．
【详解】（1）解：把代入方程，得：，
解得：或，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上：或；
（2）∵方程有两个实根，，
∴，
∴，
解得：或，
当，方程化为：，
∴，满足条件；
当，方程化为：，此时，舍去；
故；
（3）∵方程有两个实根，，
∴，
∴
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去）或（舍去），
当时，原方程化为：，
此时，满足题意，
∴．
39．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）材料1：法国数学家弗朗索瓦 韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，；
材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)①已知一元二次方程的两根分别为，，则_______，_______．
②已知实数，满足：，（），则_______．
(2)已知实数、、满足：，，且，求的取值范围．
【答案】(1)①1.5，；②
(2)
【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式．
（1）①根据根与系数的关系解答；
②根据题意，得到实数，是方程 的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系，，是方程的解，进而得到，再根据根与系数的关系和根的判别式求出的范围，即可．
【详解】（1）解：①一元二次方程的两根分别为，，
，，
故答案为：1.5，；
②实数，满足：，，
，是方程的解，
，，
；
故答案为：；
（2）解：实数、、满足：，
，是方程的解，
，，
，
，，
解得，
，
．
40．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）约定：当点的横坐标和纵坐标均为整数时，称这个点为整点，若关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，则点称为该方程的“”点，经过点的直线称为该方程的一条“”线．
(1)若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值；
(2)关于x的一元二次方程的两实根为．该方程是否存在一条“”线为，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由；
(3)关于x的一元二次方程的两实根为．若该方程的“”点为整点，请求出所有满足条件的m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用根与系数的关系求解即可；
（2）根据题意，求出；再根据，得到，则，化简为，解得：或，检验是否符合题意即可；
（3）解关于x的一元二次方程，得或，根据一元二次方程的定义及新定义得到且，；根据该方程的“”点为整点，可得，都是整数，令（为整数，且）且（为整数，且），求出的值为：，或，进而得到
或或，即可求解出m的值，再代入检验即可．
【详解】（1）解：根据题意：，
∴；
（2）解：存在，
∵关于x的一元二次方程的两实根为，
∴，
∴；
∵，
∴，
根据题意得：，
∴，即，
∴，
∴，
解得：或，
当时，，则，
∵，
∴，符合题意；
当时，，则，
∵，
∴，不符合题意；
综上，；
（3）解：解关于x的一元二次方程，
，
解得：或，
∵，即，
∴且，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵该方程的“”点为整点，
∴，都是整数，
∵，，
∴，都是整数，
令（为整数，且）且（为整数，且），
∴（为整数，且）且（为整数，且），
∴且，
∴的值为：，或，
∴或或，
∴或或（舍去），
当时，，，且，符合题意；
当时，，，且，符合题意；
综上，满足条件的m的值为或．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一次函数图象上点的特征，新定义及规律探究，理解定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 根与系数的关系关联根的判别式 （举一反三专项训练）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共40题，其中选择题10题，填空题10题，解答题20题． 题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加深学生对根与系数的关系与根的判别式的理解！
1．（2025·河北邯郸·三模）嘉嘉在求解关于的一元二次方程时，抄错了值的正负号，解出的一个根为，则下列结论说法正确的是（ ）
结论一：原方程有两个不相等的实数根；
结论二：原方程的两根之和．
A．结论一正确、结论二不正确 B．结论一不正确、结论二正确
C．结论一正确、结论二正确 D．结论一不正确、结论二不正确
2．（24-25九年级下·河北衡水·阶段练习）已知，是关于的方程的两个根，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则（）
A．或1 B．1 C．3或 D．
4．（2025·河北邢台·三模）如图，点A，C在不完整的数轴上，对应的数分别为a，c，原点与点A，C均不重合．若，则方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．两根之和为
5．（2025·河北邯郸·二模）定义一种运算：，如：．若，则所有满足条件的实数的和为（ ）
A． B．2 C． D．
6．（2025·河北邯郸·二模）已知是关于x的方程的一个解，该方程的另一个解为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25八年级下·陕西西安·期末）若方程的两根之积为，则的值是（ ）
A．-1 B．1 C． D．
8．（2025·贵州贵阳·模拟预测）若方程的两根分别为，，且，则m的取值范围为（ ）
A． B．或 C． D．
9．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且满足，则（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025·广东广州·一模）若关于的方程有两个实数根，且两根之和不小于，则代数式化简的结果是（ ）
A． B．1 C． D．
11．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一定二次方程，有两个实数根．设则的最大值为
12．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则a的值为 ．
13．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）实数a，b，c满足．
（1）当时，则 ；
（2）实数a的取值范围是 ．
14．（24-25九年级下·江苏苏州·自主招生）已知是一元二次方程的两个根，且，求整数 ．
15．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根．若分别是一个菱形的两条对角线，菱形的面积是2，则k的值为 ．
16．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程．
（1）该方程根的情况是 （填“两个相等实根”、“两个不相等实根”或“无实根”）；
（2）当时，相应的一元二次方程的两个根分别记为，则的值为 ．
17．（2024·北京东城·二模）若关于的一元二次方程的两个实数根的差等于2，则实数的值是 ．
18．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期中）若关于x的一元二次方程各项系数满足，则此方程的根的情况：①必有两个不相等的实数根；②当时，有两个相等的实数根；③当a，c同号时，方程有两个正的实数根；④当a，b同号时，方程有两个异号实数根．其中结论正确的序号是 ．
19．（2024·江西南昌·二模）已知，为关于的方程的两个实数根，若，则 ．
20．（2024·北京门头沟·一模）已知一元二次方程，有两个根，两根之和为正数，两根之积是负数，写出一组符合条件的a、b的值 ．
21．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+(3a-1)x+2a2-1=0的两个实数根，使得(3x1-x2)(x1-3x2)=-80成立，求其实数a的可能值
22．已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)试求的取值范围；
(2)若，求的值；
(3)若此方程的两个实数根为，，且满足，试求的值．
23．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论为何值，该方程都有实数根；
(2)当时，已知是关于的一元二次方程的两个根，不解方程求的值．
24．（2025·四川南充·一模）关于的方程为，其中为实数．
(1)判断方程根的情况，并说明理由．
(2)当原方程的两根满足时，求的值．
25．（24-25八年级下·山东威海·期末）关于的方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数之和等于0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
26．（24-25八年级下·安徽池州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
(1)求a的取值范围；
(2)若，求a的值．
27．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）已知，是方程的两个实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)求的最小值．
28．（24-25九年级下·全国·假期作业）关于的一元二次方程的有两个实数根为，．
(1)求的取值范围；
(2)若，求的值．
29．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的一元二次方程．
(1)判断此方程根的情况，并说明理由．
(2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和．
(3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值．
30．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根．
(1)当时，求及m的值．
(2)求证：．
31．（2025·四川南充·二模）已知、是一元二次方程的两个实数根．
(1)求整数的取值；
(2)若等式成立，求整数的值．
32．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程．
(1)若该方程有一个根是，求的值．
(2)若该方程有两个实数根，求的取值范围．
(3)若该方程的两个实数根，满足，求的值．
33．（24-25九年级下·福建福州·期中）已知关于x的方程．
(1)若方程有两个相等的实数根，求p的值．
(2)若方程的两个实数根分别为与，若都为正整数，求证为偶数．
34．（24-25八年级下·浙江·期中）关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围．
(2)如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
(3)若方程的两个实数根为，满足，求此时的值．
35．（2025·福建三明·一模）已知实数、、，且满足，．
(1)求证：的值是定值；
(2)若，同号，求的取值范围；
(3)当、同号时，设，求的取值范围．
36．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）阅读理解：
材料1：如果实数m，n满足 ，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m，n看作是此方程的两个不相等的实数根．
材料2：关于x的一元二次方程 ，当时，该方程的正根称为黄金分割数．黄金分割数广泛应用于建筑、艺术、设计、经济等多个领域．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)已知实数a，b满足：，且，则 ．
(2)求黄金分割数；
(3)已知实数m，n，t，满足：，且，求的取值范围．
37．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）已知关于x的方程有两个实数根、．
(1)求的取值范围；
(2)是否存在正数的值使等式成立，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由．
38．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）阅读下面材料：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的一元二次方程有两个实数根分别为，，那么由求根公式可推出，．已知关于的方程有两个实根，，请根据上述结论，解决下面问题：
(1)当方程的一个根时，求方程的另一个根；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
39．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）材料1：法国数学家弗朗索瓦 韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，；
材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)①已知一元二次方程的两根分别为，，则_______，_______．
②已知实数，满足：，（），则_______．
(2)已知实数、、满足：，，且，求的取值范围．
40．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）约定：当点的横坐标和纵坐标均为整数时，称这个点为整点，若关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，则点称为该方程的“”点，经过点的直线称为该方程的一条“”线．
(1)若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值；
(2)关于x的一元二次方程的两实根为．该方程是否存在一条“”线为，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由；
(3)关于x的一元二次方程的两实根为．若该方程的“”点为整点，请求出所有满足条件的m的值．
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