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专题03 二次函数与角度（举一反三专项训练）
【人教版】
【题型1 二次函数与特殊角】 1
【题型2 二次函数与等角】 16
【题型3 二次函数与二倍角】 29
【题型4 二次函数与角度和差倍分】 45
【题型5 二次函数与角度之间关系】 59
知识点1 特殊角与等角
类型一 特殊角
图示
条件
解题思路 构等腰，得Q点坐标直线PA解析式P点坐标（联立直线PA与抛物线解析式）
类型二 等角平行
图示
条件
解题思路 PB∥AC直线AC和直线PB斜率相等直线PB解析式P点坐标（联立直线PB与抛物线解析式）
类型三 等角全等
图示
条件 ，CD∥x轴，
解题思路 E点坐标直线PB解析式P点坐标（联立直线PB与抛物线解析式）
知识点2 二倍角（一题多法）
类型一 二倍角加倍
图示
条件
解题思路 翻折得PB∥AD
类型二 二倍角减半
图示
条件
解题思路 延长PB交x轴于点D
类型三 二倍角减半
图示
条件
解题思路 作作轴，交BP的延长线于点D，于点H
【题型1 二次函数与特殊角】
【例1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知二次函数．
(1)求出该二次函数的顶点坐标（用含t的式子表示）；
(2)当时，y的最小值为，求出t的值；
(3)如图，若该二次函数的图象过点，且与x轴交于另一点A，与y轴交于点C，在对称轴上是否存在点P，使得，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)顶点坐标为
(2)的值为1
(3)存在点坐标为或时，为
【分析】（1）将化为顶点式即可解答．
（2）根据抛物线得对称轴为．分为若，当时函数取最小值；若，当时函数取最小值．若，当时函数取最小值，列方程求出即可；
（3）由题意得：抛物线解析式为：，则抛物线图象的对称轴为，，根据题意，设，求出直线的解析式为，过点作交于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，分为当点在轴上方时，和当点在轴下方时，分别画图求解即可．
【详解】（1）解：，
则该二次函数的顶点坐标为．
（2）解：抛物线对称轴为．
若，当时函数取最小值，
∴，解得：（不符合题意，舍去）；
若，当时函数取最小值，
∴，解得：，；
∵，
∴．
若，当时函数取最小值，
∴，解得：（不符合题意，舍去）；
综上所述，的值为1．
（3）解：存在点坐标为或时，为，
理由如下：
由题意得：，解得：，
故抛物线解析式为：，
则抛物线图象的对称轴为，，
根据题意，设，直线的解析式为，
将，代入，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
过点作交于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，
当点在轴上方时，如图，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
将代入，则，
解得：或（舍去）；
当点在轴下方时，如图，
同理，
∴，，
，，
，，
，
，
将，
代入则，
解得：（舍去）或；
综上，当点坐标为或时，为．
【点睛】该题是二次函数综合题，涉及二次函数的图象和性质、二次函数最值、一次函数解析式、等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
【变式1-1】（24-25九年级上·天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的抛物线．分别交轴于两点（点在点的左侧），交轴于点．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若点是抛物线对称轴上一点，当的周长取得最小值时，求点的坐标及的周长．
(3)当，两点满足：，，且时，若符合条件的点的个数有2个，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)点的坐标为，的周长为
(3)的取值范围为
【分析】(1)将点P的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
(2)求出抛物线的对称轴，抛物线与轴的交点两点的坐标，根据对称性可得两点关于对称轴对称，连接，交对称轴于点，连接，此时取得最小值，即可求出的周长，然后求出直线的函数表达式，进而即可得点的坐标；
(3)分别求出、、，当时，根据勾股定理可得，化简可得关于的一元二次方程，由符合条件的点的个数有2个可得，解不等式结合已知条件即可求解．
【详解】（1）解：在抛物线上，
解得：，
抛物线的函数表达式为：；
（2），
抛物线的对称轴为直线，
由，得，，
，，
由得，，
，
∴由勾股定理得，，
，
两点关于对称轴对称，
连接，交对称轴于点，连接，如图，
，
，由两点之间，线段最短，此时取得最小值，即为的长，
是定值，
的周长此时最小为，
设直线的函数表达式为，
，解得，
，
当时，，
点的坐标为；
（3）解：，
，，
，
，
，
整理得：，
符合条件的点的个数有2个，
，
，
解得：，
，
的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了抛物线的图象和性质的综合应用，勾股定理，求一次函数解析式，根的判别式，最短距离等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键．
【变式1-2】（2024·山东枣庄·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，B（点A在B左边），交y轴于C，点是抛物线上一点．
(1)求抛物线的关系式；
(2)在对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标；
(3)如图2，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】(1)根据待定系数法，将点A，点P代入抛物线解析式，解关于b，c的二元一次方程组，即可求得抛物线的解析式；
（2）由对称可得，直线与对称轴的交点就是所求的点M，求出直线的关系式和对称轴，求出交点坐标即可；
（3）分两种情况：当Q在下方或当Q在上方，构造等腰直角三角形和全等三角形求解即可．
【详解】（1）将点，代入，
得： ，
解得：
∴抛物线的解析式为 ；
（2）当时，，
∴点，
当时，有，
解得：，，
∴点，
∴抛物线的对称轴为：直线
设直线的关系式为，把点B坐标代入，
得：，解得，，
∴直线的关系式为，
由对称可得，直线与对称轴交点就是所求的点M，
当时，，
∴时，最小；
（3）当Q在下方时，如图，过P作于H，过H作轴， 交y轴于M，过P作于N，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∵，,
∴，解得 ，
∴,
设直线的解析式为 ，
∴，解得，
∴直线的解析式为 ，
联立直线与抛物线解析式得
，
解得或 ，
∴；
②当Q在上方时， 如图，过P作.于H，过H作.轴， 交y轴于M，过P作于N，
同理得.
综上，存在，点Q的坐标为或
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法确定出解析式是解本题的关键.
【变式1-3】（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，且，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点P为直线下方抛物线上一动点，过P作交AC于点D，过P作轴交x轴于点G、交于点E，点M为直线上一动点，当周长最大时，求的最小值及此时点M的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新抛物线，点F是新抛物线上一点，点Q为点B关于y轴的对称点，当时，请直接写出所有符合条件的F点的坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）根据，，得，代入，解方程组得即得；
（2）证明是等腰直角三角形，设，求出直线表达式，得，当时，最大时，周长最大，此时, ，得，，过点作的平行线，连接，并延长，交于点H，过点作于点，证明出为等腰直角三角形，则，那么，当点共线，且点与点重合，点与点重合时，取得最小值为，此时，；
（3）由轴对称知，，结合得， 由平移，得，过点C作，交直线于点P,过P作轴于点N，则，证明， ， ，得，可得，求出直线解析式，联立得 解得：，得；当F在右下侧时同理得，直线解析式为，联立得，解得，得．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于A，两点，，，
∴，
∴，
解得，
∴；
（2）解：由（1）可知，，，
∴，
∴，
∵，轴，
∴轴,
∴，
∴是等腰直角三角形，
设，直线表达式为，
则，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴当时，最大时，周长最大，
此时, ，
∴，
∴，
过点作的平行线，连接，并延长，交于点H，过点作于点，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
当点共线，且点与点重合，点与点重合时，取得最小值为，
此时
∴；
（3）解：由轴对称知，，
∴，
∵，
∴，
∵抛物线沿射线方向平移个单位，
∴抛物线是向右平移2个单位，再向下平移4个单位，
∵，
∴，
过点C作，交直线于点P，过P作轴于点N，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当F在直线左上侧时，
∴，
∴，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴，
联立得
解得：或（舍去），
∴；
当F在直线右下侧时，
同理得，直线解析式为，
联立得。
解得或（舍去），
∴；
∴或．
【点睛】本题考查了二次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数与一次函数图象和性质，三角形周长产生的二次函数的最值问题，轴对称性质，二次函数的平移性质，全等三角形的判定和性质，是解题的关键．
【题型2 二次函数与等角】
【例2】（2025·山东济宁·二模）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为m．
①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值；
②该抛物线上存在点P，使得，请直接写出所有点P的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，解题的关键是需要利用分类讨论的思想求解；
（1）将点、坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）①利用待定系数法可得直线的解析式为，如图1，过点作轴的平行线交于点，设点，则点，，根据，即可求解；
②分点在直线下方、上方两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：将点、代入抛物线，
得：，
解得：，
该抛物线的表达式为：①；
（2）解：①令，得，
解得：，，
点，
设直线的解析式为，将点、的坐标代入得：，
解得：，
直线的解析式为②，
如图1，过点作轴的平行线交于点，
设点，则点，
，
，
，
有最大值，当时，其最大值为，此时；
②，
顶点，
设直线与交于点，
当点在直线下方时，
，
点在的中垂线上，
线段的中点坐标为，过该点与垂直的直线的值为，
设中垂线的表达式为：，将点代入上式得，
解得：，
直线中垂线的表达式为：③，
设直线的解析式为，把，代入得：，
解得：，
直线的解析式为：④，
联立③④得：，
解得：，
点，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为：⑤，
联立①⑤得，
解得：，（舍去），
故点；
当点在直线上方时，
，
，
则直线的表达式为：，将点坐标代入上式并解得：，
即直线的表达式为：⑥，
联立①⑥并解得：或（舍去，
故点；
综上所述，点的坐标为或．
【变式2-1】（2025·河北邯郸·三模）已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，点M从点C出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点N从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另外一个点也停止运动，设运动时间为t秒，求t为多少时，的面积最大，并求出最大面积；
(3)如图2，P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），连接．该抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：当直线与直线垂直时，）
【答案】(1)
(2)当时，的面积最大，最大面积为
(3)存在，或．
【分析】（1）将点和点代入二次函数解析式中求解b的c的值即可求解解析式．
（2）根据点C为抛物线与x轴的交点可求解点C的坐标，由待定系数法进而可求解直线的解析式，根据三角形面积的求法，表示出的面积的表达式，再根据二次函数的性质即可求解最大值．
（3）分类讨论点P的位置，根据点P在直线下方时，求出直线的垂直平分线的解析式以及直线的解析式，即可求解点Q的坐标，进而可求解点P的坐标；再根据点P在直线上方时，依次求出直线方程即可求解．
【详解】（1）解：抛物线经过，两点，
得，解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：过点M作于点H，与y轴交于点G．如图．
设，
，解得或．
，即．
设直线的解析式为，
将点，代入，
得，解得，
，．
．
．
．
，
．
，
．
，
当时，的面积最大，最大面积为．
（3）解：存在．
设直线与交于点Q，如图．
当点P在直线下方时，
，
，即点在的垂直平分线上．
所以线段的中点坐标为．
过该点与垂直的直线的k值为，
故设的垂直平分线解析式为，
将点代入，得，
直线的垂直平分线的解析式为．
，
，同理可求直线的解析式为．
联立，解得，
点Q的坐标．
所以直线的解析式为．
联立，解得或．
点P的坐标为．
当点在直线上方时，
，
，则设直线的解析式为，
将点B的坐标代入，得，
直线的解析式为，
联立，解得或，
点的坐标为．
综上所述，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的求解，直线方程的求解，二次函数最值的性质，分类讨论点P的位置求解直线方程与抛物线的交点是解决本题的关键．
【变式2-2】（2025·湖北·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．
(1)直接写出a的值；
(2)如图1，点P为第一象限的抛物线上一点，且满足，求点P的坐标；
(3)如图2，点Q为第四象限的抛物线上一点，直线交y轴于点M，过点B作直线，交y轴于点N，当Q点运动时，线段的长度不会变化．试求其值．
【答案】(1)1
(2)
(3)不变，12
【分析】（1）将代入中，得，令，即，求出点的坐标，进而求出的值；
（2）当点在第一象限抛物线上时，时，过点作，，，设，，，在中，，可得，则，求出直线解析式为，则，由在抛物线上，可得，求出的值，即可求解；
（3）设，分别求出直线、直线的解析式，根据可得的解析式，可得出、的坐标，即可得线段的长度．
【详解】（1）解：由图象，可知，
将代入中，得，
点，
，
令，即，
解得，，
点A在点B的左侧，
点，，
，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：如图，当点在第一象限抛物线上时，，过点A作于，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，，，
在中，，
，
解得或（负值不合题意，舍去），
∴，
设直线的解析式为，
，解得，
直线解析式为，
在抛物线上，
，解得（不合题意，舍去）或4，
；
（3）解：设，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
，
同理得：直线的解析式为，
∵，
设的解析式为，
，
，解得，
的解析式为，
，
线段的长度为，
线段的长度不会改变，线段的长度为12．
【点睛】本题是二次函数综合题．考查了运用待定系数法求直线及抛物线的解析式、三角形的面积、勾股定理、求直线与抛物线的交点坐标等知识，掌握数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．
【变式2-3】（2025·四川南充·一模）如图，顶点为的拋物线经过．Rt的顶点在轴正半轴上．
(1)求抛物线的解析式．
(2)求点的坐标．
(3)在拋物线上求出点，使．
【答案】(1)抛物线解析式为
(2)
(3)点的坐标为或
【分析】（1）已知抛物线上的点在轴上，可设抛物线的一般式，再将点、的坐标代入，得到关于、的方程组，求解方程组即可得到抛物线的解析式．
（2）先根据（1）中求出的抛物线解析式确定顶点的坐标，结合图像可知，通过延长与轴交于点，作轴于，利用全等三角形的性质求出点的坐标，再求出直线的解析式，进而求出直线与轴正半轴的交点的坐标．
（3）分两种情况讨论，一是当时，先求出直线的解析式，再根据两直线平行斜率相等求出直线的解析式，最后联立直线与抛物线的解析式求出点的坐标；二是利用角的关系，通过中点构造全等三角形，求出相关直线解析式，再联立直线与抛物线解析式求出点的坐标．
【详解】（1）解：在轴上，
可设抛物线为
将A,B的坐标代入，得．
解得．
抛物线解析式为．
（2）解：由（1），．
．
如图1，由所给数据，结合图象，只能．
延长与轴交于，作轴于．则．
设直线表达式为．则
，
解得，
直线表达式为．
当时，，
．
．
．
，
．
．
（3）解：如图2，①当时，．
设直线表达式为．则
，解得，
直线表达式为．
设直线表达式为．
则．
．
直线表达式为．
由，
整理，得，
，或．
当时，．
．
②由（2），得中点．
此时，
．
设直线表达式为．则
，
解得．
直线表达式为．
由，
整理，得．解得，或．
当时，，
．
综上，点的坐标为，或
【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，以及直线与抛物线的交点问题．熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，能根据几何关系（如平行、垂直、角相等）构造全等三角形或利用直线斜率关系，以及联立函数解析式求交点坐标，是解题的关键．
【题型3 二次函数与二倍角】
【例3】（2025·江苏徐州·模拟预测）在平面直角坐标系中中，二次函数的图象与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点，其顶点的横坐标是．
(1) ________， ________；
(2)已知一次函数（k为常数）的图象为直线，直线与x轴交于点．
①连接，若，求的取值范围；
②当直线与该抛物线有且只有一个公共点时，在该抛物线上是否存在点，使得直线与所夹的锐角是的2倍？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)2；
(2)①或且；②或
【分析】（1）根据顶点横坐标可得对称轴为直线，再由对称轴计算公式可得b的值，把点C坐标代入解析式即可求出c的值；
（2）①先求出，再求出，根据，可得；则可求出且，求出直线恰好经过点，点，点时，k的值即可得到答案；
②联立得，根据直线与该抛物线有且只有一个公共点，可得关于x的方程有两个相等的实数根，则可求出，据此可得到，取，作直线，可证明，得到，则，即可得到直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置；求出直线解析式为，联立，解得或，则此时点P的坐标为；过点D作，过点D作交直线于I，则，，可推出直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置；求出直线解析式为，得到设，由，得到，则，同理可得此时点P的坐标为；综上所述，点P的坐标为或．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点的横坐标是，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∵二次函数的图象与轴交于点，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
由（1）可得抛物线解析式为，
在中，当时，解得或，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴且，
当直线恰好经过点时，则，解得，
当直线恰好经过点时，则，解得，
当直线恰好经过点时，则，解得，
∴当时，或且；
②联立得，
∵直线与该抛物线有且只有一个公共点，
∴关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴直线l解析式为，
在中，当时，，
∴，
∴；
如图所示，取，作直线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴直线与直线所夹的锐角是的2倍，
∴直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴此时点P的坐标为；
如图所示，过点D作，过点D作交直线于I，
∴，
∴，
∵
∴直线与直线所夹的锐角是的2倍，
∴直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置；
∵，
∴可设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
设，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
同理可得直线解析式为，
联立，解得或，
∴此时点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，两点距离计算公式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键在于利用分类讨论的思想求解即可．
【变式3-1】（2025·内蒙古赤峰·三模）已知抛物线，与轴交于点和点（在的左侧），与轴交于点，且，抛物线的顶点为．
(1)直接写出这条抛物线的解析式_____和顶点的坐标_____；
(2)若点在此抛物线上，轴于点，与直线相交于点，设点的横坐标为，且，求点的坐标；
(3)在（2）的基础上，在直线上是否存在一点，使直线与直线的夹角等于的2倍．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)存在点的坐标为，
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定与性质，两点间距离公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）先求出，再将其代入，即可求解，得到抛物线解析式，再配方求解顶点坐标即可；
（2）先求出 设，则，由建立方程求解即可；
（3）先求，设，当时，导角得到，由两点间距离公式建立方程求解；当时，则，由两点间距离公式建立方程求解即可．
【详解】（1）解：当，
∴，
∴，
∵，
∴，
将代入，
则：
解得：或（舍），
∴抛物线解析式为；
而，
∴；
（2）解：当，则，
解得：，
∴，
设直线表达式为：，
代入点得，
，
解得：，
∴
设，则
，
，
解得：，（舍）
；
（3）解：存在，理由如下：
∵，，
∴同理可求，设，
如图：当时，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：
∴；
②当时，
即，
∴，
∴，
解得：（舍），
∴
综上所述，存在点的坐标为或．
【变式3-2】（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与y轴交于点，且过点．
(1)求抛物线解析式；
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点P使最小，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点是抛物线上的一点，连接，当时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，则有直线解析式为；再求出对称轴为直线；连接，由对称性可得，则，当P、B、C三点共线时，的值最小，即此时的值最小，据此求出直线与对称轴的交点坐标即可得到答案；
（3）分点M在x轴上方和下方两种情况，根据构造角平分线讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，且过点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：在中，当时，解得或，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为；
∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线；
如图所示，连接，
由对称性可得，
∴，
∴当P、B、C三点共线时，的值最小，即此时的值最小，
在中，当时，，
∴当的值最小时， 点P的坐标为；
（3）解：如图所示，当点M在x轴上方时，设交x轴于G，过点G作于H，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴解得，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴此时点M的坐标为；
如图所示，当点M在x轴下方时，如图所示，取，连接，设直线交于L，
∴，
∴，
同理可得平分，
∴同理可得，
∴，
∴，
同理可得直线解析式为，
联立，解得或，
∴此时点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，角平分线的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
【变式3-3】（2025·四川绵阳·三模） 如图，抛物线与轴交于点和点(点在原点的左侧，点在原点的右侧)，与轴交于点，．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)如图1，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，．交于点，当时，求点的坐标．
(3)如图2，点的坐标为，点是抛物线上的点，连接，是否存在点，使或等于？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，的坐标或或或
【分析】（1）由及图像可得B、C两点坐标，然后利用待定系数法直接进行求解即可；
（2）由题意得出，进而得到点D、F横坐标之间的关系为，设点横坐标为，则点横坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，设，待定系数法求出直线所在的直线表达式为：，推得点，将点坐标代入抛物线，即可求出点的坐标；
（3）当时，分为点在轴上方和点在轴下方，两种情况进行讨论，结合全等三角形的判定和性质得出点的坐标为，根据待定系数法求求出直线的解析式；联立方程组，求出的坐标，结合平行线的性质与等角对等边的性质得出，结合一次函数的平移得出直线解析式，结合勾股定理即可求出点的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，联立方程组，求出的坐标；当时，分为点在轴上方和点在轴下方，两种情况进行讨论，根据等角对等边得出，结合勾股定理即可求出点的坐标，待定系数法求出直线的解析式，联立方程组，即可求出点的坐标，结合一次函数的平移得出直线的解析式，联立方程组，即可求出点的坐标．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
把、坐标代入得，
解得：，
∴抛物线解析式：；
（2）解：∵，
∴，即：，
设点横坐标为，则点横坐标为，
设直线的解析式为：，把代入得，，
解得：，
∴所在的直线表达式为：，
∵点在直线上，
∴，
设直线的函数表达式为：，把代入得：，
解得：，
∴直线所在的直线表达式为：，
则点，
把点坐标代入抛物线解析式得：，
解得：或，
则点的坐标为或；
（3）解：①当，
若点在轴上方，此时点，直线交轴于点，
若点在轴下方，此时点，过点作交于点，过点作轴交于点，作于点，如图：
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
∵直线过点、，则直线的解析式为：，
联立，
解得：或（舍去），
∴点的坐标为；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴ ，
∴ ，
∵，，
故直线可以看成直线向下平移个单位得到的，
即直线的解析式为： ，
故设，
∵，，
∴，，
∴，，，，
在与中，，
即，
∴，
解得：，
则点的坐标为，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
∵直线过点、，则直线的解析式为，
联立，
解得：， (舍去)，
则点；
②当时，
若点在轴上方，此时点，直线与交于点，过点作轴交于点，过点作作轴交于点，
若点在轴下方，此时点，如图：
∵，，
∴ ，
∴ ，
由①知，直线的解析式为，
故设，
∵，，
∴，，
∴，，，，
在与中，，
∴，
解得：，
则点的坐标为，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
∵直线过点、，则直线的解析式为，
联立，
解得：或（舍去），
∴点的坐标为；
∵，，
∴，
∴，
故直线可以看成直线向下平移个单位得到的，
即直线的解析式为： ，
联立，
解得：或（舍去），
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标或或或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，三角形的面积，求一次函数与二次函数的交点坐标，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数的平移，等角对等边等，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质与一次函数的性质，利用数形结合及分类讨论思想进行求解．
【题型4 二次函数与角度和差倍分】
【例4】（2025·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形．
(1)求该抛物线所对应的函数表达式；
(2)当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标；
(3)设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象．当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．求的值；
(4)连结、，当时，直接写出的取值范围（这里、、均是大于且小于的角）．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)
【分析】（1）根据待定系数法，将点代入即可求解．
（2）通过抛物线对称轴公式确定对称轴，利用对称点横坐标中点在对称轴上求 m 值，再根据点关于点对称的中点公式求对称点坐标．
（3）根据抛物线顶点及开口方向，确定区间与顶点位置关系，分情况讨论最高点坐标，利用纵坐标差建立方程求解．
（4）根据平行线的性质，先分析条件可得点在之间，利用中点公式计算求出各点的坐标，再计算直线的解析式，根据点分别在上时，取得临界值，求得的值，即可求解．
【详解】（1）将点代入中得：
解得：，
∴．
（2）根据抛物线对称轴公式可知：
抛物线的对称轴为，
∵、关于对称轴对称，且横坐标分别为、，
∴、中点在对称轴上，
∴，
，
解得：，
∵点是该抛物线上的点，
将代入抛物线解析式得，
，
即
设是A关于的对称点，则：
解得，，
∴点坐标为．
（3）∵抛物线顶点为，开口向上，，，
当时，包含，最低点为。
当时，，最高点为A，纵坐标差为：，
解得：；
当时，，最高点为B，纵坐标差为： ，
解得：．
综上，m的值为或．
（4）∵点是点关于点的对称点，点是点关于点的对称点，结合题意可知：
∴，，，，
∴，，，，
如图，四边形是平行四边形，当点在之间，的左侧，过点作
∴
∴
∴
当点在上时，
∴
∴
解得，
当点在上时
∴，
∴，
∴，
解得，．
其中，，时，如图，经检验符合，
综上，．
【点睛】本题主要考虑二次函数的解析式、二次函数的图象和性质、二次函数的最值、平行四边形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【变式4-1】（2025·广东揭阳·一模）【问题背景】如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点．且在实数范围内与都有意义．
(1)【知识技能】请直接写出：的值是___________，点坐标___________，点坐标___________
(2)【构建联系】是直线上方的抛物线上一点，过点作轴的垂线交直线于点，求线段的最大值：
(3)【深入探究】在抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1，；
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得，即二次函数的解析式为；
当时，求x的值，当时求出y的值，进而确定点B、C的坐标；则求得
（2）先运用待定系数法求出直线的解析式，设，从而表示出N的坐标，进而表示出的关系式，然后根据二次函数的性质求最值即可解答；
（3）①如图1：在上截取，作，连接，先说明与抛物线的交点符合条件，再求出直线的解析式为，进而求得直线的解析式为，由解得，进而确定点E的坐标；如图2，在①的图形中，作，交抛物线于，交于，易得直线的解析式为：；进而得到，即，设，则，解得：，即；由待定系数法可得直线BG的解析式为，则解得，进而求得点的坐标．
【详解】（1）解：∵在实数范围内与都有意义，
∴，解得：，
∴二次函数的解析式为，
令，即，解得：或，
∴，
令，即，即．
故答案为：1，．
（2）解：设直线的表达式为，
代入，，得，解得：
直线的解析式为：，
设，
轴，
∴轴，
，
∵，
∴ ，
，
，
当时，．
（3）解：①如图1：在上截取，作，连接，
，
，
，
，
，
，
，
与抛物线的交点符合条件，
直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
将点代入可得，解得：，
直线的解析式为：，
由，解得：（舍去）或，
当时，，
；
②如图2，在①的图形中，作，交抛物线于，交于，
，
，
，即，
设，即，解得：．
运用待定系数法可得：直线的解析式为，
∴，解得：（舍去）或，
当时，，
．
综上所述：或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数及其图象的性质、二次根式有意义的条件、等腰三角形的判定和性质、一元二次方程的解法、求一次函数的解析式等知识，灵活运用相关知识成为解题的关键．
【变式4-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线交轴于两点，交轴于C．
(1)直接写出点B，C的坐标；
(2)如图1，设点在轴上，满足，求点的坐标；
(3)如图2，将抛物线平移得到抛物线，抛物线的顶点为坐标原点，直线 与抛物线交于O，M两点，过OM的中点作直线RQ（异于直线OM）交抛物线于R，Q两点，直线QO与直线MR交于点．探究：点是否一定在某条确定直线上？若是，求出该直线的解析式；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点的坐标为或
(3)是，点一定在某直线上，直线为
【分析】（1）把点坐标代入抛物线解析式求出，进而得到抛物线表达式，再分别求与轴、轴交点坐标．
（2）分点在轴正、负半轴两种情况．利用角度关系构造全等三角形，求出相关点坐标，进而得到直线解析式，确定点坐标．
（3）先确定抛物线解析式，求出、坐标，设出、坐标，求出直线、、解析式，联立求解坐标，探究其所在直线．
【详解】（1）解：将代入，得
，
，
，
．
抛物线解析式为．
令，，解得或，
∴．
令，，
∴．
故答案为：；
（2）解： 由（1）已求得
∴抛物线，，， ．
要满足，分点在轴正半轴、负半轴两种情况讨论：
① 当点在轴正半轴时
∵，，（轴与轴垂直 ），且（到原点距离为，到原点距离为 ），
∴，即 ．
∵，过点作的垂线交直线于点，过作轴于 ．
∵（所作垂线 ），，
∴在中，，
∴ ．
∵（轴，轴与轴垂直 ），
∴，（ ），
∴ ．
在和中：
∴ ．
∴， ．
∵，，
∴，，
∴， ．
∵，且在轴左侧，
∴点纵坐标为，点横坐标为（且轴 ），即 ．
设直线的解析式为（为斜率，为截距 ），
把，代入得：
解得 ，．
∴直线的解析式为．
∵点在轴上，令，则，
∴ ．
② 当点在轴负半轴时
根据对称性（轴正负半轴关于原点对称，角度关系、构造全等的逻辑类似 ），同理
∴ ．
综上，点的坐标为或 ．
（3）解：抛物线的解析式为，
联立解得，或
设，直线RQ的解析式为，
将，代入，得
，
解得，
；
将代入得，，即；
同理可求，直线MR的解析式为，直线OQ的解析式为，
联立直线、直线解析式，得，，
解得
设点在直线上，则，
整理得，，
比较系数得，，
解得，．
当时，无论m，n为何值时，恒成立，
点一定在直线上，
直线解析式为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质、一次函数解析式求解及直线交点问题，熟练掌握二次函数与坐标轴交点求法、全等三角形构造、函数解析式联立求解是解题的关键．
【变式4-3】（2025·重庆开州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于，连接，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点是线段下方抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，点和点是直线上的两个动点（点在点的下方），且，连接，，当有最大值时，求的最小值；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点是新抛物线上的一点，连接，当时，直接写出所有符合条件的点的横坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点的横坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）待定系数法求出直线的解析式为，设，则，表示出，由二次函数的性质可得当时，最大为，此时，将点沿方向平移个单位长度（即向右平移个单位长度，向上平移个单位长度）得到，连接，，由平移的性质可得，，，得出四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，结合得出的最小值为，即可得解；
（3）求出，，再分两种情况：当点在直线的上方时；当点在直线的下方时，作点关于直线的对称点为，作直线交抛物线于，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：在中，当时，，即，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，最大为，此时，即；
如图：将点沿方向平移个单位长度（即向右平移个单位长度，向上平移个单位长度）得到，连接，，
由平移的性质可得，，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∴的最小值为；
（3）解：∵，
∴将抛物线沿射线方向平移个单位（即向右平移个单位长度，向上平移个单位长度）得新抛物线，则；
∵，，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
如图，当点在直线的上方时，
∵，，
∴，
设直线的解析式为，
将代入解析式可得：，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或（不符合题意，舍去），
故此时点的横坐标为，此时点的纵坐标为；
当点在直线的下方时，作点关于直线的对称点为，作直线交抛物线于，
由轴对称的性质可得：，，
∴，
设，则的中点坐标为在直线上，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或（不符合题意，舍去），
故此时点的横坐标为；
综上所述，点的横坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合—线段周长问题，二次函数综合—角度问题，平移的性质，求一次函数解析式，轴对称的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【题型5 二次函数与角度之间关系】
【例5】（2025·广东东莞·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点， 轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标；
(3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由．
【答案】(1)；
(2)周长的最大值为，此时点P的坐标为；
(3)存在，坐标为或．
【分析】（）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为；
（）设，则，；求出，，可得，即可知是等腰直角三角形，故，有，根据二次函数性质可得答案；
（）当在轴上方时，延长，交于，求出，设新抛物线函数表达式为，把代入可解得新抛物线函数表达式为，可得，而直线函数表达式为，设，根据，，得，即，解除m得，故直线函数表达式为，联立，即可解得；当在轴下方时，设关于x轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点，同理可解得
【详解】（1）解：把，代入得：，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：设，
轴，H在直线上，
，
；
在中，令得，令得，
，，
，
，
轴，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
当时，取最大值，最大值为，
此时，
的周长的最大值为，此时点P的坐标为；
（3）解：在新抛物线上存在一点T，使得，理由如下：
当在轴上方时，延长，交于，如图：
在中，令得或，
，
由，设抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，
新抛物线函数表达式为，
把代入得：，
解得舍去或，
新抛物线函数表达式为，
在中，令得或，
，
由，可得直线函数表达式为，
设，
，，
，
，
，
，
解得，
，
由，可得直线函数表达式为，
联立，
解得或，
；
当在轴下方时，设关于轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点，
由，得直线函数表达式为，
联立，
解得或，
；
综上所述，的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数，一次函数，待定系数法求解析式，等腰直角三角形判定与性质，二次函数图象与几何变换等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
【变式5-1】（2025·山东济宁·二模）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、．
(1)求：，的值；
(2)当时，函数的最小值是2，求出的值；
(3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，2
(2)
(3)存在，点 或
【分析】本题考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法求表达式，二次函数的性质，二次函数与角度问题等．第（3）问关键是构造三角全等．
（1）由题意得：，利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点，点，抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的性质解答即可；
（3）先求出，分点在左侧时，点在右侧时，两种情况讨论，利用三角形全等的性质解答即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
则，则，
抛物线的解析式为：，
则；
（2）解：当时，，
解得，，
点，
当时，，
点．
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，
当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值，
则，则（舍去），
∴的值为；
（3）解：存在点，理由如下：
∵，，
∴，
，
①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点，
在和中，
，，，
，
，
，
设直线的解析式为，
由点、的坐标得，直线的解析式为，
联立上式和抛物线的表达式得：，
则（舍去）或，故点；
②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点，
则，，，
，
，
四边形是正方形，
，
令中，，则，
解得或，
，，
，，
，
，
，
在点抛物线上，即点满足条件，
故存在满足条件的点有两个，分别为：或．
【变式5-2】（2025·山东烟台·模拟预测）如图，抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点，过点作轴，交抛物线于点，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)①在图1中，抛物线对称轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由；
②在图2中，点为抛物线上第四象限上一点，连接交轴于点，当时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)①存在，或或或或；
②
【分析】本题考查了求二次函数解析式，勾股定理，一元二次方程的应用.
（1）先求出，再根据求出，，代入计算即可；
（2）①先求出D点坐标，再分三种情况根据勾股定理计算一元二次方程即可；
②作轴交轴于F，连接，先根据平行线的判定和性质得到，由得到，根据等角对等边得到，设，根据勾股定理求出，进而求出直线的解析式为，联立求出，即可得解.
【详解】（1）当时，
∴
∵
∴，
分别将，代入得：
解得：
∴；
（2）①存在.
设交对称轴于M，设交对称轴于N，则，
对称轴为直线，
设E点纵坐标为a
则
∵过点作轴，交抛物线于点，
∴，关于直线对称，
∴
Ⅰ.当时，如图，
则
即，
解得：
即；
Ⅱ.当时，如图，
或
则
即，
解得：
即或；
Ⅲ.当时，如图，
或
则
即，
解得：
即或；
综上所述，点的坐标为或或或或；
②如图，作轴交轴于F，连接
∴轴，
即
∴
∵
∴
∴，
∴
设与交于G，
则，
设，
∵，
∴
整理得，
解得：，
∴
设直线的解析式为
将，
则
解得
∴，
联立得
解得：，
∵点为抛物线上第四象限上一点，
∴，
∴
【变式5-3】（2025·山东淄博·二模）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，点是第三象限内的抛物线上的动点，过作轴，交轴于点，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由；
(3)如图2，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与轴交于点，已知点，连接，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，最大值是6
(3)存在，或
【分析】（1）把，分别代入抛物线，确定解析式即可；
（2）设，则，则，
则
，根据抛物线的性质解答即可．
(3) 取点，过点Q作轴，交于点M，确定，连接并延长交对称轴直线于点，确定一个位置；过点C作轴，过点N作轴，二线交于点G，则四边形是矩形，在上取一点，使得，则，连接并延长交对称轴直线于点，确定第二个位置，解答即可．
【详解】（1）解：把，分别代入抛物线，得
解得
抛物线的解析式为.
（2）解：根据抛物线的解析式为，
∴，，，
设，则，则，
∴
，
∵，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，且最大值为6．
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，将代入直线的解析式得：，
解得，
∴直线的解析式为：，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为：，
∴，
∴，
取点，过点Q作轴，交于点M，
则，
∴，
连接并延长交对称轴直线于点，
根据题意，，，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴点符合题意，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为：，
当时，，
故；
过点C作轴，过点N作轴，二线交于点G，
则四边形是矩形，
∴,，，
∴，
在上取一点，使得，
则，
∴，
连接并延长交对称轴直线于点，
根据题意，，，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴点符合题意，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为：，
当时，，
故；
综上所述，符合题意的点H坐标有，．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形全等的判定和性质，构造二次函数求最值，角的和计算，平行线的函数思想判定，平行线的性质，一次函数解析式确定，解方程组，熟练掌握待定系数法，解方程组是解题的关键．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题03 二次函数与角度（举一反三专项训练）
【人教版】
【题型1 二次函数与特殊角】 1
【题型2 二次函数与等角】 4
【题型3 二次函数与二倍角】 6
【题型4 二次函数与角度和差倍分】 8
【题型5 二次函数与角度之间关系】 10
知识点1 特殊角与等角
类型一 特殊角
图示
条件
解题思路 构等腰，得Q点坐标直线PA解析式P点坐标（联立直线PA与抛物线解析式）
类型二 等角平行
图示
条件
解题思路 PB∥AC直线AC和直线PB斜率相等直线PB解析式P点坐标（联立直线PB与抛物线解析式）
类型三 等角全等
图示
条件 ，CD∥x轴，
解题思路 E点坐标直线PB解析式P点坐标（联立直线PB与抛物线解析式）
知识点2 二倍角（一题多法）
类型一 二倍角加倍
图示
条件
解题思路 翻折得PB∥AD
类型二 二倍角减半
图示
条件
解题思路 延长PB交x轴于点D
类型三 二倍角减半
图示
条件
解题思路 作作轴，交BP的延长线于点D，于点H
【题型1 二次函数与特殊角】
【例1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知二次函数．
(1)求出该二次函数的顶点坐标（用含t的式子表示）；
(2)当时，y的最小值为，求出t的值；
(3)如图，若该二次函数的图象过点，且与x轴交于另一点A，与y轴交于点C，在对称轴上是否存在点P，使得，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
【变式1-1】（24-25九年级上·天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的抛物线．分别交轴于两点（点在点的左侧），交轴于点．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若点是抛物线对称轴上一点，当的周长取得最小值时，求点的坐标及的周长．
(3)当，两点满足：，，且时，若符合条件的点的个数有2个，请直接写出的取值范围．
【变式1-2】（2024·山东枣庄·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，B（点A在B左边），交y轴于C，点是抛物线上一点．
(1)求抛物线的关系式；
(2)在对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标；
(3)如图2，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1-3】（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，且，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点P为直线下方抛物线上一动点，过P作交AC于点D，过P作轴交x轴于点G、交于点E，点M为直线上一动点，当周长最大时，求的最小值及此时点M的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新抛物线，点F是新抛物线上一点，点Q为点B关于y轴的对称点，当时，请直接写出所有符合条件的F点的坐标．
【题型2 二次函数与等角】
【例2】（2025·山东济宁·二模）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为m．
①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值；
②该抛物线上存在点P，使得，请直接写出所有点P的坐标．
【变式2-1】（2025·河北邯郸·三模）已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，点M从点C出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点N从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另外一个点也停止运动，设运动时间为t秒，求t为多少时，的面积最大，并求出最大面积；
(3)如图2，P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），连接．该抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：当直线与直线垂直时，）
【变式2-2】（2025·湖北·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．
(1)直接写出a的值；
(2)如图1，点P为第一象限的抛物线上一点，且满足，求点P的坐标；
(3)如图2，点Q为第四象限的抛物线上一点，直线交y轴于点M，过点B作直线，交y轴于点N，当Q点运动时，线段的长度不会变化．试求其值．
【变式2-3】（2025·四川南充·一模）如图，顶点为的拋物线经过．Rt的顶点在轴正半轴上．
(1)求抛物线的解析式．
(2)求点的坐标．
(3)在拋物线上求出点，使．
【题型3 二次函数与二倍角】
【例3】（2025·江苏徐州·模拟预测）在平面直角坐标系中中，二次函数的图象与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点，其顶点的横坐标是．
(1) ________， ________；
(2)已知一次函数（k为常数）的图象为直线，直线与x轴交于点．
①连接，若，求的取值范围；
②当直线与该抛物线有且只有一个公共点时，在该抛物线上是否存在点，使得直线与所夹的锐角是的2倍？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式3-1】（2025·内蒙古赤峰·三模）已知抛物线，与轴交于点和点（在的左侧），与轴交于点，且，抛物线的顶点为．
(1)直接写出这条抛物线的解析式_____和顶点的坐标_____；
(2)若点在此抛物线上，轴于点，与直线相交于点，设点的横坐标为，且，求点的坐标；
(3)在（2）的基础上，在直线上是否存在一点，使直线与直线的夹角等于的2倍．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-2】（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与y轴交于点，且过点．
(1)求抛物线解析式；
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点P使最小，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点是抛物线上的一点，连接，当时，求点的坐标．
【变式3-3】（2025·四川绵阳·三模） 如图，抛物线与轴交于点和点(点在原点的左侧，点在原点的右侧)，与轴交于点，．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)如图1，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，．交于点，当时，求点的坐标．
(3)如图2，点的坐标为，点是抛物线上的点，连接，是否存在点，使或等于？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型4 二次函数与角度和差倍分】
【例4】（2025·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形．
(1)求该抛物线所对应的函数表达式；
(2)当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标；
(3)设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象．当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．求的值；
(4)连结、，当时，直接写出的取值范围（这里、、均是大于且小于的角）．
【变式4-1】（2025·广东揭阳·一模）【问题背景】如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点．且在实数范围内与都有意义．
(1)【知识技能】请直接写出：的值是___________，点坐标___________，点坐标___________
(2)【构建联系】是直线上方的抛物线上一点，过点作轴的垂线交直线于点，求线段的最大值：
(3)【深入探究】在抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由．
【变式4-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线交轴于两点，交轴于C．
(1)直接写出点B，C的坐标；
(2)如图1，设点在轴上，满足，求点的坐标；
(3)如图2，将抛物线平移得到抛物线，抛物线的顶点为坐标原点，直线 与抛物线交于O，M两点，过OM的中点作直线RQ（异于直线OM）交抛物线于R，Q两点，直线QO与直线MR交于点．探究：点是否一定在某条确定直线上？若是，求出该直线的解析式；若不是，请说明理由．
【变式4-3】（2025·重庆开州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于，连接，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点是线段下方抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，点和点是直线上的两个动点（点在点的下方），且，连接，，当有最大值时，求的最小值；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点是新抛物线上的一点，连接，当时，直接写出所有符合条件的点的横坐标．
【题型5 二次函数与角度之间关系】
【例5】（2025·广东东莞·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点， 轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标；
(3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由．
【变式5-1】（2025·山东济宁·二模）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、．
(1)求：，的值；
(2)当时，函数的最小值是2，求出的值；
(3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式5-2】（2025·山东烟台·模拟预测）如图，抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点，过点作轴，交抛物线于点，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)①在图1中，抛物线对称轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由；
②在图2中，点为抛物线上第四象限上一点，连接交轴于点，当时，求点的坐标．
【变式5-3】（2025·山东淄博·二模）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，点是第三象限内的抛物线上的动点，过作轴，交轴于点，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由；
(3)如图2，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与轴交于点，已知点，连接，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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