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专题04 二次函数中的存在性问题（举一反三专项训练）
【人教版】
【题型1 角度存在性问题】 1
【题型2 全等三角形存在性问题】 14
【题型3 等腰三角形存在性问题】 23
【题型4 直角三角形存在性问题】 32
【题型5 等腰直角三角形存在性问题】 41
【题型6 平行四边形存在性问题】 50
【题型7 菱形存在性问题】 61
【题型8 矩形存在性问题】 74
【题型9 正方形存在性问题】 85
【题型10 梯形存在性问题】 97
【题型1 角度存在性问题】
【例1】（2025·重庆·模拟预测）如图，抛物线与轴分别交于点，点（点在点的右侧），与轴交于点，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴交与点，当线段的值最大时，在直线上找一点，连接，使得的值最大．请求出的最大值并求出点的坐标；
(3)将抛物线沿射线方向平移后经过点，在新抛物线上是否存在一点，使与互补，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)的最大值为，
(3)存在，点的坐标为或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）可求直线，设，则，那么，则当，最大为4，此时连接并延长至点，使得，连接，可得点关于直线对称，则，那么，当点三点共线时，取得最大值，而，则，同理可求直线，与直线联立，求出；
（3）可求新抛物线，①当在轴上方抛物线上时，可得，求出直线，与抛物线解析式联立即可求解，②当在轴下方抛物线上时，记轴上方抛物线的点为，下方抛物线的点为，作关于轴的对称点，则，则直线与抛物线交点即为点，则，同理可求直线 ，则与抛物线联立，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴分别交于点，点（点在点的右侧），与轴交于点，对称轴为直线．
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵对称轴为直线，与轴分别交于点，
∴，
对于，
当，
∴
设直线，
代入点，则，
解得：，
∴直线，
设，
∵轴，
∴将代入，
则，
解得：，
∴，
∴，
∴当，最大为4，此时
连接并延长至点，使得，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点关于直线对称，
∴，
∴，当点三点共线时，取得最大值，
∵，且，
∴，
∴，
同理可求直线，
则，
解得：，
∴；
（3）解：存在，理由如下：
在中，，
原抛物线：，
∴设平移后的解析式为：，
代入得：
解得：或（舍），
∴新抛物线解析式为：，即，
①当在轴上方抛物线上时，
∵与互补，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线，代入，则，
解得：，
∴直线，
则，
解得：或（舍），
∴
②当在轴下方抛物线上时，
记轴上方抛物线的点为，下方抛物线的点为，作关于轴的对称点，则，
则直线与抛物线交点即为点，
∵
∴，
同理可求：直线 ，
则与抛物线联立得：，
解得：或（舍），
∴
综上：点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线的平移问题，“将军饮马”问题，勾股定理逆定理，轴对称问题等知识点，难度较大，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
【变式1-1】（2025·福建莆田·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴交于点，顶点为．
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)如图，连接，，若在上方的抛物线上存在点，满足，求点的坐标．
【答案】(1)；；
(2)．
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数与二次函数交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）将点和点坐标代入求解即可；
（2）由题意可知，进而求出解析式，联立方程组求解．
【详解】（1）解：由条件可得，
解得
抛物线，
顶点；
（2）解：如图，
当时，，
则，
设直线表达式为，则由题意得：
，
解得：
∴直线表达式为，
由条件可知，
设直线的解析式为，
将点的坐标代入得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：舍或，
．
【变式1-2】（2025·广东东莞·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点， 轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标；
(3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由．
【答案】(1)；
(2)周长的最大值为，此时点P的坐标为；
(3)存在，坐标为或．
【分析】（）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为；
（）设，则，；求出，，可得，即可知是等腰直角三角形，故，有，根据二次函数性质可得答案；
（）当在轴上方时，延长，交于，求出，设新抛物线函数表达式为，把代入可解得新抛物线函数表达式为，可得，而直线函数表达式为，设，根据，，得，即，解除m得，故直线函数表达式为，联立，即可解得；当在轴下方时，设关于x轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点，同理可解得
【详解】（1）解：把，代入得：，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：设，
轴，H在直线上，
，
；
在中，令得，令得，
，，
，
，
轴，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
当时，取最大值，最大值为，
此时，
的周长的最大值为，此时点P的坐标为；
（3）解：在新抛物线上存在一点T，使得，理由如下：
当在轴上方时，延长，交于，如图：
在中，令得或，
，
由，设抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，
新抛物线函数表达式为，
把代入得：，
解得舍去或，
新抛物线函数表达式为，
在中，令得或，
，
由，可得直线函数表达式为，
设，
，，
，
，
，
，
解得，
，
由，可得直线函数表达式为，
联立，
解得或，
；
当在轴下方时，设关于轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点，
由，得直线函数表达式为，
联立，
解得或，
；
综上所述，的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数，一次函数，待定系数法求解析式，等腰直角三角形判定与性质，二次函数图象与几何变换等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
【变式1-3】（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与轴交于点，连接．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)为线段上方抛物线上一动点，当的面积最大时，在线段上有一动点，线段上有一动点，求的最小值；
(3)如图2，将原抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线恰好经过点，新抛物线与轴在右边的交点是点，连接为轴右边的新抛物线上一动点，过点作 轴于点，在轴上是否存在点，满足？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出直线的解析式，将直线向上平移，直至直线与抛物线只有一个交点时，此时的面积最大，联立解析式，根据根的判别式求出点的坐标，作点关于的对称点，作，垂线段最短，得到的最小值即为的长，求解即可；
（3）根据平移规则，求出平移后的抛物线的解析式，进而求出点的坐标，求出，得到，进而得到点在一三象限或二四象限的角平分线上，联立角平分线的解析式与新的抛物线的解析式，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴，解得：，
∴；
（2）∵，
∴当时，，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为直线，把代入，得：，
∴，
把直线向上平移，直至直线与抛物线只有一个交点时，此时的面最大，
设平移后的解析式为，
令，整理，得：，
则：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，轴，，，
∴，
∵轴，
∴，
作点关于的对称点，交于点，连接，则：垂直平分，，
∵为上的动点，
∴当时，的值最小，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为：；
（3）存在，
∵，
设平移后的解析式为：，
∵平移后的解析式经过点，
∴，
解得：或（舍去）；
∴，
∴点是由点向右平移一个单位得到的，
∵，
∴，
∵
∴，
∴
当在轴上方时，则：，
∴，即：点在一三象限的角平分线上，即：在直线上，
联立，解得：或（舍去）；
∴；
当点在轴下方时，则：，
∴，此时点在轴正半轴，
∴，
∴点在二四象限的角平分线上，即在直线上，
联立，解得：或（舍去）；
∴；
综上：或．
【题型2 全等三角形存在性问题】
【例2】（24-25九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数 的图像交于A，B两点，已知．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足 ，连接，当 的面积取得最大值时，求的最小值；
(3)当（2）中取得最小值时，将点N向下平移1个单位得到点P，将该抛物线沿直线的方向平移得到新抛物线 ，Q为新抛物线的顶点，在平移过程中，是否存在以A，B，Q为顶点的三角形和 全等 若存在，请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为
(2)最小值为
(3)存在，，
【分析】（1）首先确定，将，两点代入并求解即可；
（2）过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为，易得点E 坐标为，可知，结合三角形面积公式可得，由二次函数的性质可得当时，有最大值，此时，将点 B 关于y轴对称，再向上平移3个单位得到，则有，即可获得答案；
（3）首先确定直线，进而解得点，，的坐标，根据题意解得Q点运动轨迹为直线，然后根据全等三角形的性质，分或两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：对于一次函数，令，可得，
∴，
将，两点代入，
可得，解得，
则抛物线的表达式为；
（2）过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为，
∴点E 坐标为，
∴，
∵，，
∴，
∴当时，有最大值，
此时，
将点 B 关于y轴对称，再向上平移3个单位得到，
则：，
即最小值为 ；
（3）设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线，
令得，
∴，
∴，
∵，
∴原抛物线的顶点坐标为，
根据题意，将原抛物线沿直线的方向平移得到新抛物线 ，Q为新抛物线的顶点，
可设Q点运动轨迹所在直线为，
将点代入，可得，解得，
∴Q点运动轨迹为直线：，
∴或，
当时，
∴轴，
令， 则，
经检验，符合题意，
当时，，
∴， 即，
∴令， 则，
经检验，符合题意，
∴，．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数图像的平移、全等三角形的性质等知识，综合运用相关知识是解题关键．
【变式2-1】（2024九年级下·全国·专题练习）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围；
(3)抛物线的对称轴与轴交于点，点坐标为，试问在该抛物线上是否存在点，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．
（1）将，两点的坐标代入解析式可得抛物线的解析式；
（2）根据二次函数的性质可求的取值范围；
（3）在x轴上方的不存在，点只可能在轴的下方，按照题意，分别求解即可．
【详解】（1）解：将、代入抛物线得：
，
解得：，
抛物线的函数解析式为：；
（2）令，
解得：或，即、，
抛物线的对称轴为，
∵，
∴当时，，
当时，函数的最小值为顶点纵坐标的值：，
故的取值范围为；
（3）存在
到轴的距离为，由图象可知，
则点在轴下方，点到轴的距离为，
当时，，
解得：或，
点的坐标为或．
∵关于x轴对称
∴与全等，
∵关于抛物线的对称轴对称
∴与全等
【变式2-2】（2024·陕西咸阳·二模）已知抛物线：与轴交于点，抛物线与关于轴对称．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)为坐标原点，点是轴正半轴上一点，，点是轴负半轴上的动点，点是第二象限抛物线上的动点，连接,是否存在点，使得以点为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查二次函数的性质．
（1）先将抛物线化为顶点式，再根据抛物线与关于轴对称得抛物线的顶点坐标，最后由开口方向即可得出；
（2）先由抛物线：求出点的坐标，再根据题意，分两种情况：当时及当时，设点的坐标为，分别求出的值即可，具体见详解．
【详解】（1）解：抛物线:
∴抛物线的顶点为，
∵抛物线与关于轴对称
∴抛物线的顶点为，且抛物线开口向下，
∴抛物线的函数表达式为;
（2）∵抛物线：与y轴交于点，
，即
，
∵点是轴正半轴上一点，
由题意可知，与有一条公共边，设点的坐标为，
分两种情况：
当时，，
轴，即点与点的纵坐标一样，
令，解得，
当时，此时点与点重合，点与点重合，，
∴平分，即点到轴，轴的距离相等
，解得，
综上，存在点，使得以点为顶点的三角形与全等，点的坐标为或．
【变式2-3】（2023·陕西咸阳·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线的顶点为C，对称轴为直线l，l交x轴于点D．

(1)求点A、B、C的坐标；
(2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点M，点N在y轴上，且点N在点M上方，是否存在这样的点P、N，使得以点P、M、N为顶点的三角形与全等，若存在，请求出点P、N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)存在，点P和点N的坐标分别为： 或 或 或 ．
【分析】（1）令，得解方程求出的值，可得的坐标，将抛物线解析式化为顶点式可得点的坐标；
（2）分和两种情况，依据全等三角形的性质讨论求解即可．
【详解】（1）对于，令，得
解得，
∵点A在点B的左侧，
∴，
又
∴；
（2）由（1）知，，，
∵l交x轴于点D
∴
∴
∵轴,
∴

分两种情况讨论：
①当时， ，
∴点P的横坐标为2或；
当时，，
∴
∴
∴
当时，，
∴
∴
∵
∴
②当时，
∴点P的横坐标为1或；
当时，，
∴
∴
∵
∴
当时，，
∴
∴
∴
综上所述，点P和点N的坐标分别为： 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质，正确进行分类讨论是解答本题的关键．
【题型3 等腰三角形存在性问题】
【例3】（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点D的横坐标为，
①用含有的代数式表示线段的长度；
②是否存在点D，使是等腰三角形 若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值．
【答案】(1)
(2)①；②存在，或或
(3)
【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可；
（3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，
∴，
∴
解得：，
∴抛物线表达式为；
（2）解：①对于抛物线表达式，
当，
∴，
设直线表达式为：，
则，
解得：，
∴直线：，
∵，
∴，，
∴，
∴；
②存在，
，而
当时，，
解得：或（舍），
，
∴；
当时，
整理得：，
解得：或（舍），
，
∴；
当时，
整理得：，
解得：或（舍）或（舍），
，
∴，
综上：是等腰三角形时，或或；
（3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，
由旋转得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点在线段上运动（不包括端点），
∴当时，最小，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，
∴，
∴，
∴线段长度的最小值．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及得到系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，难度较大，综合性强．
【变式3-1】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过、的直线为．
(1)求二次函数的解析式及点的坐标；
(2)由图象写出满足的自变量的取值范围；
(3)在两坐标轴上是否存在点，使得△是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或，
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量为零，可得点坐标；
（2）根据一次函数图像在上方的部分是不等式的解集，可得答案；
（3）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得在线段的垂直平分线上，所以作的垂直平分线交坐标轴两点，利用方程思想和勾股定理求解出两个坐标．
【详解】（1）解：将点坐标代入，得，
解得，
二次函数的解析式为，
点坐标为；
（2）解：由图象得直线在抛物线上方的部分，是或，
或时，；
（3）解： 如图，作的垂直平分线，交于，交轴于，交轴于，连接，
由垂直平分线性质得，，，
，，
，，
设，，
在中，，
，解得，
，
设，
，，
，解得，
，
综上所述：点的坐标或，使得是以为底边的等腰三角形．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用函数与不等式的关系求不等式的解集，利用线段垂直平分线的性质和方程思想，通过勾股定理解出满足题意的坐标．
【变式3-2】（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．点是抛物线上的一个动点，设它的横坐标为．过点作轴，与交于点，连接，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求线段的最大值；
(3)是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)有最大值
(3)或
【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，与轴交于点得，解出、的值，即可求解；
（2）设点，利用待定系数法求出直线的解析式为，即点，再根据求出的表达式，最后根据二次函数的顶点公式求得最大值即可；
（3）分两种情况讨论：当时；当时；即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，与轴交于点，
，
解得：，
；
（2）解：设点，
设直线的解析式为，
直线经过点，，
，
解得：，
直线的表达式为：，
即点，
，
，
，
时，开口向下，当时，有最大值，
；
（3）解：存在以为腰的等腰三角形，有以下两种情况：
当时，过作于点，则点为的中点，即，
，
，
，（舍去）；
当时，
，
，
，（舍去），
综上所述：当或时，存在以为腰的等腰三角形．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的解析式，二次函数的性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
【变式3-3】（2025·广东清远·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．过点的直线与轴交于点，与抛物线交于点，连接，已知．

(1)求的长．
(2)求的面积．
(3)抛物线对称轴上是否存在一点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)4
(2)7
(3)或或或或
【分析】（1）先求出点A和点E的坐标，再利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点B的坐标即可得到答案；
（2）先求出点C坐标，再求出直线解析式，进而求出点D的坐标，最后根据三角形面积计算公式求解即可；
（3）分三种情况，根据两点距离计算公式建立方程求解即可．
【详解】（1）解；，
∴，
点坐标为点坐标为．
将点分别代入中得
解得
抛物线解析式为．
在中，当时，则，
解得，
点坐标为，
∴．
（2）解；设直线的解析式为，
∴，，
．
把点代入，得解得
直线的解析式为．
联立
解得
；
（3）解：∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线，
∵，
∴．
设，
①当时，，
解得，
；
②当时，，
解得
或；
③当时，，
解得
或．
综上，点的坐标为或或或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，两点距离计算公式，等腰三角形的定义等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
【题型4 直角三角形存在性问题】
【例4】（2025·青海西宁·一模）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点M是线段BC上的一个动点，过点M作x轴的垂线，与抛物线相交于点N，当点M移动到什么位置时，使的面积最大？求出的最大面积及此时M点的坐标．
【答案】(1)
(2)存在满足条件的点，其坐标为或
(3)点M为的中点，的面积最大，最大面积为4，此时M点坐标为
【分析】（1）由的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）可设出点坐标，则可表示出、和的长，分、两种情况分别得到关于点坐标的方程，可求得点坐标；
（3）由、的坐标可求得直线的解析式，可设出M点坐标，则可表示出N点的坐标，从而可表示出的长，可表示出的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点M的坐标．
【详解】（1）解：在抛物线上，
，解得，
抛物线解析式为；
（2），
抛物线对称轴为直线，
当时，，
，且，
，
点在对称轴上，
可设，
，，
当时，，
解得，此时点坐标为；
当时，
解得（与重合，舍去）或，此时点坐标为；
综上可知：存在满足条件的点，其坐标为或；
（3）当时，即，解得或，
，，
设直线解析式为，
由题意可得，解得，
直线解析式为，
点M是线段上的一个动点，
可设，则，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为4，
此时，
，即M为的中点，
点M为的中点，的面积最大，最大面积为4，此时M点坐标为．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用点的坐标表示出和是解题的关键，在（3）中用M点坐标表示出的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
【变式4-1】（2025·湖南株洲·三模）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值，并写出此时点的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，点的坐标为或；
(3)四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为．
【分析】（1）将点和代入抛物线的函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）先求出抛物线的对称轴，进而设点，利用坐标两点距离公式，得到，，，再根据是以为斜边的直角三角形，利用勾股定理列方程，求出的值，即可得到点的坐标；
（3）先求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，设，且，则，，可得，从而得出，进而得到，利用二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：抛物线交轴于两点，交轴于点，
，
解得：，
抛物线的函数解析式为．
（2）解：存在，理由如下：
，
抛物线的对称轴为直线，
点在抛物线的对称轴上，
设点，
，，
，，，
是以为斜边的直角三角形，
，
，
整理得：，
解得：，
存在点使得是以为斜边的直角三角形，点的坐标为或；
（3）解：，，
，，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
点在线段上运动，
设，且，
过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，
，，
，
，
，
，
当时，有最大值，
即四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理，公式法解一元二次方程，二次函数的最值问题等，利用数形结合的思想解决问题是关键．
【变式4-2】（2025·江西九江·模拟预测）如图，抛物线与直线相交于两点，抛物线与x轴的另一个交点是点C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点P是抛物线上的一个动点（不与重合），过点P作轴于点D，交直线于点E，连接，是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；否则，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在点P，使为直角三角形，且点P的坐标为或
【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、函数图象上点的坐标特点、勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式、全面分类是解题的关键；
（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C的坐标，然后设点，则，，利用两点间的距离公式表示出，再分三种情况：当、、时，利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】（1）解：把代入直线，得，
∴，
把代入抛物线的解析式可得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式是；
（2）解：对于，当时，，
解得，
∴，
设点，则，，
∴，，，
若为直角三角形，
则当时，，
∴，即
解得：或（舍去）；
此时点P的坐标为；
当时，，
∴，即
解得：；
此时点P的坐标为；
当时，，
∴，
解得：（舍去）；
综上，存在点P，使为直角三角形，且点P的坐标为或．
【变式4-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接、，求四边形的面积的最大值，并写出此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，点N是x轴上一动点，求当N点坐标为 时，的值最小，最小值为 ．
(4)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)四边形的面积最大为16；点P的坐标为
(3)，
(4)点的坐标为或或或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键．
（1）把，代入，求出b和c的值，即可得出函数解析式；
（2）易得，设，则，求出，则，根据四边形的面积，结合二次函数的增减性，即可解答；
（3）作C点关于x轴的对称点 ，连接与x轴相交于点N，此时的值最小，根据两点间距离公式即可求出的最小值，再求出直线的解析式为，即可得到点N的坐标；
（4）设，根据两点之间距离公式得出，，，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴该二次函数的解析式；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∴四边形的面积，
∵，
∴当时，四边形的面积最大为16，此时点P的坐标为；
（3）解：作C点关于x轴的对称点 ，连接与x轴相交于点N，
此时的值最小，，
设直线的解析式为，则，
解得：，
则直线的解析式为，
令，
解得：，
此时点；
（4）解：设，
∵，，
∴，，，
当斜边为时，，
即，整理得：，
解得：；
当斜边为时，，
即，
解得：；
∴
当斜边为时，，
即，
解得：；
∴
综上：点的坐标为或或或．
【题型5 等腰直角三角形存在性问题】
【例5】（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴正半轴交于另一点，点在抛物线上，点是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围；
(3)当矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值；
(4)当点在对称轴左侧时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)，且；
(3)或或；
(4)存在，或．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）抛物线的对称轴为直线，则点B关于抛物线对称轴的对称点为，当M在的左侧时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升，即可求解；
（3），矩形 内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4，当点M的纵坐标为 时，，解得：；当点M的纵坐标为时，，即可求解；
（4）当点M在点B的上方时，证明，得到，即可求解；当点M在点B的下方时，同理可解．
【详解】（1）解：（1）抛物线经过原点O，
则抛物线的表达式为：，
将点B的坐标代入上式得：，则，
抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线的对称轴为直线，则点B关于抛物线对称轴的对称点为，
当M在的左侧时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升，
即，点B、M不重合，故，
即且；
（3）解：∵点，矩形 内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4，
∴当点M的纵坐标为 时，
∴，解得：；
当点M的纵坐标为时，
∴，
解得：或；
综上，m的值为或或；
（4）解：存在，或，理由：
当点M在点B的上方时，如图，设点，
过点B、M分别作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为H、G，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
则，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
则点，
将点M的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：（舍去）或，
则；
当点M在点B的下方时，
同理可得，点，
将点M的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：（不合题意的值已舍去）
则；
综上， 或．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
【变式5-1】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形．
(1)求的值；
(2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1
(2)在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为
【分析】本题考查了二次函数的平移、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置．
（1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式，分别求出点A，B的坐标，根据为等腰直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值；
（2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的判定定理找出为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标．
【详解】（1）解：∵将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，
∴新抛物线的解析式为，
∴新抛物线的顶点为，
∴，
当时，，
∴点B的坐标为，即，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，解得：或0（舍去），
∴a的值为1；
（2）解：存在，理由如下：
如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，则，，，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴、为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
由（1）得点B的坐标为，对称轴为直线，
∴点C的坐标为，
故在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为．
【变式5-2】（2025·陕西西安·三模）如图，抛物线：()与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为．
(1)求抛物线的解析式和顶点的坐标；
(2)将抛物线上下平移，请问在平移后的抛物线上是否存在点，使得是以为腰，点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在请求出平移的方式．
【答案】(1)，顶点的坐标为
(2)存在，将抛物线向上平移个单位或向下平移个单位
【分析】（）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，进而把解析式转化为顶点式可求出顶点的坐标；
（）设平移后解析式为，过点作的垂线并在垂线上取一点，使得，记上方的点为，下方的点为，连接，则为等腰直角三角形，过点作轴于点，可证，可得，，得到点坐标为，进而把点坐标代入可得，即可得将抛物线向上平移个单位；同理可得点坐标为，进而可得将抛物线向下平移个单位，即可求解；
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
将点代入得，，
解得，
∴该抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点的坐标为；
（2）解：存在，理由如下：
∵将抛物线上下平移，
∴，抛物线对称轴，
∴设平移后解析式为，
过点作的垂线并在垂线上取一点，使得，记上方的点为，下方的点为，连接，则为等腰直角三角形，
过点作轴于点，
则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点坐标为，
把代入得，，
解得，
∴将抛物线向上平移个单位；
同理可得点坐标为，
把代入得，，
解得，
∴将抛物线向下平移个单位；
综上，将抛物线向上平移个单位或向下平移个单位，平移后的抛物线上存在点，使得是以为腰，点为直角顶点的等腰直角三角形．
【变式5-3】（24-25九年级下·宁夏银川·期中）如图，抛物线过点、点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点是第四象限抛物线上的一个动点．
①当的面积最大时，求点的坐标？并求出面积的最大值；
②过点作轴，交于点，再过点作轴，交抛物线于点，连接，问：是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①，最大值为；②存在，或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的性质，三角形的面积，等腰直角三角形，掌握二次函数的性质，等腰直角三角形是解题的关键．
（1）由抛物线过点，，可直接得出抛物线的表达式为，展开即可得出结论．
（2）①过点作轴，交线段于点，则，根据二次函数的性质可得结论；
②由题意可知，若是等腰直角三角形，则，分别表示及，可求出的值，进而求出点的坐标．
【详解】（1）解：抛物线过点，点，
抛物线的表达式为；
（2）由（1）得抛物线的解析式为，
令，则，
，
直线的表达式为，
点是第四象限抛物线上的一个动点，
设，
①如图，过点作轴的垂线，交线段于点，则，
当时，即，的值取最大，最大值为
②存在，
由题意可知，
若是等腰直角三角形，则，
点是第四象限抛物线上的一个动点，
设，，
，
轴，
，
，
，
解得 舍去或或或 舍去，
当是等腰直角三角形时，点的坐标为或．
【题型6 平行四边形存在性问题】
【例6】（2025·湖南岳阳·二模）已知抛物线解析式为：．
(1)求抛物线的顶点坐标．
(2)将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线，求抛物线的解析式．
(3)点Q是直线上方，且又是抛物线图像上的一个动点，连接、，是否存在一点Q，使面积最大，若存在，请求出此时点Q的坐标，并求出其最大面积；若不存在，请说明理由．
(4)如图，抛物线的顶点为P，轴上有一动点M，在、这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以为一边的平行四边形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，，
(4)存在，，，，
【分析】】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是较强的计算能力．
（1）根据求顶点坐标即可；
（2）根据平移规则求解析式即可；
（3）过点Q作轴，垂足为E，交于点F，设点Q坐标为， 点F坐标为，根据计算即可；
（4）若四边形为符合条件的平行四边形， ，且，据此求解即可．
【详解】（1）解：，
∴顶点坐标是；
（2）解：∵抛物线的解析式为，
∴将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式，即：；
（3）解：过点Q作轴，垂足为E，交于点F，
设点Q坐标为，
容易求得直线的解析式为 ，则点F坐标为．
∵，
∴当，面积最大为，此时点Q的坐标为，
即存在一点Q，使面积最大，点Q的坐标为；
（4）解：符合条件的N点存在．
如图：若四边形为符合条件的平行四边形，
则，且，
∴，
作轴于点A，轴于点B，
∴，
则有，
∴，
∵点P的坐标为，
∴，
∵点N在抛物线、上，且P点为、的最高点，
∴符合条件的N点只能在轴下方，
①点N在抛物线上，则有：，
解得：或，
②点N在抛物线上，则有：，
解得：或，
∴符合条件的N点有四个：
．
【变式6-1】（2025·吉林·模拟预测）如图，已知抛物线过点、，点是直线上一点．
(1)求此抛物线对应的函数解析式和顶点坐标；
(2)当点在抛物线上时，求点的坐标；
(3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标；
(4)若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，顶点坐标为
(2)
(3)点的坐标为
(4)存在．点的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法解得该抛物线的函数解析式，并将其转化为顶点式，即可确定该抛物线的顶点坐标；
（2）把代入抛物线的解析式，进行求解即可；
（3）结合（1）可知该抛物线的对称轴为，并确定该抛物线与轴的另一个交点的坐标；结合点是直线上一点，并根据抛物线轴对称的性质可得，易得，故当点均在轴上时，即时，的值最小，即的值最小，即可确定答案；
（4）根据题意，设，，分是平行四边形的一边和是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：将点，代入抛物线，
可得，解得，
∴此抛物线的函数解析式为，
∵，
∴该抛物线的顶点坐标为；
（2）由（1）知：，
∵点是直线上一点，且点在抛物线上，
∴当，，
∴；
（3）∵抛物线，
∴该抛物线的对称轴为，
设该抛物线与轴的另一个交点为，
令，可得，
解得，，
∴，
如下图，
∵点是抛物线对称轴上的一个动点，
∴，
∴，
∵点在直线上，
当点均在轴上时，即时，的值最小，即的值最小，
如下图，
此时，
∴，
∴点的坐标为；
（4）∵点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，
∴可设，，
①如下图，
当是平行四边形的一边时，
则有，
∴，解得，
∴；
②如下图，
当是平行四边形的对角线时，
则有，
∴，解得，
∴．
综上所述，存在以点为顶点的四边形是平行四边形，符合条件的点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图象与性质、平行四边形的性质、轴对称的性质等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．
【变式6-2】（2025·海南省直辖县级单位·一模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知、，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点为线段上的一动点（不与、重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，求四边形的最大面积；
(3)在（2）的条件下，当四边形的面积最大时，点是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)四边形的最大面积为
(3)存在，或或
【分析】（1）根据题意将A，C两点的坐标代入即可求出解析式；
（2）求出直线的解析式，设点，则点，可表示出的长，则四边形的面积，根据二次函数的性质可求出面积的最大值和点的坐标；
（3）分三种不同的情况进行讨论，利用平行四边形的对角线互相平分即可求出点的坐标．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：令，则，
解得或，
∴点，
设直线的解析式为，把点、的坐标代入得：
，解得
∴直线的表达式为：
设点，则点，则，
则四边形的面积，
即四边形的最大面积为；
（3）解：存在， 理由：
由（2）知，四边形的最大面积时，，即点，
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，
设点， 设点的横坐标为，
当为对角线时，则，
解得，即点
当或为对角线时，
同理可得：或
解得或，即点或，
综上，点或或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，用函数的思想求最值，平行四边形的性质等，解题的关键是能够根据题意利用中点坐标进行分类讨论求出存在的点的坐标．
【变式6-3】（2025·湖北武汉·三模）已知，如图1，为平面直角坐标系的原点，过定点的直线与抛物线交于点（点在点左侧）．
(1)若，则求直线的解析式；
(2)若，试探究在平面直角坐标系中，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求点的坐标，若不存在，请说明原因；
(3)如图2，分别过点作与抛物线均有唯一公共点的直线，直线的交点为，若，求的值．
【答案】(1)
(2)存在，或或
(3)4或5
【分析】（1）将代入，求出k即可；
（2）先求出定点，联立抛物线和直线，得到，则，由得到，则，那么直线，，，，则，再按照对角线分三种情况，结合平行四边形的性质求解；
（3）设，联立直线与抛物线得到一元二次方程，则，设直线，与抛物线联立得到，由点作与抛物线均有唯一公共点，则，，那么直线，同理可得直线，联立两直线求得，则，由，结合两点间距离公式求解即可．
【详解】（1）解：存在，理由如下：
由题意得将代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：；
（2）解：由得，
∵直线过定点，
∴，
解得：，
∴，
联立得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴直线，
∴，，，
∴，
∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
①为对角线时，
，
∴，
∴；
②为对角线时，
则，
∴，直线
∴，，
∴；
③为对角线时，
则，
∴，
∴，，
∴，
综上所述：存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或；
（3）解：设，
联立得：，
∴，
∴，
设直线，
联立，
整理得：，
∵点作与抛物线均有唯一公共点，
∴，，
∴直线，
同理可得直线，
∴联立得：，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得：，
解得：．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与直线的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，平行四边形的性质，两点间距离公式等知识点，难度大，计算复杂．
【题型7 菱形存在性问题】
【例7】1．（2025·贵州贵阳·二模）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，若点的坐标为，点是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接，过点作轴于点，交线段于点，当点运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点的坐标和的最大值；
(3)连接，，若关于轴的对称图形是，是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点的坐标为时，的最大值为4
(3)存在，的坐标是
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，菱形的性质．
（1）将，分别代入，得到二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设，由由，，可得直线的表达式为，设，得，即可求解；
（3）由四边形为菱形，得，，进而得，则，即可求解．
【详解】（1）解：将，分别代入，
得，
解这个方程组，得，
所以二次函数的表达式为；
（2）解：设，
由，，可得直线的表达式为，
设，
∴
，
当时，，
故点的坐标为时，的最大值为4；
（3）解：存在，理由如下：
如图，连接，交于点，
设点，
若四边形为菱形，
则，，
∴，
∴，即，
解得，
∵点在第一象限，
故当点的坐标是时，四边形为菱形．
【变式7-1】（2025·内蒙古·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，P是直线下方抛物线上的一个动点．
(1)求点A的坐标和该抛物线的函数解析式；
(2)连接，并将沿y轴翻折，得到四边形，是否存在点P，使得四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在点P的运动过程中，当四边形的面积最大时，求出此时点P的坐标和四边形的最大面积．
【答案】(1)点A的坐标为，该抛物线的函数表达式为
(2)存在这样的点，此时点的坐标为
(3)当点运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32
【分析】本题主要考查二次函数的性质、特殊四边形的性质以及函数与坐标轴的交点问题，
（1）利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式，再令求出点A的坐标即可；
（2）连接交于点，结合菱形的性质可得，且，进一步求得点的纵坐标为，代入函数解析式有，即可求得点的坐标；
（3）连接，作轴于点，轴于点，设点的坐标为．则，，，，结合，化解后利用二次函数的性质求得最大值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，
把，代入中，
得解得
该抛物线的函数表达式为．
当时， ，解得或，
∴点A的坐标为；
（2）解：假设抛物线上存在点，使四边形为菱形，连接交于点．如图，
四边形为菱形，，
，且，
，即点的纵坐标为．
由，得，（不合题意，舍去），
故存在这样的点，此时点的坐标为．
（3）解：连接，作轴于点，轴于点，如图，
设点的坐标为．
，，，
，，，，
，
∵，，
当时，S有最大值，最大值为32，此时，
此时点的坐标为，
即当点运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32．
【变式7-2】（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线下方的抛物线上一个动点，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标；
(3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)四边形面积的最大值为9，此时点P的坐标为；
(3)或或或
【分析】1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）连接，设点P的坐标为，再由四边形面积，结合二次函数的性质解答，即可求解；
（3）设点F的坐标为，分两种情况： 当为边，为对角线时，；当为边，为对角线时，，即可求解．
【详解】（1）解：把点代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵点，
∴，
当时，，
∴点，
∴，
如图，连接，
设点P的坐标为，
∴四边形面积
，
∵，
∴当时，四边形面积最大，最大值为9，
此时点P的坐标为；
（3）解：∵点，
∴抛物线的对称轴为直线，
设点F的坐标为，
当为边，为对角线时，，
即，
∴，
解得：，
∴点F的坐标为或；
当为边，为对角线时，，
即，
∴，
解得：，
∴点F的坐标为或；
综上所述，点F的坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
【变式7-3】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点为第一象限抛物线上一动点，连接、、，设点的横坐标为，的面积为，求的最大值；
(3)如图2，点是抛物线上一动点且位于对称轴左侧，交对称轴于点，将线段绕点旋转得到点的对应点．是否存在的位置，使点落在轴上？若存在，请求出满足条件的点坐标，若不存在，请说明理由；
(4)若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)的最大值是
(3)或
(4)或或或或．
【分析】（1）根据，，得，，，再由待定系数法即可求出解析式；
（2）作轴于点F，交于点E，用含m的式子表示出D、E的坐标，进而表示出，根据，列出S关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可；
（3）由题意知，，设对称轴与轴交点为点，过点作对称轴的垂线交于点，可证明，得到，再根据线段顺时针或逆时针旋转，分情况讨论，分别求出点坐标，再求出直线解析式，与抛物线联立求交点即可；
（4）分为边和为对角线两种情况，根据菱形的邻边相等以及对角线中点坐标相同讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，，
∴可设抛物线的表达式为，
把代入得，，解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：作轴于点，交于点，
设直线的解析式为，
∴
∴，
∴直线的解析式为，
∵点的横坐标为，且点D在抛物线上，
∴，，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值是；
（3）解：由题意知，，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
设对称轴与轴交于点，
如图，过点作交直线于Q，
①当线段顺时针旋转得到线段时，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，解得，
∴直线的解析式为，
联立，解得或，
∴点P的坐标为；
②当线段逆时针旋转得到线段时，
同理可证，
∴，
∴，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得或，
∴点P的坐标为．
综上所述，点P的坐标为或；
（4）解：设，
如图所示，当四边形是菱形时，则，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分，
∴，
∴，
∴点N的坐标为；
如图所示，当四边形是菱形时，则，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分，
∴，
∴，
∴点N的坐标为；
如图所示，当四边形是菱形时，则，
∴，
解得，
∴，
∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分，
∴，
∴，
∴点N的坐标为；
如图所示，当四边形是菱形时，则，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分，
∴，
∴，
∴点N的坐标为；
如图所示，当四边形是菱形时，则，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分，
∴，
∴，
∴点N的坐标为；
综上所述，点N的坐标为或或或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，旋转的性质，两点距离公式，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，中点坐标，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
【题型8 矩形存在性问题】
【例8】（2025·湖北随州·模拟预测）如图，抛物线经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线交于点E．
(1)将抛物线沿直线平移，使得点A落在点B处记为，此时点的对应点为C，求点的坐标，判断四边形的形状，并说明理由．
(2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标．
(3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析；
(2)或或；
(3)存在，或或或
【分析】此题考查了二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键．
（1）证明，即可得到是平行四边形；
（2）①若为的对角线时，则与互相平分，② 若为的对角线，则与互相平分，③ 若为的对角线，则与互相平分，分三种情况进行解答即可；
（3）要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形，分三种情况进行解答即可．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵抛物线与y轴交于点C，
令，则，
∴点，
令，则，
解得，
∴，，
∴ 由平移的性质可知，
∵，
∴是平行四边形；
（2）∵抛物线的解析式为，
∴点，
设点，
∵，，
①若为的对角线时，则与互相平分，
∴
∴
解得
∴
② 若为的对角线，则与互相平分，
∴
∴
解得
∴
③ 若为的对角线，则与互相平分
∴
∴
解得
∴
综上所述，点G的坐标为或或；
（3）存在，
要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形，
∵点G在对称轴上，
∴设点G的坐标为，
由勾股定理，得，，
①若，则
即，
得，
此时点G的坐标为，
② 若，则，
解得，
此时点G的坐标为，
③ 若，则，
解得，
此时点G的坐标为或，
综上可知，点G的坐标为或或或．
【变式8-1】（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值；
(3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或．
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，矩形的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得；
（2）先根据求出，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，由此即可得；
（3）设点的坐标为，分两种情况：①四边形是矩形，②四边形是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点的坐标，再根据矩形的性质求解即可得．
【详解】（1）解：一次函数，
当时，，即，
当时，，解得，即，
把，代入得，
解得，
则抛物线的解析式为．
（2）解：，，
，
，
，
，
，
点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，
当时，，解得或（舍去），
则．
（3）解：存在，求解如下：
设点的坐标为，
①当四边形是矩形时，则，
∵直线的解析式为，
∴设直线的解析式为，
把点代入得，
直线的解析式为，
联立，解得或（即为点，舍去），
，
②当四边形是矩形时，则，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
联立，解得或（即为点，舍去），
，
综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或．
【变式8-2】（2025·江苏无锡·二模）如图，已知二次函数（是常数，）的图象与轴分别相交于点、（点位于点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线．点关于的对称点为，连接．点为该函数图象上一点，平分．
(1)①线段的长为_____．
②求点的坐标；（①、②中的结论均用含的代数式表示）
(2)设是该函数图象上一点，点在上．探索：是否存在点．使得以、、、为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点坐标；如果不存在，说明理由．
【答案】(1)①，②
(2)存在，或
【分析】本题考查二次函数与特殊三角形、特殊四边形的综合、一次函数的综合，涉及用待定系数法求函数解析式，函数图象和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是综合运用以上知识．
（1）①令，则得出的坐标，即可求解；
②根据角平分线的性质可得点关于轴的对称点在直线上，则点关于轴的对称点在直线上，可得直线的解析式为，进而得出的坐标；
（2）设，，分①以，为对角线时，②以，为对角线时，③以，为对角线时，分别根据中点坐标，勾股定理建立方程， 解方程，即可求解．
【详解】（1）解：①令，则，
或，
，，
，
故答案为；
②二次函数，
，对称轴，
平分，
点关于轴的对称点在直线上，
直线的解析式为，
点是抛物线和直线的交点，
．
（2）设，
，．
以、、、为顶点的四边形是矩形，
①以，为对角线时，
，的中点重合，
，
，
，
，
，
（舍），或，
，
②以，为对角线时，
的中点重合，
，
，
，
，
，
（舍）或
，
③以，为对角线时，
的中点重合，
，
，
，
，
，此方程无解，
即：存在，或．
【变式8-3】（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接，对称轴为，点D为此抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若连接，则________
(3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值．
(4)点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，当以点为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点Q的横坐标．
【答案】(1)
(2)90
(3)
(4)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据题意求得A的坐标，根据对称性求得B的坐标，进而待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）求出顶点的坐标，分别求出，根据勾股定理逆定理得是直角三角形，故可得；
先根据解析式求得C的坐标，进而求得的解析式，设，作轴交于点F，则，进而求得关于x的表达式，根据二次函数的性质即可求得最大值；
（3）分情况讨论，为矩形的对角线，设，根据矩形的性质以及中点坐标公式求得m的值，进而求得Q点的横坐标．
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点A、B，，对称轴为直线，
∴，
∴，
将A，B代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：，
∴，
又，
∴，
∴，，，
∴，
∴；
故答案为：90；
（3）解：设直线的解析式为，
将点B，点C的坐标代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，
如图，作轴交于点F，
则，
∴，
∴
当时，有最大值为；
（4）解：设，，
由（1）知，
①若为矩形的对角线，
由中点坐标公式得：，
解得：，
∴点的横坐标为2；
②若为矩形得对角线，
由中点坐标公式得：，
解得，
∴点的横坐标为4；
③若为矩形的对角线，
由中点坐标公式得：，
解得：，
∴点Q的横坐标为，
综上，点Q的横坐标为4或2或．
【题型9 正方形存在性问题】
【例9】（2025·山东烟台·二模）如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，点在抛物线上
(3)存在，
(4)存在，点的坐标为：或或
【分析】（1）由对称轴为，计算得到，将点D的坐标代入抛物线表达式求出，计算即可；
（2）求出，当时，，即可判断点D在抛物线上
（3）设点关于抛物线对称轴的对称点为点，可知，连接并延长交直线于点，此时最大，设直线的表达式为：，求出直线的表达式为：，即可得到
（4）连接，勾股定理求出，得到为等腰直角三角形，进而得到当于点重合时，满足题意，作关于点得对称点，易得为等腰直角三角形，且点在抛物线上，得到点于点重合时满足题意，过点作的平行线交抛物线于点，求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标，求出，满足题意，即可．
【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为，
∴，
∴，
将点D的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：由题意得：，
当时，，
故点D在抛物线上；
（3）解：设点关于抛物线对称轴的对称点为点，
∴
连接并延长交直线于点，此时最大，
令，解得：，
∴，
设直线的表达式为：，将、两点坐标代入，
∴，解得：，
∴直线的表达式为：，
令，得，
∴
（4）存在，理由如下：
连接，
∵，
∴当时，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴当点与点重合时，存在正方形，
作点关于点的对称点，则：为等腰直角三角形，
当点与重合时，存在正方形，
对于，当时，，
故，在抛物线上，满足题意；
过点作的平行线交抛物线于点，则：，
同（2）法可得，直线的解析式为：，
设的解析式为：，把代入，得：，解得：，
∴，
联立，解得：或（不合题意，舍去）
∴，
∴，
故存在正方形；
综上：存在，点的坐标为或或
【变式9-1】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、C两点，其中，，与y轴交于点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连结，过点D作于点E，延长与直线交于点F，求的最大值及此时点D的坐标；
(3)若将原抛物线绕原点O旋转得到新的抛物线，P是新抛物线上的一个动点，H是直线上的一个动点，在平面直角坐标系上，是否存在一点K，使得四边形为正方形？请直接写出满足条件的所有K的坐标．
【答案】(1)
(2)最大值为，此时点D的坐标为
(3)存在，或
【分析】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段长度是解题的关键．
（1）根据题意得：，即可求解；
（2）证明，得到，即可求解；
（3）证明，得到，．则P点的坐标为或，，再分类求解即可．
【详解】（1）根据题意得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）过点D作直线于M，交直线于G，
∴轴，
∴，
∵抛物线与x轴交于A、C两点，其中，与y轴交于点B．
令，则，解得，，
令，则，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
由点B、C的坐标得，直线的解析式为，
设直线DM交x轴于N，，则，，
∴，，
∴，
∴的最大值为，此时点D的坐标为；
（3）如图，
根据旋转得抛物线过点，，，
∴，
设，
∵四边形正方形，
∴，，
∴，
过点H作轴于M，过点P作轴于N，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
∴，
∴P点的坐标为或，，
①当P点的坐标为时，
∵，，，四边形为正方形，
∴点K的坐标为；
②当P点的坐标为时，
∵，，，四边形为正方形，
∴点K的坐标为；
综上，存在，点K的坐标为或．
【变式9-2】（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，抛物线经过三点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)探究在抛物线上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
(3)直线交y轴于点G，M是线段上动点，轴与抛物线段交于点N．轴于F，轴于H，当四边形是正方形时，求点M的坐标
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）设抛物线的解析式解析式为，将代入计算即可；
（2）先求出，过点P作轴的垂线，交于点Q，求出直线的解析式为，设，则，求出，再根据建立方程求解即可；
（3）求出直线的解析式为，设，，根据题意得到，，求出，由四边形是正方形，建立方程组，转化为，求解即可．
【详解】（1）解：根据题意：设抛物线的解析式解析式为，将代入得：
，
解得：，
则抛物线的解析式解析式为；
（2）解：将代入，则，
∴，
过点P作轴的垂线，交于点Q，
设直线的解析式为，则，解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，，
∴轴，
∵，
∴，即，
∴，
当时，解得：或，
则或，
∴点P的坐标为或；
当时，方程无解；
综上，点P的坐标为或；
（3）解：设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
设，，
∵轴与抛物线段交于点N，轴于F，轴于H，
∴，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：或（舍去），
则，
∴．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何的综合、一次函数解析式，正方形的性质性质等知识定，掌握数形结合思想成为解题的关键．
【变式9-3】（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）实践与探究
为了适应辽宁新中考，我校2024届毕业生成立了九年级数学兴趣学习小组，参与同学集思广益，兴趣盎然，同时也成果斐然．以下是一次学习小组研究学习二次函数问题的集体智慧结晶，期间他们经历了实践——应用——探究的过程，下面请同学们尝试解决一下他们的设置问题．
【实践】：（1）他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶离水面时，水面宽，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，通过计算直接写出该抛物线解析式为________；（写成顶点式）
【应用】：（2）按规定，船通过拱桥时，顶部与拱桥顶部在竖直方向上的高度差至少为．一场大雨，让水面上升了，为了确保安全，问该拱桥能否让宽度为、高度为的货船通过？请通过计算进行说明．（货船看作长方体）
【探究】：（3）探究：该课题学习小组为进一步探索拋物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答：
①如图2，B为直线上方抛物线上一动点，过B作垂直于x轴，交x轴于A，交直线于C，过点B作垂直于直线，交直线于D，求的最大值．
②如图3，G为线段上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）船能通过，说明见解析；（3）①；②或
【分析】（1）设抛物线的解析式为，由图可知抛物线经过点，代入求出a的值即可求函数的解析式；
（2）由题可知当时，，再由，可以判断出船能通过；
（3）①由题可知是等腰直角三角形，则，设，则，，当时，的最大值为，即可得的最大值；
②由①可得，当时，H点的纵坐标为5，可得，解得或，再由G点在直线上，即可求G点坐标；当时，，可得，解得或，可求G点坐标．
【详解】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点，
代入顶点式得：
，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：；
（2）∵船的宽为，
∴，
当时，，
∵，
∴船能通过；
（3）①∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
设，则，
∴，
当时，的最大值为，
∴的最大值为；
②存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形，理由如下：
由①可得，
∴是等腰直角三角形，
联立，解得，，
∴，
∵G为线段上一动点，
∴，
如图，
分以下两种情况讨论：
当时，，，则轴，
∵，
∴H点的纵坐标为5，
∴，
解得或，
∵G点在线段上，
∴；
当时，，点为的中点，
∴，
设，，
∴，
解得或，
∵G点在线段上，
∴；
综上所述：G点坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
【题型10 梯形存在性问题】
【例10】（22-23九年级上·甘肃庆阳·期中）如图，已知抛物线与轴的交点为点、(点在点的右侧)，与轴的交点为点．
(1)直接写出、、三点的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上找一点，使得的值最小，并求出点的坐标；
(3)设点关于抛物线对称轴的对称点为点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)连接交对称轴于点，点即为所求，
(3)或
【分析】（1）令，解方程可得到点和点坐标；令，求出，可确定点坐标；
（2）连接交对称轴于点，根据对称性可得，则为的最小值，求出直线的解析式，令，即可求解；
（3）分为梯形的底边和为梯形的底和为梯形的底三种情况讨论，求出另一底边的解析式即可
【详解】（1）解：在中令，
解得，
∴，
在中令，得，
∴；
（2）解：如图，连接交对称轴于点，则点即为所求，连接，
∵，
∴
∴的最小值即为的长，
∵，
∴抛物线的对称轴为，
∵，
设直线的解析式为，
则，
解得：,
∴直线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为，
∴
（3）存在，分两种情况：
①如图，当为梯形的底时，点与重合时，四边形是梯形，此时点为,
②如图，当为梯形的底时，过点作，与抛物线交于点，
点，关于抛物线对称，
设直线的解析式为，
则，
解得
直线的解析式为
，
可设直线的解析式为
点在直线上，
直线的解析式为
联立，
解得，
,；
③当为梯形的底时，过点作，与抛物线交于点，
设直线的解析式为，则，解得
直线的解析式为
，
可设直线的解析式为
点在直线上，
直线的解析式为
联立，
解得(舍去)，(舍去)
综上所述，在抛物线上存在点，使得以、、、四点为顶点的四边形为梯形，点的坐标为或 ．
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，轴对称的性质求最短距离，特殊四边形问题，分类讨论是解题的关键．
【变式10-1】如图，已知抛物线y＝x2－x－3与x轴的交点为A、D(A在D的右侧)，与y轴的交点为C.
(1)直接写出A、D、C三点的坐标；
(2)若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；
(3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A点坐标为(4，0)，D点坐标为(－2，0)，C点坐标为(0，－3)；（2）或或；（3）在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为(－2，0)或(6，6)．
【分析】（1）令y=0，解方程可得到A点和D点坐标；令x=0，求出y=-3，可确定C点坐标；
（2）根据两个同底三角形面积相等得出它们的高相等，即纵坐标绝对值相等，得出点M的纵坐标为：，分别代入函数解析式求解即可；
（3）分BC为梯形的底边和BA为梯形的底和CA为梯形的底三种情况讨论，求出另一底边的解析式即可.
【详解】解：（1）在中令，
解得，
∴A(4，0) 、D(－2，0).
在中令，得，
∴C(0，－3)；
（2）过点C做轴的平行线，交抛物线与点，做点C关于轴的对称点,过点做轴的平行线，交抛物线与点,如下图所示：
∵△MAD的面积与△CAD的面积相等，且它们是等底三角形，
∴点M的纵坐标绝对值跟点C的纵坐标绝对值相等，
∵点C的纵坐标绝对值为：，
∴点M的纵坐标绝对值为：，
∴点M的纵坐标为：，
当点M的纵坐标为时，则，
解得：或（即点C，舍去），
∴点的坐标为：，
当点M的纵坐标为时，则，
解得：
∴点的坐标为：，点的坐标为：，
∴点M的坐标为：或或；
（3）存在，分两种情况：
①如图，当BC为梯形的底时，点P与D重合时，四边形ADCB是梯形，此时点P为(－2，0).
②如图，当BA为梯形的底时，过点C作CP//AB，与抛物线交于点P，
∵点C，B关于抛物线对称，∴B(2，－3)
设直线AB的解析式为，则，解得.
∴直线AB的解析式为.
∵CP//AB，
∴可设直线CP的解析式为.
∵点C在直线CP上，
∴.
∴直线CP的解析式为.
联立，
解得，
∴P(6，6).
③当AC为梯形的底时，过点B作BP//AC，与抛物线交于点P，
设直线AC的解析式为，则，解得.
∴直线AC的解析式为.
∵BP//AC，
∴可设直线CP的解析式为.
∵点B在直线CP上，
∴.
∴直线CP的解析式为.
联立，
解得（舍去），（舍去）
综上所述，在抛物线上存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形，点P的坐标为(－2，0)或(6，6).
【变式10-2】已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，点A的坐标为，点C的坐标为，直线与边BC相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）抛物线经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；
（3）在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）由于BC∥x轴，那么B、C两点的纵坐标相同，已知了点C的坐标，设，将代入直线OD的解析式中，即可求得点D的坐标；
（2）已知抛物线图象上的A、O、D三点坐标，可利用待定系数法求得该抛物线的解析式；
（3）此题应分作三种情况考虑： ①所求的梯形以OA为底，那么OA∥DM，由于抛物线是轴对称图形，那么D点关于抛物线对称轴的对称点一定满足M点的要求，由此可得M点的坐标； ②所求的梯形以OD为底，那么OD∥AM，所以直线AM、直线OD的斜率相同，已知点AD的坐标，即可确定直线AM的解析式，联立抛物线的解析式，即可确定点M的坐标； ③所求的梯形以AD为底，那么AD∥OM，参照②的解题思路，可先求出直线AD的解析式，进而确定直线OM的解析式，联立抛物线的解析式，即可求得点M的坐标．
【详解】解：（1）∵D在BC上，BC∥x轴，C（0，-2），
∴设
∵D在直线上，
∴
∴
（2）∵抛物线经过点；
∴，
解得：；
故所求的二次函数解析式为；
（3）存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形，理由如下：
①若以OA为底，轴，如图，
是与抛物线的另一个交点，
抛物线是轴对称图形，抛物线的对称轴是
∴点M的坐标为；
②若以OD为底，过点A作OD的平行线交抛物线为点M，如图，
∵直线OD为，
设为，

∴直线AM为；
∴
解得：，（舍去）
∴点M的坐标为；
③若以AD为底，过点O作AD的平行线交抛物线为点M，
设为
解得：
∵直线AD为y=2x-8，
∴直线OM为y=2x，
∴
解得：（舍去）；
∴点M的坐标为．
∴综上所述，当点M的坐标为时，以O、D、A、M为顶点的四边形是梯形．
【点睛】此题考查了矩形的性质，二次函数解析式与一次函数的解析式的确定，梯形的判定，函数图象交点坐标的求法，分类讨论的数学思想，掌握以上知识是解题的关键．
【变式10-3】如图所示，平面直角坐标系中，抛物线经过、、．过点作轴交抛物线于点，过点作轴，垂足为点．点是四边形的对角线的交点，点在轴负半轴上，且．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出四边形的形状；
（2）当点、从、两点同时出发，均以每秒个长度单位的速度沿、方向运动，点运动到时、两点同时停止运动．设运动的时间为秒，在运动过程中，以、、、四点为顶点的四边形的面积为，求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在抛物线上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是梯形？若存在，直接写出点的坐标；不存在，说明理由．
【答案】（1），四边形为正方形；（2）当时，；当时，；（3）在抛物线上存在点，，，，使以、、、为顶点的四边形是梯形．
【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0）三点，把三点坐标代入抛物线表达式中，联立方程解出a、b、c；
（2）过M作MN⊥OE于N，则MN=2，由题意可知CP=FQ=t，当0≤t<2时，OP=6－t，OQ=2－t，列出S与t的关系式，当t=2时，Q与O重合，点M、O、P、Q不能构成四边形，当2（3）若B、C、F、N为顶点的四边形是梯形，则四边形有两边平行，设出N点的坐标，分类讨论两边平行时N点坐标满足的条件，进而求出N点坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线经过、、，
∴，
，
解得，，．
∴抛物线的解析式为．
四边形为正方形．
（2）连接．
根据题意，可知，，
∴，
∴，
∵运动的时间为，
∴，
过作于，则，
当时，，，
∴，
∴．
当时，与重合，点、、、不能构成四边形，
当时，连接，则且，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形的面积，
综上所述，当时，；当时，．
（3）分三种情况：
①以为底边时，经过点作的平行线，与抛物线交于点的坐标为；
②以为底边时，经过点作的平行线，与抛物线交于点的坐标为；
③以为底边时，经过点作的平行线，与抛物线交于点的坐标为或．
故在抛物线上存在点，，，，
使以、、、为顶点的四边形是梯形．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数与坐标轴交点的求法、以及梯形的判定方法和全等三角形的判定等知识，学会运用分类讨论思想.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题04 二次函数中的存在性问题（举一反三专项训练）
【人教版】
【题型1 角度存在性问题】 1
【题型2 全等三角形存在性问题】 3
【题型3 等腰三角形存在性问题】 5
【题型4 直角三角形存在性问题】 6
【题型5 等腰直角三角形存在性问题】 8
【题型6 平行四边形存在性问题】 10
【题型7 菱形存在性问题】 12
【题型8 矩形存在性问题】 13
【题型9 正方形存在性问题】 15
【题型10 梯形存在性问题】 18
【题型1 角度存在性问题】
【例1】（2025·重庆·模拟预测）如图，抛物线与轴分别交于点，点（点在点的右侧），与轴交于点，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴交与点，当线段的值最大时，在直线上找一点，连接，使得的值最大．请求出的最大值并求出点的坐标；
(3)将抛物线沿射线方向平移后经过点，在新抛物线上是否存在一点，使与互补，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1-1】（2025·福建莆田·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴交于点，顶点为．
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)如图，连接，，若在上方的抛物线上存在点，满足，求点的坐标．
【变式1-2】（2025·广东东莞·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点， 轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标；
(3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由．
【变式1-3】（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与轴交于点，连接．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)为线段上方抛物线上一动点，当的面积最大时，在线段上有一动点，线段上有一动点，求的最小值；
(3)如图2，将原抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线恰好经过点，新抛物线与轴在右边的交点是点，连接为轴右边的新抛物线上一动点，过点作 轴于点，在轴上是否存在点，满足？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型2 全等三角形存在性问题】
【例2】（24-25九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数 的图像交于A，B两点，已知．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足 ，连接，当 的面积取得最大值时，求的最小值；
(3)当（2）中取得最小值时，将点N向下平移1个单位得到点P，将该抛物线沿直线的方向平移得到新抛物线 ，Q为新抛物线的顶点，在平移过程中，是否存在以A，B，Q为顶点的三角形和 全等 若存在，请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2-1】（2024九年级下·全国·专题练习）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围；
(3)抛物线的对称轴与轴交于点，点坐标为，试问在该抛物线上是否存在点，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2-2】（2024·陕西咸阳·二模）已知抛物线：与轴交于点，抛物线与关于轴对称．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)为坐标原点，点是轴正半轴上一点，，点是轴负半轴上的动点，点是第二象限抛物线上的动点，连接,是否存在点，使得以点为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2-3】（2023·陕西咸阳·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线的顶点为C，对称轴为直线l，l交x轴于点D．

(1)求点A、B、C的坐标；
(2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点M，点N在y轴上，且点N在点M上方，是否存在这样的点P、N，使得以点P、M、N为顶点的三角形与全等，若存在，请求出点P、N的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型3 等腰三角形存在性问题】
【例3】（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点D的横坐标为，
①用含有的代数式表示线段的长度；
②是否存在点D，使是等腰三角形 若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值．
【变式3-1】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过、的直线为．
(1)求二次函数的解析式及点的坐标；
(2)由图象写出满足的自变量的取值范围；
(3)在两坐标轴上是否存在点，使得△是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【变式3-2】（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．点是抛物线上的一个动点，设它的横坐标为．过点作轴，与交于点，连接，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求线段的最大值；
(3)是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【变式3-3】（2025·广东清远·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．过点的直线与轴交于点，与抛物线交于点，连接，已知．

(1)求的长．
(2)求的面积．
(3)抛物线对称轴上是否存在一点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型4 直角三角形存在性问题】
【例4】（2025·青海西宁·一模）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点M是线段BC上的一个动点，过点M作x轴的垂线，与抛物线相交于点N，当点M移动到什么位置时，使的面积最大？求出的最大面积及此时M点的坐标．
【变式4-1】（2025·湖南株洲·三模）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值，并写出此时点的坐标．
【变式4-2】（2025·江西九江·模拟预测）如图，抛物线与直线相交于两点，抛物线与x轴的另一个交点是点C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点P是抛物线上的一个动点（不与重合），过点P作轴于点D，交直线于点E，连接，是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；否则，请说明理由．
【变式4-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接、，求四边形的面积的最大值，并写出此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，点N是x轴上一动点，求当N点坐标为 时，的值最小，最小值为 ．
(4)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型5 等腰直角三角形存在性问题】
【例5】（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴正半轴交于另一点，点在抛物线上，点是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围；
(3)当矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值；
(4)当点在对称轴左侧时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【变式5-1】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形．
(1)求的值；
(2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式5-2】（2025·陕西西安·三模）如图，抛物线：()与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为．
(1)求抛物线的解析式和顶点的坐标；
(2)将抛物线上下平移，请问在平移后的抛物线上是否存在点，使得是以为腰，点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在请求出平移的方式．
【变式5-3】（24-25九年级下·宁夏银川·期中）如图，抛物线过点、点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点是第四象限抛物线上的一个动点．
①当的面积最大时，求点的坐标？并求出面积的最大值；
②过点作轴，交于点，再过点作轴，交抛物线于点，连接，问：是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型6 平行四边形存在性问题】
【例6】（2025·湖南岳阳·二模）已知抛物线解析式为：．
(1)求抛物线的顶点坐标．
(2)将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线，求抛物线的解析式．
(3)点Q是直线上方，且又是抛物线图像上的一个动点，连接、，是否存在一点Q，使面积最大，若存在，请求出此时点Q的坐标，并求出其最大面积；若不存在，请说明理由．
(4)如图，抛物线的顶点为P，轴上有一动点M，在、这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以为一边的平行四边形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-1】（2025·吉林·模拟预测）如图，已知抛物线过点、，点是直线上一点．
(1)求此抛物线对应的函数解析式和顶点坐标；
(2)当点在抛物线上时，求点的坐标；
(3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标；
(4)若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-2】（2025·海南省直辖县级单位·一模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知、，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点为线段上的一动点（不与、重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，求四边形的最大面积；
(3)在（2）的条件下，当四边形的面积最大时，点是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-3】（2025·湖北武汉·三模）已知，如图1，为平面直角坐标系的原点，过定点的直线与抛物线交于点（点在点左侧）．
(1)若，则求直线的解析式；
(2)若，试探究在平面直角坐标系中，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求点的坐标，若不存在，请说明原因；
(3)如图2，分别过点作与抛物线均有唯一公共点的直线，直线的交点为，若，求的值．
【题型7 菱形存在性问题】
【例7】1．（2025·贵州贵阳·二模）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，若点的坐标为，点是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接，过点作轴于点，交线段于点，当点运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点的坐标和的最大值；
(3)连接，，若关于轴的对称图形是，是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式7-1】（2025·内蒙古·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，P是直线下方抛物线上的一个动点．
(1)求点A的坐标和该抛物线的函数解析式；
(2)连接，并将沿y轴翻折，得到四边形，是否存在点P，使得四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在点P的运动过程中，当四边形的面积最大时，求出此时点P的坐标和四边形的最大面积．
【变式7-2】（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线下方的抛物线上一个动点，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标；
(3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式7-3】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点为第一象限抛物线上一动点，连接、、，设点的横坐标为，的面积为，求的最大值；
(3)如图2，点是抛物线上一动点且位于对称轴左侧，交对称轴于点，将线段绕点旋转得到点的对应点．是否存在的位置，使点落在轴上？若存在，请求出满足条件的点坐标，若不存在，请说明理由；
(4)若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型8 矩形存在性问题】
【例8】（2025·湖北随州·模拟预测）如图，抛物线经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线交于点E．
(1)将抛物线沿直线平移，使得点A落在点B处记为，此时点的对应点为C，求点的坐标，判断四边形的形状，并说明理由．
(2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标．
(3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式8-1】（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值；
(3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【变式8-2】（2025·江苏无锡·二模）如图，已知二次函数（是常数，）的图象与轴分别相交于点、（点位于点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线．点关于的对称点为，连接．点为该函数图象上一点，平分．
(1)①线段的长为_____．
②求点的坐标；（①、②中的结论均用含的代数式表示）
(2)设是该函数图象上一点，点在上．探索：是否存在点．使得以、、、为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点坐标；如果不存在，说明理由．
【变式8-3】（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接，对称轴为，点D为此抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若连接，则________
(3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值．
(4)点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，当以点为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点Q的横坐标．
【题型9 正方形存在性问题】
【例9】（2025·山东烟台·二模）如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式9-1】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、C两点，其中，，与y轴交于点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连结，过点D作于点E，延长与直线交于点F，求的最大值及此时点D的坐标；
(3)若将原抛物线绕原点O旋转得到新的抛物线，P是新抛物线上的一个动点，H是直线上的一个动点，在平面直角坐标系上，是否存在一点K，使得四边形为正方形？请直接写出满足条件的所有K的坐标．
【变式9-2】（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，抛物线经过三点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)探究在抛物线上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
(3)直线交y轴于点G，M是线段上动点，轴与抛物线段交于点N．轴于F，轴于H，当四边形是正方形时，求点M的坐标
【变式9-3】（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）实践与探究
为了适应辽宁新中考，我校2024届毕业生成立了九年级数学兴趣学习小组，参与同学集思广益，兴趣盎然，同时也成果斐然．以下是一次学习小组研究学习二次函数问题的集体智慧结晶，期间他们经历了实践——应用——探究的过程，下面请同学们尝试解决一下他们的设置问题．
【实践】：（1）他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶离水面时，水面宽，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，通过计算直接写出该抛物线解析式为________；（写成顶点式）
【应用】：（2）按规定，船通过拱桥时，顶部与拱桥顶部在竖直方向上的高度差至少为．一场大雨，让水面上升了，为了确保安全，问该拱桥能否让宽度为、高度为的货船通过？请通过计算进行说明．（货船看作长方体）
【探究】：（3）探究：该课题学习小组为进一步探索拋物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答：
①如图2，B为直线上方抛物线上一动点，过B作垂直于x轴，交x轴于A，交直线于C，过点B作垂直于直线，交直线于D，求的最大值．
②如图3，G为线段上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型10 梯形存在性问题】
【例10】（22-23九年级上·甘肃庆阳·期中）如图，已知抛物线与轴的交点为点、(点在点的右侧)，与轴的交点为点．
(1)直接写出、、三点的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上找一点，使得的值最小，并求出点的坐标；
(3)设点关于抛物线对称轴的对称点为点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式10-1】如图，已知抛物线y＝x2－x－3与x轴的交点为A、D(A在D的右侧)，与y轴的交点为C.
(1)直接写出A、D、C三点的坐标；
(2)若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；
(3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式10-2】已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，点A的坐标为，点C的坐标为，直线与边BC相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）抛物线经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；
（3）在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式10-3】如图所示，平面直角坐标系中，抛物线经过、、．过点作轴交抛物线于点，过点作轴，垂足为点．点是四边形的对角线的交点，点在轴负半轴上，且．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出四边形的形状；
（2）当点、从、两点同时出发，均以每秒个长度单位的速度沿、方向运动，点运动到时、两点同时停止运动．设运动的时间为秒，在运动过程中，以、、、四点为顶点的四边形的面积为，求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在抛物线上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是梯形？若存在，直接写出点的坐标；不存在，说明理由．
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