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专题02 七个基本导角模型（举一反三专项训练）
【人教版2024】
【模型1 8字型】 3
【模型2 A字型】 7
【模型3 风筝型】 9
【模型4 燕尾型】 14
【模型5 余角模型】 17
【模型6 补角模型】 23
【模型7 一线三等角模型】 28
模型1：8字形
结论：①，
②．
模型2：A字形
结论：①，
②．
模型3：风筝行
结论：．
模型4：燕尾形
结论：．
模型5：余角模型
结论：①，
②．
结论：①，
②．
模型6：补角模型
条件：．
结论：．
模型7：一线三角模型
类型一 一线三垂直
类型二 同侧一线三等角
类型三 异侧一线三等角
条件：．
结论：①，
②．
【模型1 8字型】
【例1】如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图标记，然后利用三角形的外角性质得，，再利用互为邻补角，即可得答案．
【详解】解：如下图标记，
，
，
，
又，
，
，
，
故选C．
【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键．
【变式1-1】如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D
【答案】D
【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．
【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，
∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，
∴∠2＞∠D，
故选项A，B，C正确，
故选D．
【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键．
【变式1-2】如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP= ，然后利用三角形外角的性质即可得解；
（2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．
【详解】解：（1）∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠PDF= ，
∵，
∴，
∴；
（2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，
∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，
∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，
∴∠A+∠C=2∠P，
∵∠A=42°，∠C=38°，
∴∠P=（38°+42°）=40°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．
【变式1-3】下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度．
【答案】 减少 10
【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．
【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，
∴∠ACB=180°-110°=70°，
∴∠DCE=70°，
如图，连接CF并延长，
∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，
∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，
∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，
要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，
若只调整∠D的大小，
由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°，
因此应将∠D减少10度；
故答案为：①减少；②10．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．
【模型2 A字型】
【例2】如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据三角形内角和定理求出，根据平角的概念计算即可．
【详解】
解：，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于是解题的关键．
【变式2-1】如图所示，的两边上各有一点，连接，求证．
【答案】见解析
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可．
【详解】解：和是的外角，
．
又，
．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
【变式2-2】（2025·安徽芜湖·三模）如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查邻补角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
先根据邻补角性质求得，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【变式2-3】将一把直尺与一块三角板在同一平面内按如图所示的方式放置，若，则的度数为 ．
【答案】/40度
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据平行线的性质可得，然后利用三角形外角的性质进行计算即可解答．
【详解】解：如图：

由题意得：，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【模型3 风筝型】
【例3】（24-25八年级上·湖北孝感·期末）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点．下列结论中错误的是：（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练学握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键。
由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的额性质可判定；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定；由的结果无法推出．
【详解】∵的平分线交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，故A正确，不符合题意；
∵平分，
∵，
∴，
故B正确，不符合题意；
取的延长线与点M，的延长线与点N，如图：
平分，平分，
，
故C正确，不符合题意；
由选项C知，
，无法得到，
故D项错误，符合题意．
故选：D．
【变式3-1】如图，的外角平分线，相交于点，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，根据直角三角形的性质得到，进而得到，再根据角平分线的定义，三角形内角和定理计算即可，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵，分别为，的平分线，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式3-2】（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，分别是的外角平分线，
(1)若，求的度数为 ．
(2)若时，求的度数？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，解题关键是运用三角形的内角和等于180度，以及角平分线平分角的知识结合一起解答，在求角度时，有时不一定需要每个角都求出来，可以利用整体思想．
（1）先由邻补角求得，再根据角平分线以及三角形内角和求得，最后在中再次运用三角形内角和即可求解；
（2）求解方法同（1）．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵分别是的外角平分线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵分别是的外角平分线，
∴，
∴，
∴．
【变式3-3】（22-23八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，已知的角平分线与的外角平分线交于点D，的外角角平分线与的外角角平分线交于点E，则 ．

【答案】/90度
【分析】该题主要考查了角形内角和定理，三角形角平分线以及三角形外角的性质，解题的关键是理解题意．
根据角平分线得出，根据三角形外角的性质即可得，再根据内角和定理得出，即可求解．
【详解】解：∵的角平分线与的外角平分线交于点D，的外角角平分线与的外角角平分线交于点E，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
故答案为：．

【模型4 燕尾型】
【例4】如图， 度．
【答案】
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，如图，连连接，记、的交点为， 先证明，再利用三角形的内角和定理可得答案．作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键．
【详解】解：如图，连接，记、的交点为，
，，，
，
，
，
故答案为：．
【变式4-1】如图，在中，D是上一点，E是上一点，、相交于点F，，，．求的度数．
【答案】
【分析】先由三角形外角的性质求得，再由三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
在中，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质和内角和定理，正确识图是解题的关键．
【变式4-2】在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数．
【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图，
∵
∴
同理得
∵
∴
∵
∴
∴
∴,
故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：．
【变式4-3】如图，则的度数是 ．

【答案】/180度
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，然后利用三角形的内角和定理即可得解．
【详解】解：如图，

∵是的外角，是的外角，
∴，，
又∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．熟记性质并准确识图是解题的关键．
【模型5 余角模型】
【例5】（24-25九年级上·贵州毕节·阶段练习）如图,在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了垂直的定义，等角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键．
由，，则，再通过等角的余角相等得出，．
【详解】证明：∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴.
【变式5-1】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知．
(1)与是什么关系？为什么？
(2)当与满足什么关系时，与相等？为什么？
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为，则这两个角互余；若两个角的和等于，则这两个角互补．
（1）根据同角的余角相等解答；
（2）根据同角的余角相等解答即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴．
【变式5-2】（24-25七年级下·四川雅安·期中）如图，已知于点F ，， 与 互余，求证： ．
证明： （已知），
（____________），
（____________），
与 互余（已知），
，
（____________），
（____________），
（____________），
（____________）．
【答案】垂线的定义；直角三角形两个锐角互余；同角的余角相等；已知；两直线平行，内错角相等；等量代换
【分析】本题主要考查了垂线的定义，平行线的性质，同角的余角相等，直角三角形的性质，根据已给推理过程，结合垂线的定义，平行线的性质，同角的余角相等，三角形内角和定理进行证明即可．
【详解】证明： （已知），
（垂线的定义），
（直角三角形两个锐角互余），
与 互余（已知），
，
（同角的余角相等），
（已知），
（两直线平行，内错角相等），
（等量代换）．
【变式5-3】（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图1方式叠放在一起，其中，，，，，三点共线，，，三点共线，将三角尺固定不动，三角尺绕点顺时针旋转，旋转角度小于．
(1)如图2，求证：；
(2)在三角尺旋转的过程中，若，求的度数；
(3)在三角尺旋转的过程中，若三角尺的一条边与三角尺的一条边平行，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)的度数为或
(3)，，，，
【分析】（1）根据余角的性质进行求解即可；
（2）分两种情况：当在的左侧时，当在的右侧时，分别画出图形，求出结果即可；
（3）分五种情况：当时，当时，当在左侧，时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴；
（2）解：如图1，当在的左侧时，设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
如图2，当在的右侧时，设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即．
综上所述，的度数为或；
（3）解：∵旋转角度小于．
如图3，当时，
∵，
∴，
∴；
如图4，当时，
∵，
∴，
；
如图5，当在左侧，时，
设与交于点，
∵，
∴，
在三角形中，∵，，
∴，
∴，即；
如图6，当时，
∵，
∴，
∴；
如图7，当时，
∵，
∴，
∴．
综上所述，当三角尺的一条边与三角尺的一条边平行时，的度数为，，，，．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，余角的性质，三角板中角的计算，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
【模型6 补角模型】
【例6】（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，．(四边形内角和为)
(1)______度；（用含，的代数式表示）
(2)若，平分与相邻的外角，平分交于点，交于点，判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)，理由见解析．
【分析】本题主要考查了四边形内角和问题，角平分线的定义，三角形外角的定义以及性质等知识．
（1）由四边形内角和为即可解题．
（2）由平角的定义得出，由（1）可得出，可得出，由角平分线的定义可得出，由三角形外角的定义以及性质可得出，，即可得出，则
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
故答案为：．
（2），理由如下：
，
．
．
平分，平分，
，．
．
，
．
．
【变式6-1】（24-25八年级上·山西阳泉·期中）如图，在四边形中，，，与的平分线交四边形内部于点．试猜想与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】，理由见解析
【分析】本题主要考查了四边形内角和，角平分线定义，熟练掌握四边形内角和为是解题的关键．根据四边形内角和得出，根据角平分线定义得出，，求出，最后得出答案即可．
【详解】解：．
理由：，四边形的内角和为，
，
，
平分，平分，
，，
，
．
．
【变式6-2】（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在四边形中，点G在边的延长线上，，点E、F分别是边上的两点，且．

(1)填空：__________；
(2)与相等吗？为什么？
【答案】(1)
(2)相等，理由见解析
【分析】（1）先求出，再根据四边形的内角和是求解即可；
（2）根据平行线的性质结合（1）的结论即可解答．
【详解】（1）解：∵,
∴，
∴；
故答案为：；
（2），理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质和四边形的内角和，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【变式6-3】（2023八年级上·全国·专题练习）如图，四边形中，，平分，，交于点．

(1)如图1，若，
①求证：；
②作平分，如图2，求证：．
(2)如图3，作平分，在锐角内部作射线，交于，若的大小为，试说明：平分．
【答案】(1)①见解析 ②见解析
(2)见解析
【分析】（1）①根据多边形内角和可证得，结合，即可得到结论．②根据角平分线的定义可求得，结合，可证得，即可得到结论．
（2）延长，交于点，可先证得，结合，，可求得．
【详解】（1）①∵，，
∴．
∵，
∴．
②∵平分，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
（2）延长，交于点，如图所示：

∵，
∴．
∴．
∵平分，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴平分．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义、三角形的外角的性质、多边形内角和、平行线的判定，能根据题意构建辅助线是解题的关键．
【模型7 一线三等角模型】
【例7】（22-23七年级下·江苏南京·期中）如图，P是内一点，，过点P作直线，交分别于E，F．若，则 ．
【答案】56
【分析】如图，连接，由题意知，，则，由，可知，则，根据，即，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
由题意知，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得，
故答案为：56．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
【变式7-1】如图，在等边中，为边上一点，为边上一点且．
求证：
【分析】利用等边三角形的性质可得，，从而利用三角形内角和定理可得，再利用平角定义可得，从而可得
【详解】证明：是等边三角形，
，，
，
，
，
【变式7-2】如图，在中，直角顶点在直线上，过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、求证：．
【分析】根据已知易得：，再利用垂直定义可得，从而可得，然后利用同角的余角相等可得．
【详解】证明：，
，
，，
，
，
【变式7-3】（23-24八年级·广东珠海·期末）如图1，AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE．
（1）求证：∠EAB＝∠CED；
（2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，则∠F的度数是 （直接写出答案即可）；
（3）如图3，EH平分∠CED，EH的反向延长线交∠BAE的平分线AF于点G．求证：EG⊥AF．（提示：三角形内角和等于180°）
【答案】（1）见解析；（2）45°；（3）见解析
【分析】（1）利用同角的余角相等即可证明；
（2）过点F作FM∥AB，利用∠DFA=∠DFM+∠AFM=∠CDE+∠EAB=（∠CDE+∠EAB）即可解决问题；
（3）想办法证明∠EAG+∠AEG=90°即可解决问题.
【详解】解：（1）∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠CED＝90°，
∴∠BAE＝∠CED．
（2）解：答案为45°；
过点F作FM∥AB，如图，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴AB∥CD，
∵∠C＝90°，
∴∠CED+∠CDE＝90°，
∵∠BAE＝∠CED，
∴∠BAE+∠CDE＝90°，
∵AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，
∴∠CDF＝∠CDE，∠BAF＝∠BAE，
∴∠CDF+∠BAF＝（∠BAE+∠CDE）＝45°，
∵FM∥AB∥CD，
∴∠CDF＝∠DFM，∠BAF＝∠AFM，
∴∠AFD＝∠CDF+∠BAF＝45°．
（3）∵EH平分∠CED，
∴∠CEH＝∠CED，
∴∠BEG＝∠CED，
∵AF平分∠BAE，
∴∠BAG＝∠BAE，
∵∠BAE＝∠CED，
∴∠BAG＝∠BEG，
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠BAG+∠GAE+∠AEB＝90°，
即∠GAE+∠AEB+∠BEG＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∴EG⊥AF．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 七个基本导角模型（举一反三专项训练）
【人教版2024】
【模型1 8字型】 3
【模型2 A字型】 4
【模型3 风筝型】 5
【模型4 燕尾型】 7
【模型5 余角模型】 8
【模型6 补角模型】 9
【模型7 一线三等角模型】 11
模型1：8字形
结论：①，
②．
模型2：A字形
结论：①，
②．
模型3：风筝行
结论：．
模型4：燕尾形
结论：．
模型5：余角模型
结论：①，
②．
结论：①，
②．
模型6：补角模型
条件：．
结论：．
模型7：一线三角模型
类型一 一线三垂直
类型二 同侧一线三等角
类型三 异侧一线三等角
条件：．
结论：①，
②．
【模型1 8字型】
【例1】如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【变式1-1】如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D
【变式1-2】如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【变式1-3】下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度．
【模型2 A字型】
【例2】如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（ ）．
A． B． C． D．
【变式2-1】如图所示，的两边上各有一点，连接，求证．
【变式2-2】（2025·安徽芜湖·三模）如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】将一把直尺与一块三角板在同一平面内按如图所示的方式放置，若，则的度数为 ．
【模型3 风筝型】
【例3】（24-25八年级上·湖北孝感·期末）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点．下列结论中错误的是：（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】如图，的外角平分线，相交于点，若，则 ．
【变式3-2】（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，分别是的外角平分线，
(1)若，求的度数为 ．
(2)若时，求的度数？
【变式3-3】（22-23八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，已知的角平分线与的外角平分线交于点D，的外角角平分线与的外角角平分线交于点E，则 ．

【模型4 燕尾型】
【例4】如图， 度．
【变式4-1】如图，在中，D是上一点，E是上一点，、相交于点F，，，．求的度数．
【变式4-2】在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【变式4-3】如图，则的度数是 ．

【模型5 余角模型】
【例5】（24-25九年级上·贵州毕节·阶段练习）如图,在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点，求证：．
【变式5-1】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知．
(1)与是什么关系？为什么？
(2)当与满足什么关系时，与相等？为什么？
【变式5-2】（24-25七年级下·四川雅安·期中）如图，已知于点F ，， 与 互余，求证： ．
证明： （已知），
（____________），
（____________），
与 互余（已知），
，
（____________），
（____________），
（____________），
（____________）．
【变式5-3】（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图1方式叠放在一起，其中，，，，，三点共线，，，三点共线，将三角尺固定不动，三角尺绕点顺时针旋转，旋转角度小于．
(1)如图2，求证：；
(2)在三角尺旋转的过程中，若，求的度数；
(3)在三角尺旋转的过程中，若三角尺的一条边与三角尺的一条边平行，求的度数．
【模型6 补角模型】
【例6】（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，．(四边形内角和为)
(1)______度；（用含，的代数式表示）
(2)若，平分与相邻的外角，平分交于点，交于点，判断与的位置关系，并说明理由．
【变式6-1】（24-25八年级上·山西阳泉·期中）如图，在四边形中，，，与的平分线交四边形内部于点．试猜想与之间的数量关系，并说明理由．
【变式6-2】（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在四边形中，点G在边的延长线上，，点E、F分别是边上的两点，且．

(1)填空：__________；
(2)与相等吗？为什么？
【变式6-3】（2023八年级上·全国·专题练习）如图，四边形中，，平分，，交于点．

(1)如图1，若，
①求证：；
②作平分，如图2，求证：．
(2)如图3，作平分，在锐角内部作射线，交于，若的大小为，试说明：平分．
【模型7 一线三等角模型】
【例7】（22-23七年级下·江苏南京·期中）如图，P是内一点，，过点P作直线，交分别于E，F．若，则 ．
【变式7-1】如图，在等边中，为边上一点，为边上一点且．
求证：
【变式7-2】如图，在中，直角顶点在直线上，过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、求证：．
【变式7-3】（23-24八年级·广东珠海·期末）如图1，AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE．
（1）求证：∠EAB＝∠CED；
（2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，则∠F的度数是 （直接写出答案即可）；
（3）如图3，EH平分∠CED，EH的反向延长线交∠BAE的平分线AF于点G．求证：EG⊥AF．（提示：三角形内角和等于180°）
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