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专题03 五大双角平分线夹角模型（举一反三专项训练）
【人教版2024】
【模型1 三角形双内角平分线夹角模型】 3
【模型2 三角形双外角平分线夹角模型】 4
【模型3 三角形一内一外角平分线夹角模型】 5
【模型4 8 字形双角平分线夹角模型】 6
【模型5 燕尾形双角平分线夹角模型】 7
模型1：三角形双内角平分线夹角模型
条件：BP平分，CP平分．
结论：．
模型2：三角形双外角平分线夹角模型
条件：BP平分，CP平分．
结论：．
模型3：三角形一内一外角平分线夹角模型
条件：BP平分，CP平分．
结论：．
模型4：8字形双角平分线夹角模型
条件：AP平分，CP平分．
结论：．
模型5：①燕尾形双角平分线夹角模型1
条件：BP平分，CP平分．
结论：．
②燕尾形双角平分线夹角模型2
条件：AP平分，DP平分．
结论：．
【模型1 三角形双内角平分线夹角模型】
【例1】如图，在中，已知，、的平分线、相交于点O，则的度数为 ．

【变式1-1】如图，在中，，于，与的平分线交于点，与的平分线交于点，试判断与的数量关系，并说明理由.
【变式1-2】如图，已知、的平分线相交于点，过点且．

（1）若，，求的度数；
（2）若，，求、的度数．
【变式1-3】如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．
（1）若∠MON=60°，则∠ACG= ；（直接写出答案）
（2）若∠MON=n°，求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示）
（3）如图2，若∠MON=80°，过点C作CF∥OA交AB于点F，求∠BGO与∠ACF的数量关系．
【模型2 三角形双外角平分线夹角模型】
【例2】的两外角平分线交于点．

(1)如图1，若，则的度数为__________．
(2)如图2，过点作直线，分别交射线于点，若设，，则与的数量关系是__________．
(3)在（2）的条件下，将直线绕点转动．
①如图3，当直线与线段没有交点时，试探索与，之间的数量关系，并说明理由．
②当直线与线段有交点时，试问①中与，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．
【变式2-1】如图，已知在中，、的外角平分线相交于点，若，，求的度数.
【变式2-2】（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）如图，是两外角平分线的交点，是的两外角平分线的交点，，在上，又，在上；如果，那么 度．
【变式2-3】如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C=200°，则∠P=( )
A．10 ° B．20 °
C．30° D．40°
【模型3 三角形一内一外角平分线夹角模型】
【例3】（22-23七年级下·江苏泰州·期中）如图，为直角三角形，，为的平分线，与的平分线交于点E，是的外角平分线，与相交于点G，则与的和为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在中，，的平分线交于点，是外角与内角平分线交点，是，外角平分线交点，若，则（　　）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024八年级·全国·竞赛）如图，平分交的平分线于，交的外角平分线于，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，依此下去．若，则（ ）
A． B． C． D．
【模型4 8 字形双角平分线夹角模型】
【例4】（22-23八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，和相交于点O，分别平分和，若，则 ．
【变式4-1】平面内，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°．
（1）∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC的大小．
（2）点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD平分线交于点N（如图2），求∠ANC．
【变式4-2】如图1，AD、BC交于点O，得到的数学基本图形我们称之为‘8’字形ABCD．
（1）试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，尝试用（1）中的数学基本图形和结论，猜想∠E与∠A、∠C之间的数量关系并说明理由．
【变式4-3】如图1，线段相交于点，连接，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题：
(1)在图1中，证明：；
(2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：_____个；
(3)图2中，当度，度时，求的度数．
(4)图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．
【模型5 燕尾形双角平分线夹角模型】
【例5】如图，四边形中，，与、相邻的两外角平分线交于点E，若，则的度数为（ ）
A．45° B．60° C．40° D．50°
【变式5-1】如图，已知在中，，、分别平分、，相交于点，、分别平分、，相交于点，求、的度数.
【变式5-2】如图，是的平分线，CH是的平分线，与CH交于点，若，，求的度数.
【变式5-3】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解决下列问题：
(1)用图①证明：；
(2)在图①中，若平分，平分，与交于E点，运用（1）的结论写出、和之间的关系，并说明理由；
(3)如图②，若，，试探索，和三个角之间的关系为______（直接写出结果即可）．
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【人教版2024】
【模型1 三角形双内角平分线夹角模型】 3
【模型2 三角形双外角平分线夹角模型】 6
【模型3 三角形一内一外角平分线夹角模型】 11
【模型4 8 字形双角平分线夹角模型】 15
【模型5 燕尾形双角平分线夹角模型】 20
模型1：三角形双内角平分线夹角模型
条件：BP平分，CP平分．
结论：．
模型2：三角形双外角平分线夹角模型
条件：BP平分，CP平分．
结论：．
模型3：三角形一内一外角平分线夹角模型
条件：BP平分，CP平分．
结论：．
模型4：8字形双角平分线夹角模型
条件：AP平分，CP平分．
结论：．
模型5：①燕尾形双角平分线夹角模型1
条件：BP平分，CP平分．
结论：．
②燕尾形双角平分线夹角模型2
条件：AP平分，DP平分．
结论：．
【模型1 三角形双内角平分线夹角模型】
【例1】如图，在中，已知，、的平分线、相交于点O，则的度数为 ．

【答案】
【分析】根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.
【详解】
在中,
，
∵与的角平分线相交于点，
∴，
在中,
，
故答案为:.
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键.
【变式1-1】如图，在中，，于，与的平分线交于点，与的平分线交于点，试判断与的数量关系，并说明理由.
【答案】，见解析.
【分析】根据角平分线的性质及直角三角形两锐角互余，可分别求出，，即可判断出与的数量关系.
【详解】解：.理由如下：
∵，
∴，
∵与的平分线交于点，
∴，
∴，
同理可求，
.
【点睛】本题考查了角平分线的性质及直角三角形两锐角互余等相关知识.熟练根据角平分线的性质及直角三角形两锐角互余这一性质求出与的度数是解题的关键.
【变式1-2】如图，已知、的平分线相交于点，过点且．

（1）若，，求的度数；
（2）若，，求、的度数．
【答案】（1）125° （2）60°；40°
【分析】（1）由角平分线的定义可求得∠OBC=25°，∠OCB=30°，再利用三角形的内角和定理求解即可；
（2）由已知条件易求∠1，∠2的度数，根据平行线的性质即可得∠OBC，∠OCB的度数，利用角平分线的定义可求解；
【详解】解：（1）∵和的平分线与相交于点，
∴，，
又，，
∴，，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∵和的平分线与相交于点，
∴，．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．
【变式1-3】如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．
（1）若∠MON=60°，则∠ACG= ；（直接写出答案）
（2）若∠MON=n°，求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示）
（3）如图2，若∠MON=80°，过点C作CF∥OA交AB于点F，求∠BGO与∠ACF的数量关系．
【答案】（1）60°；（2）90°-n°；（3）∠BGO-∠ACF=50°
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAO+∠ABO，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）仿照（1）的解法解答；
（3）根据平行线的性质得到∠ACF=∠CAG，根据（2）的结论解答．
【详解】解：（1）∵∠MON=60°，
∴∠BAO+∠ABO=120°，
∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠CBA=∠ABO，∠CAB=∠BAO，
∴∠CBA+∠CAB=（∠ABO+∠BAO）=60°，
∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=60°，
故答案为：60°；
（2）∵∠MON=n°，
∴∠BAO+∠ABO=180°-n°，
∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠CBA=∠ABO，∠CAB=∠BAO，
∴∠CBA+∠CAB=（∠ABO+∠BAO）=90°-n°，
∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=90°-n°；
（3）∵CF∥OA，
∴∠ACF=∠CAG，
∴∠BGO-∠ACF=∠BGO-∠CAG=∠ACG，
由（2）得：∠ACG=90°-×80°=50°．
∴∠BGO-∠ACF=50°．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握两直线平行、内错角相等是解题的关键．
【模型2 三角形双外角平分线夹角模型】
【例2】的两外角平分线交于点．

(1)如图1，若，则的度数为__________．
(2)如图2，过点作直线，分别交射线于点，若设，，则与的数量关系是__________．
(3)在（2）的条件下，将直线绕点转动．
①如图3，当直线与线段没有交点时，试探索与，之间的数量关系，并说明理由．
②当直线与线段有交点时，试问①中与，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)①，见解析；②不成立，或
【分析】（1）由三角形内角和定理可得，从而可得，再由角平分线的定义可得，最后由三角形内角和定理可得，进行计算即可；
（2）由（1）可得由（1）可得，再由代入进行计算即可；
（3）①根据（1）中的结论，以及平角的定义，即可得到答案；②分两种情况进行讨论：根据（1）中的结论，以及平角的定义，即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，，
，
和分别是和的平分线，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：，
由（1）可得，
，
，
即．
（3）解：①当直线与线段没有交点时，，
理由如下：
∵，，
∴，
即；
②当直线与线段有交点时，①中与，之间的数量关系不成立，需分两种情况讨论：
a．如图1，当在线段上，在射线上时，，
，
∵，，
∴，
即，
b．如图2，当在射线上，在线段上时，，
，
∵，，
∴，
即．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平角的定义等知识，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
【变式2-1】如图，已知在中，、的外角平分线相交于点，若，，求的度数.
【答案】
【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系．
【详解】解：∠B、∠C的外角平分线相交于点G，
在中，
∠BGC=180°-（∠EBC+∠BCF）
=180°-（∠EBC+∠BCF）
=180°-（180°-∠ABC+180°-∠ACB）
=180°-（180°-m°+180°-n°）；
=
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出．
【变式2-2】（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）如图，是两外角平分线的交点，是的两外角平分线的交点，，在上，又，在上；如果，那么 度．
【答案】66
【分析】利用角平分线的定义和三角形、四边形的内角和可求得：，，所以．
【详解】解：因为是两外角平分线的交点，
∴，
∵是两外角平分线的交点，
∴，
∴．
故答案为：66．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质和三角形外角的性质，结合图形熟练运用定理和性质进行求解是解题的关键．
【变式2-3】如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C=200°，则∠P=( )
A．10 ° B．20 °
C．30° D．40°
【答案】A
【分析】利用四边形内角和是360°可以求得∠DAB+∠ABC=160°．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得∠PAB+∠ABP= ∠DAB+∠ABC+(180 ∠ABC)=90+ (∠DAB+∠ABC)=170，所以根据△ABP的内角和定理求得∠P的度数即可．
【详解】解：如图,
∵∠D+∠C=200 ,∠DAB+∠ABC+∠C+∠D=360，
∴∠DAB+∠ABC=160.
又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，
∴∠PAB+∠ABP=∠DAB+∠ABC+(180 ∠ABC)=90+(∠DAB+∠ABC)=170，
∴∠P=180 (∠PAB+∠ABP)=10.
故选:A.
【模型3 三角形一内一外角平分线夹角模型】
【例3】（22-23七年级下·江苏泰州·期中）如图，为直角三角形，，为的平分线，与的平分线交于点E，是的外角平分线，与相交于点G，则与的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角形内角和定理，角平分线的定义求出，，推出，可得结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，分别平分，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式3-1】（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在中，，的平分线交于点，是外角与内角平分线交点，是，外角平分线交点，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线定义，三角形外角的应用，熟知三角形的外角性质是解答此题的关键．根据角平分线的定义有，，得，根据外角的性质，，得．
【详解】解：平分，平分的外角
，
故选：D
【变式3-2】（2024八年级·全国·竞赛）如图，平分交的平分线于，交的外角平分线于，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查角平分线性质、三角形外角的性质、三角形内角和，根据题意得到，推出，根据角平分线性质推出与的和，利用三角形内角和即可解题．
【详解】解： 平分，平分，
，，
，
，
，
，
平分，
，
，
．
故选：C．
【变式3-3】（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，依此下去．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义等，找出其中规律是解题的关键．
根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角性质可得，，得：，则，由和得：，则，化简可得，进一步找出其中规律，即可求出的度数．
【详解】解：和分别是的内角平分线和外角平分线，，
，，
，
，，
得：，
，
由和得：，
，
，
同理，
，
…
，
故选：B．
【模型4 8 字形双角平分线夹角模型】
【例4】（22-23八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，和相交于点O，分别平分和，若，则 ．
【答案】70
【分析】根据三角形内角和定理可得，设，则，再由分别平分和，可得，，再根据三角形内角和定理可得，从而得到，然后根据得到关于x的方程，即可求解．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵分别平分和，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
解得：，
即．
故答案为：70
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，一元一次方程的应用，利用参数思想构建方程是解题的关键．
【变式4-1】平面内，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°．
（1）∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC的大小．
（2）点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD平分线交于点N（如图2），求∠ANC．
【答案】（1）33°；（2）123°
【分析】（1）AM与BC交于E，AD与MC交于F，利用角平分线性质和三角形外角性质可得，是和的外角，是和的外角，列出关于的方程组，计算得出的度数．
（2）AN与BC交于点G，AD与BC交于点F，根据角平分线性质和三角形外角性质可得，是和的外角，是和的外角，列出关于的方程组，计算得出的度数．
【详解】解：（1）AM与BC相交于E，AD与MC相较于F，如图：
∵MA和MC是∠BAD和∠BCD的角平分线，
∴设∠BAM=∠MAD=a，∠BCM=∠MCD=b，
∵∠BEM是△ABE和△MCE的外角，
∴∠M+∠BCM=∠B+∠BAM，
即：∠M+b=24°+a①，
又∵∠MFD是△MAF和△CDF的外角，
可得∠M+a=42°+b②，
①式＋②式得2∠M=24°+42°，
解得：∠M=33°，
∴．
（2）AN与BC相交于G，AD与BC相较于F，如图:
∵NA和NC是∠EAD和∠BCD的角平分线，
∴设∠EAN=∠NAD=m，∠BCN=∠NCD=n，
∵∠BFD是△ABF和△FCD的外角，
∴∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，
即：24°+(180°-2m）=42°+2n，
可得m+n=81°①，
又∵∠AGC是△NGC和△ABG的外角，
可得∠N+n=24°+(180°-m），
得∠N=204°-（m+n）②，
①式代入②式，得∠N=204°-81°=123°，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形外角性质，用设未知数列方程组的方法计算角度是解题关键．
【变式4-2】如图1，AD、BC交于点O，得到的数学基本图形我们称之为‘8’字形ABCD．
（1）试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，尝试用（1）中的数学基本图形和结论，猜想∠E与∠A、∠C之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）2∠E＝∠A+∠C，理由见解析
【分析】（1）利用三角形内角和定理：，结合对顶角相等可得结论．
（2）利用（1）中结论，设∠ABE=∠EBC=x，∠ADE=∠EDC=y，可得∠A+x=∠E+y，∠C+y=∠E+x，两式相加可得结论．
【详解】解：（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）结论：2∠E＝∠A+∠C．
理由：∵∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，
∴设∠ABE＝∠EBC＝x，∠ADE＝∠EDC＝y，
∵∠A+x＝∠E+y，∠C+y＝∠E+x，
∴∠A+∠C＝∠E+∠E，
∴2∠E＝∠A+∠C ．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
【变式4-3】如图1，线段相交于点，连接，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题：
(1)在图1中，证明：；
(2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：_____个；
(3)图2中，当度，度时，求的度数．
(4)图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．
【答案】(1)见解析
(2)6
(3)
(4)
【分析】（1）利用三角形的内角和定理与对顶角相等可得结论；
（2）由交点有点，再分类确定即可得到答案；
（3）由（1）可得， ，再两式相加，结合角平分线的定义可得，再把，代入计算即可得到答案；
（4）由（1）可得，，再两式相加，结合角平分线的定义可得．
【详解】（1）证明：∵，
又∵，
∴；
（2）交点有点，
以为交点的8字形有1个，为与，
以为交点的8字形有4个，为与，与，与，与，
以为交点的8字形有1个，为与，
所以，“8字形”图形共有6个．
故答案为：6；
（3）由（1）可得，①，
②，
∵和的平分线和相交于点，
∴，，
由①+②，得，
即，
又∵，，
∴，
∴；
（4）关系：．
理由：由（1）得①，
② ，
∵和的平分线和相交于点，
∴，，
由①＋②，得，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的应用、角平分线的定义等知识，掌握利用三角形的内角和定理解决“8字形”中的角度问题是解题的关键．
【模型5 燕尾形双角平分线夹角模型】
【例5】如图，四边形中，，与、相邻的两外角平分线交于点E，若，则的度数为（ ）
A．45° B．60° C．40° D．50°
【答案】C
【分析】运用四边形的内角和等于，可求的度数，再利用角平分线的性质及三角形的外角性质可求的度数．
【详解】解：如图，连接并延长，
∵，，
∴，
∵、相邻的两外角平分线交于点，
∴，
∵，，
即
∴．
故选：．
【点睛】本题运用四边形的内角和、角平分线的性质及三角形的外角性质，解题关键是准确计算．
【变式5-1】如图，已知在中，，、分别平分、，相交于点，、分别平分、，相交于点，求、的度数.
【答案】；.
【分析】根据三角形内角平分线的交角的基本图形和结论即可得出答案
【详解】解：由三角形内角平分线的交角的基本图形和结论得，；
；
、分别平分、，相交于点，
是的平分线，
．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，以及三角形的角平分线的性质，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
【变式5-2】如图，是的平分线，CH是的平分线，与CH交于点，若，，求的度数.
【答案】.
【分析】根据三角形的外角的性质得出燕尾角的基本图形的结论得出∠BDC、∠BOC，在根据角平分线的性质即可得出
【详解】解：由燕尾角的基本图形与结论可得，
①
②
是的平分线，是的平分线
，．
①-②得，．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用．
【变式5-3】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解决下列问题：
(1)用图①证明：；
(2)在图①中，若平分，平分，与交于E点，运用（1）的结论写出、和之间的关系，并说明理由；
(3)如图②，若，，试探索，和三个角之间的关系为______（直接写出结果即可）．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的定义，解答的关键是熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键．
（1）根据三角形内角和定理得，，即，即可求得，则容易得到；
（2）用题中给出的结论表示出与，再把两式相减即可得出结论；
（3）利用题中给出的结论解答即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
在中，，
；
在中，
，
即，
而，
，
即．
（2），理由如下：
由题意得，①，
②，
平分，平分，
，，
①②得，，
；
（3），理由：
，，
，，
①，
②，
②①得，
，
，
，
，
．
故答案为：．
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