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专题13.1 三角形的概念、三角形的边（举一反三讲义）
【人教版2024】
【题型1 三角形的有关概念】 2
【题型2 三角形的分类】 3
【题型3 利用三边关系判断能否组成三角形】 4
【题型4 利用三边关系求参数范围】 5
【题型5 利用三边关系化简】 5
【题型6 利用三边关系求最值】 5
【题型7 利用三边关系取舍值】 7
【题型8 利用三边关系证明线段的不等关系】 7
【题型9 三边关系的应用】 8
知识点1 三角形的有关概念
1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2.三角形的三要素
3.三角形的表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC用符号表示为△ABC.
知识点2 三角形的分类
1.等腰三角形的定义
三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰 ,另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.
2.三角形的分类
按边分类
三边都不相等的三角形
按角分类
知识点3 三角形的三边关系
1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
2.判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形.
【题型1 三角形的有关概念】
【例1】（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，图中的三角形共有（ ）个．
A． B． C． D．
【变式1-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（24-25八年级上·广西·期中）已知：如图，试回答下列问题：
（1）图中有_______个三角形，其中直角三角形是______．
（2）以线段AC为公共边的三角形是___________．
（3）线段CD所在的三角形是_______，BD边所对的角是________．
【变式1-3】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，以点A、B、C、D、E中的任意3点为顶点的三角形共有几个，请在图中画出这些三角形.
【题型2 三角形的分类】
【例2】（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（ ）
A．甲、乙两种分法均正确 B．甲、乙两种分法均错误
C．甲的分法错误，乙的分法正确 D．甲的分法正确，乙的分法错误
【变式2-1】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，被木条遮住了一部分，只露出，则与可能是（ ）
A．一个直角，一个锐角 B．两个钝角
C．一个钝角，一个锐角 D．两个锐角
【变式2-2】（23-24八年级上·浙江·期末）如图，在中，，．动点P从点C出发，沿边，向点A运动．在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是（ ）
A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形
B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
【变式2-3】（24-25七年级下·重庆·期中）设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【题型3 利用三边关系判断能否组成三角形】
【例3】（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成 个．
【变式3-1】（2025·河北邯郸·二模）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是( )
A．甲 B．乙 C．甲或乙 D．甲或乙均不可以
【变式3-2】（24-25八年级上·浙江台州·期中）用13根等长火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式3-3】（24-25八年级上·河北沧州·期末）某同学用5cm、7cm、9cm、13cm的四根小木棒摆出不同形状的三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型4 利用三边关系求参数范围】
【例4】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）已知一个三角形中两条边的长分别是 a、b，且 a＞b，那么这个三角形的周长 L的取值范围是（ ）
A．3b＜L＜3a B．2a＜L＜2（a+b）
C．a+2b＜L＜2a+b D．3a﹣b＜L＜3a+b
【变式4-1】（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）三角形的三边长分别为2，5，，则x的取值范围是 ．
【变式4-2】（24-25八年级上·湖北黄冈·阶段练习）等腰三角形周长是，腰长为，则x的取值范围为 ．
【变式4-3】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）一个三角形的3边长分别是、，，它的周长不超过39cm．则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型5 利用三边关系化简】
【例5】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）设a，b，c是的三边，
(1)化简
(2)若b，c满足，且a为方程的解，判断的形状并说明理由．
【变式5-1】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
【变式5-2】（24-25八年级上·云南曲靖·期中）已知一个三角形的三边长分别为2，4，m．化简：．
【变式5-3】（24-25八年级上·四川凉山·阶段练习）已知，，为三角形的三边长，化简：=（ ）
A． B． C． D．
【题型6 利用三边关系求最值】
【例6】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，P是上的一个动点（不与点B重合）.点B与点关于直线对称，连接，，，则线段的最小值是 .
【变式6-1】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，，将平移5个单位到，则的最大值等于 ．
【变式6-2】（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，在中，，，，D为边上一动点，将沿翻折得到，点B的对应点为点P，连接，则的最小值为 ．
【变式6-3】（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是 ．
【题型7 利用三边关系取舍值】
【例7】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）用一条长41cm的细绳围成一个三角形，已知此三角形的第一条边为xcm，第二条边是第一条边的3倍少4cm．
(1)请用含x的式子表示第三条边的长度．
(2)若此三角形恰好是一个等腰三角形，求这个等腰三角形的三边长．
【变式7-1】（24-25七年级下·河北保定·期中）等腰三角形的两边满足，则该等腰三角形的周长是（ ）
A． B． C． D．或
【变式7-2】（24-25八年级上·山东德州·期末）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，使其一边的长度为，另外两边的长为 ．
【变式7-3】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）等腰三角形底边长为，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，其差为，则该等腰三角形的腰长为（　　）
A． B． C． D．或
【题型8 利用三边关系证明线段的不等关系】
【例8】（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）如图，在中，点在上，点在上．求证：．
【变式8-1】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，D为的边上一点，试判断与的周长之间的大小关系，并加以证明．
【变式8-2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，，是四边形的对角线，且，相交于点O．求证：
(1)；
(2)．
【变式8-3】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知：如图，点D是△ABC内一点．求证：

(1)BD＋CD＜AB＋AC；
(2)AD＋BD＋CD＜AB＋BC＋AC．
【题型9 三边关系的应用】
【例9】（2025·江苏无锡·三模）小毛在滑雪场沿着不同路径滑冰．如图中的灰色线条表示4条不同路径，分别标记为P、Q、R、S．请问这4条路径从最短到最长的正确排列顺序是（ ）
A．P，Q，R，S B．P，R，S，Q C．Q，S，P，R D．R，P，S，Q
【变式9-1】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，、为池塘岸边两点，小明在池塘的一侧取一点，测得米，米，、间的距离可能是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【变式9-2】（2025·河北唐山·二模）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（ ）
A．2 B．3 C．4或5 D．6
【变式9-3】（24-25八年级上·山西长治·期末）如图，数学活动课上，一数学小组的同学把纸条等分成14份，如果第一次在剪刀处剪断，想再剪一刀，使三段能构成等腰三角形，那么第二次可以在 处剪断．（多选，填写序号）
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题13.1 三角形的概念、三角形的边（举一反三讲义）
【人教版2024】
【题型1 三角形的有关概念】 2
【题型2 三角形的分类】 5
【题型3 利用三边关系判断能否组成三角形】 7
【题型4 利用三边关系求参数范围】 9
【题型5 利用三边关系化简】 10
【题型6 利用三边关系求最值】 12
【题型7 利用三边关系取舍值】 15
【题型8 利用三边关系证明线段的不等关系】 18
【题型9 三边关系的应用】 21
知识点1 三角形的有关概念
1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2.三角形的三要素
3.三角形的表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC用符号表示为△ABC.
知识点2 三角形的分类
1.等腰三角形的定义
三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰 ,另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.
2.三角形的分类
按边分类
三边都不相等的三角形
按角分类
知识点3 三角形的三边关系
1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
2.判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形.
【题型1 三角形的有关概念】
【例1】（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，图中的三角形共有（ ）个．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图形及三角形的定义查找即可，注意以一条边为基础依次查找．
【详解】根据图形依次查找可得：△ABE、△ABC、△BCE、△BCD、△DCE，共5个三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形的定义，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形；熟练掌握定义是解题关键．
【变式1-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；
B、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；
C、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；
D、不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接，是三角形，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查三角形图形的知识，根据三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。判断是否三条线段首尾顺次相接是解决本题的关键。
【变式1-2】（24-25八年级上·广西·期中）已知：如图，试回答下列问题：
（1）图中有_______个三角形，其中直角三角形是______．
（2）以线段AC为公共边的三角形是___________．
（3）线段CD所在的三角形是_______，BD边所对的角是________．
【答案】 6 ，， ，，
【分析】（1）直接观察图形可找出三角形的直角三角形；
（2）观察图形可找到以线段AC为公共边的三角形；
（3）观察图形可知线段CD所在的三角形以及BD边所对的角；
【详解】（1）由图可知，
图中三角形有△ABC、△ADB、△AEB、△ACD、△ACE、△ADE，
图中有6个三角形，
由图可知，直角三角形有，，；
（2）由图可知，
以线段AC为公共边的三角形是，，；
（3）由图可知，
线段CD所在的三角形是，
BD边所对的角是；
【点睛】本题主要考查三角形的识别．
【变式1-3】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，以点A、B、C、D、E中的任意3点为顶点的三角形共有几个，请在图中画出这些三角形.
【答案】9个，图见解析.
【分析】)根据三角形的定义,即不在同一直线上的三点首尾顺次连接即可得到一个三角形,即可得出答案.
【详解】解：以点A、B、C、D、E中的任意3点为顶点的三角形共有9个，分别是：
△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△BCE，△BCD，△DEA，△DEB，△DEC.
如图所示：
【点睛】此题考查了三角形的定义,关键是根据题意画出图形,数出三角形的个数,不要漏数三角形的个数.
【题型2 三角形的分类】
【例2】（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（ ）
A．甲、乙两种分法均正确 B．甲、乙两种分法均错误
C．甲的分法错误，乙的分法正确 D．甲的分法正确，乙的分法错误
【答案】D
【分析】三角形的分类：按边分有普通三角形(三条边都不相等)，等腰三角(腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形)；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形.据此判断即可.
【详解】解：甲分法正确，乙正确的分类应该为：
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的分类，解答的关键是熟知三角形的分类标准，易忽略等腰三角形包含等边三角形.
【变式2-1】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，被木条遮住了一部分，只露出，则与可能是（ ）
A．一个直角，一个锐角 B．两个钝角
C．一个钝角，一个锐角 D．两个锐角
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的分类，理解并掌握三角形的分类是解题的关键．
三角形根据角度分为：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，是钝角，
∴与可能是两个锐角，
故选：D ．
【变式2-2】（23-24八年级上·浙江·期末）如图，在中，，．动点P从点C出发，沿边，向点A运动．在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是（ ）
A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形
B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
【答案】C
【分析】本题考查动点问题，掌握三角形的分类是解题的关键．
【详解】解：在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形，
故选C．
【变式2-3】（24-25七年级下·重庆·期中）设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据各类三角形的概念即可解答.
【详解】解：根据各类三角形的概念可知，C可以表示它们彼此之间的包含关系．
故选C．
【点睛】本题考查各种三角形的定义，要明白等边三角形一定是等腰三角形，等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形.
【题型3 利用三边关系判断能否组成三角形】
【例3】（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成 个．
【答案】7
【分析】本题考查三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ），解题的关键是逐一判断五条线段中任取三条的组合是否满足三边关系．
从五条线段中任取三条，根据三角形三边关系判断能否组成三角形，统计满足条件的组合数．
【详解】以其中的三条线段为边组成三角形的有：
；
；
；
；
；
；
．
共有 7 种情况．
故答案为： 7 ．
【变式3-1】（2025·河北邯郸·二模）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是( )
A．甲 B．乙 C．甲或乙 D．甲或乙均不可以
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．通过分别假设剪开甲、乙小棒，分析所得到的线段长度与另一根小棒长度之间是否满足三边关系来确定正确答案．
【详解】解：假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为，剪成两段长度分别为、，甲小棒长度为．
∵乙小棒的长度大于甲小棒，即
∴
∴剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形；
假设剪开甲小棒，
∵乙小棒的长度大于甲小棒，
∴同理可得，甲小棒减成的两根小棒的和小于乙小棒，故围不成三角形，不符合题意．
综上所述，剪开的小棒是乙．
故选：B．
【变式3-2】（24-25八年级上·浙江台州·期中）用13根等长火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是三角形三边的关系，若三条线段能够构成三角形需满足：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.熟记定理是解题的关键. 可以把三角形的周长看作13，再根据三角形三边的关系应满足：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从一条边有1根开始，逐渐增多即可得出结论.
【详解】解：∵三角形两边之和大于第三边，
∴只能有5种答案，即①1、6、6；②2、5、6；③3、5、5；④4、4、5；④3、4、6．
故选：C．
【变式3-3】（24-25八年级上·河北沧州·期末）某同学用5cm、7cm、9cm、13cm的四根小木棒摆出不同形状的三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可．
【详解】解：四条木棒的所有组合：5，7，9和5，9，13和5，7，13和7，9，13；
只有5，7，9和5，9，13和7，9，13能组成三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形的三边关系：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；注意情况的多解和取舍．
【题型4 利用三边关系求参数范围】
【例4】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）已知一个三角形中两条边的长分别是 a、b，且 a＞b，那么这个三角形的周长 L的取值范围是（ ）
A．3b＜L＜3a B．2a＜L＜2（a+b）
C．a+2b＜L＜2a+b D．3a﹣b＜L＜3a+b
【答案】B
【详解】分析：先根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再确定这个三角形的周长l的取值范围即可．
详解：设第三边长x．
根据三角形的三边关系，得a-b＜x＜a+b．
∴这个三角形的周长m的取值范围是a-b+a+b＜L＜a+b+a+b，即2a＜L＜2a+2b．
故选B．
点睛：考查三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
【变式4-1】（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）三角形的三边长分别为2，5，，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据三角形三边的关系即可列出一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可．
【详解】根据题意可得不等式组 ，
∴，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形三边的关系以及解不等式组．解题的关键在于利用三角形三边的关系列出一元一次不等式组．
【变式4-2】（24-25八年级上·湖北黄冈·阶段练习）等腰三角形周长是，腰长为，则x的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的定义，三角形的三边关系，求不等式组的解集，由题意可得等腰三角形的底边长为，然后根据三角形的三边关系可得关于的不等式组，解不等式组即可求出答案．
【详解】解：等腰三角形的周长为，腰长为，则底边长为，
根据三边关系可得，，解得，；
，解得，，
的取值范围是．
故答案为：．
【变式4-3】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）一个三角形的3边长分别是、，，它的周长不超过39cm．则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形三边关系和周长不超过39cm可列出不等式组求解即可．
【详解】解：根据题意，可得，
∴．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系和解不等式组，根据条件列出不等式组求解是解题的关键．
【题型5 利用三边关系化简】
【例5】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）设a，b，c是的三边，
(1)化简
(2)若b，c满足，且a为方程的解，判断的形状并说明理由．
【答案】(1)
(2)等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）根据三角形的三边关系得出，，再利用绝对值的性质化简即可；
（2）根据非负数的性质得出，，再解绝对值方程，求出a值，根据三角形三边关系取舍，最后即可判断的形状．
【详解】（1）解：∵a，b，c是的三边，
∴，
∴，，
∴
；
（2）解：∵，
∴且，
∴，，
∵a为方程的解，
∴，
∴或，
∴或，
当时，，不能构成三角形，不符合题意；
当时，，能构成三角形；
∴，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，化简绝对值，等腰三角形的定义，非负数的性质，解题的关键是利用三角形三边关系得出式子的符号．
【变式5-1】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了绝对值的化简，三角形的三边关系，整式的加减等知识点，首先根据三角形的三边关系确定的取值范围，再去绝对值计算即可解答，熟练掌握三角形的三边关系并能正确得出是解决此题的关键．
【详解】解：一个三角形的三边长分别为2，x，7，
，
，
故选：．
【变式5-2】（24-25八年级上·云南曲靖·期中）已知一个三角形的三边长分别为2，4，m．化简：．
【答案】
【分析】本题考查三角形的三边关系，绝对值的化简．先由三角形的三边关系得到，进而可对绝对值进行化简．
【详解】解：∵三角形的三边长分别为2，4，m，
∴，
即，
∴，，，
∴
．
【变式5-3】（24-25八年级上·四川凉山·阶段练习）已知，，为三角形的三边长，化简：=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查三角形的三边关系及化简绝对值，先根据三角形的三边关系得到式子的正负，再化简绝对值即可得到答案．
【详解】解：∵，，为三角形的三边长，
∴，，
∴，，，
∴原式
，
故选：A．
【题型6 利用三边关系求最值】
【例6】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，P是上的一个动点（不与点B重合）.点B与点关于直线对称，连接，，，则线段的最小值是 .
【答案】3
【分析】根据题意，得，结合，判定当三点共线时，线段取得最小值，解答即可.
本题考查了三角形不等式求最值，构造正确的三角形不等式存在的基础三角形是解题的关键.
【详解】解：根据题意，得，
∵，
∴当三点共线时，线段取得最小值
∵，
∴，
故答案为：3.
【变式6-1】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，，将平移5个单位到，则的最大值等于 ．
【答案】8．
【分析】根据平移的性质和三角形的三边关系即可得到结论．
【详解】解：如图示：连接，
∵将平移5个单位到，
∴，
又，
∴，
∴在中，
即：
∴
∴的最大值等于8，
故答案是：8．
【点睛】本题考查了平移的性质，三角形的三边关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
【变式6-2】（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，在中，，，，D为边上一动点，将沿翻折得到，点B的对应点为点P，连接，则的最小值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用．由折叠的性质知，在中，由三角形三边关系得，当D在边上运动时，总有，据此求解即可．
【详解】解：由折叠的性质知，
在中，由三角形三边关系得，
当点落在边上时，，
∴当D在边上运动时，总有，
∴的最小值为，
故答案为：2．
【变式6-3】（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是 ．
【答案】16
【分析】本题考查线段之和最小值问题，将转化为求的最小值，当B、C、D在同一直线上时，最小值为．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴当B、C、D在同一直线上时，有最小值，最小值为，，
∴的最小值为，
故答案为：16．
【题型7 利用三边关系取舍值】
【例7】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）用一条长41cm的细绳围成一个三角形，已知此三角形的第一条边为xcm，第二条边是第一条边的3倍少4cm．
(1)请用含x的式子表示第三条边的长度．
(2)若此三角形恰好是一个等腰三角形，求这个等腰三角形的三边长．
【答案】(1)cm
(2)7cm，17cm，17cm
【分析】（1）依据三角形的第一条边为，第二条边是第一条边的3倍少，即可用含的式子表示第三条边的长度．
（2）依据三角形恰好是一个等腰三角形，分三种情况讨论，即可得到这个等腰三角形的三边长．
【详解】（1）解：∵三角形的第一条边长为xcm，第二条边长比第一条边长的3倍少4cm，
∴第二条边长为cm．
∴第三条边长为cm．
（2）解：若x＝3x-4，则x＝2，此时三边长分别为2cm，2cm和37cm，
根据三角形三边关系可知，2，2，37不能组成三角形；
若x＝45-4x，则x＝9，此时三边长分别为9cm，9cm和23cm，
根据三角形三边关系可知，9，9，23不能组成三角形；
若3x-4＝45-4x，则x＝7，此时三边长分别为7cm，17cm，17cm，
根据三角形三边关系可知，7，17，17可以组成三角形．
∴这个等腰三角形的三边长分别为7cm，17cm，17cm．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，解题的关键是根据三角形的三边关系进行判断．
【变式7-1】（24-25七年级下·河北保定·期中）等腰三角形的两边满足，则该等腰三角形的周长是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，三角形的三边关系，由非负数的性质得，，进而根据三角形的三边关系得是等腰三角形的底，是等腰三角形的腰，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴是等腰三角形的底，是等腰三角形的腰，
∴该等腰三角形的周长为，
故选：．
【变式7-2】（24-25八年级上·山东德州·期末）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，使其一边的长度为，另外两边的长为 ．
【答案】，
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形三边之间的关系，熟练掌握以上知识，并且分类讨论是解题的关键．
分两种情况进行讨论：①若的边为底边，②若的边为腰．分别求出另外两边长，再根据三角形三边之间的关系判断能否组成三角形进行取舍．
【详解】解：①若的边为底边，则腰长为：，
，
∴此时能构成三角形，
∴另两边的长度分别是，；
②若的边为腰，则另一腰也为，则底边长为：，
，不满足三角形三边之间的关系，因此的边不能为腰．
综上，另两边的长度分别是，．
故答案为：，．
【变式7-3】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）等腰三角形底边长为，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，其差为，则该等腰三角形的腰长为（　　）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，设腰长为x，得出方程或，求出x后根据三角形三边关系进行验证即可．
【详解】解：如图，
设腰长为，一腰的中线为，
则或，
解得：，
∴或1，
①三边长为9、9、1，符合三角形三边关系定理；
②三边是1、1、9，，不符合三角形三边关系定理；
所以，该等腰三角形的腰长为，
故选：C．
【题型8 利用三边关系证明线段的不等关系】
【例8】（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）如图，在中，点在上，点在上．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，不等式的性质，掌握三角形的任意两边之和大于第三边吗，任意两边之差小于第三边是解题关键．延长交于点，由三角形的三边关系可得，，进而得到，，即可证明结论．
【详解】证明：延长交于点，如图．
在中，，
，
即．
在中，，
，
即，
．
【变式8-1】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，D为的边上一点，试判断与的周长之间的大小关系，并加以证明．
【答案】，见解析
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即可得出答案．
【详解】证明：∵在中，，
在中，，
∴，
即，
∴
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟记其三边关系是解题的关键．
【变式8-2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，，是四边形的对角线，且，相交于点O．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）在和中，利用三角形三边关系即可求证结论．
（2）由（1）得，，在和中，利用三角形三边关系可得，利用等量关系即可求证结论．
【详解】（1）证明：∵在和中，，，
∴，即．
（2）由（1）得，，
同理可得，，
∴，
即．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
【变式8-3】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知：如图，点D是△ABC内一点．求证：

(1)BD＋CD＜AB＋AC；
(2)AD＋BD＋CD＜AB＋BC＋AC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）延长BD交AC于E，从而找到BD＋CD与AB＋AC的中间量BE+CE，再利用不等式的传递性(若a（2）同理可得AD+CD【详解】（1）证明：延长BD交AC于E，

在△ABE中，有AB+AE＞BE，
∴AB＋AC=AB+AE+CE＞BE+CE，
在△EDC中，有DE+CE＞CD，
∴BE+CE= BD+DE+CE＞BD+CD，
∴AB＋AC＞BE+CE＞BD+CD，
∴BD＋CD＜AB＋AC；
（2）解：由（1）同理可得：
BD＋CD＜AB＋AC①，
AD＋CD＜AB＋BC②，
BD＋AD＜BC＋AC③，
①+②+③得：2（AD+BD+CD）<2（AB+BC+AC），
∴AD+BD+CD【点睛】本题考查三角形的三边关系，不等式的性质，能否根据题意添加辅助线和利用不等式的性质是解题的关键．
【题型9 三边关系的应用】
【例9】（2025·江苏无锡·三模）小毛在滑雪场沿着不同路径滑冰．如图中的灰色线条表示4条不同路径，分别标记为P、Q、R、S．请问这4条路径从最短到最长的正确排列顺序是（ ）
A．P，Q，R，S B．P，R，S，Q C．Q，S，P，R D．R，P，S，Q
【答案】D
【分析】本题考查线段的性质，三角形的三边关系，根据两点之间线段最短，三角形的任意两边之和大于第三边，进行判断即可．
【详解】解：由图，根据两点之间线段最短，可知：的路径长小于的路径长，的路径长小于的路径长；
根据三角形的三边关系，可知：的路径长小于的路径长；
综上：4条路径从最短到最长的正确排列顺序R，P，S，Q；
故选：D．
【变式9-1】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，、为池塘岸边两点，小明在池塘的一侧取一点，测得米，米，、间的距离可能是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出的取值范围即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：∵米，米，
∴，
即，
∴，
∴、间的距离可能是米，
故选：．
【变式9-2】（2025·河北唐山·二模）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（ ）
A．2 B．3 C．4或5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查三角形三边关系，设第三根小棒的长度是，根据题意，可得，再由图中挡板高度进一步确定，结合选项即可得到答案．熟记三角形三边关系是解决问题的关键．
【详解】解：有图可知，一根小棒的长度为，一根小棒的长度为，
设第三根小棒的长度是，若三根小棒可以围成三角形，
则由三角形三边关系可知，
即，
再由图中挡板高度为，则，
结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5，
故选：C．
【变式9-3】（24-25八年级上·山西长治·期末）如图，数学活动课上，一数学小组的同学把纸条等分成14份，如果第一次在剪刀处剪断，想再剪一刀，使三段能构成等腰三角形，那么第二次可以在 处剪断．（多选，填写序号）
【答案】②或③
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论即可．
【详解】解：当4为腰时，则底为，此时能组成三角形，
∴第二次可以在②处剪断，
当4为底时，则腰为，此时能组成三角形，
∴第二次可以在③处剪断，
在①处剪断时，三段的长分别为、、，不能组成三角形，
在④处剪断时，三段的长分别为、、，不能组成三角形，
综上，第二次可以在②或③处剪断，
故答案为：②或③．
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