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专题13.3 三角形的内角（举一反三讲义）
【人教版2024】
【题型1 利用三角形内角和直接求角】 2
【题型2 三角形内角和的证明】 3
【题型3 三角形内角和与平行线的综合】 4
【题型4 三角形内角和与角平分线的综合】 5
【题型5 利用三角形内角和解决折叠中的角度计算】 6
【题型6 利用三角形内角和解决三角板中的角度计算】 7
【题型7 直角三角形的性质】 9
【题型8 直角三角形的判定】 9
知识点1 三角形内角和定理
定义：三角形三个内角的和等于180°.
如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°．
图 (1) 图 (2)
【拓展】三角形内角和的倒角模型：
由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4．
由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D．
知识点2 直角三角形的性质及判定
1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．
在△ABC 中，∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°．
2.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
在△ABC中，∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 ．
【题型1 利用三角形内角和直接求角】
【例1】（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）定义：当三角形中其中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”．若一个“倍角三角形”的其中一个内角为，则这个三角形中最大的内角度数为 ．
【变式1-1】（24-25七年级下·上海·期中）在中，若，则此三角形按角分类是 三角形．
【变式1-2】（24-25八年级下·山东济南·期中）加图．平移后得列，，，则的度数是 ．

【变式1-3】（24-25七年级下·江西九江·期中）一个安全用电标识如图①所示，此标识可以抽象为图②中的几何图形，其中，，点E，F在线段上．若，，则的度数为 ．
【题型2 三角形内角和的证明】
【例2】（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（ ）
A．如图①所示，过三角形一边上点D作
B．如图②所示，过三角形内部一点P作
C．如图③所示，过点C作于点D
D．如图④所示，过三角形外部一点P作
【变式2-1】如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了 ．
【变式2-2】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）我们在小学就已经知道三角形内角和等于度，是通过度量或剪拼得出这一结论的，但是，由于测量和剪拼常常有误差，这种验证不是数学证明，不能完全让人信服．所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于．请完成下面证明过程．
已知：如图任意画一个．
求证：．
证明：
【变式2-3】（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整．
在边上任取一点E，作 交于点D，作 交于点F．
，
_______，_______．
，
_______．
，
_______，
_______．
，
_______．
【题型3 三角形内角和与平行线的综合】
【例3】（24-25七年级下·吉林长春·期中）在直角三角形中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，过点作平行，过点作交于点．下列结论：①平分；②；③；④．正确结论的序号有 ．
【变式3-1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，中，分别是上的点，满足．
(1)，是否平行？说明理由．
(2)若平分，，求度数．
【变式3-2】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则 °．
【变式3-3】（23-24七年级下·四川德阳·期末）如图，，，，则 ．
【题型4 三角形内角和与角平分线的综合】
【例4】（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，、分别平分和，连接，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，是的角平分线，F是上一动点，于点D，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（24-25七年级下·北京·期中）如图，，点是平面内一点，连接，，的平分线与的平分线交于点．若，则 （用含的代数式表示）．
【变式4-3】（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点．
(1)若，，则______，______；
(2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由；
(3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______．
【题型5 利用三角形内角和解决折叠中的角度计算】
【例5】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【变式5-1】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，若比大，则的度数为 ．
【变式5-2】（24-25七年级下·云南昭通·期中）如图，将长方形沿折叠，使点落在边上的点，若．则 度．
【变式5-3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，．第一步，将纸片折叠，使点A与点B重合，折痕与边的交点为点D；第二步，在边上找一点E，将纸片沿折叠，点A落在处；第三步，将纸片沿折叠，点E落在处，当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，的度数为 °．
【题型6 利用三角形内角和解决三角板中的角度计算】
【例6】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，把一副三角板如图摆放，点E在边上，将图中的绕点A按每秒速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 秒时，边恰好与边平行．
【变式6-1】（24-25八年级上·广东东莞·期中）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）将一副三角板如图放置，边与边在同一条直线上，，．三角板保持不动，将三角板绕点逆时针旋转．当 时，．
【变式6-3】（24-25七年级下·福建漳州·期中）已知一块三角板，将三角板如图所示放置，使顶点落在边上，经过点作直线交边于点，且点在点的左侧．若的平分线交边于点，以下结论中
①当且时，；
②当时，；
③当时，．正确的有（ ）
A．② B．①② C．①③ D．①②③
【题型7 直角三角形的性质】
【例7】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）直角三角形中，，是斜边上的高，，请求出图中所有锐角的值，并找出其中所有相等的锐角。
【变式7-1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是 °．
【变式7-2】（24-25七年级下·全国·期末）如图，中，是上的高，平分，，则 度．
【变式7-3】（24-25七年级下·河南平顶山·期中）如图，知，，，．则下列结论：①；②平分；③；④．正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【题型8 直角三角形的判定】
【例8】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【变式8-1】（24-25七年级下·上海·期中）若的三个内角的比为，则的形状是 三角形．（填锐角、直角、钝角中的一个）
【变式8-2】（22-23八年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，D是AB上一点，，．求证：是直角三角形．
【变式8-3】（22-23八年级·全国·课堂例题）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题13.3 三角形的内角（举一反三讲义）
【人教版2024】
【题型1 利用三角形内角和直接求角】 2
【题型2 三角形内角和的证明】 4
【题型3 三角形内角和与平行线的综合】 8
【题型4 三角形内角和与角平分线的综合】 12
【题型5 利用三角形内角和解决折叠中的角度计算】 17
【题型6 利用三角形内角和解决三角板中的角度计算】 21
【题型7 直角三角形的性质】 26
【题型8 直角三角形的判定】 29
知识点1 三角形内角和定理
定义：三角形三个内角的和等于180°.
如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°.
图 (1) 图 (2)
【拓展】三角形内角和的倒角模型：
由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.
由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.
知识点2 直角三角形的性质及判定
1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.
在△ABC 中，∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90° .
2.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.
在△ABC中，∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 .
【题型1 利用三角形内角和直接求角】
【例1】（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）定义：当三角形中其中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”．若一个“倍角三角形”的其中一个内角为，则这个三角形中最大的内角度数为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查三角形内角和定理．掌握三角形的内角和为，是解决问题的关键．
根据三角形内角和等于，如果一个“倍角三角形”有一个角为，可得另两个角的和为，根据由三角形中一个内角是另一个内角的2倍分类讨论，可以分别求得三角形的内角，由此比较得出答案即可．
【详解】解：当的角是另一个内角的2倍时，
三个角分别为：，，；　
当一个内角是的角的2倍时，三个角分别为：，，；
当另外两个角是两倍关系时，
设这两个角分别是，，
则，
解得，
∴，
∴三个角分别为：，， ；
因此，这个三角形中最大的内角度数为或或．
故答案为：或或．
【变式1-1】（24-25七年级下·上海·期中）在中，若，则此三角形按角分类是 三角形．
【答案】锐角
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，根据已知条件和三角形内角和定理求出这个三角形三个内角的度数即可得到答案．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴该三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角．
【变式1-2】（24-25八年级下·山东济南·期中）加图．平移后得列，，，则的度数是 ．

【答案】/度
【分析】本题考查了平移的性质，三角形内角和定理的运用．根据三角形内角和定理得到，再根据平移得到，即可求解．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵平移后得到，
∴，
故答案为：．
【变式1-3】（24-25七年级下·江西九江·期中）一个安全用电标识如图①所示，此标识可以抽象为图②中的几何图形，其中，，点E，F在线段上．若，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得的度数，再由平行线的性质可得的度数，据此根据平角的定义可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【题型2 三角形内角和的证明】
【例2】（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（ ）
A．如图①所示，过三角形一边上点D作
B．如图②所示，过三角形内部一点P作
C．如图③所示，过点C作于点D
D．如图④所示，过三角形外部一点P作
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，由平行线的性质可得，，则，由平角的定义得到，则，据此可判断A；由平行线的性质可得，同理可得，据此可判断B；设交于O，根据平行线的性质可得，，，， ，再由，即可判断D；C中根据现有条件无法证明．
【详解】解：A、∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，故A不符合题意；
B、∵
∴，
∵，
∴同A选项中的证明方法可得，
∴，故B不符合题意；
C、根据现有条件无法证明，故C符合题意；
D、设交于O，
∵，
∴，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，故D不符合题意；
故选；C．
【变式2-1】如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了 ．
【答案】三角形内角和等于180°
【分析】根据旋转后反方向说明旋转度数等于180°解答．
【详解】解：笔尖方向发生了由点B到点A的方向，
∵铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数，
∴旋转角度之和为∠A＋∠B＋∠C，
∵笔尖方向变为点B到点A的方向，
∴旋转角度之和为180°，
∴这种变化说明三角形内角和等于180°．
故答案为：三角形内角和等于180°．
【点睛】本题考查了平角的性质，三角形的内角和定理，理解旋转度数之和与三角形的内角和的关系是解题的关键．
【变式2-2】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）我们在小学就已经知道三角形内角和等于度，是通过度量或剪拼得出这一结论的，但是，由于测量和剪拼常常有误差，这种验证不是数学证明，不能完全让人信服．所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于．请完成下面证明过程．
已知：如图任意画一个．
求证：．
证明：
【答案】见解析
【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，解题的关键是掌握平行线的性质定理、判定定理．过点作直线，由平行线的性质可得，，再由平角的定义，通过等量代换可得．
【详解】证明：如图，过点作直线，
，
，，
，
，即三角形内角和等于．
【变式2-3】（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整．
在边上任取一点E，作 交于点D，作 交于点F．
，
_______，_______．
，
_______．
，
_______，
_______．
，
_______．
【答案】；；；；；
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，根据平行线的性质和已给推理过程进行证明即可．
【详解】解； ，
，．
，
．
，
，
．
，
．
【题型3 三角形内角和与平行线的综合】
【例3】（24-25七年级下·吉林长春·期中）在直角三角形中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，过点作平行，过点作交于点．下列结论：①平分；②；③；④．正确结论的序号有 ．
【答案】②③④
【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义及等角的余角相等．根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可判断③正确；由平行线的性质及角平分线的定义即可判断②正确；根据等角的余角相等即可判断④正确；根据已知条件无法判断①，所以错误，综上所述即可得出答案．
【详解】解：在直角三角形中，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴③正确；
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴②正确；
∵的度数不确定，
∴根据已知条件无法证明平分，
∴①不正确；
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵平分，
∴
∴，
即，
∴④正确；
综上，正确的结论为②③④，
故答案为：②③④．
【变式3-1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，中，分别是上的点，满足．
(1)，是否平行？说明理由．
(2)若平分，，求度数．
【答案】(1)平行
(2)
【分析】本题考查了三角形的内角和，平行线的判定等知识点．
（1）由三角形内角和为，结合已知可得，由同位角相等两直线平行即可得出结论；
（2）根据角平分线定义可得，结合可得．
【详解】（1）结论：平行，
∵，
，
∴，
∴．
（2）∵平分，
∴，
∵，
∴．
【变式3-2】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则 °．
【答案】57
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等．
首先根据平行线的性质得到，，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：57．
【变式3-3】（23-24七年级下·四川德阳·期末）如图，，，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查平行线的以及角的和差计算，连接，设，，，，由平行线的性质得，进一步得出 ，从而可得结论
【详解】解：连接，如图，
，
设，，，，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
；
，
∴
故答案为：
【题型4 三角形内角和与角平分线的综合】
【例4】（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，、分别平分和，连接，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理及三角形角平分线的性质，根据三角形的三条角平分线相交于同一点，得出平分是解题的关键．先由三角形的角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理得出，再由三角形的三条角平分线相交于同一点，可知平分，进而可求出答案．
【详解】解： 平分，，
，
平分，，
，
．
在中，、分别平分和，
平分，
，
故选：C．
【变式4-1】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，是的角平分线，F是上一动点，于点D，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形角平分线、三角形内角和定理等知识，理解并掌握三角形内角和定理是解题关键．首先根据三角形角平分线的定义可得，再利用三角形内角和定理确定，然后在中，由求解即可．
【详解】解：∵，是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【变式4-2】（24-25七年级下·北京·期中）如图，，点是平面内一点，连接，，的平分线与的平分线交于点．若，则 （用含的代数式表示）．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上性质，并作辅助线构造三角形．
延长交于点，相交于点，利用角平分线的性质和平行线的性质得出，，得出，进行整理求解即可．
【详解】解：如图，延长交于点，相交于点，
∵平分，平分，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
【变式4-3】（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点．
(1)若，，则______，______；
(2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由；
(3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______．
【答案】(1)115，25
(2)不会发生变化，理由见解析
(3)或或或
【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（3）设，则，再由不变，即可分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，分别列出关于的等式，解出即可．
【详解】（1）解：，，
．
平分，
．
，
，．
平分，
．
；
，
．
平分，平分，
，．
，
，即，
．
故答案为：115，25；
（2）解：不会发生变化，理由如下：
，
．
，
，．
平分，平分，
，．
．
，
，
，
．
当的度数发生变化时，、的度数不发生变化；
（3）解：设，
．
，
，，
平分，平分，
，，
．
．
平分，平分，
，，
，
，
中存在一个内角等于另一个内角的三倍，
①当时，，
解得：
②当时，，
解得：
③当时，，
解得：
④当时，，
解得：
综上可知，或或或．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．熟练运用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
【题型5 利用三角形内角和解决折叠中的角度计算】
【例5】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】B
【分析】本题考查三角形内角和定理及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是是解题关键．根据折叠得出，，再由三角形内角和和平角定义求出．根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的定义可得由此即可得答案．
【详解】解：由折叠可知：，，
∴，．
∴，
又∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【变式5-1】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，若比大，则的度数为 ．
【答案】/68度
【分析】本题考查平行线的性质、折叠的性质，根据平行线的性质、折叠的性质，可以计算出的度数，然后即可计算出的度数．
【详解】解：如图所示，
．
由题意可得：，
∵，
∴，
∴，
由图可得，，
∵比大，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【变式5-2】（24-25七年级下·云南昭通·期中）如图，将长方形沿折叠，使点落在边上的点，若．则 度．
【答案】71
【分析】本题考查了矩形折叠．熟练掌握矩形性质 折叠性质，平行线的性质，直角三角形角性质，是解决本题的重点．
首先根据平行线的性质得到的度数，再根据对折的性质求出的度数，即可求出的度数．
【详解】解：∵长方形中，
∴，
由折叠知，，
∵，
∴．
故答案为：71．
【变式5-3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，．第一步，将纸片折叠，使点A与点B重合，折痕与边的交点为点D；第二步，在边上找一点E，将纸片沿折叠，点A落在处；第三步，将纸片沿折叠，点E落在处，当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，的度数为 °．
【答案】或
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，把握折叠的不变性是解题的关键．
分两种情况讨论，画出示意图，根据折叠的性质以及三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：当点在上时，
由折叠得， ，
那么此时，记与交于点G，
∴，
∵，
∴；
当点在上时，
由折叠知，
当点在上时，则，
∴，
∴，
综上：当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，的度数为或，
故答案为：或．
【题型6 利用三角形内角和解决三角板中的角度计算】
【例6】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，把一副三角板如图摆放，点E在边上，将图中的绕点A按每秒速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 秒时，边恰好与边平行．
【答案】21或57
【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
先根据旋转的定义画出图形，再根据平行线的性质和旋转的性质求出旋转角的度数，由此即可得出答案．
【详解】解：如图1所示：当时，
由题意可得：，，
则，
故，
则，
故边恰好与边平行时，旋转的时间为：（秒），
如图2，当时，
由（1）同理可得：，
则绕点顺时针旋转了，
在旋转的过程中：第（秒）时，边恰好与边平行．
综上所述：在第21或57秒时，边恰好与边平行．
故答案为：21或57．
【变式6-1】（24-25八年级上·广东东莞·期中）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了通过三角板求角度，三角形的内角和定理，根据三角板中特殊角度，三角形内角内角和定理解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，根据三角板角度的特殊性可知，，
∵，
∴，
故选：．
【变式6-2】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）将一副三角板如图放置，边与边在同一条直线上，，．三角板保持不动，将三角板绕点逆时针旋转．当 时，．
【答案】
【分析】本题考查垂直的定义，三角形内角和，角的和差．当时，即，结合三角形内角和得，由旋转性质得，再根据角的和差关系进行列式计算，即可作答．
【详解】解：如图，
∵三角板保持不动，将三角板绕点逆时针旋转，且，
∴，
∵，．
∴，，
则，
∴三角板绕点顺时针旋转75度，
即，
故答案为：．
【变式6-3】（24-25七年级下·福建漳州·期中）已知一块三角板，将三角板如图所示放置，使顶点落在边上，经过点作直线交边于点，且点在点的左侧．若的平分线交边于点，以下结论中
①当且时，；
②当时，；
③当时，．正确的有（ ）
A．② B．①② C．①③ D．①②③
【答案】B
【分析】本题主要查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的判定和性质，三角形内角和定理是解题的关键．
根据，可得，再由以及平分，可得，然后根据，可得，从而得到，可判断①；根据，可得，从而得到，再由以及平分，可得，然后根据三角形内角和定理可得，可判断②；根据，可得，再由以及平分，可得，然后根据三角形内角和定理可得，从而得到，无法得到与平行，可判断③．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴无法得到与平行，
∵，即，
∴无法得到，故③错误．
故选：B
【题型7 直角三角形的性质】
【例7】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）直角三角形中，，是斜边上的高，，请求出图中所有锐角的值，并找出其中所有相等的锐角。
【答案】 ；相等的锐角有：
【分析】本题主要考查直角三角形两锐角互余，直接根据直角三角形两锐角互余进行解答即可．
【详解】解：在中，，
∴，
∵，
∴；
在中，∵，即，
∴，
∵，
∴；
在中，∵，即，
∴，
∵，
∴；
∴相等的锐角有： ．
【变式7-1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是 °．
【答案】55
【分析】本题主要考查了平行线的性质，由三角尺可知，由平角可求，再根据平行线的性质可知．
【详解】解：如图：
由的三角尺可知，
∴．
由平行线的性质可知．
故答案为：55．
【变式7-2】（24-25七年级下·全国·期末）如图，中，是上的高，平分，，则 度．
【答案】10
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形的角平分线的定义，三角形高的含义．先由三角形的内角和定理求解的大小，再由角平分线的性质求解的大小，再利用直角三角形的两锐角互余求出，最后利用角的和差关系可得答案．
【详解】解：在中，，
∴，
∵平分，
∴．，
∵是上的高，
∴，
∴，
∴．
故答案为：10．
【变式7-3】（24-25七年级下·河南平顶山·期中）如图，知，，，．则下列结论：①；②平分；③；④．正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定和性质，直角三角形两锐角互余等知识的判定，掌握以上知识是关键．根据垂线的定义，平行线的判定和性质，结合图形判定即可．
【详解】解：∵，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵与的数量无法确定，即与不一定相等，
∴不能判定平分，故②错误；
∵，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，共3个，
故选：B．
【题型8 直角三角形的判定】
【例8】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的定义，利用三角形的内角和定理求出角的度数，即可分别进行判断．
【详解】解：①由得到，即，是直角三角形；
②由题可得，是直角三角形；
③由得到2，解得，，不是直角三角形；
④由得到，解得，，，是直角三角形；
⑤由得到，解得，不是直角三角形；
故选：C．
【变式8-1】（24-25七年级下·上海·期中）若的三个内角的比为，则的形状是 三角形．（填锐角、直角、钝角中的一个）
【答案】直角
【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类，先根据三角形的内角和定理求出中最大角的度数，然后根据三角形的分类求解即可．
【详解】解：∵的三个内角的比为，
∴中最大角为，
∴的形状是直角三角形，
故答案为：直角．
【变式8-2】（22-23八年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，D是AB上一点，，．求证：是直角三角形．
【答案】见解析
【分析】利用三角形内角和定理可得，据此即可证明是直角三角形．
【详解】解：在中，D是AB上一点，，，
∵，
∴，即，
∴，
∴是直角三角形．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，掌握“三角形三个内角和等于”是解题的关键．
【变式8-3】（22-23八年级·全国·课堂例题）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立．
【详解】解：∵是边上的高，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴是直角三角形．
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