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专题14.2 全等三角形的判定（一）（举一反三讲义）
【人教版2024】
【题型1 “边角边”（SAS）证明三角形全等】 2
【题型2 “角边角”（ASA）证明三角形全等】 3
【题型3 “角角边”（AAS）证明三角形全等】 4
【题型4 “边边边”（SSS）证明三角形全等】 5
【题型5 三角形的稳定性】 6
【题型6 斜边、直角边定理（HL）证明三角形全等】 8
【题型7 灵活选用方法证明三角形全等】 9
【题型8 二次证明三角形全等】 11
知识点1 基本事实“边角边”（SAS）
1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”．
2. 数学语言表达：如下图，在与中，
．
知识点2 基本事实“角边角”（ASA）
1. 两边及其夹边分别相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”．
2. 数学语言表达：如下图，在与中，
．
知识点3 “角边角”的推论“角角边”（AAS）
1. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“角角边”或“AAS”．
2. 数学语言表达：如下图，在与中，
．
知识点4 基本事实“边边边”（SSS）
1. 三边分别相等的两个三角形全等．简写成“边边边”或“SSS”．
2. 数学语言表达：如下图，在与中，
．
知识点5 三角形的稳定性
生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．
三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用．例如：房屋的人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等，利用三角形的稳定性，使生活中的建筑经久耐用．
知识点6 斜边、直角边定理（HL）
1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2. 数学语言表达:如图，在Rt与Rt中（与为直角），
．
【题型1 “边角边”（SAS）证明三角形全等】
【例1】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图．中．，平分．点为上一点．则图中全等三角形有 对．
【变式1-1】（24-25八年级上·福建泉州·期末）数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2025九年级下·云南·学业考试）如图，在和中，，，（点，，，在同一条直线上）．求证：．
【变式1-3】（2025·安徽·一模）在中，平分，则 ．
【题型2 “角边角”（ASA）证明三角形全等】
【例2】（22-23八年级上·广东江门·阶段练习）如图，已知，要说明，若以“”为依据，则需添加一个条件是 ．
【变式2-1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（24-25八年级上·云南临沧·期末）如图，在和中，，，．求证：．
【变式2-3】（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，要测量池塘两岸M、N两点间的距离，可以在直线上取A，B两点，再在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，过点再画出的垂线，使点与A，C在一条直线上，若此时测得，，，则池塘两岸M，N两点间的距离为 m．
【题型3 “角角边”（AAS）证明三角形全等】
【例3】（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，，，分别过点A，B作过点C的直线的垂线，．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（24-25八年级上·重庆万州·期中）如图，，要使，需要添加的条件可以是下列选项中的（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由．
【变式3-3】如图，，，于，于．下面四个结论：；；；，其中正确的有 ．

【题型4 “边边边”（SSS）证明三角形全等】
【例4】如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF
(1)若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF；
(2)若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？
(3)若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由．
【变式4-1】（24-25八年级上·四川泸州·期末）分水油纸伞是泸州市江阳区分水岭镇特产，中国国家地理标志产品，国家级非物质文化遗产．油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着许多数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的判定依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【变式4-2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，D是上一点，，，．求证：．
【变式4-3】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，，，，于，求的度数．
【题型5 三角形的稳定性】
【例5】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，我们可以看到跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这里蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．两点确定一条直线
D．三角形的稳定性
【变式5-1】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，小明将一根吸管折叠后，伸入一个空玻璃瓶中，使吸管一端顶住瓶壁，再轻轻一提，瓶子就被提起来了．这其中用到的数学原理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性
【变式5-2】如图，小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案是 ．
【变式5-3】（2025·广东江门·一模）三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上 根木条．
【题型6 斜边、直角边定理（HL）证明三角形全等】
【例6】（24-25八年级上·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．

【变式6-1】（2023八年级上·全国·专题练习）如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明，则需添加的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）如图，在中，，，为边延长线上的一点，点在上，且．求证：．
【变式6-3】（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，．
(1)求证：．
(2)求证：G是线段的中点．
【题型7 灵活选用方法证明三角形全等】
【例7】（24-25八年级上·河南信阳·期末）【问题提出】
我们知道：三角形全等的判定方法有：“，，，”，面对于“”，课本第38页提供了如下材料：
思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了什么？
这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究．
【初步思考】
我们不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
(1)第一种情况：当是直角时，．
如图2，在和中，，，，根据 ，可以知道．
(2)第二种情况：当是钝角时，．
如图3，在和中，，，，且、都是钝角，李明由（1）受到了启发，很快证出了．请聪明的你完成李明的推理过程；
(3)第三种情况：当是锐角时，和不一定全等．
①如图4，在和中，，，，且、都是锐角，则的结论是否仍然成立；请说明成立的理由；
②如图4，和是不全等的，还要满足什么条件，就可以使？请直接写出结论： ．
【变式7-1】（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，已知各内角的度数和各边的长度．下面是同学们用不同的方法画出的三角形，并将所画三角形的三个元素标出，则所画三角形不一定与全等的是（ ）

A． B．
C． D．
【变式7-2】（24-25七年级下·北京·期中）下列条件中能确定的形状与大小的有 ．
①，，，
②，，；
③，，；
④，，
【变式7-3】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，请从以下三个选项中①，②，③，选择一个选项作为已知条件，使得．
(1)你选择添加的选项是______（填序号）；
(2)添加条件后，请证明．
【题型8 二次证明三角形全等】
【例8】（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：．
【变式8-1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，和的顶点A和D在的同侧，，，交于点O，试说明：．
下面是小明的解答过程：
解：在和中，因为，，，所以，所以，所以．
请问小明的解法正确吗？如果不正确，请改正过来．
【变式8-2】如图，在四边形中，，，．求证：．
【变式8-3】（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全等三角形的解决思路．
如：在图1中，若C是的平分线上一点，点A在上，此时，在射线上截取，连结，根据三角形全等的判定方法______（简称），容易构造出全等三角形和，参考上面的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在中，是的平分线，E、F分别为上的点，且．求证：．（两个内角相等的三角形是等腰三角形）
（2）如图3，在非等边中，，分别是、的平分线，且交于点F，求证：．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题14.2 全等三角形的判定（一）（举一反三讲义）
【人教版2024】
【题型1 “边角边”（SAS）证明三角形全等】 2
【题型2 “角边角”（ASA）证明三角形全等】 6
【题型3 “角角边”（AAS）证明三角形全等】 8
【题型4 “边边边”（SSS）证明三角形全等】 11
【题型5 三角形的稳定性】 14
【题型6 斜边、直角边定理（HL）证明三角形全等】 15
【题型7 灵活选用方法证明三角形全等】 18
【题型8 二次证明三角形全等】 24
知识点1 基本事实“边角边”（SAS）
1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”．
2. 数学语言表达：如下图，在与中，
．
知识点2 基本事实“角边角”（ASA）
1. 两边及其夹边分别相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”．
2. 数学语言表达：如下图，在与中，
．
知识点3 “角边角”的推论“角角边”（AAS）
1. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“角角边”或“AAS”．
2. 数学语言表达：如下图，在与中，
．
知识点4 基本事实“边边边”（SSS）
1. 三边分别相等的两个三角形全等．简写成“边边边”或“SSS”．
2. 数学语言表达：如下图，在与中，
．
知识点5 三角形的稳定性
生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．
三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用．例如：房屋的人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等，利用三角形的稳定性，使生活中的建筑经久耐用．
知识点6 斜边、直角边定理（HL）
1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2. 数学语言表达:如图，在Rt与Rt中（与为直角），
．
【题型1 “边角边”（SAS）证明三角形全等】
【例1】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图．中．，平分．点为上一点．则图中全等三角形有 对．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是关键．首先利用角平分线定义可得，然后利用可判定，根据全等三角形的性质可得，，再判定，最后证明即可．
【详解】解： 平分，
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
在和中，
，
，
共对全等三角形，
故答案为．
【变式1-1】（24-25八年级上·福建泉州·期末）数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据全等三角形的判定定理“”解答即可．
【详解】解：在和中，
，
，
，
此方案依据的数学定理或基本事实是“”，
故选：A．
【变式1-2】（2025九年级下·云南·学业考试）如图，在和中，，，（点，，，在同一条直线上）．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．根据“”判定即可．
【详解】证明：，
，
即，
在和中，
，
．
【变式1-3】（2025·安徽·一模）在中，平分，则 ．
【答案】9
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；此题利用了全等三角形中常用辅助线－截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握．
在上截取，连接，证明，得到，再证明，进而代入数值解答即可．
【详解】解：在上截取，连接，如图：
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
从而，
又，
∴，从而，
∴，
∴，
故答案为：9．
【题型2 “角边角”（ASA）证明三角形全等】
【例2】（22-23八年级上·广东江门·阶段练习）如图，已知，要说明，若以“”为依据，则需添加一个条件是 ．
【答案】
【分析】根据证明，即可．
【详解】解：添加，理由如下：
∵，，，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【变式2-1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形全等的判定；
根据即可解答．
【详解】解：有图形可以看到这个三角形还能明显看到的条件为两个角和一条边，且是两角及其夹边，因此符合．
故选D．
【变式2-2】（24-25八年级上·云南临沧·期末）如图，在和中，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定；
先求出，再根据即可证得结论．
【详解】证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴．
【变式2-3】（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，要测量池塘两岸M、N两点间的距离，可以在直线上取A，B两点，再在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，过点再画出的垂线，使点与A，C在一条直线上，若此时测得，，，则池塘两岸M，N两点间的距离为 m．
【答案】14
【分析】本题考查了全等三角形的应用，利用全等三角形的判定定理证出是解题的关键．由垂线的定义可得出，结合，，即可证出，利用全等三角形的性质可得出．
【详解】解：，
．
在和中，
∴，
，
，
，
故答案为：14．
【题型3 “角角边”（AAS）证明三角形全等】
【例3】（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，，，分别过点A，B作过点C的直线的垂线，．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，一般三角形全等的判定方法有、、，，直角三角形的判定方法还有，全等三角形对应边相等，对应角相等．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
由，可得，进而可得．又由可得，进而可得．再根据可得，则可得，，进而可求得的长．
【详解】解：，，
，
，
，
，
．
在和中，
，
，
，，
．
故选：B．
【变式3-1】（24-25八年级上·重庆万州·期中）如图，，要使，需要添加的条件可以是下列选项中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据已知得到，，再根据选项进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，，
选项中只有当时，，添加其它选项都不能证明．
故选：D．
【变式3-2】（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由．
【答案】理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：中线得到，平行得到，利用，即可得证．
【详解】解：与全等的理由如下：
∵是边的中线，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式3-3】如图，，，于，于．下面四个结论：；；；，其中正确的有 ．

【答案】
【分析】由于， 于，得，则，可判断正确；根据“同角的余角相等”推导出，即可证明， 可判断正确；由垂线段最短可证明， ，则，可判断错误；由， ，且，得，可判断正确，于是得到问题的答案．
【详解】∵，，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，
在和中，
，
∴，故正确；
∵，，
∴，，
∴，故错误；
∵，
∴，，
∵，
∴，故正确；
故答案为： ．
【点睛】此题考查了同角的余角相等、垂线段最短、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明及是解题的关键．
【题型4 “边边边”（SSS）证明三角形全等】
【例4】如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF
(1)若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF；
(2)若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？
(3)若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）成立，证明详见解析；（3）AD与CB不一定平行，理由详见解析.
【分析】（1）根据AF=CE可得AF+EF=CE+EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（2）根据AF=CE可得AF-EF=CE-EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（3）根据已知两个条件，不能判定△ADE≌△CBF，不能确定∠A=∠C，即可得AD和CB不一定平行.
【详解】（1）∵AF=CE，
∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF.
（2）成立.理由如下：
∵AF=CE，
∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF.
（3）AD与CB不一定平行，理由如下：
∵只给了两组对应相等的边，
∴不能判定△ADE≌△CBF，
∴不能判定∠A与∠C的大小关系，
∴AD与CB不一定平行，
【点睛】本题考查全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.
【变式4-1】（24-25八年级上·四川泸州·期末）分水油纸伞是泸州市江阳区分水岭镇特产，中国国家地理标志产品，国家级非物质文化遗产．油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着许多数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的判定依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键．
根据全等三角形的判定定理推出即可解答．
【详解】解：在和中，
，
．
故选：D．
【变式4-2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，D是上一点，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．
由即可证明即可．
【详解】证明：在和中，
∴．
【变式4-3】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，，，，于，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是能根据性质求出的度数．
证明，可得，由和三角形的内角和定理求出，即可求解．
【详解】解：∵，
，
，
，
，
．
【题型5 三角形的稳定性】
【例5】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，我们可以看到跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这里蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．两点确定一条直线
D．三角形的稳定性
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性即可得到答案．
【详解】解：由题意得这三个三角形可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中，蕴含的数学道理是三角形的稳定性；
故选：D．
【变式5-1】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，小明将一根吸管折叠后，伸入一个空玻璃瓶中，使吸管一端顶住瓶壁，再轻轻一提，瓶子就被提起来了．这其中用到的数学原理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的稳定性．根据三角形具有稳定性作答即可．
【详解】解：吸管一端顶住瓶壁，可以构造一个三角形，
∴这其中用到的数学原理是三角形具有稳定性．
故选：D．
【变式5-2】如图，小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案是 ．
【答案】③
【详解】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性可知最好的加固方案是③．
【变式5-3】（2025·广东江门·一模）三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上 根木条．
【答案】2
【分析】本题考查三角形具有稳定性，多边形的对角线．要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．
【详解】解：∵过五边形的一个顶点作对角线，有2条对角线，
∴至少要钉上2根木条，
故答案为：2．
【题型6 斜边、直角边定理（HL）证明三角形全等】
【例6】（24-25八年级上·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．

【答案】
【分析】本题考查角平分线的判定以及全等三角形的判定定理，解题的关键是利用直尺宽度相等构造全等直角三角形，进而得出角平分线．
过点作于点于点．因为直尺的宽度相等，所以，同时（公共边），，证明，
可得，即平分，因此这种画法的依据是．
【详解】解：如图2中，过点P作于点M，于点N．

∵尺的宽度相等，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，
∴平分，
画法的依据是：．
故答案为：．
【变式6-1】（2023八年级上·全国·专题练习）如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明，则需添加的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查运用“”证明三角形全等，根据“”证明三角形全等的条件即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
当时，
在和中
，
∴．
故选：B
【变式6-2】（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）如图，在中，，，为边延长线上的一点，点在上，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
根据题意得到，，即可证明．
【详解】证明： ，为边延长线上的一点，
，
，
．
在和中，，
．
【变式6-3】（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，．
(1)求证：．
(2)求证：G是线段的中点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．
（1）由得，证明，即可证明；
（2）证明，得到即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）∵，，，
∴，
∴，
即G是线段的中点．
【题型7 灵活选用方法证明三角形全等】
【例7】（24-25八年级上·河南信阳·期末）【问题提出】
我们知道：三角形全等的判定方法有：“，，，”，面对于“”，课本第38页提供了如下材料：
思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了什么？
这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究．
【初步思考】
我们不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
(1)第一种情况：当是直角时，．
如图2，在和中，，，，根据 ，可以知道．
(2)第二种情况：当是钝角时，．
如图3，在和中，，，，且、都是钝角，李明由（1）受到了启发，很快证出了．请聪明的你完成李明的推理过程；
(3)第三种情况：当是锐角时，和不一定全等．
①如图4，在和中，，，，且、都是锐角，则的结论是否仍然成立；请说明成立的理由；
②如图4，和是不全等的，还要满足什么条件，就可以使？请直接写出结论： ．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)①见解析；②或
【分析】（1）直接利用定理得出 ；
（2）首先得出，则，进而得出 ，再求出；
（3）①利用已知图形再做一个钝角三角形即可得出答案；
②利用①中方法可得出当或
【详解】（1）解：∵，
∴和是直角三角形，
在和中，
故答案为：；
（2）证明：在和 ，且都是钝角，如图，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于，
且都是钝角，
在和
在 和
在和中
；
（3）解：①在和中，，且都是锐角，如图，和不全等；
②由①图可知，，
∴当时，就唯一确定了，
则．
当时，
即，
在和中，
故答案为：或．
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方式解题的关键．
【变式7-1】（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，已知各内角的度数和各边的长度．下面是同学们用不同的方法画出的三角形，并将所画三角形的三个元素标出，则所画三角形不一定与全等的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定定理，理解全等三角形的判定定理是解题关键．
根据全等三角形的判定条件进行逐项分析即可．
【详解】解：A、根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意；
B、根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意；
C、根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意；
D、与原三角形形成三个内角分别相等，两个三角形不一定全等，符合题意；
故选：D．
【变式7-2】（24-25七年级下·北京·期中）下列条件中能确定的形状与大小的有 ．
①，，，
②，，；
③，，；
④，，
【答案】②
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据三角形的判定和性质进行判定即可求解．
【详解】解：①，，，，不能画出三角形；
②，，，根据“”能画出唯一的；
③，，，“”不能确定三角形的性质，即不能画出唯一的；
④，，，“”不能确定三角形的性质，即不能画出唯一的；
综上所述，能画出唯一的的有②，
故答案为：②．
【变式7-3】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，请从以下三个选项中①，②，③，选择一个选项作为已知条件，使得．
(1)你选择添加的选项是______（填序号）；
(2)添加条件后，请证明．
【答案】(1)①或②或③
(2)见详解
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的性质，
（1）添加①或②或③均可证明全等；
（2）由平行线的性质可得，如果选择①利用边角边证明三角形全等，如果选择②用角边角证明三角形全等，如果选择③角角边证明三角形全等．
【详解】（1）解：选择①或②或③
（2）选择①，证明如下：
∵，
∴即，
在和中
，
∴．
选择②，证明如下：
∵，
∴即，
在和中
，
∴．
选择③，证明如下：
∵，
∴即，
在和中
，
∴．
【题型8 二次证明三角形全等】
【例8】（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先证明得出，再证明．
【详解】证明：在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
【变式8-1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，和的顶点A和D在的同侧，，，交于点O，试说明：．
下面是小明的解答过程：
解：在和中，因为，，，所以，所以，所以．
请问小明的解法正确吗？如果不正确，请改正过来．
【答案】不正确，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键；
根据已知条件得出，得，在和中，利用即可得出结论.
【详解】解：不正确，正确步骤为：
在和中，
，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
【变式8-2】如图，在四边形中，，，．求证：．
【答案】证明见解析．
【分析】连接，证明，得出，
再证，即可．
【详解】连接，BD
在与中，，
∴，
，
在与中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，掌握全等三角形性质和判定是解题的关键．
【变式8-3】（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全等三角形的解决思路．
如：在图1中，若C是的平分线上一点，点A在上，此时，在射线上截取，连结，根据三角形全等的判定方法______（简称），容易构造出全等三角形和，参考上面的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在中，是的平分线，E、F分别为上的点，且．求证：．（两个内角相等的三角形是等腰三角形）
（2）如图3，在非等边中，，分别是、的平分线，且交于点F，求证：．
【答案】（1）见解析；(2)见解析
【分析】本题考查了角的平行线，三角形全等的判定和性质，探索线段之间的关系．
阅读中的判定方法为
(1)在上截取，连结，证明，再利用等腰三角形的判定证明即可．
(2)在上截取，连结，证明，即可．
【详解】根据题意，得判定方法为，
故答案为：．
(1)在上截取，连结，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）在上截取，连结，
∵，
∴，
∴，，
∵，分别是、的平分线，且交于点F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴．
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